Slumpmässigt kastas ett symmetriskt mynt två gånger. Matematik och vi. Kombinationsuppräkningsmetod
Uppgiftsformulering: I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt två gånger. Hitta sannolikheten att huvuden (svansar) inte kommer att falla ut ens en gång (det kommer att falla ut exakt / minst 1, 2 gånger).
Uppgiften ingår i ANVÄNDNING i matematik på grundnivå för årskurs 11 på nummer 10 (Klassisk definition av sannolikhet).
Låt oss se hur sådana problem löses med exempel.
Exempel på uppgift 1:
I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt två gånger. Hitta sannolikheten att huvuden aldrig kommer upp.
OO ELLER RO RR
Det finns totalt 4 sådana kombinationer. Vi är bara intresserade av de av dem där det inte finns en enda örn. Det finns bara en sådan kombination (PP).
P = 1/4 = 0,25
Svar: 0,25
Exempel på uppgift 2:
I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt två gånger. Hitta sannolikheten att det kommer upp huvudena exakt två gånger.
Tänk på alla möjliga kombinationer som kan falla ut om myntet kastas två gånger. För enkelhetens skull kommer vi att beteckna örnen med bokstaven O och svansar med bokstaven P:
OO ELLER RO RR
Det finns 4 sådana kombinationer totalt. Vi är bara intresserade av de kombinationer där huvuden visas exakt 2 gånger. Det finns bara en sådan kombination (OO).
P = 1/4 = 0,25
Svar: 0,25
Exempel på uppgift 3:
I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt två gånger. Hitta sannolikheten att det kommer upp i huvudet exakt en gång.
Tänk på alla möjliga kombinationer som kan falla ut om myntet kastas två gånger. För enkelhetens skull kommer vi att beteckna örnen med bokstaven O och svansar med bokstaven P:
OO ELLER RO RR
Totalt finns det 4 sådana kombinationer. Vi är bara intresserade av de av dem där huvuden föll ut exakt 1 gång. Det finns bara två sådana kombinationer (OP och RO).
Svar: 0,5
Exempel på uppgift 4:
I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt två gånger. Hitta sannolikheten att huvuden kommer upp minst en gång.
Tänk på alla möjliga kombinationer som kan falla ut om myntet kastas två gånger. För enkelhetens skull kommer vi att beteckna örnen med bokstaven O och svansar med bokstaven P:
OO ELLER RO RR
Det finns 4 sådana kombinationer totalt. Vi är bara intresserade av de kombinationer där huvuden faller ut minst en gång. Det finns bara tre sådana kombinationer (OO, OR och RO).
P = 3/4 = 0,75
I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt...
Som ett förord.
Alla vet att ett mynt har två sidor - huvud och svans.
Numismatiker tror att myntet har tre sidor - framsida, baksida och kant.
Och bland dem, och bland andra, är det få som vet vad ett symmetriskt mynt är. Men de vet om det (nåja, eller borde veta :), de som förbereder sig för att ta provet.
I allmänhet kommer den här artikeln att fokusera på ett ovanligt mynt, som inte har något att göra med numismatik, men samtidigt är det det mest populära myntet bland skolbarn.
Så.
Symmetriskt mynt- detta är ett imaginärt matematiskt idealiskt mynt utan storlek, vikt, diameter etc. Som ett resultat har ett sådant mynt heller ingen kant, det vill säga att det egentligen bara har två sidor. Den huvudsakliga egenskapen hos ett symmetriskt mynt är att under sådana förhållanden är sannolikheten för fallande huvuden eller svansar exakt densamma. Och de kom på ett symmetriskt mynt för tankeexperiment.
Det mest populära problemet med ett symmetriskt mynt låter så här - "I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt två gånger (tre gånger, fyra gånger, etc.). Det krävs för att bestämma sannolikheten för att en av sidorna kommer att falla ut. ett visst antal gånger.
Lös problemet med ett symmetriskt mynt
Det är uppenbart att som ett resultat av slängningen kommer myntet att falla antingen med huvudet eller svansen. Hur många gånger - beror på hur många kast som ska göras. Sannolikheten att få huvud eller svans beräknas genom att dividera antalet utfall som uppfyller villkoret med det totala antalet möjliga utfall.
Ett kast
Allt är enkelt här. Antingen huvuden eller svansar kommer upp. De där. vi har två möjliga resultat, varav ett tillfredsställer oss - 1/2=50 %
Tvåkast
För två kast kan falla:
två örnar
två svansar
huvuden, sedan svansar
svansar, sedan huvuden
De där. endast fyra alternativ är möjliga. Problem med mer än ett kast är lättast att lösa genom att göra en tabell över möjliga alternativ. För enkelhetens skull, låt oss beteckna huvuden som "0" och svansar som "1". Sedan ser tabellen över möjliga utfall ut så här:
00
01
10
11
Om du till exempel behöver hitta sannolikheten att huvuden faller en gång behöver du bara räkna antalet lämpliga alternativ i tabellen - d.v.s. de linjerna där örnen förekommer en gång. Det finns två sådana linjer. Så sannolikheten att få ett huvud i två kast av ett symmetriskt mynt är 2/4=50 %
Sannolikheten att få huvuden två gånger i två kast är 1/4=25 %
Tre rosor
Vi gör en tabell med alternativ:
000
001
010
011
100
101
110
111
De som är bekanta med binär kalkyl förstår vad vi har kommit fram till. :) Ja, de är binära tal från "0" till "7". På så sätt är det lättare att inte bli förvirrad med alternativen.
Låt oss lösa problemet från föregående stycke - vi beräknar sannolikheten för att örnen kommer att falla ut en gång. Det finns tre rader där "0" förekommer en gång. Så sannolikheten att få ett huvud på tre kast av ett symmetriskt mynt är 3/8=37,5 %
Sannolikheten att huvuden i tre kast faller ut två gånger är 3/8=37,5 %, d.v.s. absolut samma.
Sannolikheten att huvudet i tre kast faller ut tre gånger är 1/8 = 12,5 %.
Fyra kast
Vi gör en tabell med alternativ:
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Sannolikheten att huvuden kommer upp en gång. Det finns bara tre rader där "0" förekommer en gång, precis som i fallet med tre kast. Men det finns redan sexton alternativ. Så sannolikheten att få ett huvud på fyra kast av ett symmetriskt mynt är 3/16=18,75 %
Sannolikheten att örnen faller ut två gånger i tre kast är 6/8=75 %,.
Sannolikheten att huvuden kommer upp tre gånger i tre kast är 4/8=50%.
Så med en ökning av antalet kast förändras principen för att lösa problemet inte alls - bara, i en lämplig progression, ökar antalet alternativ.
Beskrivning av presentationen på enskilda bilder:
1 rutschkana
Beskrivning av bilden:
Lösa problem i sannolikhetsteorin. Matematiklärare MBOU Nivnyanskaya gymnasieskola, Nechaeva Tamara Ivanovna
2 rutschkana
Beskrivning av bilden:
Lektionens mål: Granskning olika typer problem i sannolikhetsteori och metoder för deras lösning. Lektionens mål: att lära känna igen olika typer av problem inom sannolikhetsteorin och förbättra logiskt tänkande skolbarn.
3 rutschkana
Beskrivning av bilden:
Uppgift 1. I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt 2 gånger. Hitta sannolikheten att få samma antal huvuden och svansar.
4 rutschkana
Beskrivning av bilden:
Uppgift 2. Ett mynt kastas fyra gånger. Hitta sannolikheten att det aldrig kommer upp svansar.
5 rutschkana
Beskrivning av bilden:
Uppgift 3. I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt två gånger. Hitta sannolikheten att huvuden kommer upp exakt en gång. Lösning: För att hitta sannolikheten för en specificerad händelse är det nödvändigt att överväga alla möjliga utfall av experimentet och sedan välja gynnsamma utfall från dem (gynnsamma utfall är utfall som uppfyller kraven för problemet). I vårt fall kommer dessa utfall att vara gynnsamma där huvuden bara faller ut en gång med två kast av ett symmetriskt mynt. Sannolikheten för en händelse beräknas som förhållandet mellan antalet gynnsamma utfall och det totala antalet utfall. Därför är sannolikheten att när ett symmetriskt mynt kastas två gånger, att huvuden bara faller ut en gång, är lika med: P \u003d 2/4 \u003d 0,5 \u003d 50% Svar: sannolikheten att som ett resultat av ovanstående experiment huvuden kommer bara att falla ut en gång är 50 %. Antal experiment 1:a kast 2:a kast Antal gånger huvuden 1 Heads Heads 2 2 Tails Tails 0 3 Heads Tails 1 4 Tails Heads 1
6 rutschkana
Beskrivning av bilden:
Uppgift 4. En tärning kastades en gång. Vad är sannolikheten att antalet kastade poäng är större än 4. Lösning: Slumpmässigt experiment - kasta en tärning. En elementär händelse är ett nummer på en tappad kant. Svar: 1/3 Totalt antal ansikten: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Elementära händelser: N=6 N(A)=2
7 rutschkana
Beskrivning av bilden:
Uppgift 5. Skidskytten skjuter på målen fem gånger. Sannolikheten att träffa målet med ett skott är 0,8. Hitta sannolikheten att skidskytten träffade målen de första tre gångerna och missade de två sista. Avrunda resultatet till närmaste hundradel. Lösning: Sannolikhet för att träffa = 0,8 Sannolikhet för att missa = 1 - 0,8 = 0,2 А=(träff, träffa, träffa, missad, missad) 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 P (A) \u003d 0,512 ∙ 0,04 0,00:00:00:00:00:00 0,02
8 glida
Beskrivning av bilden:
Uppgift 6. I ett slumpmässigt experiment kastas två tärningar. Hitta sannolikheten att summan av poängen är 6. Avrunda ditt svar till närmaste hundradel Lösning: Det elementära resultatet i detta experiment är ett ordnat talpar. Den första siffran kommer att falla på den första tärningen, den andra på den andra. Uppsättningen av elementära resultat representeras lämpligen av en tabell. Raderna motsvarar antalet poäng på den första tärningen, kolumnerna motsvarar den andra tärningen. Det finns n = 36 elementära händelser totalt. Låt oss i varje cell skriva summan av de tappade punkterna och färglägga cellerna där summan är 6. Det finns 5 sådana celler. Därför är händelsen A = (summan av de tappade punkterna är 6) gynnas av 5 elementära resultat. Därför är m = 5. Därför är P(A) = 5/36 = 0,14. Svar: 0,14. 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 11 7 8 9 10 11 12
9 rutschkana
Beskrivning av bilden:
Sannolikhetsformelsats Låt myntet kastas n gånger. Då kan sannolikheten att huvuden faller ut exakt k gånger hittas med formeln: Där Cnk är antalet kombinationer av n element med k, vilket beräknas med formeln:
10 rutschkana
Beskrivning av bilden:
Uppgift 7. Ett mynt kastas fyra gånger. Hitta sannolikheten att huvuden kommer upp exakt tre gånger. Lösning Enligt problemets tillstånd var det totalt n =4 kast. Erforderligt antal örnar: k =3. Ersätt n och k i formeln: Med samma framgång kan du räkna antalet svansar: k = 4 − 3 = 1. Svaret blir detsamma. Svar: 0,25
11 rutschkana
Beskrivning av bilden:
Uppgift 8. Ett mynt kastas tre gånger. Hitta sannolikheten att det aldrig kommer upp svansar. Lösning Vi skriver ner talen n och k igen. Eftersom myntet kastas 3 gånger, är n = 3. Och eftersom det inte ska finnas några svansar, k = 0. Det återstår att ersätta talen n och k i formeln: Låt mig påminna dig om att 0! = 1 per definition. Därför C30 = 1. Svar: 0,125
12 rutschkana
Beskrivning av bilden:
Uppgift 9. I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt 4 gånger. Hitta sannolikheten att huvuden kommer upp fler gånger än svansar. Lösning: För att det ska bli fler huvuden än svansar måste de falla ut antingen 3 gånger (då blir det 1 stjärt) eller 4 (då blir det inga svansar alls). Låt oss ta reda på sannolikheten för var och en av dessa händelser. Låt p1 vara sannolikheten att få huvuden 3 gånger. Då är n = 4, k = 3. Vi har: Nu ska vi hitta p2 - sannolikheten att huvuden faller alla fyra gångerna. I det här fallet är n = 4, k = 4. Vi har: För att få svaret återstår att addera sannolikheterna p1 och p2. Kom ihåg: du kan bara lägga till sannolikheter för ömsesidigt uteslutande händelser. Vi har: p = p1 + p2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125 Svar: 0,3125
13 rutschkana
Beskrivning av bilden:
Uppgift 10. Innan volleybollmatchen startar lottar lagkaptenerna en hel del för att avgöra vilket lag som ska starta spelet med bollen. Stator-teamet turas om att spela med Rotor-, Motor- och Starter-teamen. Hitta sannolikheten att Stator bara startar det första och sista spelet. Lösning. Det krävs för att hitta sannolikheten för produkten av tre händelser: "Stator" startar det första spelet, startar inte det andra spelet, startar det tredje spelet. Sannolikheten för att producera oberoende händelser är lika med produkten av sannolikheterna för dessa händelser. Sannolikheten för var och en av dem är lika med 0,5, varav vi finner: 0,5 0,5 0,5 = 0,125. Svar: 0,125.
I sannolikhetsteorin finns det en grupp problem, för vars lösning det räcker att känna till den klassiska definitionen av sannolikhet och visualisera den föreslagna situationen. Dessa problem är de flesta myntkastningsproblem och tärningskastningsproblem. Kom ihåg den klassiska definitionen av sannolikhet.
Sannolikhet för händelse A (den objektiva möjligheten att en händelse inträffar i numeriska termer) är lika med förhållandet mellan antalet utfall som är gynnsamma för denna händelse och det totala antalet av alla lika möjliga inkompatibla elementära utfall: P(A)=m/n, var:
- m är antalet elementära testresultat som gynnar förekomsten av händelse A;
- n är det totala antalet av alla möjliga elementära testresultat.
Det är bekvämt att bestämma antalet möjliga elementära testresultat och antalet gynnsamma utfall i de problem som behandlas genom uppräkning av alla möjliga alternativ (kombinationer) och direkt beräkning.
Från tabellen ser vi att antalet möjliga elementära utfall är n=4. Gynnsamma utfall av händelsen A = (örn faller ut 1 gång) motsvarar alternativ nr 2 och nr 3 i experimentet, det finns två sådana alternativ m=2.
Hitta sannolikheten för händelsen Р(А)=m/n=2/4=0,5
Uppgift 2 . I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt två gånger. Hitta sannolikheten att huvuden aldrig kommer upp.
Lösning
. Eftersom myntet kastas två gånger är antalet möjliga elementära utfall, som i uppgift 1, n=4. Gynnsamma utfall av händelsen A = (örnen faller inte ut en gång) motsvarar variant nr 4 av experimentet (se tabellen i uppgift 1). Det finns bara ett sådant alternativ, så m=1.
Hitta sannolikheten för händelsen Р(А)=m/n=1/4=0,25
Uppgift 3 . I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt tre gånger. Hitta sannolikheten att det kommer upp huvuden exakt 2 gånger.
Lösning . Möjliga alternativ för tre myntkast (alla möjliga kombinationer av huvuden och svansar) presenteras i form av en tabell:
Från tabellen ser vi att antalet möjliga elementära utfall är n=8. Gynnsamma utfall av händelsen A = (huvuden 2 gånger) motsvarar alternativen nr 5, 6 och 7 i experimentet. Det finns tre sådana alternativ, så m=3.
Hitta sannolikheten för händelsen Р(А)=m/n=3/8=0,375
Uppgift 4 . I ett slumpmässigt experiment kastas ett symmetriskt mynt fyra gånger. Hitta sannolikheten att det kommer upp huvuden exakt 3 gånger.
Lösning . Möjliga varianter av fyra myntkast (alla möjliga kombinationer av huvuden och svansar) presenteras i form av en tabell:
| alternativnummer | 1:a kast | 2:a rullen | 3:e rullen | 4:e rullen | alternativnummer | 1:a kast | 2:a rullen | 3:e rullen | 4:e rullen |
| 1 | Örn | Örn | Örn | Örn | 9 | Svansar | Örn | Svansar | Örn |
| 2 | Örn | Svansar | Svansar | Svansar | 10 | Örn | Svansar | Örn | Svansar |
| 3 | Svansar | Örn | Svansar | Svansar | 11 | Örn | Svansar | Svansar | Örn |
| 4 | Svansar | Svansar | Örn | Svansar | 12 | Örn | Örn | Örn | Svansar |
| 5 | Svansar | Svansar | Svansar | Örn | 13 | Svansar | Örn | Örn | Örn |
| 6 | Örn | Örn | Svansar | Svansar | 14 | Örn | Svansar | Örn | Örn |
| 7 | Svansar | Örn | Örn | Svansar | 15 | Örn | Örn | Svansar | Örn |
| 8 | Svansar | Svansar | Örn | Örn | 16 | Svansar | Svansar | Svansar | Svansar |
Från tabellen ser vi att antalet möjliga elementära utfall är n=16. Gynnsamma utfall av händelsen A = (örnen faller ut 3 gånger) motsvarar alternativ nr 12, 13, 14 och 15 i experimentet, vilket betyder m=4.
Hitta sannolikheten för händelsen Р(А)=m/n=4/16=0,25
 |
Att bestämma sannolikhet i tärningsproblem
Uppgift 5 . Bestäm sannolikheten att mer än 3 poäng faller ut när en tärning (rätt tärning) kastas.
Lösning
. När du kastar en tärning (en vanlig tärning), kan vilken som helst av dess sex ansikten falla ut, d.v.s. att inträffa någon av de elementära händelserna - förlust från 1 till 6 poäng (poäng). Så antalet möjliga elementära utfall är n=6.
Händelse A = (mer än 3 poäng föll) betyder att 4, 5 eller 6 poäng (poäng) föll. Så antalet gynnsamma utfall m=3.
Sannolikhet för händelsen Р(А)=m/n=3/6=0,5
Uppgift 6 . Bestäm sannolikheten för att antalet poäng inte överstiger 4 när en tärning kastas. Avrunda resultatet till närmaste tusendel.
Lösning
. När du kastar en tärning kan vilken som helst av dess sex ansikten falla ut, d.v.s. att inträffa någon av de elementära händelserna - förlust från 1 till 6 poäng (poäng). Så antalet möjliga elementära utfall är n=6.
Händelse A = (högst 4 poäng föll) betyder att 4, 3, 2 eller 1 poäng (poäng) föll ut. Så antalet gynnsamma utfall m=4.
Sannolikhet för händelsen Р(А)=m/n=4/6=0,6666…≈0,667
Uppgift 7 . En tärning kastas två gånger. Hitta sannolikheten att båda talen är mindre än 4.
Lösning . Eftersom en tärning (tärning) kastas två gånger, kommer vi att argumentera enligt följande: om en poäng föll på den första tärningen, då kan 1, 2, 3, 4, 5, 6 falla ut på den andra. Vi får par (1; 1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6) och så vidare med varje ansikte. Vi presenterar alla fall i form av en tabell med 6 rader och 6 kolumner:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
Gynnsamma utfall av händelsen A = (båda gångerna föll ett antal mindre än 4 ut) (de är markerade i fetstil) kommer att beräknas och vi får m=9.
Hitta sannolikheten för händelsen Р(А)=m/n=9/36=0,25
Uppgift 8 . En tärning kastas två gånger. Hitta sannolikheten att det största av de två dragna siffrorna är 5. Avrunda ditt svar till närmaste tusendel.
Lösning . Alla möjliga utfall av två kast tärningar finns i tabellen:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
Från tabellen ser vi att antalet möjliga elementära utfall är n=6*6=36.
Gynnsamma utfall av händelsen A = (det största av de två dragna siffrorna är 5) (de är markerade i fet stil) beräknas och vi får m=8.
Hitta sannolikheten för händelsen Р(А)=m/n=8/36=0,2222…≈0,222
Uppgift 9 . En tärning kastas två gånger. Hitta sannolikheten att ett tal mindre än 4 kastas minst en gång.
Lösning . Alla möjliga utfall av två kast med en tärning presenteras i tabellen:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
Från tabellen ser vi att antalet möjliga elementära utfall är n=6*6=36.
Frasen "minst en gång föll ett nummer mindre än 4 ut" betyder "ett nummer mindre än 4 föll ut en eller två gånger", då antalet gynnsamma utfall av händelsen A = (minst en gång ett nummer mindre än 4 föll ut ) (de är i fetstil) m=27.
Hitta sannolikheten för händelsen Р(А)=m/n=27/36=0,75
