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Au hasard, une pièce symétrique est lancée deux fois. Les mathématiques et nous. Méthode d'énumération combinée

Formulation des tâches : Dans une expérience aléatoire, une pièce de monnaie symétrique est lancée deux fois. Trouvez la probabilité que les têtes (piles) ne tombent pas une seule fois (elles tomberont exactement / au moins 1, 2 fois).

La tâche est incluse dans l'USE en mathématiques du niveau de base pour la 11e année au numéro 10 (Définition classique de la probabilité).

Voyons comment ces problèmes sont résolus avec des exemples.

Exemple de tâche 1 :

Dans une expérience aléatoire, une pièce de monnaie symétrique est lancée deux fois. Trouvez la probabilité que Face ne sorte jamais.

OO OU RO RR

Il existe au total 4 combinaisons de ce type, nous ne nous intéressons qu'à celles dans lesquelles il n'y a pas un seul aigle. Il n'existe qu'une seule combinaison de ce type (PP).

P = 1 / 4 = 0,25

Réponse : 0,25

Exemple de tâche 2 :

Dans une expérience aléatoire, une pièce de monnaie symétrique est lancée deux fois. Trouvez la probabilité qu'il tombe pile exactement deux fois.

Considérez toutes les combinaisons possibles qui peuvent tomber si la pièce est lancée deux fois. Pour plus de commodité, nous désignerons l'aigle par la lettre O et les queues par la lettre P:

OO OU RO RR

Il existe au total 4 combinaisons de ce type, seules les combinaisons dans lesquelles les têtes apparaissent exactement 2 fois nous intéressent. Il n'existe qu'une seule combinaison de ce type (OO).

P = 1 / 4 = 0,25

Réponse : 0,25

Exemple de tâche 3 :

Dans une expérience aléatoire, une pièce de monnaie symétrique est lancée deux fois. Trouvez la probabilité qu'il tombe face exactement une fois.

Considérez toutes les combinaisons possibles qui peuvent tomber si la pièce est lancée deux fois. Pour plus de commodité, nous désignerons l'aigle par la lettre O et les queues par la lettre P:

OO OU RO RR

Au total, il y a 4 combinaisons de ce type, nous ne nous intéressons qu'à celles d'entre elles dans lesquelles les têtes sont tombées exactement 1 fois. Il n'y a que deux combinaisons de ce type (OP et RO).

Réponse : 0,5

Exemple de tâche 4 :

Dans une expérience aléatoire, une pièce de monnaie symétrique est lancée deux fois. Trouvez la probabilité que face tombe au moins une fois.

Considérez toutes les combinaisons possibles qui peuvent tomber si la pièce est lancée deux fois. Pour plus de commodité, nous désignerons l'aigle par la lettre O et les queues par la lettre P:

OO OU RO RR

Il existe au total 4 combinaisons de ce type, seules les combinaisons dans lesquelles les têtes tombent au moins une fois nous intéressent. Il n'y a que trois combinaisons de ce type (OO, OR et RO).

P = 3 / 4 = 0,75

Dans une expérience aléatoire, une pièce de monnaie symétrique est lancée...

En guise de préface.
Tout le monde sait qu'une pièce de monnaie a deux faces - pile et face.
Les numismates pensent que la pièce a trois faces - l'avers, le revers et le bord.
Et parmi ceux-ci, et parmi d'autres, peu de gens savent ce qu'est une pièce symétrique. Mais ils le savent (enfin, ou devraient le savoir :), ceux qui se préparent à passer l'examen.

En général, cet article se concentrera sur une pièce inhabituelle, qui n'a rien à voir avec la numismatique, mais qui est en même temps la pièce la plus populaire parmi les écoliers.

Alors.
Pièce symétrique- il s'agit d'une pièce imaginaire mathématiquement idéale sans taille, poids, diamètre, etc. En conséquence, une telle pièce n'a pas non plus de bord, c'est-à-dire qu'elle n'a en réalité que deux faces. La propriété principale d'une pièce de monnaie symétrique est que dans de telles conditions, la probabilité de tomber pile ou face est exactement la même. Et ils ont trouvé une pièce de monnaie symétrique pour des expériences de pensée.
Le problème le plus populaire avec une pièce symétrique ressemble à ceci - "Dans une expérience aléatoire, une pièce symétrique est lancée deux fois (trois fois, quatre fois, etc.). Il est nécessaire de déterminer la probabilité que l'un des côtés tombe un certain nombre de fois.

Résoudre le problème avec une pièce symétrique

Il est clair qu'à la suite du tirage au sort, la pièce tombera pile ou face. Combien de fois - dépend du nombre de lancers à faire. La probabilité d'obtenir pile ou face est calculée en divisant le nombre de résultats qui satisfont à la condition par le nombre total de résultats possibles.

Un lancer

Tout est simple ici. Que ce soit pile ou face viendra. Ceux. nous avons deux résultats possibles, dont l'un nous satisfait - 1/2=50 %

Deux coups

Car deux lancers peuvent tomber :
deux aigles
deux queues
pile, puis pile
pile, puis tête
Ceux. seules quatre options sont possibles. Les problèmes avec plus d'un lancer sont plus faciles à résoudre en créant un tableau des options possibles. Pour plus de simplicité, désignons pile par "0" et pile par "1". Ensuite, le tableau des résultats possibles ressemblera à ceci :
00
01
10
11
Si, par exemple, vous avez besoin de trouver la probabilité que face tombe une fois, il vous suffit de compter le nombre d'options appropriées dans le tableau - c'est-à-dire ces lignes où l'aigle apparaît une fois. Il existe deux lignes de ce type. Ainsi, la probabilité d'obtenir un face en deux lancers d'une pièce symétrique est de 2/4 = 50 %
La probabilité d'obtenir face deux fois en deux lancers est de 1/4 = 25 %

Trois roses

Nous faisons un tableau d'options:
000
001
010
011
100
101
110
111
Ceux qui sont familiers avec le calcul binaire comprennent où nous en sommes. :) Oui, ce sont des nombres binaires de "0" à "7". De cette façon, il est plus facile de ne pas se confondre avec les options.
Résolvons le problème du paragraphe précédent - nous calculons la probabilité que l'aigle tombe une fois. Il y a trois lignes où "0" apparaît une fois. Ainsi, la probabilité d'obtenir un face en trois lancers d'une pièce symétrique est de 3/8 = 37,5 %
La probabilité que face en trois lancers tombe deux fois est de 3/8 = 37,5 %, c'est-à-dire absolument le même.
La probabilité que la tête en trois lancers tombe trois fois est de 1/8 = 12,5 %.

Quatre lancers

Nous faisons un tableau d'options:
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
La probabilité que face apparaisse une fois. Il n'y a que trois lignes où "0" apparaît une fois, tout comme dans le cas de trois lancers. Mais, il y a déjà seize options. Ainsi, la probabilité d'obtenir un face en quatre lancers d'une pièce symétrique est de 3/16 = 18,75 %
La probabilité que l'aigle tombe deux fois en trois lancers est de 6/8 = 75 %.
La probabilité que face tombe trois fois en trois lancers est de 4/8 = 50 %.

Ainsi, avec une augmentation du nombre de lancers, le principe de résolution du problème ne change pas du tout - seulement, dans une progression appropriée, le nombre d'options augmente.

Description de la présentation sur des diapositives individuelles :

1 diapositive

Description de la diapositive :

Résolution de problèmes en théorie des probabilités. Professeur de mathématiques École secondaire MBOU Nivnyanskaya, Nechaeva Tamara Ivanovna

2 diapositives

Description de la diapositive :

Objectifs de la leçon : Révision différents types problèmes en théorie des probabilités et méthodes pour leur solution. Objectifs de la leçon : apprendre à reconnaître divers types de problèmes en théorie des probabilités et à améliorer pensée logiqueécoliers.

3 diapositives

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Tâche 1. Dans une expérience aléatoire, une pièce de monnaie symétrique est lancée 2 fois. Trouvez la probabilité d'obtenir le même nombre de pile et face.

4 diapositives

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Tâche 2. Une pièce est lancée quatre fois. Trouvez la probabilité qu'il n'y ait jamais pile.

5 diapositives

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Problème 3. Dans une expérience aléatoire, une pièce de monnaie symétrique est lancée deux fois. Trouvez la probabilité que face tombe exactement une fois. Solution : Afin de trouver la probabilité d'un événement spécifié, il est nécessaire de considérer tous les résultats possibles de l'expérience, puis d'en choisir des résultats favorables (les résultats favorables sont des résultats qui répondent aux exigences du problème). Dans notre cas, ces résultats seront favorables dans lesquels, avec deux lancers d'une pièce symétrique, les têtes ne tomberont qu'une seule fois. La probabilité d'un événement est calculée comme le rapport du nombre de résultats favorables au nombre total de résultats. Par conséquent, la probabilité que lorsqu'une pièce symétrique est lancée deux fois, les têtes ne tombent qu'une seule fois, est égale à: P \u003d 2/4 \u003d 0,5 \u003d 50% Réponse: la probabilité qu'à la suite de l'expérience ci-dessus, le les têtes ne tomberont qu'une seule fois soit 50 %. Nombre d'expériences 1er lancer 2ème lancer Nombre de fois Face 1 Face Face 2 2 Face Face 0 3 Face Face 1 4 Face Face 1

6 diapositives

Description de la diapositive :

Tâche 4. Un dé a été lancé une fois. Quelle est la probabilité que le nombre de points obtenu soit supérieur à 4. Solution : Expérience aléatoire - lancer un dé. Un événement élémentaire est un nombre sur un bord tombé. Réponse : 1/3 Total des visages : 1, 2, 3, 4, 5, 6 Événements élémentaires : N=6 N(A)=2

7 diapositive

Description de la diapositive :

Tâche 5. Le biathlète tire cinq fois sur les cibles. La probabilité d'atteindre la cible d'un seul coup est de 0,8. Trouvez la probabilité que le biathlète atteigne les cibles les trois premières fois et rate les deux dernières. Arrondis le résultat au centième près. Solution : Probabilité de toucher = 0,8 Probabilité de manquer = 1 - 0,8 = 0,2 0,02

8 diapositives

Description de la diapositive :

Tâche 6. Dans une expérience aléatoire, deux dés sont lancés. Trouvez la probabilité que la somme des points obtenus soit 6. Arrondissez votre réponse au centième près Solution : Le résultat élémentaire de cette expérience est une paire ordonnée de nombres. Le premier chiffre tombera sur le premier dé, le second sur le second. L'ensemble des résultats élémentaires est commodément représenté par un tableau. Les lignes correspondent au nombre de points sur le premier dé, les colonnes correspondent au deuxième dé. Il y a n = 36 événements élémentaires au total. Écrivons dans chaque cellule la somme des points lâchés et colorons les cellules où la somme est 6. Il y a 5 cellules de ce type. Par conséquent, l'événement A = (la somme des points lâchés est 6) est favorisé par 5 résultats élémentaires. Par conséquent, m = 5. Par conséquent, P(A) = 5/36 = 0,14. Réponse : 0,14. 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 11 7 8 9 10 11 12

9 diapositive

Description de la diapositive :

Théorème de la formule de probabilité Soit la pièce de monnaie lancée n fois. Ensuite, la probabilité que les têtes tombent exactement k fois peut être trouvée par la formule : Où Cnk est le nombre de combinaisons de n éléments par k, qui est calculé par la formule :

10 diapositives

Description de la diapositive :

Problème 7. Une pièce est lancée quatre fois. Trouvez la probabilité que face sorte exactement trois fois. Solution Selon la condition du problème, il y a eu n =4 lancers au total. Nombre d'aigles requis : k =3. Remplacez n et k dans la formule : Avec le même succès, vous pouvez compter le nombre de queues : k = 4 − 3 = 1. La réponse sera la même. Réponse : 0,25

11 diapositive

Description de la diapositive :

Problème 8. Une pièce est lancée trois fois. Trouvez la probabilité qu'il n'y ait jamais pile. Solution Nous écrivons à nouveau les nombres n et k. Puisque la pièce est lancée 3 fois, n = 3. Et puisqu'il ne devrait pas y avoir pile, k = 0. Il reste à substituer les nombres n et k dans la formule : Je vous rappelle que 0 ! = 1 par définition. Donc C30 = 1. Réponse : 0,125

12 diapositives

Description de la diapositive :

Problème 9. Dans une expérience aléatoire, une pièce de monnaie symétrique est lancée 4 fois. Trouvez la probabilité que pile tombe plus de fois que pile. Solution : Pour qu'il y ait plus de pile que de pile, il faut qu'elles tombent soit 3 fois (alors il y aura 1 pile) ou 4 (alors il n'y aura pas de pile du tout). Trouvons la probabilité de chacun de ces événements. Soit p1 la probabilité d'avoir face 3 fois. Alors n = 4, k = 3. Nous avons : Trouvons maintenant p2 - la probabilité que face tombera les 4 fois. Dans ce cas, n = 4, k = 4. On a : Pour avoir la réponse, il reste à additionner les probabilités p1 et p2. N'oubliez pas : vous ne pouvez ajouter des probabilités que pour des événements mutuellement exclusifs. Nous avons : p = p1 + p2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125 Réponse : 0,3125

13 diapositive

Description de la diapositive :

Tâche 10. Avant le début du match de volley-ball, les capitaines d'équipe tirent au sort pour déterminer quelle équipe commencera le match avec le ballon. L'équipe Stator joue à tour de rôle avec les équipes Rotor, Motor et Starter. Trouvez la probabilité que Stator ne démarre que le premier et le dernier jeux. La solution. Il est nécessaire de trouver la probabilité du produit de trois événements : "Stator" démarre le premier jeu, ne démarre pas le deuxième jeu, démarre le troisième. La probabilité de produire des événements indépendants est égale au produit des probabilités de ces événements. La probabilité de chacun d'eux est égale à 0,5, d'où l'on trouve : 0,5 0,5 0,5 = 0,125. Réponse : 0,125.

En théorie des probabilités, il existe un groupe de problèmes, pour la solution desquels il suffit de connaître la définition classique de la probabilité et de visualiser la situation proposée. Ces problèmes sont la plupart des problèmes de pile ou face et de dés. Rappelons la définition classique de la probabilité.

Probabilité de l'événement A (la possibilité objective qu'un événement se produise en termes numériques) est égal au rapport du nombre de résultats favorables à cet événement sur le nombre total de tous les résultats élémentaires incompatibles également possibles : P(A)=m/n, où:

• m est le nombre de résultats de tests élémentaires qui favorisent la survenue de l'événement A ;
• n est le nombre total de tous les résultats de test élémentaires possibles.

Il est commode de déterminer le nombre de résultats de tests élémentaires possibles et le nombre de résultats favorables dans les problèmes considérés par l'énumération de toutes les options possibles (combinaisons) et le calcul direct.

D'après le tableau, nous voyons que le nombre de résultats élémentaires possibles est n=4. Les résultats favorables de l'événement A = (l'aigle tombe 1 fois) correspondent aux options n° 2 et n° 3 de l'expérience, il existe deux de ces options m=2.
Trouver la probabilité de l'événement Р(А)=m/n=2/4=0.5

Tâche 2 . Dans une expérience aléatoire, une pièce de monnaie symétrique est lancée deux fois. Trouvez la probabilité que Face ne tombe jamais.

La solution . Puisque la pièce est lancée deux fois, alors, comme dans le problème 1, le nombre de résultats élémentaires possibles est n=4. Les résultats favorables de l'événement A = (l'aigle ne tombera pas une seule fois) correspondent à la variante n° 4 de l'expérience (voir le tableau dans la tâche 1). Il n'y a qu'une seule option de ce type, donc m=1.
Trouver la probabilité de l'événement Р(А)=m/n=1/4=0.25

Tâche 3 . Dans une expérience aléatoire, une pièce de monnaie symétrique est lancée trois fois. Trouvez la probabilité qu'il tombe pile exactement 2 fois.

La solution . Les options possibles pour trois lancers de pièces (toutes les combinaisons possibles de pile et face) sont présentées sous forme de tableau :

D'après le tableau, nous voyons que le nombre de résultats élémentaires possibles est n = 8. Les résultats favorables de l'événement A = (face 2 fois) correspondent aux options n° 5, 6 et 7 de l'expérience. Il existe trois options de ce type, donc m=3.
Trouver la probabilité de l'événement Р(А)=m/n=3/8=0.375

Tâche 4 . Dans une expérience aléatoire, une pièce de monnaie symétrique est lancée quatre fois. Trouvez la probabilité qu'il tombe face exactement 3 fois.

La solution . Les variantes possibles de quatre tirages au sort (toutes les combinaisons possibles de pile et face) sont présentées sous forme de tableau :

D'après le tableau, nous voyons que le nombre de résultats élémentaires possibles est n = 16. Les résultats favorables de l'événement A = (l'aigle tombe 3 fois) correspondent aux options n°12, 13, 14 et 15 de l'expérience, soit m=4.
Trouver la probabilité de l'événement Р(А)=m/n=4/16=0.25

Détermination de la probabilité dans les problèmes de dés

Tâche 5 . Déterminez la probabilité que plus de 3 points tombent lorsqu'un dé (dé correct) est lancé.

La solution . Lorsque vous lancez un dé (un dé ordinaire), l'une de ses six faces peut tomber, c'est-à-dire se produire l'un des événements élémentaires - perte de 1 à 6 points (points). Le nombre de résultats élémentaires possibles est donc n=6.
L'événement A = (plus de 3 points sont tombés) signifie que 4, 5 ou 6 points (points) sont tombés. Donc le nombre de résultats favorables m=3.
Probabilité de l'événement Р(А)=m/n=3/6=0.5

Tâche 6 . Déterminez la probabilité que lorsqu'un dé est lancé, le nombre de points ne dépasse pas 4. Arrondissez le résultat au millième le plus proche.

La solution . Lors du lancement d'un dé, l'une de ses six faces peut tomber, c'est-à-dire se produire l'un des événements élémentaires - perte de 1 à 6 points (points). Le nombre de résultats élémentaires possibles est donc n=6.
L'événement A = (pas plus de 4 points sont tombés) signifie que 4, 3, 2 ou 1 points (point) sont tombés. Donc le nombre de résultats favorables m=4.
Probabilité de l'événement Р(А)=m/n=4/6=0.6666…≈0.667

Tâche 7 . Un dé est lancé deux fois. Trouvez la probabilité que les deux nombres soient inférieurs à 4.

La solution . Puisqu'un dé (dés) est lancé deux fois, nous raisonnerons comme suit : si un point est tombé sur le premier dé, alors 1, 2, 3, 4, 5, 6 peuvent tomber sur le second. Nous obtenons des paires (1 ; 1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6) et ainsi de suite avec chaque face. Nous présentons tous les cas sous la forme d'un tableau de 6 lignes et 6 colonnes :

Les résultats favorables de l'événement A = (les deux fois un nombre inférieur à 4 sont tombés) (ils sont mis en évidence en gras) seront calculés et nous obtiendrons m=9.
Trouver la probabilité de l'événement Р(А)=m/n=9/36=0.25

Tâche 8 . Un dé est lancé deux fois. Trouvez la probabilité que le plus grand des deux nombres tirés soit 5. Arrondissez votre réponse au millième le plus proche.

La solution . Tous les résultats possibles de deux lancers dé présent dans le tableau :

D'après le tableau, nous voyons que le nombre de résultats élémentaires possibles est n=6*6=36.
Les résultats favorables de l'événement A = (le plus grand des deux nombres tirés est 5) (ils sont mis en évidence en gras) sont calculés et nous obtenons m=8.
Trouver la probabilité de l'événement Р(А)=m/n=8/36=0.2222…≈0.222

Tâche 9 . Un dé est lancé deux fois. Trouvez la probabilité qu'un nombre inférieur à 4 soit lancé au moins une fois.

La solution . Tous les résultats possibles de deux lancers de dés sont présentés dans le tableau :

D'après le tableau, nous voyons que le nombre de résultats élémentaires possibles est n=6*6=36.
La phrase "au moins une fois un nombre inférieur à 4 est tombé" signifie "un nombre inférieur à 4 est tombé une ou deux fois", alors le nombre de résultats favorables de l'événement A = (au moins une fois un nombre inférieur à 4 est tombé ) (ils sont en gras) m=27.
Trouver la probabilité de l'événement Р(А)=m/n=27/36=0.75