La loi des moyennes ou quel est le secret des vendeurs à succès. Valeurs moyennes Loi forte des grands nombres
Les mots sur les grands nombres font référence au nombre de tests - un grand nombre de valeurs d'une variable aléatoire ou l'action cumulative d'un grand nombre de variables aléatoires sont considérées. L'essence de cette loi est la suivante : bien qu'il soit impossible de prédire quelle valeur une seule variable aléatoire prendra dans une seule expérience, cependant, le résultat total de l'action d'un grand nombre de variables aléatoires indépendantes perd son caractère aléatoire et peut être prédit de manière presque fiable (c'est-à-dire avec une probabilité élevée). Par exemple, il est impossible de prédire de quel côté tombera une pièce de monnaie. Cependant, si vous lancez 2 tonnes de pièces, alors avec une grande certitude, on peut affirmer que le poids des pièces qui sont tombées avec les armoiries vers le haut est de 1 tonne.
Tout d'abord, l'inégalité dite de Chebyshev fait référence à la loi des grands nombres, qui estime dans un test séparé la probabilité qu'une variable aléatoire accepte une valeur qui s'écarte de la valeur moyenne d'au plus une valeur donnée.
L'inégalité de Chebyshev. Laisser X est une variable aléatoire arbitraire, un=M(X) , un ré(X) est sa dispersion. Alors
Exemple. La valeur nominale (c'est-à-dire requise) du diamètre du manchon usiné sur la machine est 5mm, et la variance n'est plus 0.01 (il s'agit de la tolérance de précision de la machine). Estimer la probabilité que, lors de la fabrication d'une douille, l'écart de son diamètre par rapport à la valeur nominale soit inférieur à 0,5 mm .
La solution. Laissez r.v. X- le diamètre de la douille fabriquée. Par condition, son espérance mathématique est égale au diamètre nominal (s'il n'y a pas de défaut systématique de réglage de la machine) : un=M(X)=5 , et la variance ré(X)≤0.01. En appliquant l'inégalité de Chebyshev pour ε = 0,5, on a:
Ainsi, la probabilité d'un tel écart est assez élevée, et nous pouvons donc conclure que dans le cas d'une seule production d'une pièce, il est presque certain que l'écart du diamètre par rapport au nominal ne dépassera pas 0,5 mm .
En gros, l'écart type σ caractérise moyenécart d'une variable aléatoire par rapport à son centre (c'est-à-dire par rapport à son espérance mathématique). Parce qu'il moyen déviation, alors de grandes déviations (emphase sur o) sont possibles pendant le test. Quelle est l'ampleur des écarts pratiquement possibles ? Lors de l'étude de variables aléatoires normalement distribuées, nous avons dérivé la règle des «trois sigma»: une variable aléatoire normalement distribuée X en un seul essai ne s'écarte pratiquement pas de sa moyenne au-delà de 3σ, où σ= σ(X) est l'écart type de v.r. X. Nous avons déduit une telle règle du fait que nous avons obtenu l'inégalité
.
Estimons maintenant la probabilité pour arbitraire Variable aléatoire X accepter une valeur qui diffère de la moyenne par pas plus de trois fois l'écart type. En appliquant l'inégalité de Chebyshev pour ε = 3σ et étant donné que ré(X)=σ 2 , on a:
.
De cette façon, en général nous pouvons estimer la probabilité qu'une variable aléatoire s'écarte de sa moyenne de pas plus de trois écarts-types par le nombre 0.89 , tandis que pour une distribution normale, il peut être garanti avec probabilité 0.997 .
L'inégalité de Chebyshev peut être généralisée à un système de variables aléatoires indépendantes distribuées de manière identique.
Inégalité de Chebyshev généralisée. Si variables aléatoires indépendantes X 1 , X 2 , … , X n M(X je )= un et dispersions ré(X je )= ré, alors
À n=1 cette inégalité se transforme en inégalité de Chebyshev formulée ci-dessus.
L'inégalité de Chebyshev, ayant une signification indépendante pour résoudre les problèmes correspondants, est utilisée pour prouver le soi-disant théorème de Chebyshev. Nous décrivons d'abord l'essence de ce théorème et donnons ensuite sa formulation formelle.
Laisser X 1
, X 2
, … , X n– un grand nombre de variables aléatoires indépendantes avec des attentes mathématiques M(X 1
)=un 1
, … , M(X n )=un n. Bien que chacun d'eux, à la suite de l'expérience, puisse prendre une valeur éloignée de sa moyenne (c'est-à-dire l'espérance mathématique), cependant, une variable aléatoire 
, égales à leur moyenne arithmétique, prendront avec une forte probabilité une valeur proche d'un nombre fixe 
(c'est la moyenne de toutes les attentes mathématiques). Cela signifie ce qui suit. Soit, à la suite du test, des variables aléatoires indépendantes X 1
, X 2
, … , X n(il y en a beaucoup !) ont pris les valeurs en conséquence X 1
, X 2
, … , X n respectivement. Ensuite si ces valeurs elles-mêmes peuvent s'avérer éloignées des valeurs moyennes des variables aléatoires correspondantes, leur valeur moyenne 
est susceptible d'être proche de 
. Ainsi, la moyenne arithmétique d'un grand nombre de variables aléatoires perd déjà son caractère aléatoire et peut être prédite avec une grande précision. Cela peut s'expliquer par le fait que les écarts aléatoires des valeurs X je de un je peuvent être de signes différents, et donc au total ces écarts sont compensés avec une forte probabilité.
Terema Tchebycheva (loi des grands nombres sous la forme de Chebyshev). Laisser X 1 , X 2 , … , X n … est une suite de variables aléatoires indépendantes deux à deux dont les variances sont limitées au même nombre. Alors, quel que soit le nombre ε que nous prenons, la probabilité d'inégalité
sera arbitrairement proche de l'unité si le nombre n variables aléatoires pour prendre assez grand. Formellement, cela signifie que sous les conditions du théorème
Ce type de convergence est appelé convergence en probabilité et est noté par :
Ainsi, le théorème de Chebyshev dit que s'il y a un nombre suffisamment grand de variables aléatoires indépendantes, alors leur moyenne arithmétique dans un seul test prendra presque certainement une valeur proche de la moyenne de leurs attentes mathématiques.
Le plus souvent, le théorème de Chebyshev est appliqué dans une situation où des variables aléatoires X 1 , X 2 , … , X n … ont la même distribution (c'est-à-dire la même loi de distribution ou la même densité de probabilité). En fait, il ne s'agit que d'un grand nombre d'instances d'une même variable aléatoire.
Conséquence(de l'inégalité généralisée de Chebyshev). Si variables aléatoires indépendantes X 1 , X 2 , … , X n … ont la même distribution avec des attentes mathématiques M(X je )= un et dispersions ré(X je )= ré, alors
, c'est à dire. 
.
La preuve découle de l'inégalité généralisée de Chebyshev en passant à la limite comme n→∞ .
Notons encore une fois que les égalités écrites ci-dessus ne garantissent pas que la valeur de la quantité 
tend à unà n→∞. Cette valeur est toujours une variable aléatoire, et ses valeurs individuelles peuvent être assez éloignées de un. Mais la probabilité d'une telle (loin d'être un) valeurs avec l'augmentation n tend vers 0.
Commentaire. La conclusion du corollaire est évidemment aussi valable dans le cas plus général où les variables aléatoires indépendantes X 1 , X 2 , … , X n … ont une distribution différente, mais les mêmes attentes mathématiques (égal un) et les variances limitées dans l'agrégat. Cela permet de prédire la précision de la mesure d'une certaine quantité, même si ces mesures sont effectuées par des instruments différents.
Examinons plus en détail l'application de ce corollaire à la mesure des grandeurs. Utilisons un appareil n mesures de la même quantité, dont la vraie valeur est un et nous ne savons pas. Les résultats de telles mesures X 1
, X 2
, … , X n peuvent différer sensiblement les uns des autres (et de la valeur réelle un) dus à divers aléas (pertes de charge, températures, vibrations aléatoires, etc.). Considérez le r.v. X- lecture de l'instrument pour une seule mesure d'une grandeur, ainsi qu'un ensemble de v.r. X 1
, X 2
, … , X n- lecture de l'instrument à la première, deuxième, ..., dernière mesure. Ainsi, chacune des quantités X 1
, X 2
, … , X n
il n'y a qu'une seule des instances du r.v. X, et donc ils ont tous la même distribution que la v.r. X. Étant donné que les résultats de mesure sont indépendants les uns des autres, la v.r. X 1
, X 2
, … , X n peut être considéré comme indépendant. Si l'appareil ne donne pas d'erreur systématique (par exemple, zéro n'est pas «renversé» sur l'échelle, le ressort n'est pas étiré, etc.), alors nous pouvons supposer que l'espérance mathématique M(X) = un, et donc M(X 1
) = ... = M(X n ) = un. Ainsi, les conditions du corollaire ci-dessus sont satisfaites, et donc, comme valeur approximative de la quantité un on peut prendre la "mise en oeuvre" d'une variable aléatoire 
dans notre expérience (constituée d'une série de n mesures), c'est-à-dire
.
Avec un grand nombre de mesures, la bonne précision du calcul utilisant cette formule est pratiquement fiable. C'est la raison d'être du principe pratique selon lequel, avec un grand nombre de mesures, leur moyenne arithmétique ne diffère pratiquement pas beaucoup de la vraie valeur de la grandeur mesurée.
La méthode "sélective", largement utilisée en statistique mathématique, est basée sur la loi des grands nombres, qui permet d'obtenir ses caractéristiques objectives avec une précision acceptable à partir d'un échantillon relativement petit de valeurs d'une variable aléatoire. Mais cela sera discuté dans la section suivante.
Exemple. Sur un appareil de mesure qui ne fait pas de distorsions systématiques, une certaine quantité est mesurée un une fois (valeur reçue X 1
), puis encore 99 fois (valeurs obtenues X 2
, … , X 100
). Pour la vraie valeur de la mesure un prenez d'abord le résultat de la première mesure 
, puis la moyenne arithmétique de toutes les mesures 
. La précision de mesure de l'appareil est telle que l'écart type de la mesure σ n'est pas supérieur à 1 (car la dispersion ré=σ
2
ne dépasse pas non plus 1). Pour chacune des méthodes de mesure, estimez la probabilité que l'erreur de mesure ne dépasse pas 2.
La solution. Laissez r.v. X- lecture de l'instrument pour une seule mesure. Puis par condition M(X)=a. Pour répondre aux questions posées, nous appliquons l'inégalité généralisée de Chebyshev
pour ε =2
d'abord pour n=1
puis pour n=100
. Dans le premier cas, on obtient 
, et dans la seconde. Ainsi, le second cas garantit pratiquement la précision de mesure donnée, tandis que le premier laisse de sérieux doutes en ce sens.
Appliquons les déclarations ci-dessus aux variables aléatoires qui apparaissent dans le schéma de Bernoulli. Rappelons l'essentiel de ce schéma. Qu'il soit produit n tests indépendants, dans chacun desquels un événement MAIS peut apparaître avec la même probabilité R, un q=1–r(c'est-à-dire qu'il s'agit de la probabilité de l'événement opposé - et non de l'occurrence d'un événement MAIS) . Passons un certain nombre n de telles épreuves. Considérez les variables aléatoires : X 1 – nombre d'occurrences de l'événement MAIS dans 1 ème essai, ..., X n– nombre d'occurrences de l'événement MAIS dans nème essai. Tous introduits r.v. peut prendre des valeurs 0 ou 1 (un événement MAIS peut apparaître dans le test ou non), et la valeur 1 conditionnellement accepté dans chaque essai avec une probabilité p(probabilité d'occurrence d'un événement MAIS dans chaque essai), et la valeur 0 avec probabilité q= 1 – p. Ces grandeurs ont donc les mêmes lois de distribution :
|
X 1 | ||
|
X n | ||
Par conséquent, les valeurs moyennes de ces quantités et leurs dispersions sont également les mêmes : M(X 1 )=0 ∙ q+1 ∙ p= p, …, M(X n )=p ; ré(X 1 )=(0 2 ∙ q+1 2 ∙ p)− p 2 = p∙(1− p)= p ∙ q, … , ré(X n )= p ∙ Q. En substituant ces valeurs dans l'inégalité généralisée de Chebyshev, on obtient
.
Il est clair que le r.v. X=X 1 +…+Х n est le nombre d'occurrences de l'événement MAIS dans tout n essais (comme on dit - "le nombre de succès" dans n essais). Laissez entrer le névénement test MAIS apparaît dans k d'eux. Alors l'inégalité précédente peut s'écrire
.
Mais l'ampleur 
, égal au rapport du nombre d'occurrences de l'événement MAIS dans n essais indépendants, au nombre total d'essais, précédemment appelé taux relatif d'événements MAIS dans n essais. Il existe donc une inégalité
.
Passant maintenant à la limite à n→∞, on obtient 
, c'est à dire. 
(selon la probabilité). C'est le contenu de la loi des grands nombres sous la forme de Bernoulli. Il en résulte que pour un nombre suffisamment grand d'essais nécarts arbitrairement petits de la fréquence relative 
événements de sa probabilité R sont des événements presque certains, et de grands écarts sont presque impossibles. La conclusion qui en résulte sur une telle stabilité des fréquences relatives (que nous avons précédemment appelée expérimental fait) justifie la définition statistique précédemment introduite de la probabilité d'un événement comme un nombre autour duquel la fréquence relative d'un événement fluctue.
Considérant que l'expression p∙
q=
p∙(1−
p)=
p−
p 2
ne dépasse pas l'intervalle de changement 
(il est facile de le vérifier en trouvant le minimum de cette fonction sur ce segment), à partir de l'inégalité ci-dessus 
facile à obtenir ça
,
qui est utilisé pour résoudre les problèmes correspondants (l'un d'eux sera donné ci-dessous).
Exemple. La pièce a été lancée 1000 fois. Estimez la probabilité que l'écart entre la fréquence relative d'apparition des armoiries et sa probabilité soit inférieur à 0,1.
La solution. Application de l'inégalité 
à p=
q=1/2
,
n=1000
,
ε=0,1, on a .
Exemple. Estimer la probabilité que, dans les conditions de l'exemple précédent, le nombre k des armoiries tombées seront de l'ordre de 400 avant de 600 .
La solution. Condition 400<
k<600
signifie que 400/1000<
k/
n<600/1000
, c'est à dire. 0.4<
O n (UN)<0.6
ou 
. Comme nous venons de le voir dans l'exemple précédent, la probabilité d'un tel événement est d'au moins 0.975
.
Exemple. Pour calculer la probabilité d'un événement MAIS 1000 expériences ont été réalisées, dans lesquelles l'événement MAIS est apparu 300 fois. Estimer la probabilité que la fréquence relative (égale à 300/1000=0,3) soit différente de la vraie probabilité R pas plus loin que 0,1.
La solution. En appliquant l'inégalité ci-dessus 
pour n=1000, ε=0.1 , on obtient .
Cours 8. Section 1. Théorie des probabilités
Questions à l'étude
1) La loi des grands nombres.
2) Théorème central limite.
La loi des grands nombres.
La loi des grands nombres au sens large s'entend comme le principe général selon lequel, avec un grand nombre de variables aléatoires, leur résultat moyen cesse d'être aléatoire et peut être prédit avec un haut degré de certitude.
La loi des grands nombres au sens étroit est comprise comme un certain nombre de théorèmes mathématiques, dans chacun desquels, sous certaines conditions, la possibilité d'approximer les caractéristiques moyennes d'un grand nombre de tests est établie.
à certaines constantes définies. Pour prouver des théorèmes de ce type, les inégalités de Markov et de Chebyshev sont utilisées, qui présentent également un intérêt indépendant.
Théorème 1 (inégalité de Markov). Si une variable aléatoire prend des valeurs non négatives et a une espérance mathématique, alors pour tout nombre positif l'inégalité
Preuve nous allons effectuer pour une variable aléatoire discrète. On supposera qu'il prend des valeurs dont les premières sont inférieures ou égales et toutes les autres sont supérieures Alors
où
Exemple 1 Le nombre moyen d'appels arrivant au commutateur d'usine en une heure est de 300. Estimez la probabilité qu'au cours de la prochaine heure, le nombre d'appels vers le commutateur :
1) dépassera 400 ;
2) ne sera pas supérieur à 500.
La solution. 1) Soit la variable aléatoire le nombre d'appels arrivant au commutateur pendant une heure. La valeur moyenne est . Nous devons donc évaluer. D'après l'inégalité de Markov
2) Ainsi, la probabilité que le nombre d'appels ne dépasse pas 500 est d'au moins 0,4.
Exemple 2 La somme de tous les dépôts dans une agence bancaire est de 2 millions de roubles et la probabilité qu'un dépôt pris au hasard ne dépasse pas 10 000 roubles est de 0,6. Que dire du nombre de contributeurs ?
La solution. Soit une valeur prise au hasard soit la taille d'une contribution prise au hasard et le nombre de toutes les contributions. Alors (mille). D'après l'inégalité de Markov, d'où
Exemple 3 Soit le temps d'un étudiant en retard pour un cours, et on sait qu'en moyenne, il est en retard d'une minute. Estimez la probabilité que l'élève ait au moins 5 minutes de retard.
La solution. Par hypothèse en appliquant l'inégalité de Markov, on obtient que 
Ainsi, sur 5 élèves, pas plus d'un élève sera en retard d'au moins 5 minutes.
Théorème 2 (inégalité de Chebyshev). 
.
Preuve. Soit une variable aléatoire X donnée par une série de distributions
Selon la définition de la dispersion Excluons de cette somme les termes pour lesquels 
. En même temps, depuis tous les termes sont non négatifs, la somme ne peut que décroître. Pour être précis, nous supposerons que le premier k termes. Alors
Par conséquent, 
.
L'inégalité de Chebyshev permet d'estimer par le haut la probabilité qu'une variable aléatoire s'écarte de son espérance mathématique sur la base d'informations uniquement sur sa variance. Il est largement utilisé, par exemple, dans la théorie de l'estimation.
Exemple 4 Une pièce est lancée 10 000 fois. Estimez la probabilité que la fréquence des armoiries diffère de 0,01 ou plus.
La solution. Introduisons des variables aléatoires indépendantes , où est une variable aléatoire de série de distribution
Alors 
puisqu'il est distribué selon la loi du binôme avec 
La fréquence d'apparition des armoiries est une variable aléatoire où 
. Par conséquent, la dispersion de la fréquence d'apparition des armoiries est Selon l'inégalité de Chebyshev, 
.
Ainsi, en moyenne, dans pas plus d'un quart des cas à 10 000 lancers de pièces, la fréquence des armoiries différera d'un centième ou plus.
Théorème 3 (Tchebychev). Si sont des variables aléatoires indépendantes dont les variances sont uniformément bornées (), alors
Preuve. Car
puis en appliquant l'inégalité de Chebyshev, on obtient
Puisque la probabilité d'un événement ne peut pas être supérieure à 1, nous obtenons ce que nous voulons.
Conséquence 1. Si sont des variables aléatoires indépendantes avec des variances uniformément bornées et la même espérance mathématique égale à un, alors
L'égalité (1) suggère que les écarts aléatoires des variables aléatoires indépendantes individuelles par rapport à leur valeur moyenne commune, lorsqu'ils sont importants dans leur masse, s'annulent. Par conséquent, bien que les quantités elles-mêmes soient aléatoires, leur moyenne 
au sens large, il n'est pratiquement plus aléatoire et proche de . Cela signifie que s'il n'est pas connu à l'avance, il peut être calculé à l'aide de la moyenne arithmétique. Cette propriété des suites de variables aléatoires indépendantes est appelée la loi de la stabilité statistique. La loi de stabilité statistique justifie la possibilité d'appliquer l'analyse des statistiques à la prise de décisions de gestion spécifiques.
Théorème 4 (Bernoulli). Si dans chacun de P expériences indépendantes, la probabilité p d'occurrence de l'événement A est constante, alors
,
où est le nombre d'occurrences de l'événement A pour ces P essais.
Preuve. Nous introduisons des variables aléatoires indépendantes , où Х je est une variable aléatoire avec une série de distribution
Alors M(X je)=p, D(X je)=pq. Puisque , alors D(X je) sont limitées dans l'ensemble. Il découle du théorème de Chebyshev que
.
Mais X 1 + X 2 + ... + X P est le nombre d'occurrences de l'événement A dans une série de P essais.
Le sens du théorème de Bernoulli est qu'avec une augmentation illimitée du nombre d'expériences indépendantes identiques, avec une certitude pratique, on peut affirmer que la fréquence d'occurrence d'un événement différera arbitrairement peu de la probabilité de son apparition dans une expérience distincte ( stabilité statistique de la probabilité de l'événement). Par conséquent, le théorème de Bernoulli sert de pont entre la théorie des applications et ses applications.
Quel est le secret des vendeurs qui réussissent ? Si vous observez les meilleurs vendeurs de n'importe quelle entreprise, vous remarquerez qu'ils ont une chose en commun. Chacun d'eux rencontre plus de personnes et fait plus de présentations que les vendeurs moins performants. Ces personnes comprennent que les ventes sont un jeu de chiffres, et plus elles parlent de leurs produits ou services, plus elles concluent d'affaires, c'est tout. Ils comprennent que s'ils communiquent non seulement avec les quelques personnes qui leur diront définitivement oui, mais aussi avec ceux dont l'intérêt pour leur proposition n'est pas si grand, alors la loi des moyennes jouera en leur faveur.
Vos gains dépendront du nombre de ventes, mais en même temps, ils seront directement proportionnels au nombre de présentations que vous ferez. Une fois que vous aurez compris et commencé à mettre en pratique la loi des moyennes, l'anxiété associée au démarrage d'une nouvelle entreprise ou au travail dans un nouveau domaine commencera à diminuer. Et par conséquent, un sentiment de contrôle et de confiance dans leur capacité à gagner commencera à se développer. Si vous vous contentez de faire des présentations et de perfectionner vos compétences dans le processus, il y aura des offres.
Plutôt que de penser au nombre de transactions, pensez au nombre de présentations. Cela n'a aucun sens de se réveiller le matin ou de rentrer à la maison le soir et de commencer à se demander qui achètera votre produit. Au lieu de cela, il est préférable de planifier chaque jour le nombre d'appels que vous devez passer. Et puis, quoi qu'il arrive, faites tous ces appels ! Cette approche vous facilitera la tâche, car il s'agit d'un objectif simple et précis. Si vous savez que vous avez un objectif très précis et réalisable devant vous, il vous sera plus facile de passer le nombre d'appels prévu. Si vous entendez « oui » plusieurs fois au cours de ce processus, tant mieux !
Et si "non", alors le soir, vous sentirez que vous avez honnêtement fait tout ce que vous pouviez et vous ne serez pas tourmenté par des pensées sur le montant d'argent que vous avez gagné ou sur le nombre de partenaires que vous avez acquis en une journée.
Disons que dans votre entreprise ou votre entreprise, le vendeur moyen conclut une affaire toutes les quatre présentations. Imaginez maintenant que vous tirez des cartes d'un jeu. Chaque carte de trois couleurs - pique, carreau et trèfle - est une présentation où vous présentez professionnellement un produit, un service ou une opportunité. Vous le faites du mieux que vous pouvez, mais vous ne concluez toujours pas l'affaire. Et chaque carte cœur est une offre qui permet de gagner de l'argent ou d'acquérir un nouveau compagnon.
Dans une telle situation, ne voudriez-vous pas piocher autant de cartes que possible dans le jeu ? Supposons qu'on vous propose de piocher autant de cartes que vous le souhaitez, tout en vous rémunérant ou en vous suggérant un nouveau compagnon à chaque fois que vous piochez une carte cœur. Vous commencerez à tirer des cartes avec enthousiasme, remarquant à peine de quelle couleur la carte vient d'être retirée.
Vous savez qu'il y a treize cœurs dans un jeu de cinquante-deux cartes. Et en deux jeux - vingt-six cartes cœur, et ainsi de suite. Serez-vous déçu en dessinant des piques, des carreaux ou des trèfles ? Bien sûr que non! Vous penserez seulement que chacun de ces "manquements" vous rapproche - de quoi ? A la carte des coeurs !
Mais tu sais quoi? Vous avez déjà reçu cette offre. Vous êtes dans une position unique pour gagner autant que vous le souhaitez et tirer autant de cartes de cœur que vous souhaitez en tirer dans votre vie. Et si vous ne faites que "tirer des cartes" consciencieusement, améliorez vos compétences et supportez un peu de pique, de carreau et de trèfle, alors vous deviendrez un excellent vendeur et réussirez.
L'une des choses qui rend la vente si amusante est que chaque fois que vous mélangez le jeu, les cartes sont mélangées différemment. Parfois, tous les cœurs se retrouvent au début du jeu, et après une série de succès (alors qu'il nous semble déjà que nous ne perdrons jamais !), nous attendons une longue rangée de cartes d'une couleur différente. Et une autre fois, pour arriver au premier cœur, il faut passer par une infinité de piques, massues et tambourins. Et parfois, des cartes de couleurs différentes tombent strictement à tour de rôle. Mais en tout cas, dans chaque jeu de cinquante-deux cartes, dans un certain ordre, il y a toujours treize cœurs. Sortez simplement les cartes jusqu'à ce que vous les trouviez.
De : Leylya,
Loi des grands nombres
Loi des grands nombres dans la théorie des probabilités indique que la moyenne empirique (moyenne arithmétique) d'un échantillon fini suffisamment grand d'une distribution fixe est proche de la moyenne théorique (espérance) de cette distribution. Selon le type de convergence, il existe une loi faible des grands nombres, lorsque la convergence en probabilité a lieu, et une loi forte des grands nombres, lorsque la convergence a lieu presque partout.
Il y aura toujours un nombre d'essais tel que, avec toute probabilité prédéterminée, la fréquence relative d'occurrence d'un événement différera arbitrairement peu de sa probabilité.
Le sens général de la loi des grands nombres est que l'action conjointe d'un grand nombre de facteurs aléatoires conduit à un résultat quasiment indépendant du hasard.
Les méthodes d'estimation de probabilité basées sur l'analyse d'un échantillon fini reposent sur cette propriété. Un bon exemple est la prédiction des résultats des élections basée sur une enquête auprès d'un échantillon d'électeurs.
Loi faible des grands nombres
Soit une suite infinie (énumération consécutive) de variables aléatoires identiquement distribuées et non corrélées , définies sur le même espace de probabilité . C'est-à-dire leur covariance. Laisser . Notons la moyenne d'échantillon des premiers termes :
Loi forte des grands nombres
Soit une suite infinie de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées, définies sur le même espace de probabilité. Laisser . Notons la moyenne d'échantillon des premiers termes :
.Alors presque certainement.
voir également
Littérature
- Shiriaev A.N. Probabilité, - M. : Science. 1989.
- Chistyakov V.P. Cours de théorie des probabilités, - M., 1982.
Fondation Wikimédia. 2010 .
- Cinéma de Russie
- Gromeka, Mikhail Stepanovitch
Voyez ce qu'est la "loi des grands nombres" dans d'autres dictionnaires :
LOI DES GRANDS NOMBRES- (loi des grands nombres) Dans le cas où le comportement des membres individuels de la population est fortement distinctif, le comportement du groupe est en moyenne plus prévisible que le comportement de n'importe lequel de ses membres. La tendance dans laquelle les groupes ... ... Dictionnaire économique
LOI DES GRANDS NOMBRES- voir LOI DES GRANDS NOMBRES. Antinazi. Encyclopédie de sociologie, 2009... Encyclopédie de sociologie
Loi des grands nombres- le principe selon lequel les schémas quantitatifs inhérents aux phénomènes sociaux de masse se manifestent le plus clairement avec un nombre suffisamment grand d'observations. Les phénomènes uniques sont plus sensibles aux effets aléatoires et ... ... Glossaire des termes commerciaux
LOI DES GRANDS NOMBRES- affirme qu'avec une probabilité proche de un, la moyenne arithmétique d'un grand nombre de variables aléatoires d'ordre approximativement identique différera peu d'une constante égale à la moyenne arithmétique des espérances mathématiques de ces variables. Différence… … Encyclopédie géologique
loi des grands nombres- - [Ya.N. Luginsky, M.S. Fezi Zhilinskaya, Yu.S. Kabirov. Dictionnaire anglais-russe du génie électrique et de l'industrie énergétique, Moscou, 1999] Sujets de génie électrique, concepts de base EN loi des moyennesloi des grands nombres ... Manuel du traducteur technique
loi des grands nombres- didžiųjų skaičių dėsnis statusas T sritis fizika atitikmenys : engl. loi des grands nombres vok. Gesetz der großen Zahlen, n rus. loi des grands nombres, m pranc. loi des grands nombres, f … Fizikos terminų žodynas
LOI DES GRANDS NOMBRES- un principe général, grâce auquel l'action combinée de facteurs aléatoires conduit, dans certaines conditions très générales, à un résultat quasiment indépendant du hasard. La convergence de la fréquence d'occurrence d'un événement aléatoire avec sa probabilité avec une augmentation du nombre ... ... Encyclopédie sociologique russe
Loi des grands nombres- la loi stipulant que l'action cumulative d'un grand nombre de facteurs aléatoires conduit, sous certaines conditions très générales, à un résultat presque indépendant du hasard... Sociologie : un dictionnaire
LOI DES GRANDS NOMBRES- loi statistique exprimant la relation des indicateurs statistiques (paramètres) de l'échantillon et de la population générale. Les valeurs réelles des indicateurs statistiques obtenus à partir d'un certain échantillon diffèrent toujours de ce qu'on appelle. théorique ... ... Sociologie : Encyclopédie
LOI DES GRANDS NOMBRES- le principe selon lequel la fréquence des pertes financières d'un certain type peut être prédite avec une grande précision lorsqu'il existe un grand nombre de pertes de types similaires ... Dictionnaire encyclopédique d'économie et de droit
Livres
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