• ΚΡΟΤΟΣ
• Windows
• Antivirus
• Antivirus
• ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΤΕΧΝΕΣ

Τυχαία, ένα συμμετρικό νόμισμα πετιέται δύο φορές. Μαθηματικά και εμείς. Συνδυαστική μέθοδος απαρίθμησης

Διατύπωση Εργασίας:Σε ένα τυχαίο πείραμα, ένα συμμετρικό νόμισμα πετιέται δύο φορές. Βρείτε την πιθανότητα τα κεφάλια (ουρές) να μην πέσουν ούτε μία φορά (θα πέσει ακριβώς / τουλάχιστον 1, 2 φορές).

Η εργασία περιλαμβάνεται στη ΧΡΗΣΗ στα μαθηματικά του βασικού επιπέδου για την τάξη 11 στον αριθμό 10 (Κλασικός ορισμός πιθανότητας).

Ας δούμε πώς λύνονται τέτοια προβλήματα με παραδείγματα.

Παράδειγμα εργασίας 1:

Σε ένα τυχαίο πείραμα, ένα συμμετρικό νόμισμα πετιέται δύο φορές. Βρείτε την πιθανότητα να μην εμφανιστούν ποτέ κεφάλια.

OO OR RO RR

Τέτοιοι συνδυασμοί είναι συνολικά 4. Μας ενδιαφέρουν μόνο όσοι από αυτούς δεν υπάρχει ούτε ένας αετός. Υπάρχει μόνο ένας τέτοιος συνδυασμός (PP).

P = 1 / 4 = 0,25

Απάντηση: 0,25

Παράδειγμα εργασίας 2:

Σε ένα τυχαίο πείραμα, ένα συμμετρικό νόμισμα πετιέται δύο φορές. Βρείτε την πιθανότητα να ανέβει ακριβώς δύο φορές.

Εξετάστε όλους τους πιθανούς συνδυασμούς που μπορεί να πέσουν αν το κέρμα πεταχτεί δύο φορές. Για ευκολία, θα συμβολίσουμε τον αετό με το γράμμα Ο και τις ουρές με το γράμμα P:

OO OR RO RR

Υπάρχουν 4 τέτοιοι συνδυασμοί συνολικά.Μας ενδιαφέρουν μόνο εκείνοι οι συνδυασμοί στους οποίους οι κεφαλές εμφανίζονται ακριβώς 2 φορές. Υπάρχει μόνο ένας τέτοιος συνδυασμός (OO).

P = 1 / 4 = 0,25

Απάντηση: 0,25

Παράδειγμα εργασίας 3:

Σε ένα τυχαίο πείραμα, ένα συμμετρικό νόμισμα πετιέται δύο φορές. Βρείτε την πιθανότητα να βγει στην κορυφή ακριβώς μία φορά.

Εξετάστε όλους τους πιθανούς συνδυασμούς που μπορεί να πέσουν αν το κέρμα πεταχτεί δύο φορές. Για ευκολία, θα συμβολίσουμε τον αετό με το γράμμα Ο και τις ουρές με το γράμμα P:

OO OR RO RR

Συνολικά υπάρχουν 4 τέτοιοι συνδυασμοί.Μας ενδιαφέρουν μόνο αυτοί που έπεσαν έξω ακριβώς 1 φορά. Υπάρχουν μόνο δύο τέτοιοι συνδυασμοί (OP και RO).

Απάντηση: 0,5

Παράδειγμα εργασίας 4:

Σε ένα τυχαίο πείραμα, ένα συμμετρικό νόμισμα πετιέται δύο φορές. Βρείτε την πιθανότητα να εμφανιστούν κεφαλές τουλάχιστον μία φορά.

Εξετάστε όλους τους πιθανούς συνδυασμούς που μπορεί να πέσουν αν το κέρμα πεταχτεί δύο φορές. Για ευκολία, θα συμβολίσουμε τον αετό με το γράμμα Ο και τις ουρές με το γράμμα P:

OO OR RO RR

Υπάρχουν 4 τέτοιοι συνδυασμοί συνολικά.Μας ενδιαφέρουν μόνο εκείνοι οι συνδυασμοί στους οποίους τα κεφάλια πέφτουν έξω τουλάχιστον μία φορά. Υπάρχουν μόνο τρεις τέτοιοι συνδυασμοί (OO, OR και RO).

P = 3 / 4 = 0,75

Σε ένα τυχαίο πείραμα, ένα συμμετρικό νόμισμα πετιέται...

Ως πρόλογος.
Όλοι γνωρίζουν ότι ένα νόμισμα έχει δύο όψεις - κεφάλια και ουρές.
Οι νομισματικοί πιστεύουν ότι το νόμισμα έχει τρεις όψεις - εμπροσθότυπο, οπισθότυπο και άκρη.
Και μεταξύ αυτών, και μεταξύ άλλων, λίγοι άνθρωποι γνωρίζουν τι είναι ένα συμμετρικό νόμισμα. Αλλά το ξέρουν (καλά, ή πρέπει να το ξέρουν :), όσοι ετοιμάζονται να δώσουν εξετάσεις.

Γενικά, αυτό το άρθρο θα επικεντρωθεί σε ένα ασυνήθιστο νόμισμα, το οποίο δεν έχει καμία σχέση με τη νομισματική, αλλά, ταυτόχρονα, είναι το πιο δημοφιλές νόμισμα μεταξύ των μαθητών.

Ετσι.
Συμμετρικό νόμισμα- αυτό είναι ένα φανταστικό μαθηματικά ιδανικό νόμισμα χωρίς μέγεθος, βάρος, διάμετρο κ.λπ. Ως αποτέλεσμα, ένα τέτοιο νόμισμα δεν έχει επίσης άκρη, δηλαδή έχει πραγματικά μόνο δύο όψεις. Η κύρια ιδιότητα ενός συμμετρικού νομίσματος είναι ότι υπό τέτοιες συνθήκες η πιθανότητα πτώσης κεφαλών ή ουρών είναι ακριβώς η ίδια. Και κατέληξαν σε ένα συμμετρικό νόμισμα για πειράματα σκέψης.
Το πιο δημοφιλές πρόβλημα με ένα συμμετρικό νόμισμα ακούγεται κάπως έτσι - "Σε ένα τυχαίο πείραμα, ένα συμμετρικό νόμισμα πετιέται δύο φορές (τρεις φορές, τέσσερις φορές κ.λπ.). Απαιτείται να προσδιοριστεί η πιθανότητα να πέσει μια από τις πλευρές ορισμένες φορές.

Επίλυση του προβλήματος με ένα συμμετρικό νόμισμα

Είναι σαφές ότι ως αποτέλεσμα της εκτίναξης, το νόμισμα θα πέσει είτε κεφάλια είτε ουρές. Πόσες φορές - εξαρτάται από το πόσες βολές θα κάνετε. Η πιθανότητα να πάρει κεφάλια ή ουρές υπολογίζεται διαιρώντας τον αριθμό των αποτελεσμάτων που ικανοποιούν τη συνθήκη με τον συνολικό αριθμό των πιθανών αποτελεσμάτων.

Μια ρίψη

Όλα είναι απλά εδώ. Θα ανέβουν είτε κεφάλια είτε ουρές. Εκείνοι. έχουμε δύο πιθανά αποτελέσματα, ένα από τα οποία μας ικανοποιεί - 1/2=50%

Δίβολη

Για δύο βολές μπορεί να πέσουν:
δύο αετοί
δύο ουρές
κεφάλια και μετά ουρές
ουρές και μετά κεφάλια
Εκείνοι. μόνο τέσσερις επιλογές είναι δυνατές. Προβλήματα με περισσότερες από μία ρίψεις επιλύονται ευκολότερα κάνοντας έναν πίνακα με πιθανές επιλογές. Για απλότητα, ας συμβολίσουμε τα κεφάλια ως "0" και τις ουρές ως "1". Τότε ο πίνακας των πιθανών αποτελεσμάτων θα μοιάζει με αυτό:
00
01
10
11
Εάν, για παράδειγμα, πρέπει να βρείτε την πιθανότητα να πέσουν οι κεφαλές μία φορά, πρέπει απλώς να μετρήσετε τον αριθμό των κατάλληλων επιλογών στον πίνακα - π.χ. εκείνες τις γραμμές όπου ο αετός εμφανίζεται μια φορά. Υπάρχουν δύο τέτοιες γραμμές. Άρα η πιθανότητα να πάρεις ένα κεφάλι σε δύο ρίψεις συμμετρικού νομίσματος είναι 2/4=50%
Η πιθανότητα να πάρει κεφάλια δύο φορές σε δύο ρίψεις είναι 1/4=25%

Τρία τριαντάφυλλα

Κάνουμε έναν πίνακα επιλογών:
000
001
010
011
100
101
110
111
Όσοι είναι εξοικειωμένοι με τον δυαδικό λογισμό καταλαβαίνουν σε τι έχουμε καταλήξει. :) Ναι, είναι δυαδικοί αριθμοί από "0" έως "7". Με αυτόν τον τρόπο είναι πιο εύκολο να μην μπερδευτείτε με τις επιλογές.
Ας λύσουμε το πρόβλημα από την προηγούμενη παράγραφο - υπολογίζουμε την πιθανότητα ο αετός να πέσει έξω μια φορά. Υπάρχουν τρεις γραμμές όπου το "0" εμφανίζεται μία φορά. Άρα η πιθανότητα να πάρεις ένα κεφάλι σε τρεις ρίψεις συμμετρικού νομίσματος είναι 3/8=37,5%
Η πιθανότητα να πέσουν δύο κεφαλιές σε τρεις βολές είναι 3/8=37,5%, δηλ. απολύτως το ίδιο.
Η πιθανότητα το κεφάλι σε τρεις βολές να πέσει έξω τρεις φορές είναι 1/8 = 12,5%.

Τέσσερις βολές

Κάνουμε έναν πίνακα επιλογών:
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Η πιθανότητα ότι τα κεφάλια εμφανίζεται μια φορά. Υπάρχουν μόνο τρεις σειρές όπου το "0" εμφανίζεται μία φορά, όπως και στην περίπτωση των τριών ρίψεων. Όμως, υπάρχουν ήδη δεκαέξι επιλογές. Άρα η πιθανότητα να πάρει ένα κεφάλι σε τέσσερις ρίψεις ενός συμμετρικού νομίσματος είναι 3/16=18,75%
Η πιθανότητα ο αετός να πέσει έξω δύο φορές σε τρεις βολές είναι 6/8=75%.
Η πιθανότητα οι κεφαλές να ανέβουν τρεις φορές σε τρεις ρίψεις είναι 4/8=50%.

Έτσι, με την αύξηση του αριθμού των ρίψεων, η αρχή της επίλυσης του προβλήματος δεν αλλάζει καθόλου - μόνο, σε μια κατάλληλη εξέλιξη, ο αριθμός των επιλογών αυξάνεται.

Περιγραφή της παρουσίασης σε μεμονωμένες διαφάνειες:

1 διαφάνεια

Περιγραφή της διαφάνειας:

Επίλυση προβλημάτων στη θεωρία πιθανοτήτων. Καθηγήτρια μαθηματικών MBOU Nivnyanskaya δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης, Nechaeva Tamara Ivanovna

2 διαφάνεια

Περιγραφή της διαφάνειας:

Στόχοι μαθήματος: Επανεξέταση ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙπροβλήματα στη θεωρία πιθανοτήτων και μέθοδοι επίλυσής τους. Στόχοι μαθήματος: να διδάξει να αναγνωρίζει διάφορα είδη προβλημάτων στη θεωρία πιθανοτήτων και να βελτιώνει λογική σκέψημαθητές.

3 διαφάνεια

Περιγραφή της διαφάνειας:

Εργασία 1. Σε ένα τυχαίο πείραμα, ένα συμμετρικό νόμισμα ρίχνεται 2 φορές. Βρείτε την πιθανότητα να έχετε τον ίδιο αριθμό κεφαλιών και ουρών.

4 διαφάνεια

Περιγραφή της διαφάνειας:

Εργασία 2. Ένα νόμισμα ρίχνεται τέσσερις φορές. Βρείτε την πιθανότητα να μην βγει ποτέ στην ουρά.

5 διαφάνεια

Περιγραφή της διαφάνειας:

Πρόβλημα 3. Σε ένα τυχαίο πείραμα, ένα συμμετρικό νόμισμα ρίχνεται δύο φορές. Βρείτε την πιθανότητα οι κεφαλές να εμφανίζονται ακριβώς μία φορά. Λύση: Για να βρεθεί η πιθανότητα ενός συγκεκριμένου γεγονότος, είναι απαραίτητο να ληφθούν υπόψη όλα τα πιθανά αποτελέσματα του πειράματος και στη συνέχεια να επιλεγούν ευνοϊκά αποτελέσματα από αυτά (τα ευνοϊκά αποτελέσματα είναι τα αποτελέσματα που πληρούν τις απαιτήσεις του προβλήματος). Στην περίπτωσή μας, εκείνα τα αποτελέσματα θα είναι ευνοϊκά στα οποία, με δύο πετάγματα ενός συμμετρικού νομίσματος, τα κεφάλια θα πέσουν μόνο μία φορά. Η πιθανότητα ενός γεγονότος υπολογίζεται ως ο λόγος του αριθμού των ευνοϊκών αποτελεσμάτων προς τον συνολικό αριθμό των αποτελεσμάτων. Επομένως, η πιθανότητα όταν ένα συμμετρικό νόμισμα πεταχτεί δύο φορές, τα κεφάλια θα πέσουν μόνο μία φορά, είναι ίση με: P \u003d 2/4 \u003d 0,5 \u003d 50% Απάντηση: η πιθανότητα ότι ως αποτέλεσμα του παραπάνω πειράματος το τα κεφάλια θα πέσουν μόνο μία φορά είναι 50 %. Αριθμός πειράματος 1η ζαριά 2η ζαριά Αριθμός φορών κεφαλές 1 κεφαλές 2 2 ουρές ουρές 0 3 ουρές ουρές 1 4 ουρές κεφαλές 1

6 διαφάνεια

Περιγραφή της διαφάνειας:

Εργασία 4. Ένα ζάρι πετάχτηκε μία φορά. Ποια είναι η πιθανότητα ο αριθμός των σημείων να είναι μεγαλύτερος από 4. Λύση: Τυχαίο πείραμα - κύλιση μήτρας. Ένα στοιχειώδες συμβάν είναι ένας αριθμός σε μια πτώση. Απάντηση: 1/3 Σύνολο προσώπων: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Στοιχειώδεις εκδηλώσεις: N=6 N(A)=2

7 διαφάνεια

Περιγραφή της διαφάνειας:

Εργασία 5. Ο αθλητής του δίαθλου πυροβολεί στους στόχους πέντε φορές. Η πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος με μία βολή είναι 0,8. Βρείτε την πιθανότητα ο αθλητής του δίαθλου να χτύπησε τους στόχους τις πρώτες τρεις φορές και να έχασε τις δύο τελευταίες. Στρογγυλοποιήστε το αποτέλεσμα στο πλησιέστερο εκατοστό. Λύση: Πιθανότητα χτυπήματος = 0,8 Πιθανότητα χαμού = 1 - 0,8 = 0,2 А=(χτύπημα, χτύπημα, χτύπημα, άστοχο, άστοχο) 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 P (A) \u003d 0,512 ∙ 0,03d ∙ 0,04:00 \u0 0,02

8 διαφάνεια

Περιγραφή της διαφάνειας:

Εργασία 6. Σε ένα τυχαίο πείραμα, ρίχνονται δύο ζάρια. Βρείτε την πιθανότητα το άθροισμα των σημείων να είναι 6. Στρογγυλοποιήστε την απάντησή σας στο πλησιέστερο εκατοστό Λύση: Το στοιχειώδες αποτέλεσμα σε αυτό το πείραμα είναι ένα διατεταγμένο ζεύγος αριθμών. Ο πρώτος αριθμός θα πέσει στον πρώτο ζάρι, ο δεύτερος στον δεύτερο. Το σύνολο των στοιχειωδών αποτελεσμάτων αντιπροσωπεύεται εύκολα από έναν πίνακα. Οι σειρές αντιστοιχούν στον αριθμό των σημείων στην πρώτη μήτρα, οι στήλες αντιστοιχούν στη δεύτερη μήτρα. Υπάρχουν n = 36 στοιχειώδη συμβάντα συνολικά. Ας γράψουμε σε κάθε κελί το άθροισμα των πόντων που απορρίφθηκαν και ας χρωματίσουμε τα κελιά όπου το άθροισμα είναι 6. Υπάρχουν 5 τέτοια κελιά. Επομένως, το συμβάν A = (το άθροισμα των πόντων που πέφτουν είναι 6) ευνοείται από 5 στοιχειώδη αποτελέσματα. Επομένως, m = 5. Επομένως, P(A) = 5/36 = 0,14. Απάντηση: 0,14. 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 11 7 8 9 10 11 12

9 διαφάνεια

Περιγραφή της διαφάνειας:

Θεώρημα Τύπου Πιθανοτήτων Αφήστε το κέρμα να πεταχτεί n φορές. Τότε η πιθανότητα να πέσουν οι κεφαλές ακριβώς k φορές μπορεί να βρεθεί από τον τύπο: Όπου Cnk είναι ο αριθμός συνδυασμών n στοιχείων κατά k, ο οποίος υπολογίζεται από τον τύπο:

10 διαφάνεια

Περιγραφή της διαφάνειας:

Πρόβλημα 7. Ένα νόμισμα ρίχνεται τέσσερις φορές. Βρείτε την πιθανότητα οι κεφαλές να ανέβουν ακριβώς τρεις φορές. Λύση Σύμφωνα με την συνθήκη του προβλήματος, υπήρξαν n =4 βολές συνολικά. Απαιτούμενος αριθμός αετών: k =3. Αντικαταστήστε τα n και k στον τύπο: Με την ίδια επιτυχία, μπορείτε να μετρήσετε τον αριθμό των ουρών: k = 4 − 3 = 1. Η απάντηση θα είναι η ίδια. Απάντηση: 0,25

11 διαφάνεια

Περιγραφή της διαφάνειας:

Πρόβλημα 8. Ένα νόμισμα πετιέται τρεις φορές. Βρείτε την πιθανότητα να μην βγει ποτέ στην ουρά. Λύση Γράφουμε ξανά τους αριθμούς n και k. Εφόσον το κέρμα πετιέται 3 φορές, n = 3. Και αφού δεν πρέπει να υπάρχουν ουρές, k = 0. Απομένει να αντικαταστήσουμε τους αριθμούς n και k στον τύπο: Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι 0! = 1 εξ ορισμού. Επομένως C30 = 1. Απάντηση: 0,125

12 διαφάνεια

Περιγραφή της διαφάνειας:

Πρόβλημα 9. Σε ένα τυχαίο πείραμα, ένα συμμετρικό νόμισμα ρίχνεται 4 φορές. Βρείτε την πιθανότητα ότι τα κεφάλια θα ανέβουν περισσότερες φορές από τις ουρές. Λύση: Για να υπάρχουν περισσότερα κεφάλια από ουρές, πρέπει να πέσουν είτε 3 φορές (τότε θα είναι 1 ουρά) είτε 4 (τότε δεν θα υπάρχουν καθόλου ουρές). Ας βρούμε την πιθανότητα καθενός από αυτά τα γεγονότα. Έστω p1 η πιθανότητα να πάρει κεφάλια 3 φορές. Τότε n = 4, k = 3. Έχουμε: Τώρα ας βρούμε το p2 - την πιθανότητα οι κεφαλές να πέσουν και τις 4 φορές. Σε αυτή την περίπτωση, n = 4, k = 4. Έχουμε: Για να λάβουμε την απάντηση, μένει να προσθέσουμε τις πιθανότητες p1 και p2. Θυμηθείτε: μπορείτε να προσθέσετε πιθανότητες μόνο για συμβάντα που αποκλείονται αμοιβαία. Έχουμε: p = p1 + p2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125 Απάντηση: 0,3125

13 διαφάνεια

Περιγραφή της διαφάνειας:

Εργασία 10. Πριν από την έναρξη του αγώνα βόλεϊ, οι αρχηγοί των ομάδων κληρώνουν αρκετά για να καθορίσουν ποια ομάδα θα ξεκινήσει το παιχνίδι με την μπάλα. Η ομάδα Stator παίζει εναλλάξ με τις ομάδες Rotor, Motor και Starter. Βρείτε την πιθανότητα ότι ο Stator θα ξεκινήσει μόνο τον πρώτο και τον τελευταίο αγώνα. Λύση. Απαιτείται να βρεθεί η πιθανότητα γινομένου τριών γεγονότων: Ο "Στάτορας" ξεκινά το πρώτο παιχνίδι, δεν ξεκινά το δεύτερο παιχνίδι, ξεκινά το τρίτο παιχνίδι. Η πιθανότητα παραγωγής ανεξάρτητων γεγονότων είναι ίση με το γινόμενο των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων. Η πιθανότητα καθενός από αυτά είναι ίση με 0,5, από όπου βρίσκουμε: 0,5 0,5 0,5 = 0,125. Απάντηση: 0,125.

Στη θεωρία πιθανοτήτων, υπάρχει μια ομάδα προβλημάτων, για τη λύση των οποίων αρκεί να γνωρίζουμε τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας και να απεικονίσουμε την προτεινόμενη κατάσταση. Αυτά τα προβλήματα είναι τα περισσότερα προβλήματα ρίψης νομισμάτων και προβλήματα ρίψης ζαριών. Θυμηθείτε τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας.

Πιθανότητα συμβάντος Α (η αντικειμενική πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν με αριθμητικούς όρους) ισούται με την αναλογία του αριθμού των αποτελεσμάτων που είναι ευνοϊκά για αυτό το γεγονός προς τον συνολικό αριθμό όλων των εξίσου πιθανών μη συμβατών στοιχειωδών αποτελεσμάτων: P(A)=m/n, όπου:

• m είναι ο αριθμός των στοιχειωδών αποτελεσμάτων δοκιμής που ευνοούν την εμφάνιση του γεγονότος Α.
• n είναι ο συνολικός αριθμός όλων των πιθανών στοιχειωδών αποτελεσμάτων δοκιμής.

Είναι βολικό να προσδιοριστεί ο αριθμός των πιθανών στοιχειωδών αποτελεσμάτων δοκιμών και ο αριθμός των ευνοϊκών αποτελεσμάτων στα υπό εξέταση προβλήματα με απαρίθμηση όλων των πιθανών επιλογών (συνδυασμούς) και άμεσο υπολογισμό.

Από τον πίνακα βλέπουμε ότι ο αριθμός των πιθανών στοιχειωδών αποτελεσμάτων είναι n=4. Τα ευνοϊκά αποτελέσματα του γεγονότος A = (ο αετός πέφτει έξω 1 φορά) αντιστοιχούν στην επιλογή Νο. 2 και Νο. 3 του πειράματος, υπάρχουν δύο τέτοιες επιλογές m=2.
Να βρείτε την πιθανότητα του γεγονότος Р(А)=m/n=2/4=0,5

Εργασία 2 . Σε ένα τυχαίο πείραμα, ένα συμμετρικό νόμισμα πετιέται δύο φορές. Βρείτε την πιθανότητα ότι τα κεφάλια δεν θα εμφανιστούν ποτέ.

Λύση . Εφόσον το κέρμα πετιέται δύο φορές, τότε, όπως στο Πρόβλημα 1, ο αριθμός των πιθανών στοιχειωδών αποτελεσμάτων είναι n=4. Τα ευνοϊκά αποτελέσματα του γεγονότος A = (ο αετός δεν θα πέσει έξω ούτε μία φορά) αντιστοιχούν στην παραλλαγή Νο. 4 του πειράματος (δείτε τον πίνακα στην εργασία 1). Υπάρχει μόνο μία τέτοια επιλογή, άρα m=1.
Να βρεθεί η πιθανότητα του γεγονότος Р(А)=m/n=1/4=0,25

Εργασία 3 . Σε ένα τυχαίο πείραμα, ένα συμμετρικό νόμισμα πετιέται τρεις φορές. Βρείτε την πιθανότητα να ανέβει ακριβώς 2 φορές.

Λύση . Πιθανές επιλογές για τρεις ρίψεις νομισμάτων (όλοι οι πιθανοί συνδυασμοί κεφαλών και ουρών) παρουσιάζονται με τη μορφή πίνακα:

Από τον πίνακα βλέπουμε ότι ο αριθμός των πιθανών στοιχειωδών αποτελεσμάτων είναι n=8. Τα ευνοϊκά αποτελέσματα του συμβάντος A = (κεφαλές 2 φορές) αντιστοιχούν στις επιλογές Νο. 5, 6 και 7 του πειράματος. Υπάρχουν τρεις τέτοιες επιλογές, άρα m=3.
Να βρεθεί η πιθανότητα του γεγονότος Р(А)=m/n=3/8=0,375

Εργασία 4 . Σε ένα τυχαίο πείραμα, ένα συμμετρικό νόμισμα πετιέται τέσσερις φορές. Βρείτε την πιθανότητα να ανέβει ακριβώς 3 φορές.

Λύση . Πιθανές παραλλαγές τεσσάρων ρίψεων νομισμάτων (όλοι οι πιθανοί συνδυασμοί κεφαλών και ουρών) παρουσιάζονται με τη μορφή πίνακα:

Από τον πίνακα βλέπουμε ότι ο αριθμός των πιθανών στοιχειωδών αποτελεσμάτων είναι n=16. Τα ευνοϊκά αποτελέσματα του γεγονότος Α = (ο αετός πέφτει έξω 3 φορές) αντιστοιχούν στις επιλογές Νο. 12, 13, 14 και 15 του πειράματος, που σημαίνει m=4.
Να βρείτε την πιθανότητα του γεγονότος Р(А)=m/n=4/16=0,25

Προσδιορισμός Πιθανοτήτων σε Προβλήματα Ζαριών

Εργασία 5 . Προσδιορίστε την πιθανότητα να πέσουν περισσότεροι από 3 πόντοι όταν πεταχτεί ένα ζάρι (σωστό ζάρι).

Λύση . Όταν ρίχνετε ένα ζάρι (κανονικό ζάρι), οποιοδήποτε από τα έξι του πρόσωπα μπορεί να πέσει έξω, δηλ. να συμβεί κάποιο από τα στοιχειώδη γεγονότα - απώλεια από 1 έως 6 βαθμούς (πόντους). Άρα ο αριθμός των πιθανών στοιχειωδών αποτελεσμάτων είναι n=6.
Γεγονός Α = (περισσότεροι από 3 πόντοι έπεσαν έξω) σημαίνει ότι έπεσαν 4, 5 ή 6 πόντοι (πόντους). Άρα ο αριθμός των ευνοϊκών αποτελεσμάτων m=3.
Πιθανότητα του συμβάντος Р(А)=m/n=3/6=0,5

Εργασία 6 . Προσδιορίστε την πιθανότητα όταν ρίχνεται ένα ζάρι, ένας αριθμός πόντων να μην υπερβαίνει τους 4. Στρογγυλοποιήστε το αποτέλεσμα στο πλησιέστερο χιλιοστό.

Λύση . Όταν ρίχνετε ένα ζάρι, οποιοδήποτε από τα έξι του πρόσωπα μπορεί να πέσει έξω, δηλ. να συμβεί κάποιο από τα στοιχειώδη γεγονότα - απώλεια από 1 έως 6 βαθμούς (πόντους). Άρα ο αριθμός των πιθανών στοιχειωδών αποτελεσμάτων είναι n=6.
Γεγονός Α = (όχι περισσότεροι από 4 πόντοι έπεσαν έξω) σημαίνει ότι έπεσαν 4, 3, 2 ή 1 πόντοι (πόντος). Άρα ο αριθμός των ευνοϊκών αποτελεσμάτων m=4.
Πιθανότητα του συμβάντος Р(А)=m/n=4/6=0,6666…≈0,667

Εργασία 7 . Ένα ζάρι ρίχνεται δύο φορές. Βρείτε την πιθανότητα και οι δύο αριθμοί να είναι μικρότεροι του 4.

Λύση . Δεδομένου ότι ένα ζάρι (ζάρι) ρίχνεται δύο φορές, θα επιχειρηματολογήσουμε ως εξής: αν ένας πόντος έπεσε στον πρώτο ζάρι, τότε μπορεί να πέσει 1, 2, 3, 4, 5, 6 στον δεύτερο. Παίρνουμε ζευγάρια (1; 1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6) και ούτω καθεξής με κάθε πρόσωπο. Παρουσιάζουμε όλες τις περιπτώσεις με τη μορφή πίνακα 6 σειρών και 6 στηλών:

Θα υπολογιστούν τα ευνοϊκά αποτελέσματα του γεγονότος A = (και οι δύο φορές που ένας αριθμός μικρότερος του 4 έπεσε έξω) (εμφανίζονται με έντονη γραφή) και θα πάρουμε m=9.
Να βρείτε την πιθανότητα του γεγονότος Р(А)=m/n=9/36=0,25

Εργασία 8 . Ένα ζάρι ρίχνεται δύο φορές. Βρείτε την πιθανότητα ο μεγαλύτερος από τους δύο αριθμούς που κληρώθηκαν να είναι 5. Στρογγυλοποιήστε την απάντησή σας στο πλησιέστερο χιλιοστό.

Λύση . Όλα τα πιθανά αποτελέσματα δύο βολών ζάριαυπάρχουν στον πίνακα:

Από τον πίνακα βλέπουμε ότι ο αριθμός των πιθανών στοιχειωδών αποτελεσμάτων είναι n=6*6=36.
Υπολογίζονται τα ευνοϊκά αποτελέσματα του γεγονότος A = (ο μεγαλύτερος από τους δύο αριθμούς που κληρώθηκαν είναι 5) (επισημαίνονται με έντονους χαρακτήρες) και παίρνουμε m=8.
Βρείτε την πιθανότητα του γεγονότος Р(А)=m/n=8/36=0,2222…≈0,222

Εργασία 9 . Ένα ζάρι ρίχνεται δύο φορές. Βρείτε την πιθανότητα ένας αριθμός μικρότερος του 4 να κυληθεί τουλάχιστον μία φορά.

Λύση . Όλα τα πιθανά αποτελέσματα δύο ρίψεων ενός ζαριού παρουσιάζονται στον πίνακα:

Από τον πίνακα βλέπουμε ότι ο αριθμός των πιθανών στοιχειωδών αποτελεσμάτων είναι n=6*6=36.
Η φράση "τουλάχιστον μία φορά ένας αριθμός μικρότερος από 4 έπεσε έξω" σημαίνει "ένας αριθμός μικρότερος από 4 έπεσε έξω μία ή δύο φορές", τότε ο αριθμός των ευνοϊκών αποτελεσμάτων του γεγονότος A = (τουλάχιστον μία φορά ένας αριθμός μικρότερος από 4 έπεσε έξω ) (είναι με έντονους χαρακτήρες) m=27.
Βρείτε την πιθανότητα του γεγονότος Р(А)=m/n=27/36=0,75