• ΚΡΟΤΟΣ
• Windows
• Antivirus
• Antivirus
• ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΤΕΧΝΕΣ

Ο νόμος των μέσων όρων ή ποιο είναι το μυστικό των επιτυχημένων πωλητών. Μέσες τιμές Ισχυρός νόμος μεγάλων αριθμών

Οι λέξεις για μεγάλους αριθμούς αναφέρονται στον αριθμό των δοκιμών - λαμβάνεται υπόψη ένας μεγάλος αριθμός τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής ή η αθροιστική δράση ενός μεγάλου αριθμού τυχαίων μεταβλητών. Η ουσία αυτού του νόμου είναι η εξής: αν και είναι αδύνατο να προβλεφθεί ποια τιμή θα λάβει μια μεμονωμένη τυχαία μεταβλητή σε ένα μόνο πείραμα, ωστόσο, το συνολικό αποτέλεσμα της δράσης ενός μεγάλου αριθμού ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών χάνει τον τυχαίο χαρακτήρα του και μπορεί να προβλεφθεί σχεδόν αξιόπιστα (δηλαδή με μεγάλη πιθανότητα). Για παράδειγμα, είναι αδύνατο να προβλέψουμε σε ποια πλευρά θα πέσει ένα νόμισμα. Ωστόσο, εάν πετάξετε 2 τόνους νομισμάτων, τότε με μεγάλη βεβαιότητα μπορεί να υποστηριχθεί ότι το βάρος των νομισμάτων που έπεσαν με το εθνόσημο προς τα πάνω είναι 1 τόνος.

Πρώτα απ 'όλα, η λεγόμενη ανισότητα Chebyshev αναφέρεται στον νόμο των μεγάλων αριθμών, ο οποίος εκτιμά σε ξεχωριστό τεστ την πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή να δέχεται μια τιμή που αποκλίνει από τη μέση τιμή όχι περισσότερο από μια δεδομένη τιμή.

Η ανισότητα του Chebyshev. Αφήνω Χείναι μια αυθαίρετη τυχαία μεταβλητή, a=M(Χ) , ένα ρε(Χ) είναι η διασπορά του. Επειτα

Παράδειγμα. Η ονομαστική (δηλαδή απαιτούμενη) τιμή της διαμέτρου του χιτωνίου που κατασκευάζεται στη μηχανή είναι 5mm, και η διακύμανση δεν υπάρχει πια 0.01 (αυτή είναι η ανοχή ακρίβειας του μηχανήματος). Υπολογίστε την πιθανότητα ότι στην κατασκευή ενός δακτυλίου, η απόκλιση της διαμέτρου του από την ονομαστική θα είναι μικρότερη από 0,5 χλστ .

Λύση. Αφήστε r.v. Χ- η διάμετρος του κατασκευασμένου δακτυλίου. Κατά συνθήκη, η μαθηματική προσδοκία του είναι ίση με την ονομαστική διάμετρο (αν δεν υπάρχει συστηματική αστοχία στη ρύθμιση του μηχανήματος): a=M(Χ)=5 και η διακύμανση ρε(Χ)≤0,01. Εφαρμογή της ανισότητας Chebyshev για ε = 0,5, παίρνουμε:

Έτσι, η πιθανότητα μιας τέτοιας απόκλισης είναι αρκετά υψηλή και επομένως μπορούμε να συμπεράνουμε ότι στην περίπτωση μιας και μόνο παραγωγής ενός εξαρτήματος, είναι σχεδόν βέβαιο ότι η απόκλιση της διαμέτρου από την ονομαστική δεν θα υπερβεί 0,5 χλστ .

Βασικά, η τυπική απόκλιση σ χαρακτηρίζει μέση τιμήαπόκλιση μιας τυχαίας μεταβλητής από το κέντρο της (δηλαδή από τη μαθηματική της προσδοκία). Γιατι το μέση τιμήαπόκλιση, τότε είναι δυνατές μεγάλες αποκλίσεις (έμφαση στο o) κατά τη διάρκεια της δοκιμής. Πόσο μεγάλες αποκλίσεις είναι πρακτικά δυνατές; Όταν μελετήσαμε κανονικά κατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές, εξάγαμε τον κανόνα «τρία σίγμα»: μια κανονικά κατανεμημένη τυχαία μεταβλητή Χ σε ένα μόνο τεστπρακτικά δεν αποκλίνει από τον μέσο όρο του περισσότερο από 3σ, όπου σ= σ(X)είναι η τυπική απόκλιση του r.v. Χ. Συνάγαμε έναν τέτοιο κανόνα από το γεγονός ότι λάβαμε την ανισότητα

.

Ας υπολογίσουμε τώρα την πιθανότητα για αυθαίρετοςτυχαία μεταβλητή Χαποδεχτείτε μια τιμή που να διαφέρει από τη μέση όχι περισσότερο από τρεις φορές την τυπική απόκλιση. Εφαρμογή της ανισότητας Chebyshev για ε = 3σκαι με δεδομένο αυτό ρε(Χ)=σ 2 , παίρνουμε:

.

Με αυτόν τον τρόπο, γενικάμπορούμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα μιας τυχαίας μεταβλητής να αποκλίνει από τον μέσο όρο της όχι περισσότερες από τρεις τυπικές αποκλίσεις από τον αριθμό 0.89 , ενώ για κανονική κατανομή μπορεί να είναι εγγυημένη με πιθανότητα 0.997 .

Η ανισότητα του Chebyshev μπορεί να γενικευτεί σε ένα σύστημα ανεξάρτητων πανομοιότυπα κατανεμημένων τυχαίων μεταβλητών.

Γενικευμένη ανισότητα του Chebyshev. Αν ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές Χ 1 , Χ 2 , … , Χ n Μ(Χ Εγώ )= ένακαι διασπορές ρε(Χ Εγώ )= ρε, έπειτα

Στο n=1 αυτή η ανισότητα περνάει στην ανισότητα Chebyshev που διατυπώθηκε παραπάνω.

Η ανισότητα Chebyshev, που έχει ανεξάρτητη σημασία για την επίλυση των αντίστοιχων προβλημάτων, χρησιμοποιείται για να αποδείξει το λεγόμενο θεώρημα Chebyshev. Αρχικά περιγράφουμε την ουσία αυτού του θεωρήματος και στη συνέχεια δίνουμε την τυπική διατύπωσή του.

Αφήνω Χ 1 , Χ 2 , … , Χ n– μεγάλος αριθμός ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών με μαθηματικές προσδοκίες Μ(Χ 1 )=α 1 , … , Μ(Χ n )=α n. Αν και καθένα από αυτά, ως αποτέλεσμα του πειράματος, μπορεί να πάρει μια τιμή μακριά από τον μέσο όρο του (δηλαδή, τη μαθηματική προσδοκία), ωστόσο, μια τυχαία μεταβλητή
, ίσο με τον αριθμητικό τους μέσο όρο, με μεγάλη πιθανότητα θα πάρει μια τιμή κοντά σε έναν σταθερό αριθμό
(αυτός είναι ο μέσος όρος όλων των μαθηματικών προσδοκιών). Αυτό σημαίνει το εξής. Έστω, ως αποτέλεσμα της δοκιμής, ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές Χ 1 , Χ 2 , … , Χ n(υπάρχουν πολλοί!) έχουν πάρει τις αξίες ανάλογα Χ 1 , Χ 2 , … , Χ nαντίστοιχα. Τότε αν αυτές οι ίδιες οι τιμές μπορεί να αποδειχθούν πολύ μακριά από τις μέσες τιμές των αντίστοιχων τυχαίων μεταβλητών, η μέση τιμή τους
είναι πιθανό να είναι κοντά σε
. Έτσι, ο αριθμητικός μέσος όρος ενός μεγάλου αριθμού τυχαίων μεταβλητών χάνει ήδη τον τυχαίο χαρακτήρα του και μπορεί να προβλεφθεί με μεγάλη ακρίβεια. Αυτό μπορεί να εξηγηθεί από το γεγονός ότι οι τυχαίες αποκλίσεις των τιμών Χ Εγώαπό ένα Εγώμπορεί να είναι διαφορετικών ζωδίων και επομένως συνολικά αυτές οι αποκλίσεις αντισταθμίζονται με μεγάλη πιθανότητα.

Terema Chebysheva (νόμος των μεγάλων αριθμώνμε τη μορφή του Chebyshev). Αφήνω Χ 1 , Χ 2 , … , Χ n … είναι μια ακολουθία ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών ανά ζεύγη των οποίων οι διακυμάνσεις περιορίζονται στον ίδιο αριθμό. Τότε, όσο μικρό κι αν πάρουμε τον αριθμό ε, η πιθανότητα ανισότητας

θα είναι αυθαίρετα κοντά στην ενότητα αν ο αριθμός nτυχαίες μεταβλητές ώστε να είναι αρκετά μεγάλες. Τυπικά, αυτό σημαίνει ότι υπό τις συνθήκες του θεωρήματος

Αυτός ο τύπος σύγκλισης ονομάζεται σύγκλιση στην πιθανότητα και συμβολίζεται με:

Έτσι, το θεώρημα του Chebyshev λέει ότι εάν υπάρχει ένας αρκετά μεγάλος αριθμός ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών, τότε ο αριθμητικός μέσος όρος τους σε ένα μόνο τεστ θα πάρει σχεδόν σίγουρα μια τιμή κοντά στον μέσο όρο των μαθηματικών προσδοκιών τους.

Τις περισσότερες φορές, το θεώρημα Chebyshev εφαρμόζεται σε μια κατάσταση όπου τυχαίες μεταβλητές Χ 1 , Χ 2 , … , Χ n … έχουν την ίδια κατανομή (δηλαδή τον ίδιο νόμο κατανομής ή την ίδια πυκνότητα πιθανότητας). Στην πραγματικότητα, αυτός είναι απλώς ένας μεγάλος αριθμός περιπτώσεων της ίδιας τυχαίας μεταβλητής.

Συνέπεια(της γενικευμένης ανισότητας Chebyshev). Αν ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές Χ 1 , Χ 2 , … , Χ n … έχουν την ίδια κατανομή με τις μαθηματικές προσδοκίες Μ(Χ Εγώ )= ένακαι διασπορές ρε(Χ Εγώ )= ρε, έπειτα

, δηλ.
.

Η απόδειξη προκύπτει από τη γενικευμένη ανισότητα Chebyshev περνώντας στο όριο ως n→∞ .

Σημειώνουμε για άλλη μια φορά ότι οι ισότητες που γράφτηκαν παραπάνω δεν εγγυώνται ότι η αξία της ποσότητας
τείνει να έναστο n→∞. Αυτή η τιμή εξακολουθεί να είναι μια τυχαία μεταβλητή και οι μεμονωμένες τιμές της μπορεί να απέχουν αρκετά ένα. Αλλά η πιθανότητα ενός τέτοιου (μακριά από ένα) τιμές με αύξηση nτείνει στο 0.

Σχόλιο. Το συμπέρασμα του συμπεράσματος ισχύει προφανώς και στη γενικότερη περίπτωση όταν οι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές Χ 1 , Χ 2 , … , Χ n … έχουν διαφορετική κατανομή, αλλά τις ίδιες μαθηματικές προσδοκίες (ίσες ένα) και οι αποκλίσεις περιορισμένες στο σύνολο. Αυτό καθιστά δυνατή την πρόβλεψη της ακρίβειας της μέτρησης μιας συγκεκριμένης ποσότητας, ακόμα κι αν αυτές οι μετρήσεις γίνονται από διαφορετικά όργανα.

Ας εξετάσουμε λεπτομερέστερα την εφαρμογή αυτού του συμπεράσματος στη μέτρηση των ποσοτήτων. Ας χρησιμοποιήσουμε κάποια συσκευή nμετρήσεις της ίδιας ποσότητας, η πραγματική τιμή της οποίας είναι ένακαι δεν ξέρουμε. Τα αποτελέσματα τέτοιων μετρήσεων Χ 1 , Χ 2 , … , Χ nμπορεί να διαφέρουν σημαντικά μεταξύ τους (και από την πραγματική τιμή ένα) λόγω διαφόρων τυχαίων παραγόντων (πτώσεις πίεσης, θερμοκρασίες, τυχαίοι κραδασμοί κ.λπ.). Σκεφτείτε το r.v. Χ- μέτρηση οργάνου για μία μόνο μέτρηση μιας ποσότητας, καθώς και ένα σύνολο r.v. Χ 1 , Χ 2 , … , Χ n- ανάγνωση οργάνων στην πρώτη, δεύτερη, ..., τελευταία μέτρηση. Έτσι, καθεμία από τις ποσότητες Χ 1 , Χ 2 , … , Χ n υπάρχει μόνο μία από τις περιπτώσεις του r.v. Χ, και επομένως έχουν όλα την ίδια κατανομή με το r.v. Χ. Δεδομένου ότι τα αποτελέσματα των μετρήσεων είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους, το r.v. Χ 1 , Χ 2 , … , Χ nμπορεί να θεωρηθεί ανεξάρτητη. Εάν η συσκευή δεν δίνει συστηματικό σφάλμα (για παράδειγμα, το μηδέν δεν «χτυπιέται» στη ζυγαριά, το ελατήριο δεν τεντώνεται κ.λπ.), τότε μπορούμε να υποθέσουμε ότι η μαθηματική προσδοκία Μ(Χ) = α, και ως εκ τούτου Μ(Χ 1 ) = ... = Μ(Χ n ) = α. Έτσι, πληρούνται οι προϋποθέσεις του παραπάνω συμπεράσματος, και ως εκ τούτου, ως κατά προσέγγιση τιμή της ποσότητας έναμπορούμε να πάρουμε την «υλοποίηση» μιας τυχαίας μεταβλητής
στο πείραμά μας (που αποτελείται από μια σειρά από nμετρήσεις), δηλ.

.

Με μεγάλο αριθμό μετρήσεων, η καλή ακρίβεια του υπολογισμού χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο είναι πρακτικά αξιόπιστη. Αυτό είναι το σκεπτικό της πρακτικής αρχής ότι, με μεγάλο αριθμό μετρήσεων, ο αριθμητικός μέσος όρος τους ουσιαστικά δεν διαφέρει πολύ από την πραγματική τιμή της μετρούμενης ποσότητας.

Η «επιλεκτική» μέθοδος, η οποία χρησιμοποιείται ευρέως στις μαθηματικές στατιστικές, βασίζεται στον νόμο των μεγάλων αριθμών, ο οποίος επιτρέπει την απόκτηση των αντικειμενικών χαρακτηριστικών της με αποδεκτή ακρίβεια από ένα σχετικά μικρό δείγμα τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής. Αλλά αυτό θα συζητηθεί στην επόμενη ενότητα.

Παράδειγμα. Σε μια συσκευή μέτρησης που δεν κάνει συστηματικές παραμορφώσεις, μετράται μια συγκεκριμένη ποσότητα έναμία φορά (ληφθείσα αξία Χ 1 ), και μετά άλλες 99 φορές (λαμβανόμενες τιμές Χ 2 , … , Χ 100 ). Για την πραγματική τιμή της μέτρησης έναπρώτα πάρτε το αποτέλεσμα της πρώτης μέτρησης
, και μετά τον αριθμητικό μέσο όρο όλων των μετρήσεων
. Η ακρίβεια μέτρησης της συσκευής είναι τέτοια ώστε η τυπική απόκλιση της μέτρησης σ να μην είναι μεγαλύτερη από 1 (γιατί η διασπορά ρε=σ 2 επίσης δεν υπερβαίνει το 1). Για καθεμία από τις μεθόδους μέτρησης, υπολογίστε την πιθανότητα το σφάλμα μέτρησης να μην υπερβαίνει το 2.

Λύση. Αφήστε r.v. Χ- ανάγνωση οργάνων για μία μόνο μέτρηση. Μετά από συνθήκη Μ(Χ)=α. Για να απαντήσουμε στα ερωτήματα που τέθηκαν, εφαρμόζουμε τη γενικευμένη ανισότητα Chebyshev

για ε =2 πρώτα για n=1 και μετά για n=100 . Στην πρώτη περίπτωση, παίρνουμε
, και στο δεύτερο. Έτσι, η δεύτερη περίπτωση εγγυάται πρακτικά τη δεδομένη ακρίβεια μέτρησης, ενώ η πρώτη αφήνει σοβαρές αμφιβολίες υπό αυτή την έννοια.

Ας εφαρμόσουμε τις παραπάνω προτάσεις στις τυχαίες μεταβλητές που προκύπτουν στο σχήμα Bernoulli. Ας θυμηθούμε την ουσία αυτού του σχήματος. Αφήστε το να παραχθεί n ανεξάρτητες δοκιμές, σε καθεμία από τις οποίες κάποιο γεγονός ΑΛΛΑμπορεί να εμφανιστεί με την ίδια πιθανότητα R, ένα q=1–r(κατά την έννοια, αυτή είναι η πιθανότητα του αντίθετου γεγονότος - όχι η εμφάνιση ενός γεγονότος ΑΛΛΑ) . Ας ξοδέψουμε έναν αριθμό nτέτοιες δοκιμές. Εξετάστε τυχαίες μεταβλητές: Χ 1 – αριθμός περιστατικών του συμβάντος ΑΛΛΑσε 1 η δοκιμή, ..., Χ n– αριθμός περιστατικών του συμβάντος ΑΛΛΑσε nη δοκιμή. Όλα τα εισαγόμενα r.v. μπορεί να πάρει αξίες 0 ή 1 (Εκδήλωση ΑΛΛΑμπορεί να εμφανιστεί στη δοκιμή ή όχι), και η τιμή 1 υπό όρους αποδεκτή σε κάθε δοκιμή με πιθανότητα Π(πιθανότητα εμφάνισης ενός γεγονότος ΑΛΛΑσε κάθε δοκιμή) και την τιμή 0 με πιθανότητα q= 1 – Π. Επομένως, αυτές οι ποσότητες έχουν τους ίδιους νόμους κατανομής:

Επομένως, οι μέσες τιμές αυτών των ποσοτήτων και οι διασπορές τους είναι επίσης οι ίδιες: Μ(Χ 1 )=0 ∙ q+1 ∙ p= p, …, M(X n )= σελ ; ρε(Χ 1 )=(0 2 ∙ q+1 2 ∙ Π)− Π 2 = Π∙(1− Π)= Π ∙ q,…, ρε(Χ n )= Π ∙ q . Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές στη γενικευμένη ανισότητα Chebyshev, λαμβάνουμε

.

Είναι σαφές ότι το r.v. Χ=Χ 1 +…+Χ nείναι ο αριθμός των εμφανίσεων του συμβάντος ΑΛΛΑσε όλα nδοκιμές (όπως λένε - "ο αριθμός των επιτυχιών" σε nδοκιμές). Αφήστε το nδοκιμαστική εκδήλωση ΑΛΛΑεμφανίστηκε σε κ από αυτούς. Τότε η προηγούμενη ανισότητα μπορεί να γραφτεί ως

.

Αλλά το μέγεθος
, ίση με την αναλογία του αριθμού των εμφανίσεων του συμβάντος ΑΛΛΑσε nανεξάρτητες δοκιμές, στον συνολικό αριθμό των δοκιμών, που προηγουμένως ονομάζονταν το σχετικό ποσοστό συμβάντων ΑΛΛΑσε nδοκιμές. Επομένως, υπάρχει μια ανισότητα

.

Περνώντας τώρα στο όριο στο n→∞, παίρνουμε
, δηλ.
(κατά πιθανότητα). Αυτό είναι το περιεχόμενο του νόμου των μεγάλων αριθμών με τη μορφή του Bernoulli. Από αυτό προκύπτει ότι για έναν αρκετά μεγάλο αριθμό δοκιμών nαυθαίρετα μικρές αποκλίσεις της σχετικής συχνότητας
γεγονότα από την πιθανότητα του Rείναι σχεδόν βέβαια γεγονότα και οι μεγάλες αποκλίσεις είναι σχεδόν αδύνατες. Το συμπέρασμα που προκύπτει σχετικά με μια τέτοια σταθερότητα σχετικών συχνοτήτων (την οποία αναφέραμε προηγουμένως ως πειραματικόςγεγονός) δικαιολογεί τον προηγουμένως εισαγόμενο στατιστικό ορισμό της πιθανότητας ενός γεγονότος ως ένας αριθμός γύρω από τον οποίο κυμαίνεται η σχετική συχνότητα ενός συμβάντος.

Λαμβάνοντας υπόψη ότι η έκφραση Π∙ q= Π∙(1− Π)= Π− Π 2 δεν υπερβαίνει το διάστημα αλλαγής
(είναι εύκολο να επαληθευτεί αυτό βρίσκοντας το ελάχιστο αυτής της συνάρτησης σε αυτό το τμήμα), από την παραπάνω ανισότητα
εύκολο να το πάρεις

,

που χρησιμοποιείται για την επίλυση των αντίστοιχων προβλημάτων (ένα από αυτά θα δοθεί παρακάτω).

Παράδειγμα. Το κέρμα αναποδογυρίστηκε 1000 φορές. Υπολογίστε την πιθανότητα η απόκλιση της σχετικής συχνότητας εμφάνισης του θυρεού από την πιθανότητα να είναι μικρότερη από 0,1.

Λύση. Εφαρμογή της ανισότητας
στο Π= q=1/2 , n=1000 , ε=0,1, παίρνουμε .

Παράδειγμα. Υπολογίστε την πιθανότητα ότι, υπό τις συνθήκες του προηγούμενου παραδείγματος, ο αριθμός κτων πεσμένων θυρεών θα είναι στο εύρος των 400 πριν 600 .

Λύση. Κατάσταση 400< κ<600 σημαίνει ότι 400/1000< κ/ n<600/1000 , δηλ. 0.4< W n (ΕΝΑ)<0.6 ή
. Όπως μόλις είδαμε από το προηγούμενο παράδειγμα, η πιθανότητα ενός τέτοιου γεγονότος είναι τουλάχιστον 0.975 .

Παράδειγμα. Να υπολογίσετε την πιθανότητα κάποιου γεγονότος ΑΛΛΑΠραγματοποιήθηκαν 1000 πειράματα, στα οποία το συμβάν ΑΛΛΑεμφανίστηκε 300 φορές. Υπολογίστε την πιθανότητα ότι η σχετική συχνότητα (ίση με 300/1000=0,3) είναι διαφορετική από την πραγματική πιθανότητα Rόχι περισσότερο από 0,1.

Λύση. Εφαρμόζοντας την παραπάνω ανισότητα
για n=1000, ε=0,1 , παίρνουμε .

Διάλεξη 8. Ενότητα 1. Θεωρία πιθανοτήτων

Θέματα υπό εξέταση

1) Ο νόμος των μεγάλων αριθμών.

2) Κεντρικό οριακό θεώρημα.

Ο νόμος των μεγάλων αριθμών.

Ο νόμος των μεγάλων αριθμών με την ευρεία έννοια νοείται ως η γενική αρχή σύμφωνα με την οποία, με μεγάλο αριθμό τυχαίων μεταβλητών, το μέσο αποτέλεσμά τους παύει να είναι τυχαίο και μπορεί να προβλεφθεί με υψηλό βαθμό βεβαιότητας.

Ο νόμος των μεγάλων αριθμών με τη στενή έννοια νοείται ως ένας αριθμός μαθηματικών θεωρημάτων, σε καθένα από τα οποία, υπό ορισμένες προϋποθέσεις, καθιερώνεται η δυνατότητα προσέγγισης των μέσων χαρακτηριστικών ενός μεγάλου αριθμού δοκιμών.

σε ορισμένες καθορισμένες σταθερές. Για την απόδειξη θεωρημάτων αυτού του είδους, χρησιμοποιούνται οι ανισότητες του Markov και του Chebyshev, οι οποίες έχουν επίσης ανεξάρτητο ενδιαφέρον.

Θεώρημα 1 (ανισότητα Markov). Εάν μια τυχαία μεταβλητή παίρνει μη αρνητικές τιμές και έχει μαθηματική προσδοκία, τότε για κάθε θετικό αριθμό η ανισότητα

Απόδειξηθα πραγματοποιήσουμε για μια διακριτή τυχαία μεταβλητή. Θα υποθέσουμε ότι παίρνει τιμές από τις οποίες οι πρώτες είναι μικρότερες ή ίσες και όλες οι άλλες μεγαλύτερες.

όπου

Παράδειγμα 1Ο μέσος αριθμός κλήσεων που φτάνουν στον εργοστασιακό διακόπτη σε μια ώρα είναι 300. Υπολογίστε την πιθανότητα ότι την επόμενη ώρα ο αριθμός των κλήσεων στον διακόπτη:

1) θα ξεπεράσει τα 400.

2) δεν θα είναι περισσότερο από 500.

Λύση. 1) Έστω η τυχαία μεταβλητή ο αριθμός των κλήσεων που φτάνουν στον διακόπτη κατά τη διάρκεια μιας ώρας. Η μέση τιμή είναι . Πρέπει λοιπόν να αξιολογήσουμε. Σύμφωνα με την ανισότητα Markov

2) Έτσι, η πιθανότητα ο αριθμός των κλήσεων να μην υπερβαίνει τις 500 είναι τουλάχιστον 0,4.

Παράδειγμα 2Το άθροισμα όλων των καταθέσεων σε ένα τραπεζικό υποκατάστημα είναι 2 εκατομμύρια ρούβλια και η πιθανότητα μια τυχαία κατάθεση να μην υπερβαίνει τα 10 χιλιάδες ρούβλια είναι 0,6. Τι μπορεί να ειπωθεί για τον αριθμό των συντελεστών;

Λύση.Έστω μια τυχαία ληφθείσα τιμή το μέγεθος μιας τυχαίας συνεισφοράς και ο αριθμός όλων των συνεισφορών. Τότε (χίλια). Σύμφωνα με την ανισότητα του Markov, από πού

Παράδειγμα 3Έστω η ώρα που ένας μαθητής καθυστερεί σε μια διάλεξη, και είναι γνωστό ότι, κατά μέσο όρο, αργεί 1 λεπτό. Υπολογίστε την πιθανότητα ο μαθητής να καθυστερήσει τουλάχιστον 5 λεπτά.

Λύση.Με την υπόθεση Εφαρμόζοντας την ανισότητα Markov, λαμβάνουμε ότι

Έτσι, σε κάθε 5 μαθητές, δεν θα καθυστερήσει τουλάχιστον 1 μαθητής τουλάχιστον 5 λεπτά.

Θεώρημα 2 (ανισότητα Chebyshev). .

Απόδειξη.Έστω μια τυχαία μεταβλητή X που δίνεται από μια σειρά κατανομών

Σύμφωνα με τον ορισμό της διασποράς Ας εξαιρέσουμε από αυτό το άθροισμα εκείνους τους όρους για τους οποίους . Παράλληλα, αφού Όλοι οι όροι είναι μη αρνητικοί, το άθροισμα μπορεί μόνο να μειωθεί. Για βεβαιότητα, θα υποθέσουμε ότι το πρώτο κόροι. Επειτα

Συνεπώς, .

Η ανισότητα του Chebyshev καθιστά δυνατή την εκτίμηση από ψηλά της πιθανότητας μιας τυχαίας μεταβλητής να αποκλίνει από τις μαθηματικές προσδοκίες της με βάση πληροφορίες μόνο για τη διακύμανσή της. Χρησιμοποιείται ευρέως, για παράδειγμα, στη θεωρία της εκτίμησης.

Παράδειγμα 4Ένα νόμισμα πετιέται 10.000 φορές. Υπολογίστε την πιθανότητα η συχνότητα του εθνόσημου να διαφέρει από 0,01 ή περισσότερο.

Λύση.Ας εισαγάγουμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές, όπου είναι μια τυχαία μεταβλητή με τη σειρά διανομής

Επειτα αφού κατανέμεται σύμφωνα με τον διωνυμικό νόμο με Η συχνότητα εμφάνισης του εθνόσημου είναι μια τυχαία μεταβλητή όπου . Επομένως, η διασπορά της συχνότητας εμφάνισης του εθνόσημου είναι Σύμφωνα με την ανισότητα Chebyshev, .

Έτσι, κατά μέσο όρο, σε όχι περισσότερες από το ένα τέταρτο των περιπτώσεων στις 10.000 ρίψεις νομισμάτων, η συχνότητα του θυρεού θα διαφέρει από το ένα εκατοστό ή περισσότερο.

Θεώρημα 3 (Chebyshev).Αν είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές των οποίων οι διακυμάνσεις είναι ομοιόμορφα οριοθετημένες (), τότε

Απόδειξη.Επειδή

τότε εφαρμόζοντας την ανισότητα Chebyshev, λαμβάνουμε

Εφόσον η πιθανότητα ενός γεγονότος δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη από 1, παίρνουμε αυτό που θέλουμε.

Συνέπεια 1.Αν είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές με ομοιόμορφα οριοθετημένες διακυμάνσεις και την ίδια μαθηματική προσδοκία ίση με ένα, έπειτα

Η ισότητα (1) υποδηλώνει ότι οι τυχαίες αποκλίσεις μεμονωμένων ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών από την κοινή μέση τιμή τους, όταν είναι μεγάλες στη μάζα τους, αλληλοεξουδετερώνονται. Επομένως, αν και οι ίδιες οι ποσότητες είναι τυχαίες, ο μέσος όρος τους γενικά, πρακτικά δεν είναι πλέον τυχαίο και κοντά στο . Αυτό σημαίνει ότι εάν δεν είναι γνωστό εκ των προτέρων, τότε μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον αριθμητικό μέσο όρο. Αυτή η ιδιότητα των ακολουθιών ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών ονομάζεται ο νόμος της στατιστικής σταθερότητας.Ο νόμος της στατιστικής σταθερότητας τεκμηριώνει τη δυνατότητα εφαρμογής της ανάλυσης των στατιστικών στη λήψη συγκεκριμένων διαχειριστικών αποφάσεων.

Θεώρημα 4 (Bernoulli).Αν σε κάθε ένα από Πανεξάρτητα πειράματα, η πιθανότητα p της εμφάνισης του γεγονότος Α είναι σταθερή, λοιπόν

,

πού είναι ο αριθμός των εμφανίσεων του συμβάντος Α για αυτά Πδοκιμές.

Απόδειξη.Εισάγουμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές, όπου Χ Εγώείναι μια τυχαία μεταβλητή με σειρά διανομής

Στη συνέχεια, Μ(Χ Εγώ)=p, D(X Εγώ)=pq. Από τότε, D(X Εγώ) περιορίζονται συνολικά. Από το θεώρημα του Chebyshev προκύπτει ότι

.

Αλλά Χ 1 + Χ 2 + ... + Χ Πείναι ο αριθμός των εμφανίσεων του γεγονότος Α σε μια σειρά από Πδοκιμές.

Το νόημα του θεωρήματος του Bernoulli είναι ότι με μια απεριόριστη αύξηση στον αριθμό των πανομοιότυπων ανεξάρτητων πειραμάτων, με πρακτική βεβαιότητα, μπορεί να υποστηριχθεί ότι η συχνότητα εμφάνισης ενός γεγονότος θα διαφέρει ελάχιστα αυθαίρετα από την πιθανότητα εμφάνισής του σε ένα ξεχωριστό πείραμα. ( στατιστική σταθερότητα της πιθανότητας συμβάντος).Επομένως, το θεώρημα του Bernoulli χρησιμεύει ως γέφυρα από τη θεωρία των εφαρμογών στις εφαρμογές της.

Ποιο είναι το μυστικό των επιτυχημένων πωλητών; Αν παρακολουθήσετε τους καλύτερους πωλητές οποιασδήποτε εταιρείας, θα παρατηρήσετε ότι έχουν ένα κοινό χαρακτηριστικό. Καθένας από αυτούς συναντά περισσότερα άτομα και κάνει περισσότερες παρουσιάσεις από τους λιγότερο επιτυχημένους πωλητές. Αυτοί οι άνθρωποι κατανοούν ότι οι πωλήσεις είναι ένα παιχνίδι αριθμών και όσο περισσότεροι λένε για τα προϊόντα ή τις υπηρεσίες τους, τόσο περισσότερες προσφορές κλείνουν, αυτό είναι όλο. Καταλαβαίνουν ότι αν επικοινωνήσουν όχι μόνο με αυτούς τους λίγους που σίγουρα θα τους πουν ναι, αλλά και με αυτούς που το ενδιαφέρον για την πρότασή τους δεν είναι τόσο μεγάλο, τότε ο νόμος των μέσων όρων θα λειτουργήσει υπέρ τους.

Τα κέρδη σας θα εξαρτηθούν από τον αριθμό των πωλήσεων, αλλά ταυτόχρονα, θα είναι ευθέως ανάλογα με τον αριθμό των παρουσιάσεων που κάνετε. Μόλις κατανοήσετε και αρχίσετε να εφαρμόζετε τον νόμο των μέσων όρων, το άγχος που σχετίζεται με την έναρξη μιας νέας επιχείρησης ή την εργασία σε έναν νέο τομέα θα αρχίσει να μειώνεται. Και ως αποτέλεσμα, η αίσθηση του ελέγχου και της εμπιστοσύνης στην ικανότητά τους να κερδίζουν θα αρχίσει να αυξάνεται. Εάν κάνετε απλώς παρουσιάσεις και βελτιώσετε τις δεξιότητές σας στη διαδικασία, θα υπάρξουν προσφορές.

Αντί να σκέφτεστε τον αριθμό των προσφορών, σκεφτείτε τον αριθμό των παρουσιάσεων. Δεν έχει νόημα να ξυπνάτε το πρωί ή να επιστρέφετε σπίτι το βράδυ και να αρχίζετε να αναρωτιέστε ποιος θα αγοράσει το προϊόν σας. Αντίθετα, είναι καλύτερο να προγραμματίζετε κάθε μέρα πόσες κλήσεις πρέπει να πραγματοποιείτε. Και μετά, ό,τι κι αν γίνει - κάντε όλες αυτές τις κλήσεις! Αυτή η προσέγγιση θα κάνει τη δουλειά σας πιο εύκολη - γιατί είναι ένας απλός και συγκεκριμένος στόχος. Αν γνωρίζετε ότι έχετε μπροστά σας έναν πολύ συγκεκριμένο και εφικτό στόχο, θα σας είναι πιο εύκολο να πραγματοποιήσετε τον προγραμματισμένο αριθμό κλήσεων. Αν ακούσετε «ναι» μερικές φορές κατά τη διάρκεια αυτής της διαδικασίας, τόσο το καλύτερο!

Και αν "όχι", τότε το βράδυ θα νιώσετε ότι ειλικρινά κάνατε ό,τι μπορούσατε και δεν θα σας βασανίζουν οι σκέψεις για το πόσα χρήματα έχετε κερδίσει ή πόσους συνεργάτες έχετε αποκτήσει σε μια μέρα.

Ας πούμε στην εταιρεία ή την επιχείρησή σας, ο μέσος πωλητής κλείνει μία συμφωνία κάθε τέσσερις παρουσιάσεις. Τώρα φανταστείτε ότι τραβάτε κάρτες από μια τράπουλα. Κάθε κάρτα με τρία κοστούμια - μπαστούνια, διαμάντια και μπαστούνια - είναι μια παρουσίαση όπου παρουσιάζετε επαγγελματικά ένα προϊόν, μια υπηρεσία ή μια ευκαιρία. Το κάνεις όσο καλύτερα μπορείς, αλλά και πάλι δεν κλείνεις τη συμφωνία. Και κάθε κάρτα καρδιάς είναι μια συμφωνία που σας επιτρέπει να αποκτήσετε χρήματα ή να αποκτήσετε έναν νέο σύντροφο.

Σε μια τέτοια κατάσταση, δεν θα θέλατε να τραβήξετε όσο το δυνατόν περισσότερα φύλλα από την τράπουλα; Ας υποθέσουμε ότι σας προσφέρεται να τραβήξετε όσες κάρτες θέλετε, ενώ σας πληρώνουν ή προτείνουν έναν νέο σύντροφο κάθε φορά που τραβάτε μια κάρτα καρδιάς. Θα αρχίσετε να τραβάτε χαρτιά με ενθουσιασμό, μόλις και μετά βίας προσέχοντας τι χρώμα έχει μόλις τραβήξει το φύλλο.

Ξέρετε ότι υπάρχουν δεκατρείς καρδιές σε μια τράπουλα με πενήντα δύο φύλλα. Και σε δύο τράπουλες - είκοσι έξι καρδιές, και ούτω καθεξής. Θα απογοητευτείτε ζωγραφίζοντας μπαστούνια, διαμάντια ή μπαστούνια; Φυσικά και όχι! Θα σκεφτείς μόνο ότι κάθε τέτοια «δεσποινίδα» σε φέρνει πιο κοντά – σε τι; Στην κάρτα της καρδιάς!

Αλλά ξέρετε τι; Σας έχει ήδη δοθεί αυτή η προσφορά. Είστε σε μια μοναδική θέση να κερδίσετε όσα θέλετε και να τραβήξετε όσες κάρτες καρδιάς θέλετε να τραβήξετε στη ζωή σας. Και αν απλώς «τραβήξεις» ευσυνείδητα, βελτιώσεις τις ικανότητές σου και αντέχεις λίγο φτυάρι, διαμάντι και μπαστούνι, τότε θα γίνεις εξαιρετικός πωλητής και θα πετύχεις.

Ένα από τα πράγματα που κάνει την πώληση τόσο διασκεδαστική είναι ότι κάθε φορά που ανακατεύετε την τράπουλα, τα χαρτιά ανακατεύονται διαφορετικά. Μερικές φορές όλες οι καρδιές καταλήγουν στην αρχή της τράπουλας και μετά από ένα επιτυχημένο σερί (όταν ήδη μας φαίνεται ότι δεν θα χάσουμε ποτέ!) Περιμένουμε μια μεγάλη σειρά από φύλλα διαφορετικού χρώματος. Και μια άλλη φορά, για να φτάσεις στην πρώτη καρδιά, πρέπει να περάσεις από άπειρα μπαστούνια, μπαστούνια και ντέφια. Και μερικές φορές κάρτες διαφορετικών κοστουμιών πέφτουν αυστηρά με τη σειρά τους. Αλλά σε κάθε περίπτωση, σε κάθε τράπουλα με πενήντα δύο φύλλα, με κάποια σειρά, υπάρχουν πάντα δεκατρείς καρδιές. Απλώς τραβήξτε τις κάρτες μέχρι να τις βρείτε.

Νόμος των Μεγάλων Αριθμών

Νόμος των μεγάλων αριθμώνστη θεωρία πιθανοτήτων δηλώνει ότι ο εμπειρικός μέσος όρος (αριθμητικός μέσος όρος) ενός αρκετά μεγάλου πεπερασμένου δείγματος από μια σταθερή κατανομή είναι κοντά στον θεωρητικό μέσο όρο (προσδοκία) αυτής της κατανομής. Ανάλογα με τον τύπο της σύγκλισης, υπάρχει ένας ασθενής νόμος των μεγάλων αριθμών, όταν λαμβάνει χώρα σύγκλιση στις πιθανότητες, και ένας ισχυρός νόμος των μεγάλων αριθμών, όταν η σύγκλιση λαμβάνει χώρα σχεδόν παντού.

Θα υπάρχει πάντα ένας τέτοιος αριθμός δοκιμών που, με οποιαδήποτε προκαθορισμένη πιθανότητα, η σχετική συχνότητα εμφάνισης κάποιου γεγονότος θα διαφέρει ελάχιστα αυθαίρετα από την πιθανότητα του.

Η γενική έννοια του νόμου των μεγάλων αριθμών είναι ότι η κοινή δράση ενός μεγάλου αριθμού τυχαίων παραγόντων οδηγεί σε ένα αποτέλεσμα σχεδόν ανεξάρτητο από την τύχη.

Οι μέθοδοι για την εκτίμηση της πιθανότητας που βασίζονται στην ανάλυση ενός πεπερασμένου δείγματος βασίζονται σε αυτήν την ιδιότητα. Ένα καλό παράδειγμα είναι η πρόβλεψη των εκλογικών αποτελεσμάτων με βάση μια έρευνα δείγματος ψηφοφόρων.

Αδύναμος νόμος των μεγάλων αριθμών

Έστω μια άπειρη ακολουθία (διαδοχική απαρίθμηση) πανομοιότυπα κατανεμημένων και μη συσχετισμένων τυχαίων μεταβλητών, που ορίζονται στον ίδιο χώρο πιθανοτήτων. Δηλαδή η συνδιακύμανσή τους. Αφήστε . Ας υποδηλώσουμε τη μέση τιμή δείγματος των πρώτων όρων:

Ισχυρός νόμος των μεγάλων αριθμών

Έστω μια άπειρη ακολουθία ανεξάρτητων πανομοιότυπα κατανεμημένων τυχαίων μεταβλητών, που ορίζονται στον ίδιο χώρο πιθανοτήτων. Αφήστε . Ας υποδηλώσουμε τη μέση τιμή δείγματος των πρώτων όρων:

Τότε σχεδόν σίγουρα.

δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

• Shiryaev A. N.Πιθανότητα, - M .: Επιστήμη. 1989.
• Chistyakov V.P.Μάθημα θεωρίας πιθανοτήτων, - Μ., 1982.

Ίδρυμα Wikimedia. 2010 .

• Κινηματογράφος της Ρωσίας
• Γκρομέκα, Μιχαήλ Στεπάνοβιτς

Δείτε τι είναι ο «Νόμος των Μεγάλων Αριθμών» σε άλλα λεξικά:

ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΜΕΓΑΛΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ- (νόμος των μεγάλων αριθμών) Στην περίπτωση που η συμπεριφορά μεμονωμένων μελών του πληθυσμού είναι ιδιαίτερα διακριτική, η συμπεριφορά της ομάδας είναι κατά μέσο όρο πιο προβλέψιμη από τη συμπεριφορά οποιουδήποτε από τα μέλη της. Η τάση στην οποία οι ομάδες ...... Οικονομικό λεξικό

ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΜΕΓΑΛΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ- βλέπε ΝΟΜΟ ΤΩΝ ΜΕΓΑΛΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. Αντινάζι. Εγκυκλοπαίδεια Κοινωνιολογίας, 2009 ... Εγκυκλοπαίδεια Κοινωνιολογίας

Νόμος των Μεγάλων Αριθμών- η αρχή σύμφωνα με την οποία τα ποσοτικά πρότυπα που είναι εγγενή στα μαζικά κοινωνικά φαινόμενα εκδηλώνονται πιο ξεκάθαρα με έναν αρκετά μεγάλο αριθμό παρατηρήσεων. Τα μεμονωμένα φαινόμενα είναι πιο επιρρεπή στις επιπτώσεις των τυχαίων και ... ... Γλωσσάρι επιχειρησιακών όρων

ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΜΕΓΑΛΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ- ισχυρίζεται ότι με πιθανότητα κοντά στο ένα, ο αριθμητικός μέσος όρος ενός μεγάλου αριθμού τυχαίων μεταβλητών περίπου ίδιας τάξης θα διαφέρει ελάχιστα από μια σταθερά ίση με τον αριθμητικό μέσο όρο των μαθηματικών προσδοκιών αυτών των μεταβλητών. Διαφορά…… Γεωλογική Εγκυκλοπαίδεια

νόμος των μεγάλων αριθμών- — [Ya.N. Luginsky, M.S. Fezi Zhilinskaya, Yu.S. Kabirov. English Russian Dictionary of Electrical Engineering and Power Industry, Μόσχα, 1999] Θέματα ηλεκτρολογικής μηχανικής, βασικές έννοιες EN νόμος του μέσου όρου του νόμου μεγάλων αριθμών ... Εγχειρίδιο Τεχνικού Μεταφραστή

νόμος των μεγάλων αριθμών- didžiųjų skaičių dėsnis statusas T sritis fizika atitikmenys: αγγλ. νόμος των μεγάλων αριθμών vok. Gesetz der großen Zahlen, n rus. νόμος των μεγάλων αριθμών, m pranc. loi des grands nombres, f … Fizikos terminų žodynas

ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΜΕΓΑΛΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ- μια γενική αρχή, λόγω της οποίας η συνδυασμένη δράση τυχαίων παραγόντων οδηγεί, υπό ορισμένες πολύ γενικές συνθήκες, σε ένα αποτέλεσμα σχεδόν ανεξάρτητο από την τύχη. Η σύγκλιση της συχνότητας εμφάνισης ενός τυχαίου γεγονότος με την πιθανότητα του με αύξηση του αριθμού ... ... Ρωσική κοινωνιολογική εγκυκλοπαίδεια

Νόμος των Μεγάλων Αριθμών- ο νόμος που ορίζει ότι η σωρευτική δράση ενός μεγάλου αριθμού τυχαίων παραγόντων οδηγεί, υπό ορισμένες πολύ γενικές συνθήκες, σε ένα αποτέλεσμα σχεδόν ανεξάρτητο από την τύχη... Κοινωνιολογία: λεξικό

ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΜΕΓΑΛΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ- στατιστικός νόμος που εκφράζει τη σχέση στατιστικών δεικτών (παραμέτρων) του δείγματος και του γενικού πληθυσμού. Οι πραγματικές τιμές των στατιστικών δεικτών που λαμβάνονται από ένα συγκεκριμένο δείγμα διαφέρουν πάντα από τα λεγόμενα. θεωρητικό...... Κοινωνιολογία: Εγκυκλοπαίδεια

ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΜΕΓΑΛΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ- η αρχή ότι η συχνότητα των οικονομικών ζημιών ενός συγκεκριμένου τύπου μπορεί να προβλεφθεί με μεγάλη ακρίβεια όταν υπάρχει μεγάλος αριθμός απωλειών παρόμοιου τύπου ... Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό Οικονομικών και Νομικών

Βιβλία

• Ένα σετ τραπεζιών. Μαθηματικά. Θεωρία Πιθανοτήτων και Μαθηματική Στατιστική. 6 πίνακες + μεθοδολογία, . Οι πίνακες είναι τυπωμένοι σε χοντρό πολυγραφικό χαρτόνι διαστάσεων 680 x 980 mm. Το κιτ περιλαμβάνει φυλλάδιο με μεθοδολογικές συστάσεις για εκπαιδευτικούς. Εκπαιδευτικό λεύκωμα 6 φύλλων. Τυχαίος…