На случаен принцип се хвърля два пъти симетрична монета. Математиката и ние. Метод на комбинирано изброяване
Формулиране на задачата:При произволен експеримент симетрична монета се хвърля два пъти. Намерете вероятността главите (опашките) да не паднат дори веднъж (ще паднат точно / поне 1, 2 пъти).
Задачата е включена в USE по математика на основно ниво за 11 клас под номер 10 (Класическа дефиниция на вероятността).
Нека да видим как се решават такива проблеми с примери.
Пример за задача 1:
При произволен експеримент симетрична монета се хвърля два пъти. Намерете вероятността главите никога да не се появяват.
OO ИЛИ RO RR
Такива комбинации са общо 4. Интересуват ни само онези от тях, в които няма нито един орел. Има само една такава комбинация (PP).
P = 1/4 = 0,25
Отговор: 0,25
Пример за задача 2:
При произволен експеримент симетрична монета се хвърля два пъти. Намерете вероятността да се появи глави точно два пъти.
Помислете за всички възможни комбинации, които могат да паднат, ако монетата бъде хвърлена два пъти. За удобство ще обозначим орела с буквата O, а опашките с буквата P:
OO ИЛИ RO RR
Такива комбинации са общо 4. Интересуват ни само онези комбинации, в които главите се появяват точно 2 пъти. Има само една такава комбинация (OO).
P = 1/4 = 0,25
Отговор: 0,25
Пример за задача 3:
При произволен експеримент симетрична монета се хвърля два пъти. Намерете вероятността да се появи точно веднъж.
Помислете за всички възможни комбинации, които могат да паднат, ако монетата бъде хвърлена два пъти. За удобство ще обозначим орела с буквата O, а опашките с буквата P:
OO ИЛИ RO RR
Такива комбинации са общо 4. Интересуват ни само онези от тях, при които главите са паднали точно 1 път. Има само две такива комбинации (OP и RO).
Отговор: 0,5
Пример за задача 4:
При произволен експеримент симетрична монета се хвърля два пъти. Намерете вероятността главите да се появят поне веднъж.
Помислете за всички възможни комбинации, които могат да паднат, ако монетата бъде хвърлена два пъти. За удобство ще обозначим орела с буквата O, а опашките с буквата P:
OO ИЛИ RO RR
Такива комбинации са общо 4. Интересуват ни само онези комбинации, при които главите падат поне веднъж. Има само три такива комбинации (OO, OR и RO).
P = 3/4 = 0,75
В случаен експеримент се хвърля симетрична монета...
Като предговор.
Всеки знае, че една монета има две страни - глави и опашки.
Нумизматите смятат, че монетата има три страни – аверс, реверс и ръб.
И сред тях, и сред другите, малко хора знаят какво е симетрична монета. Но те знаят за това (е, или трябва да знаят :), тези, които се готвят да положат изпита.
Като цяло тази статия ще се съсредоточи върху необичайна монета, която няма нищо общо с нумизматиката, но в същото време е най-популярната монета сред учениците.
Така.
Симетрична монета- това е въображаема математически идеална монета без размер, тегло, диаметър и т.н. В резултат на това такава монета също няма ръб, тоест тя наистина има само две страни. Основното свойство на симетричната монета е, че при такива условия вероятността от падане на глави или опашки е абсолютно еднаква. И те излязоха със симетрична монета за мисловни експерименти.
Най-популярният проблем със симетрична монета звучи така - „В случаен експеримент симетрична монета се хвърля два пъти (три пъти, четири пъти и т.н.). Необходимо е да се определи вероятността една от страните да изпадне определен брой пъти.
Решаване на задачата със симетрична монета
Ясно е, че в резултат на хвърлянето монетата ще падне или с глави, или с опашки. Колко пъти - зависи колко хвърляния да направите. Вероятността за получаване на глави или опашки се изчислява, като се раздели броят на резултатите, които отговарят на условието, на общия брой възможни резултати.
Едно хвърляне
Тук всичко е просто. Ще излязат или глави, или опашки. Тези. имаме два възможни изхода, единият от които ни удовлетворява - 1/2=50%
Двухвърляне
За две хвърляния може да падне:
два орела
две опашки
глави, след това опашки
опашки, след това глави
Тези. възможни са само четири варианта. Проблемите с повече от едно хвърляне се решават най-лесно, като се направи таблица с възможните опции. За простота, нека обозначим главите като "0" и опашките като "1". Тогава таблицата с възможните резултати ще изглежда така:
00
01
10
11
Ако, например, трябва да намерите вероятността главите да паднат веднъж, просто трябва да преброите броя на подходящите опции в таблицата - т.е. онези редове, където орелът се среща веднъж. Има две такива линии. Така че вероятността да получите една глава при две хвърляния на симетрична монета е 2/4=50%
Вероятността да получите глави два пъти при две хвърляния е 1/4=25%
Три рози
Правим таблица с опции:
000
001
010
011
100
101
110
111
Тези, които са запознати с двоичното смятане, разбират до какво сме стигнали. :) Да, това са двоични числа от "0" до "7". По този начин е по-лесно да не се объркате с опциите.
Нека решим задачата от предходния параграф - изчисляваме вероятността орелът да падне веднъж. Има три реда, където "0" се среща веднъж. Така че вероятността да получите една глава при три хвърляния на симетрична монета е 3/8=37,5%
Вероятността главите при три хвърляния да паднат два пъти е 3/8=37,5%, т.е. абсолютно същото.
Вероятността главата при три хвърляния да падне три пъти е 1/8 = 12,5%.
Четири хвърляния
Правим таблица с опции:
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Вероятността главите да се появят веднъж. Има само три реда, където "0" се среща веднъж, точно както в случая с три хвърляния. Но вече има шестнадесет опции. Така че вероятността да получите една глава при четири хвърляния на симетрична монета е 3/16=18,75%
Вероятността орелът да изпадне два пъти при три хвърляния е 6/8=75%.
Вероятността главите да се появят три пъти при три хвърляния е 4/8=50%.
Така че с увеличаване на броя на хвърлянията принципът на решаване на проблема изобщо не се променя - само в подходяща прогресия броят на опциите се увеличава.
Описание на презентацията на отделни слайдове:
1 слайд
Описание на слайда:
Решаване на задачи по теория на вероятностите. Учител по математика MBOU Nivnyanskaya средно училище, Нечаева Тамара Ивановна
2 слайд
Описание на слайда:
Цели на урока: преглед различни видовепроблеми на теорията на вероятностите и методи за тяхното решаване. Цели на урока: да се научи да разпознава различни видове проблеми в теорията на вероятностите и да се усъвършенства логично мисленеученици.
3 слайд
Описание на слайда:
Задача 1. При произволен експеримент симетрична монета се хвърля 2 пъти. Намерете вероятността да получите еднакъв брой глави и опашки.
4 слайд
Описание на слайда:
Задача 2. Монета се хвърля четири пъти. Намерете вероятността никога да не се появяват опашки.
5 слайд
Описание на слайда:
Задача 3. В случаен експеримент симетрична монета се хвърля два пъти. Намерете вероятността главите да се появят точно веднъж. Решение: За да се намери вероятността за определено събитие, е необходимо да се разгледат всички възможни резултати от експеримента и след това да се изберат благоприятни резултати от тях (благоприятни резултати са резултати, които отговарят на изискванията на проблема). В нашия случай благоприятни ще бъдат тези резултати, при които при две хвърляния на симетрична монета главите ще паднат само веднъж. Вероятността за събитие се изчислява като съотношението на броя на благоприятните резултати към общия брой на резултатите. Следователно вероятността, че когато симетрична монета бъде хвърлена два пъти, главите ще паднат само веднъж, е равна на: P \u003d 2/4 \u003d 0,5 \u003d 50% Отговор: вероятността, че в резултат на горния експеримент главите ще паднат само веднъж е 50 %. Брой експерименти 1-во хвърляне 2-ро хвърляне Брой пъти Heads 1 Heads Heads 2 2 Tails Tails 0 3 Heads Tails 1 4 Tails Heads 1
6 слайд
Описание на слайда:
Задача 4. Веднъж беше хвърлен зар. Каква е вероятността броят на хвърлените точки да е по-голям от 4. Решение: Произволен експеримент – хвърляне на зар. Елементарно събитие е число на паднал ръб. Отговор: 1/3 Общо лица: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Елементарни събития: N=6 N(A)=2
7 слайд
Описание на слайда:
Задача 5. Биатлонистът стреля пет пъти по мишените. Вероятността за попадение в целта с един изстрел е 0,8. Намерете вероятността биатлонистът да удари мишените първите три пъти и да пропусне последните два. Закръглете резултата до най-близката стотна. Решение: Вероятност за попадение = 0,8 Вероятност за изчезване = 1 - 0,8 = 0,2 А=(попадение, попадение, попадение, пропуснато, пропуснато) 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 P (A) \u003d 0,512 ∙ 0,04 \u003d 0,02048 ≈ 0,02 Отговор: 0,02
8 слайд
Описание на слайда:
Задача 6. При произволен експеримент се хвърлят два зара. Намерете вероятността сумата от хвърлените точки да е 6. Закръглете отговора си до най-близката стотна Решение: Елементарният резултат в този експеримент е подредена двойка числа. Първото число ще падне на първия зар, второто на втория. Наборът от елементарни резултати е удобно представен чрез таблица. Редовете съответстват на броя точки на първия зар, колоните съответстват на втория зар. Общо има n = 36 елементарни събития. Нека напишем във всяка клетка сумата от падналите точки и оцветим клетките, където сумата е 6. Има 5 такива клетки. Следователно събитието A = (сумата от падналите точки е 6) се предпочита от 5 елементарни изхода. Следователно, m = 5. Следователно, P(A) = 5/36 = 0,14. Отговор: 0,14. 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 11 7 8 9 10 11 12
9 слайд
Описание на слайда:
Теорема за формулата на вероятността Нека монетата бъде хвърлена n пъти. Тогава вероятността главите да паднат точно k пъти може да се намери по формулата: където Cnk е броят комбинации от n елемента по k, който се изчислява по формулата:
10 слайд
Описание на слайда:
Задача 7. Монета се хвърля четири пъти. Намерете вероятността главите да се появят точно три пъти. Решение Според условието на задачата имаше общо n =4 хвърляния. Необходим брой орли: k =3. Заменете n и k във формулата: Със същия успех можете да преброите броя на опашките: k = 4 − 3 = 1. Отговорът ще бъде същият. Отговор: 0,25
11 слайд
Описание на слайда:
Задача 8. Монета се хвърля три пъти. Намерете вероятността никога да не се появяват опашки. Решение Записваме отново числата n и k. Тъй като монетата е хвърлена 3 пъти, n = 3. И тъй като не трябва да има опашки, k = 0. Остава да заменим числата n и k във формулата: Нека ви напомня, че 0! = 1 по дефиниция. Следователно C30 = 1. Отговор: 0,125
12 слайд
Описание на слайда:
Задача 9. При произволен експеримент симетрична монета се хвърля 4 пъти. Намерете вероятността главите да се появяват повече пъти, отколкото опашките. Решение: За да има повече глави от опашки, те трябва да паднат или 3 пъти (тогава ще има 1 опашка) или 4 (тогава няма да има опашки). Нека намерим вероятността за всяко от тези събития. Нека p1 е вероятността да получите глави 3 пъти. Тогава n = 4, k = 3. Имаме: Сега нека намерим p2 – вероятността главите да паднат всичките 4 пъти. В този случай n = 4, k = 4. Имаме: За да получим отговора, остава да съберем вероятностите p1 и p2. Запомнете: можете да добавяте вероятности само за взаимно изключващи се събития. Имаме: p = p1 + p2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125 Отговор: 0,3125
13 слайд
Описание на слайда:
Задача 10. Преди началото на волейболния мач капитаните на отборите теглят жребий, за да определят кой отбор ще започне играта с топка. Отборът на статора се редува да играе с отборите на ротора, двигателя и стартера. Намерете вероятността Stator да започне само първата и последната игра. Решение. Изисква се да се намери вероятността за произведение на три събития: "Статор" стартира първата игра, не стартира втората игра, стартира третата игра. Вероятността за създаване на независими събития е равна на произведението на вероятностите за тези събития. Вероятността за всеки от тях е равна на 0,5, откъдето намираме: 0,5 0,5 0,5 = 0,125. Отговор: 0,125.
В теорията на вероятностите има група проблеми, за решението на които е достатъчно да се знае класическата дефиниция на вероятността и да се визуализира предложената ситуация. Тези проблеми са повечето проблеми с хвърляне на монети и проблеми с хвърляне на зарове. Припомнете си класическата дефиниция на вероятността.
Вероятност за събитие А (обективната възможност за възникване на събитие в числено изражение) е равна на съотношението на броя на резултатите, благоприятни за това събитие, към общия брой на всички еднакво възможни несъвместими елементарни резултати: P(A)=m/n, където:
- m е броят на елементарните резултати от теста, които благоприятстват настъпването на събитие А;
- n е общият брой на всички възможни елементарни резултати от теста.
Удобно е да се определи броят на възможните резултати от елементарни тестове и броят на благоприятните резултати в разглежданите проблеми чрез изброяване на всички възможни варианти (комбинации) и директно изчисление.
От таблицата виждаме, че броят на възможните елементарни резултати е n=4. Благоприятните резултати от събитието A = (орел пада 1 път) съответстват на вариант № 2 и № 3 от експеримента, има два такива варианта m=2.
Намерете вероятността на събитието Р(А)=m/n=2/4=0,5
Задача 2 . При произволен експеримент симетрична монета се хвърля два пъти. Намерете вероятността главите никога да не се появят.
Решение
. Тъй като монетата се хвърля два пъти, тогава, както в задача 1, броят на възможните елементарни резултати е n=4. Благоприятните резултати от събитието А = (орел няма да изпадне нито веднъж) отговарят на вариант № 4 на експеримента (виж таблицата в задача 1). Има само една такава опция, така че m=1.
Намерете вероятността на събитието Р(А)=m/n=1/4=0.25
Задача 3 . При произволен експеримент симетрична монета се хвърля три пъти. Намерете вероятността да се появи глави точно 2 пъти.
Решение . Възможните опции за три хвърляния на монети (всички възможни комбинации от глави и опашки) са представени под формата на таблица:
От таблицата виждаме, че броят на възможните елементарни резултати е n=8. Благоприятните резултати от събитието A = (глави 2 пъти) съответстват на варианти № 5, 6 и 7 от експеримента. Има три такива опции, така че m=3.
Намерете вероятността на събитието Р(А)=m/n=3/8=0.375
Задача 4 . При произволен експеримент симетрична монета се хвърля четири пъти. Намерете вероятността да се появи глави точно 3 пъти.
Решение . Възможните варианти на четири хвърляния на монети (всички възможни комбинации от глави и опашки) са представени под формата на таблица:
| номер на опцията | 1-во хвърляне | 2-ра ролка | 3-та ролка | 4-то руло | номер на опцията | 1-во хвърляне | 2-ра ролка | 3-та ролка | 4-то руло |
| 1 | орел | орел | орел | орел | 9 | Опашки | орел | Опашки | орел |
| 2 | орел | Опашки | Опашки | Опашки | 10 | орел | Опашки | орел | Опашки |
| 3 | Опашки | орел | Опашки | Опашки | 11 | орел | Опашки | Опашки | орел |
| 4 | Опашки | Опашки | орел | Опашки | 12 | орел | орел | орел | Опашки |
| 5 | Опашки | Опашки | Опашки | орел | 13 | Опашки | орел | орел | орел |
| 6 | орел | орел | Опашки | Опашки | 14 | орел | Опашки | орел | орел |
| 7 | Опашки | орел | орел | Опашки | 15 | орел | орел | Опашки | орел |
| 8 | Опашки | Опашки | орел | орел | 16 | Опашки | Опашки | Опашки | Опашки |
От таблицата виждаме, че броят на възможните елементарни резултати е n=16. Благоприятните резултати от събитието А = (орел пада 3 пъти) отговарят на варианти № 12, 13, 14 и 15 от експеримента, което означава m=4.
Намерете вероятността на събитието Р(А)=m/n=4/16=0.25
 |
Определяне на вероятността в задачи със зарове
Задача 5 . Определете вероятността повече от 3 точки да паднат, когато се хвърли зар (правилен зар).
Решение
. При хвърляне на зар (обикновен зар) може да изпадне всяко от шестте му лица, т.е. да настъпи някое от елементарните събития - загуба от 1 до 6 точки (точки). Така че броят на възможните елементарни резултати е n=6.
Събитие A = (изпаднали са повече от 3 точки) означава, че са изпаднали 4, 5 или 6 точки (точки). Така че броят на благоприятните резултати m=3.
Вероятност на събитието Р(А)=m/n=3/6=0.5
Задача 6 . Определете вероятността, когато се хвърля зар, броят на точките да не надвишава 4. Закръглете резултата до най-близката хилядна.
Решение
. При хвърляне на зар може да изпадне всяко от шестте му лица, т.е. да настъпи някое от елементарните събития - загуба от 1 до 6 точки (точки). Така че броят на възможните елементарни резултати е n=6.
Събитие A = (изпаднали са не повече от 4 точки) означава, че са изпаднали 4, 3, 2 или 1 точка (точка). Така че броят на благоприятните резултати m=4.
Вероятност на събитието Р(А)=m/n=4/6=0.6666…≈0.667
Задача 7 . Зарът се хвърля два пъти. Намерете вероятността и двете числа да са по-малки от 4.
Решение . Тъй като един зар (зарове) се хвърля два пъти, ще аргументираме следното: ако на първия зар е паднала една точка, то на втория могат да паднат 1, 2, 3, 4, 5, 6. Получаваме двойки (1; 1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6) и така нататък с всяко лице. Представяме всички случаи под формата на таблица от 6 реда и 6 колони:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
Ще бъдат изчислени благоприятните резултати от събитието A = (и двата пъти е паднало число по-малко от 4) (маркирани са с удебелен шрифт) и ще получим m=9.
Намерете вероятността на събитието Р(А)=m/n=9/36=0.25
Задача 8 . Зарът се хвърля два пъти. Намерете вероятността най-голямото от двете изтеглени числа да е 5. Закръглете отговора си до най-близката хилядна.
Решение . Всички възможни резултати от две хвърляния заровеприсъства в таблицата:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
От таблицата виждаме, че броят на възможните елементарни резултати е n=6*6=36.
Изчисляват се благоприятните резултати от събитието A = (най-голямото от двете изтеглени числа е 5) (те са подчертани с удебелен шрифт) и получаваме m=8.
Намерете вероятността на събитието Р(А)=m/n=8/36=0.2222…≈0.222
Задача 9 . Зарът се хвърля два пъти. Намерете вероятността число, по-малко от 4, да бъде хвърлено поне веднъж.
Решение . Всички възможни резултати от две хвърляния на зарове са представени в таблицата:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
От таблицата виждаме, че броят на възможните елементарни резултати е n=6*6=36.
Фразата „поне веднъж падна число, по-малко от 4“ означава „число, по-малко от 4, падна веднъж или два пъти“, тогава броят на благоприятните резултати от събитието A = (поне веднъж падна число, по-малко от 4 ) (те са в удебелен шрифт) m=27.
Намерете вероятността на събитието Р(А)=m/n=27/36=0.75
