У випадковому порядку симетричну монету кидають двічі. Математика та ми. Метод перебору комбінацій
Формулювання завдання:У довільному експерименті симетричну монету кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що орел (решка) не випаде жодного разу (випаде рівно/хоча б 1, 2 рази).
Завдання входить до складу ЄДІ з математики базового рівня для 11 класу за номером 10 (Класичне визначення ймовірності).
Розглянемо, як вирішуються такі завдання на прикладах.
Приклад задачі 1:
У довільному експерименті симетричну монету кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що орел не випаде жодного разу.
ГО ВР РВ РР
Усього таких комбінацій вийшло 4. Нас цікавлять лише ті з них, у яких немає жодного орла. Така комбінація лише одна (РР).
P = 1/4 = 0.25
Відповідь: 0.25
Приклад задачі 2:
У довільному експерименті симетричну монету кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде рівно двічі.
Розглянемо всі можливі комбінації, які можуть випасти, якщо кидають монету двічі. Для зручності позначатимемо орла буквою О, а решку – буквою Р:
ГО ВР РВ РР
Усього таких комбінацій вийшло 4. Нас цікавлять лише ті з них, у яких орел випадає рівно 2 рази. Така комбінація лише одна (ГО).
P = 1/4 = 0.25
Відповідь: 0.25
Приклад задачі 3:
У довільному експерименті симетричну монету кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде рівно один раз.
Розглянемо всі можливі комбінації, які можуть випасти, якщо кидають монету двічі. Для зручності позначатимемо орла буквою О, а решку – буквою Р:
ГО ВР РВ РР
Усього таких комбінацій вийшло 4. Нас цікавлять лише ті з них, у яких орел випав рівно один раз. Таких комбінацій лише дві (ОР та РВ).
Відповідь: 0.5
Приклад задачі 4:
У довільному експерименті симетричну монету кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде хоча б один раз.
Розглянемо всі можливі комбінації, які можуть випасти, якщо кидають монету двічі. Для зручності позначатимемо орла буквою О, а решку – буквою Р:
ГО ВР РВ РР
Усього таких комбінацій вийшло 4. Нас цікавлять лише ті з них, у яких орел випаде хоча б один раз. Таких комбінацій всього три (ГО, ОР та РВ).
P = 3/4 = 0.75
У випадковому експерименті симетричну монету...
Як передмова.
Усі знають, що монета має дві сторони – орел і решку.
Нумізмати вважають, що монета має три сторони - аверс, реверс та гурт.
І серед тих, і серед інших мало хто знає, що таке симетрична монета. Натомість про це знають (ну чи повинні знати:), ті, хто готується здавати ЄДІ.
Загалом, у цій статті мова піде про незвичайну монету, яка до нумізматики жодного відношення не має, але при цьому є найпопулярнішою монетою серед школярів.
Отже.
Симетрична монета- це уявна математично ідеальна монета без розміру, ваги, діаметра та ін. Як наслідок, гурту у такої монети теж немає, тобто ось вона дійсно має тільки дві сторони. Головна властивість симетричної монети в тому, що за таких умов ймовірність випадання орла чи реші абсолютно однакова. А вигадали симетричну монету для проведення уявних експериментів.
Найпопулярніше завдання із симетричною монетою звучить так - "У випадковому експерименті симетричну монету кидають двічі (тричі, чотири рази і т.д.). Потрібно визначити ймовірність того, що одна зі сторін випаде певну кількість разів.
Розв'язання задачі із симетричною монетою
Зрозуміло, що в результаті кидка монета впаде або орлом, або рішкою. Скільки разів – залежить від того, скільки кидків здійснити. Імовірність випадання орла або решки обчислюється розподілом кількості результатів, що задовольняють умові, на загальну кількість можливих результатів.
Один кидок
Тут все просто. Випаде або орел, або решка. Тобто. маємо два можливі результати, один із яких нас задовольняє - 1/2=50%
Двоброска
За два кидки можуть випасти:
два орли
дві решки
орел, потім решка
решка, потім орел
Тобто. можливі лише чотири варіанти. Завдання з більш, ніж одним кидком, найпростіше вирішувати складанням таблиці можливих варіантів. Для простоти позначимо орла цифрою "0", а решку цифрою "1". Тоді таблиця можливих результатів виглядатиме так:
00
01
10
11
Якщо, наприклад, потрібно знайти ймовірність того, що орел випаде один раз, потрібно просто підрахувати кількість потрібних варіантів у таблиці - тобто. тих рядків, де орел зустрічається один раз. Таких рядків два. Отже, можливість випадання одного орла у двох кидках симетричної монети дорівнює 2/4=50%
Імовірність того, що орел у двох кидках випаде двічі дорівнює 1/4 = 25%
Три роски
Складаємо таблицю варіантів:
000
001
010
011
100
101
110
111
Ті, хто знайомий із двійковим обчисленням, розуміють, до чого ми дійшли. :) Так, це двійкові цифри від "0" до "7". Так простіше не заплутатися із варіантами.
Розв'яжемо завдання з попереднього пункту - обчислимо ймовірність того, що орел випаде один раз. Рядок, де "0" зустрічається один раз є три. Отже, ймовірність випадання одного орла у трьох кидках симетричної монети дорівнює 3/8 = 37,5%
Імовірність те, що орел у трьох кидках випаде двічі дорівнює 3/8=37,5%, тобто. абсолютно така сама.
Імовірність того, що орел у трьох кидках випаде тричі дорівнює 1/8 = 12,5%.
Чотири кидки
Складаємо таблицю варіантів:
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Імовірність того, що орел випаде один раз. Рядок, де "0" зустрічається один раз є всього три, так само, як і у випадку трьох кидків. Але варіантів вже шістнадцять. Отже, ймовірність випадання одного орла у чотирьох кидках симетричної монети дорівнює 3/16 = 18,75%
Імовірність того, що орел у трьох кидках випаде двічі дорівнює 6/8 = 75%.
Імовірність того, що орел у трьох кидках випаде тричі дорівнює 4/8 = 50%.
Отже зі збільшенням кількості кидків, принцип розв'язання задачі зовсім не змінюється - тільки у відповідній прогресії збільшується кількість варіантів.
Опис презентації з окремих слайдів:
1 слайд
Опис слайду:
Розв'язання задач з теорії ймовірностей. Вчитель математики МБОУ Нивнянська ЗОШ, Нечаєва Тамара Іванівна
2 слайд
Опис слайду:
Цілі уроку: розглянути різні видизадач з теорії ймовірностей та методи їх вирішення. Завдання уроку: навчити розпізнавати різні різновиди завдань з теорії ймовірностей та вдосконалювати логічне мисленняшколярів.
3 слайд
Опис слайду:
Завдання 1.У випадковому експерименті симетричну монету кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що орлів та решок випаде однакова кількість.
4 слайд
Опис слайду:
Завдання 2.Монету кидають чотири рази. Знайдіть ймовірність того, що решка не випаде жодного разу.
5 слайд
Опис слайду:
Завдання 3.У випадковому експерименті симетричну монету кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде рівно один раз. Рішення: Для того щоб знайти ймовірність зазначеної події, необхідно розглянути всі можливі результати експерименту, а потім з них вибрати сприятливі результати (сприятливі результати - це результати, що задовольняють вимоги завдання). У нашому випадку сприятливими будуть ті результати, в яких при двох киданнях симетричної монети орел випаде лише один раз. Імовірність події обчислюється як відношення кількості сприятливих наслідків до загальної кількості наслідків. Отже, ймовірність того, що при двох кратному киданні симетричної монети орел випаде лише один раз, дорівнює: Р=2/4=0,5=50% %. Номер експерименту 1-й кидок 2-й кидок Скільки разів випав орел 1 Орел Орел 2 2 Решка Решка 0 3 Орел Решка 1 4 Решка Орел 1
6 слайд
Опис слайду:
Завдання 4. Гральний кубик залишили один раз. Яка ймовірність того, що випало число очок більше 4. Рішення: Випадковий експеримент - кидання кубика. Елементарна подія – число на межі, що випала. Відповідь: 1/3 Всього граней: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Елементарні події: N=6 N(A)=2
7 слайд
Опис слайду:
Завдання 5. Біатлоніст п'ять разів стріляє по мішенях. Імовірність влучення в ціль при одному пострілі дорівнює 0,8. Знайдіть ймовірність того, що біатлоніст перші три рази потрапив у мішені, а останні два рази схибив. Результат округліть до сотих. Рішення: Ймовірність попадання = 0,8 Ймовірність промаху = 1 - 0,8 = 0,2 А=(потрапив, потрапив, потрапив, промахнувся, промахнувся) За формулою множення ймовірностей Р(А)= 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 Р(А)= 0,512 ∙ 0,04 = 0,02048 ≈ 0,02 Відповідь: 0,02
8 слайд
Опис слайду:
Завдання 6.У випадковому експерименті кидають дві гральні кістки. Знайдіть ймовірність того, що сума очок, що випали, дорівнює 6. Відповідь округліть до сотих Рішення: Елементарний результат у цьому досвіді - впорядкована пара чисел. Перше число випаде першому кубику, друге – другому. Безліч елементарних результатів зручно уявити таблицею. Рядки відповідають кількості очок на першому кубику, стовпці - на другому кубику. Всього елементарних подій п = 36. Напишемо в кожній клітині суму очок, що випали, і зафарбуємо клітини, де сума дорівнює 6. Таких осередків 5. Значить, події А = (сума очок, що випали, дорівнює 6) сприяє 5 елементарних результатів. Отже, т = 5. Тому Р(А) = 5/36 = 0,14. Відповідь: 0,14. 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 11 7 8 9 10 11 12
9 слайд
Опис слайду:
Формула ймовірності Теорема Нехай монету кидають n разів. Тоді ймовірність того, що орел випаде рівно k разів, можна знайти за формулою: Де Cnk - число поєднань з n елементів k, яке вважається за формулою:
10 слайд
Опис слайду:
Завдання 7. Монету кидають чотири рази. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде рівно тричі. Розв'язання За умовою завдання всього кидків було n =4. Необхідне число орлів: k =3. Підставляємо n і k у формулу: З тим самим успіхом можна вважати число решок: k = 4 − 3 = 1. Відповідь буде такою ж. Відповідь: 0,25
11 слайд
Опис слайду:
Завдання 8. Монету кидають тричі. Знайдіть ймовірність того, що решка не випаде жодного разу. Рішення Знову виписуємо числа n та k. Оскільки монету кидають 3 рази, n = 3. А оскільки решок не повинно бути, k = 0. Залишилося підставити числа n і k у формулу: Нагадаю, що 0! = 1 за визначенням. Тому C30 = 1. Відповідь: 0,125
12 слайд
Опис слайду:
Завдання 9.У випадковому експерименті симетричну монету кидають 4 рази. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде більше разів, ніж решка. Рішення: Щоб орлів було більше, ніж решік, вони повинні випасти або 3 рази (тоді решіків буде 1), або 4 (тоді решіків взагалі не буде). Знайдемо ймовірність кожної з цих подій. Нехай p1 – ймовірність того, що орел випаде 3 рази. Тоді n = 4, k = 3. Маємо: Тепер знайдемо p2 – ймовірність того, що орел випаде усі 4 рази. І тут n = 4, k = 4. Маємо: Щоб отримати відповідь, залишилося скласти ймовірності p1 і p2. Пам'ятайте: складати ймовірності можна лише для взаємовиключних подій. Маємо: p = p1 + p2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125 Відповідь: 0,3125
13 слайд
Опис слайду:
Завдання 10. Перед початком волейбольного матчу капітани команд тягнуть чесний жереб, щоб визначити, яка з команд розпочне гру з м'ячем. Команда «Статор» по черзі грає з командами «Ротор», «Мотор» та «Стартер». Знайдіть ймовірність того, що «Статор» розпочинатиме лише першу та останню гри. Рішення. Потрібно знайти ймовірність добутку трьох подій: «Статор» починає першу гру, не починає другу гру, починає третю гру. Імовірність твору незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій. Імовірність кожного з них дорівнює 0,5, звідки знаходимо: 0,5 · 0,5 · 0,5 = 0,125. Відповідь: 0,125.
Теоретично ймовірностей існує група завдань, на вирішення яких досить знати класичне визначення ймовірності і наочно представляти запропоновану ситуацію. Такими завданнями є більшість завдань із підкиданням монети та завдання з киданням грального кубика. Нагадаємо класичне визначення ймовірності.
Імовірність події А (Об'єктивна можливість настання події у числовому вираженні) дорівнює відношенню числа сприятливих цій події результатів до загального числа всіх рівноможливих несумісних елементарних результатів: Р(А)=m/n, де:
- m – число елементарних результатів випробування, які сприяють появі події А;
- n - загальна кількість всіх можливих елементарних результатів випробування.
Число можливих елементарних результатів випробування та кількість сприятливих результатів у розглянутих задачах зручно визначати перебором всіх можливих варіантів (комбінацій) та безпосереднім підрахунком.
З таблиці бачимо, що число можливих елементарних наслідків n=4. Сприятливі наслідки події А = (орел випадає 1 раз) відповідають варіанту №2 і №3 експерименту, таких варіантів два m=2.
Знаходимо можливість події Р(А)=m/n=2/4=0,5
Завдання 2 . У довільному експерименті симетричну монету кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що орел не випаде жодного разу.
Рішення
. Оскільки монету кидають двічі, те, як і задачі 1, число можливих елементарних результатів n=4. Сприятливі наслідки події А = (орел не випаде жодного разу) відповідають варіанту №4 експерименту (див. таблицю в задачі 1). Такий варіант один, отже, m=1.
Знаходимо можливість події Р(А)=m/n=1/4=0,25
Завдання 3 . У довільному експерименті симетричну монету кидають тричі. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде рівно двічі.
Рішення . Можливі варіанти трьох кидань монети (всі можливі комбінації орлів та решок) представимо у вигляді таблиці:
З таблиці бачимо, що кількість можливих елементарних наслідків n=8. Сприятливі наслідки події А = (орел випадає 2 рази) відповідають варіантам №5, 6 та 7 експерименту. Таких варіантів три, отже m=3.
Знаходимо можливість події Р(А)=m/n=3/8=0,375
Завдання 4 . У довільному експерименті симетричну монету кидають чотири рази. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде рівно 3 рази.
Рішення . Можливі варіанти чотирьох кидань монети (усі можливі комбінації орлів та решок) представимо у вигляді таблиці:
| № варіанта | 1-й кидок | 2-й кидок | 3-й кидок | 4-й кидок | № варіанта | 1-й кидок | 2-й кидок | 3-й кидок | 4-й кидок |
| 1 | Орел | Орел | Орел | Орел | 9 | Решка | Орел | Решка | Орел |
| 2 | Орел | Решка | Решка | Решка | 10 | Орел | Решка | Орел | Решка |
| 3 | Решка | Орел | Решка | Решка | 11 | Орел | Решка | Решка | Орел |
| 4 | Решка | Решка | Орел | Решка | 12 | Орел | Орел | Орел | Решка |
| 5 | Решка | Решка | Решка | Орел | 13 | Решка | Орел | Орел | Орел |
| 6 | Орел | Орел | Решка | Решка | 14 | Орел | Решка | Орел | Орел |
| 7 | Решка | Орел | Орел | Решка | 15 | Орел | Орел | Решка | Орел |
| 8 | Решка | Решка | Орел | Орел | 16 | Решка | Решка | Решка | Решка |
З таблиці бачимо, що число можливих елементарних наслідків n=16. Сприятливі результати події А = (орел випаде 3 рази) відповідають варіантам №12, 13, 14 та 15 експерименту, отже m=4.
Знаходимо можливість події Р(А)=m/n=4/16=0,25
 |
Визначення ймовірності в задачах про гральну кістку
Завдання 5 . Визначте можливість, що при киданні грального кубика (правильної кістки) випаде більше 3 очок.
Рішення
. При киданні грального кубика (правильної кістки) може випасти кожна з шести його граней, тобто. відбутися будь-яка з елементарних подій – випадання від 1 до 6 точок (окулярів). Значить число можливих елементарних наслідків n=6.
Подія А = (випало більше 3 очок) означає, що випало 4, 5 або 6 точок (очок). Значить кількість сприятливих наслідків m=3.
Імовірність події Р(А)=m/n=3/6=0,5
Завдання 6 . Визначте ймовірність того, що при киданні грального кубика випала кількість очок, не більша за 4. Результат округліть до тисячних.
Рішення
. При киданні грального кубика може випасти кожна з шести його граней, тобто. відбутися будь-яка з елементарних подій – випадання від 1 до 6 точок (окулярів). Значить число можливих елементарних наслідків n=6.
Подія А = (випало трохи більше 4 очок) означає, що випало 4, 3, 2 чи 1 точка (очко). Значить кількість сприятливих наслідків m=4.
Імовірність події Р(А)=m/n=4/6=0,6666…≈0,667
Завдання 7 . Гральну кістку кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що обидва рази випало число менше 4.
Рішення . Оскільки гральна кістка (гральний кубик) кидають двічі, то будемо розмірковувати наступним чином: якщо на першому кубику випало одне очко, то на другому може випасти 1, 2, 3, 4, 5, 6. Отримуємо пари (1;1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6) і так з кожною гранню. Всі випадки представимо у вигляді таблиці з 6-ти рядків та 6-ти стовпців:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
Сприятливі результати події А = (обидва рази випало число, менше 4) (вони виділені жирним) підрахуємо та отримаємо m=9.
Знаходимо можливість події Р(А)=m/n=9/36=0,25
Завдання 8 . Гральну кістку кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що найбільше з двох чисел, що випали, дорівнює 5. Відповідь округліть до тисячних.
Рішення . Усі можливі результати двох кидань гральної кісткиподамо в таблиці:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
З таблиці бачимо, що число можливих елементарних наслідків n=6*6=36.
Сприятливі результати події А = (найбільше з двох чисел, що випали, дорівнює 5) (вони виділені жирним) підрахуємо і отримаємо m=8.
Знаходимо можливість події Р(А)=m/n=8/36=0,2222…≈0,222
Завдання 9 . Гральну кістку кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що хоча б раз випало число менше 4.
Рішення . Всі можливі результати двох кидань гральної кістки подаємо у таблиці:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
З таблиці бачимо, що число можливих елементарних наслідків n=6*6=36.
Фраза «хоч раз випало число, менше 4» означає «число менше 4 випало раз чи двічі», тоді число сприятливих результатів події А = (хоча раз випало число, менше 4) (вони виділені жирним) m=27.
Знаходимо можливість події Р(А)=m/n=27/36=0,75
