Закон середніх чисел чи секрет секрет успішних продавців. Середні величини Посилений закон великих чисел
Слова про великі числа відносяться до випробувань - розглядається велика кількість значень випадкової величини або сукупна дія великої кількості випадкових величин. Суть цього закону полягає в наступному: хоча неможливо передбачити, яке значення в одиничному експерименті набуде окрема випадкова величина, однак сумарний результат дії великої кількості незалежних випадкових величин втрачає випадковий характер і може бути передбачений практично достовірно (тобто з великою ймовірністю). Наприклад, неможливо передбачити, якою стороною впаде одна монета. Однак якщо підкинути 2 тонни монет, то з великою впевненістю можна стверджувати, що вага монет, що впали гербом вгору, дорівнює 1 тонні.
До закону великих чисел насамперед відноситься так звана нерівність Чебишева, яка оцінює в окремому випробуванні ймовірність прийняття випадковою величиною значення, що ухиляється від середнього значення не більше ніж на задане значення.
Нерівність Чебишева. Нехай Х- Довільна випадкова величина, а = М (Х) , а D(X) - Її дисперсія. Тоді
приклад. Номінальне (тобто необхідне) значення діаметра втулки, що виточується на верстаті, дорівнює 5мм, а дисперсія не більше 0.01 (Такий допуск точності верстата). Оцінити ймовірність того, що при виготовленні однієї втулки відхилення її діаметра від номінального виявиться меншим. 0.5мм .
Рішення. Нехай с.в. Х- Діаметр виготовленої втулки. За умовою її математичне очікування дорівнює номінальному діаметру (якщо немає систематичного збою в налаштуванні верстата): а = М (Х)=5 , а дисперсія D(Х)≤0.01. Застосовуючи нерівність Чебишева при ε = 0.5, Отримаємо:
Таким чином, ймовірність такого відхилення досить велика, тому можна зробити висновок про те, що при одиничному виготовленні деталі практично напевно відхилення діаметра від номінального не перевершить. 0.5мм .
За своїм змістом середнє квадратичне відхилення σ характеризує середнявідхилення випадкової величини від свого центру (тобто від свого математичного очікування). Оскільки це середнявідхилення, то при випробуванні можливі і великі (наголос на о) відхилення. Наскільки великі відхилення практично можливі? При вивченні нормально розподілених випадкових величин ми вивели правило "трьох сигм": нормально розподілена випадкова величина Х при одиничному випробуванніпрактично не відхиляється від свого середнього далі, ніж на 3σ, де σ= σ(Х)- Середнє квадратичне відхилення с.в. Х. Таке правило ми вивели з того, що здобули нерівність
.
Оцінимо тепер можливість для довільноювипадкової величини Хприйняти значення, що відрізняється від середнього лише на потрійне середнє квадратичне відхилення. Застосовуючи нерівність Чебишева при ε = 3σта враховуючи, що D(Х) = σ 2 , отримуємо:
.
Таким чином, у загальному випадкуймовірність відхилення випадкової величини від свого середнього не більше ніж на три середні квадратичні відхилення ми можемо оцінити числом 0.89 , в той час як саме для нормального розподілу можна гарантувати це з ймовірністю 0.997 .
Нерівність Чебишева може бути узагальнено систему незалежних однаково розподілених випадкових величин.
Узагальнена нерівність Чебишева. Якщо незалежні випадкові величини Х 1 , Х 2 , … , Х n M(X i )= aта дисперсіями D(X i )= D, то
При n=1 ця нерівність перетворюється на нерівність Чебишева, сформульоване вище.
Нерівність Чебишева, маючи самостійне значення на вирішення відповідних завдань, застосовується доведення так званої теореми Чебишева. Ми з початку розповімо про суть цієї теореми, а потім дамо її формальне формулювання.
Нехай Х 1
, Х 2
, … , Х n– велика кількість незалежних випадкових величин з математичними очікуваннями М(Х 1
)=а 1
, …, М(Х n )=а n. Хоча кожна з них в результаті експерименту може прийняти значення, далеке від свого середнього (тобто математичного очікування), проте випадкова величина 
, Рівна їх середньому арифметичному, з великою ймовірністю прийме значення, близьке до фіксованого числа 
(це середнє всіх математичних очікувань). Це означає таке. Нехай у результаті випробування незалежні випадкові величини Х 1
, Х 2
, … , Х n(їх багато!) прийняли значення відповідно х 1
х 2
, …, х nвідповідно. Тоді, якщо самі ці значення можуть виявитися далекими від середніх значень відповідних випадкових величин, їхнє середнє значення 
з великою ймовірністю виявиться близьким до 
. Таким чином, середнє арифметичне великої кількості випадкових величин вже втрачає випадковий характер і може бути передбачено з великою точністю. Це можна пояснити тим, що випадкові відхилення значень Х iвід a iможуть бути різних знаків, а тому у сумі ці відхилення з великою ймовірністю компенсуються.
Терема Чебишева (закон великих чиселу формі Чебишева). Нехай Х 1 , Х 2 , … , Х n … - Послідовність попарно незалежних випадкових величин, дисперсії яких обмежені одним і тим же числом. Тоді, хоч би яке невелике число ε ми взяли, ймовірність нерівності
буде як завгодно близька до одиниці, якщо число nвипадкових величин взяти чималим. Формально це означає, що в умовах теореми
Такий вид збіжності називається збіжністю за імовірністю і позначається:
Таким чином, теорема Чебишева говорить про те, що якщо є досить велика кількість незалежних випадкових величин, то їхнє середнє арифметичне при одиничному випробуванні практично достовірно прийме значення, близьке до їхнього середнього математичних очікувань.
Найчастіше теорема Чебишева застосовується у ситуації, коли випадкові величини Х 1 , Х 2 , … , Х n … мають однаковий розподіл (тобто один і той же закон розподілу або ту саму щільність ймовірності). Фактично це просто велика кількість екземплярів однієї і тієї ж випадкової величини.
Слідство(Узагальненої нерівності Чебишева). Якщо незалежні випадкові величини Х 1 , Х 2 , … , Х n … мають однаковий розподіл із математичними очікуваннями M(X i )= aта дисперсіями D(X i )= D, то
, тобто. 
.
Доказ випливає з узагальненої нерівності Чебишева переходом до межі при n→∞ .
Зазначимо ще раз, що виписані вище рівністі не гарантують значення величини 
прагнути до апри n→∞. Ця величина, як і раніше, залишається випадковою величиною, а її окремі значення можуть бути досить далекими від а. Але ймовірність таких (далеких від а) значень із зростанням nпрагне 0.
Зауваження. Висновок слідства, очевидно, справедливий і в загальному випадку, коли незалежні випадкові величини Х 1 , Х 2 , … , Х n … мають різний розподіл, але однакові математичні очікування (рівні а) та обмежені в сукупності дисперсії. Це дозволяє передбачати точність виміру деякої величини, навіть якщо ці виміри виконані різними приладами.
Розглянемо докладніше застосування цього слідства при вимірі величин. Проведемо деяким приладом nвимірювань однієї й тієї ж величини, дійсне значення якої дорівнює аі нам невідомо. Результати таких вимірів х 1
х 2
, …, х nможуть значно відрізнятися один від одного (і від справжнього значення а) з різних випадкових чинників (перепади тиску, температури, випадкова вібрація тощо.). Розглянемо с. Х- Показ приладу при одиничному вимірі величини, а також набір с.в. Х 1
, Х 2
, … , Х n- Показ приладу при першому, другому, ..., останньому вимірі. Таким чином, кожна з величин Х 1
, Х 2
, … , Х n
є просто один із екземплярів с.в. Х, тому всі вони мають той самий розподіл, що і с.в. Х. Оскільки результати вимірів залежать друг від друга, то с.в. Х 1
, Х 2
, … , Х nможна вважати незалежними. Якщо прилад не дає систематичної помилки (наприклад, не «збитий» нуль на шкалі, не розтягнута пружина тощо), можна вважати, що математичне очікування М(Х) = а, а тому й М(Х 1
) = ... = М(Х n ) = а. Таким чином, виконуються умови наведеного вище слідства, а тому як наближене значення величини аможна взяти "реалізацію" випадкової величини 
в нашому експерименті (що полягає у проведенні серії з nвимірів), тобто.
.
При велику кількість вимірювань практично достовірна хороша точність обчислення за цією формулою. Це є обґрунтуванням того практичного принципу, що при великій кількості вимірів їхнє середнє арифметичне практично не відрізняється від справжнього значення вимірюваної величини.
На законі великих чисел заснований широко застосовуваний у математичній статистиці «вибірковий» метод, який дозволяє за порівняно невеликою вибіркою значень випадкової величини набувати її об'єктивних характеристик з прийнятною точністю. Але про це буде розказано у наступному розділі.
приклад. На вимірювальному приладі, що не робить систематичних спотворень, виміряна певна величина аодин раз (отримано значення х 1
), а потім ще 99 разів (отримані значення х 2
, …, х 100
). За справжнє значення виміру аспочатку взято результат першого виміру 
, а потім середнє арифметичне всіх вимірювань 
. Точність вимірювання приладу така, що середнє квадратичне відхилення вимірювання не більше 1 (тому дисперсія D=σ
2
теж вбирається у 1). Для кожного із способів виміру оцінити ймовірність, що помилка виміру не перевищить 2.
Рішення. Нехай с.в. Х- Показ приладу при одиничному вимірі. Тоді за умовою М(Х)=а. Для відповіді на поставлені питання застосуємо узагальнену нерівність Чебишева
при ε =2
спочатку для n=1
, а потім для n=100
. У першому випадку отримаємо 
, а друге. Таким чином, другий випадок практично гарантує точність вимірювання, що задається, тоді як перший залишає в цьому сенсі великі сумніви.
Застосуємо наведені вище твердження до випадкових величин, що у схемі Бернуллі. Нагадаємо суть цієї схеми. Нехай проводиться n незалежних випробувань, у кожному з яких певна подія Аможе з'явитися з однією і тією ж ймовірністю р, а q=1-р(за змістом це ймовірність протилежної події – не появи події А) . Проведемо кілька nтаких випробувань. Розглянемо випадкові величини: Х 1 - Число появи події Ав 1 -ом випробуванні, …, Х n- Число появи події Ав n-му випробуванні. Усі введені с.в. можуть приймати значення 0 або 1 (Подія Ау випробуванні може з'явитися чи ні), причому значення 1 за умовою приймається у кожному випробуванні з ймовірністю p(ймовірність появи події Ау кожному випробуванні), а значення 0 з ймовірністю q= 1 – p. Тому ці величини мають однакові закони розподілу:
|
Х 1 | ||
|
Х n | ||
Тому середні значення цих величин та їх дисперсії теж однакові: М(Х 1 )=0 ∙ q+1 ∙ р = р, …, М (Х n )= р ; D(X 1 )=(0 2 ∙ q+1 2 ∙ p)− p 2 = p∙(1− p)= p ∙ q, … , D(X n )= p ∙ q. Підставляючи ці значення в узагальнену нерівність Чебишева, отримаємо
.
Зрозуміло, що с. Х=Х 1 +…+Х n– це кількість появи події Ау всіх nвипробуваннях (як кажуть – «число успіхів» у nвипробуваннях). Нехай у проведених nвипробуваннях подія Аз'явилося в k з них. Тоді попередня нерівність може бути записана у вигляді
.
Але величина 
, що дорівнює відношенню числа події Ав nнезалежних випробувань, до загального числа випробувань, раніше було названо відносною частотою події Ав nвипробуваннях. Тому має місце нерівність
.
Переходячи тепер до межі при n→∞, отримаємо 
, тобто. 
(імовірно). Це становить зміст закону великих чисел у формі Бернуллі. З нього випливає, що за досить великої кількості випробувань nяк завгодно малі відхилення відносної частоти 
події від його ймовірності р− майже достовірні події, а великі відхилення − майже неможливі. Отриманий висновок про таку стійкість відносних частот (про яку ми раніше говорили як про експериментальномуфакт) виправдовує введене раніше статистичне визначення ймовірності події як числа, біля якого коливається відносна частота події.
Враховуючи, що вираз p∙
q=
p∙(1−
p)=
p−
p 2
не перевершує на інтервалі зміни 
(у цьому легко переконатися, знайшовши мінімум цієї функції на цьому відрізку), з наведеної вище нерівності 
легко отримати, що
,
яке застосовується при вирішенні відповідних завдань (одне з них буде наведено нижче).
приклад. Монету підкинули 1000 разів. Оцінити ймовірність того, що відхилення відносної частоти появи герба від його ймовірності буде менше 0.1.
Рішення. Застосовуючи нерівність 
при p=
q=1/2
,
n=1000
,
ε=0.1, Отримаємо .
приклад. Оцінити ймовірність того, що в умовах попереднього прикладу число kвипалих гербів опиниться в межах від 400 до 600 .
Рішення. Умова 400<
k<600
означає, що 400/1000<
k/
n<600/1000
, тобто. 0.4<
W n (A)<0.6
або 
. Як ми тільки що переконалися з попереднього прикладу, ймовірність такої події не менша 0.975
.
приклад. Для обчислення ймовірності певної події Апроведено 1000 експериментів, у яких подія Аз'явилося 300 разів. Оцінити ймовірність того, що відносна частота (рівна 300/1000 = 0.3) від правди ймовірності рне далі, ніж на 0.1.
Рішення. Застосовуючи виписану вище нерівність 
для n = 1000, ε = 0.1, отримаємо .
Лекція 8. Розділ 1. Теорія ймовірностей
Розглянуті питання
1) Закон великих чисел.
2) Центральна гранична теорема.
Закон великих чисел.
Під законом великих чисел у сенсі розуміється загальний принцип, за яким за великої кількості випадкових величин їхній середній результат перестає бути випадковим і може бути передбачений з великим ступенем определенности.
Під законом великих чисел у вузькому розумінні розуміється ряд математичних теорем, у кожній з яких за тих чи інших умов встановлюється можливість наближення середніх характеристик великої кількості випробувань
до деяких певних постійних. За доказом теорем такого роду використовуються нерівності Маркова і Чебишева, які мають також самостійний інтерес.
Теорема 1 (нерівність Маркова). Якщо випадкова величина набуває невід'ємних значень і має математичне очікування, то для будь-якого позитивного числа справедлива нерівність
Доведенняпроведемо для дискретної випадкової величини. Будемо вважати, що вона набуває значень з яких перші менші або рівні, а всі інші - більше Тоді
звідки
приклад 1.Середня кількість викликів, що надходять на комутатор заводу протягом години, дорівнює 300. Оцінити ймовірність того, що протягом наступної години кількість викликів на комутатор:
1) перевищить 400;
2) буде трохи більше 500.
Рішення. 1) Нехай випадкова величина є числом дзвінків, що надходять на комутатор протягом години. Середнє значення це . Значить, Нам треба оцінити. Згідно з нерівністю Маркова
2) Таким чином, ймовірність того, що кількість викликів буде не більше ніж 500, не менше 0,4.
приклад 2.Сума всіх вкладів у відділення банку становить 2 млн. рублів, а ймовірність того, що випадково взятий вклад не перевищує 10 тис. рублів, дорівнює 0,6. Що можна сказати про кількість вкладників?
Рішення.Нехай випадково взята величина є розміром випадково взятого вкладу, а число всіх вкладів. Тоді (тис.). Згідно з нерівністю Маркова звідки
приклад 3.Нехай час запізнення студента на лекцію, причому відомо, що в середньому він спізнюється на 1 хвилину. Оцініть ймовірність того, що студент запізниться не менш як на 5 хвилин.
Рішення.За умовою Застосовуючи нерівність Маркова, отримуємо, що 
Таким чином, з кожних 5 студентів запізниться принаймні на 5 хвилин не більше ніж 1 студент.
Теорема 2 (Нерівність Чебишева). 
.
Доведення.Нехай випадкова величина Х визначається рядом розподілу
Відповідно до визначення дисперсії Виключимо з цієї суми ті доданки, для яких 
. У цьому, т.к. всі складові, неотрицательные, сума може лише зменшиться. Для певності вважатимемо, що відкинуті перші kдоданків. Тоді
Отже, 
.
Нерівність Чебишева дозволяє оцінювати зверху можливість відхилення випадкової величини від її математичного очікування з урахуванням інформації лише про її дисперсії. Воно широко використовується, наприклад, теоретично оцінювання.
приклад 4.Монета підкидається 10000 разів. Оцінити ймовірність того, що частота випадання герба відрізняється від 0,01 або більше.
Рішення.Введемо незалежні випадкові величини , де - випадкова величина з рядом розподілу
Тоді 
оскільки розподілена за біноміальним законом 
Частота появи герба є випадковою величиною де 
. Тому дисперсія частоти появи герба є. 
.
Таким чином, в середньому не більше ніж у чверті випадків при 10 000 підкиданнях монети частота випадання герба буде відрізнятися від однієї сотої або більше.
Теорема 3 (Чебишева).Якщо - незалежні випадкові величини, дисперсії яких рівномірно обмежені (), то
Доведення.Так як
то застосовуючи нерівність Чебишева, отримуємо
Оскільки ймовірність події не може бути більшою за 1, отримуємо необхідне.
Наслідок 1.Якщо – незалежні випадкові величини з рівномірно обмеженими дисперсіями і одним і тим самим математичним очікуванням, що дорівнює а, то
Рівність (1) свідчить, що випадкові відхилення окремих незалежних випадкових величин від загального середнього значення при великому у своїй масі взаємно погашаються. Тому, хоча самі величини випадкові, їхнє середнє 
при великому практично не випадково і близько . Це означає, що й заздалегідь невідомо, його можна обчислити з допомогою середнього арифметичного . Ця властивість послідовностей незалежних випадкових величин називається Законом статистичної стійкості.Закон статистичної стійкості доводить можливість застосування аналізу статистик після ухвалення конкретних управлінських рішень.
Теорема 4 (Бернуллі).Якщо у кожному з пнезалежних дослідів ймовірність р появи події А постійна, то
,
де – число появи події А при цих пвипробуваннях.
Доведення.Введемо незалежні випадкові величини, де Х i- Випадкова величина з рядом розподілу
Тоді М(Х i) = р, D (Х i) = рq. Оскільки , то D (Х i) обмежені в сукупності. З теореми Чебишева випливає, що
.
Але Х 1 + Х 2 + ... + Х пє число появи події А в серії з пвипробувань.
Сенс теореми Бернуллі полягає в тому, що при необмеженому збільшенні числа однакових незалежних дослідів з практичною достовірністю можна стверджувати, що частота появи події буде як завгодно мало відрізнятися від ймовірності її появи в окремому досвіді. статистична стійкість імовірності події).Тому теорема Бернуллі служить перехідним місточком від теорії додатків до її застосування.
У чому секрет найуспішніших продавців? Якщо спостерігати за найкращими продавцями будь-якої компанії, ви помітите, що їх поєднує одна загальна якість. Кожен із них зустрічається з великою кількістю людей та робить більше презентацій, ніж менш успішні продавці. Ці люди розуміють, що продажі - гра чисел, і чим більшій кількості людей вони розкажуть про свої продукти чи послуги, тим більше угод укладуть - ось і все. Вони розуміють, що якщо спілкуватимуться не лише з тими небагатьма, хто виразно скаже їм "так", а й з тими, чий інтерес до їхньої пропозиції не такий великий, то закон середніх чисел спрацює на їхню користь.
Ваші доходи будуть залежати від кількості продажів, але в той же час вони будуть прямо пропорційні кількості презентацій, які ви робите. Як тільки ви зрозумієте та почнете застосовувати на практиці закон середніх чисел, тривога, пов'язана з початком нового бізнесу чи роботи у новій сфері, почне знижуватися. А в результаті почне зростати почуття контролю та впевненість у своїй здатності заробляти. Якщо ви просто робитимете презентації і відточуватимете в цьому процесі свої навички, з'являться й угоди.
Чим думати про кількість угод, думайте краще про кількість презентацій. Немає сенсу прокидатися вранці або приходити додому ввечері і гадати, хто купить у вас продукт. Натомість, найкраще кожен день планувати, скільки дзвінків вам необхідно зробити. А потім, незважаючи ні на що – зробити всі ці дзвінки! Такий підхід спростить вам роботу – тому що це проста та конкретна мета. Якщо ви знатимете, що перед вами стоїть цілком певне та досяжне завдання, вам буде легше зробити заплановану кількість дзвінків. Якщо в цьому процесі ви кілька разів почуєте "так" - то краще!
А якщо "ні", то ввечері ви відчуватимете, що чесно зробили все, що могли, і вас не мучитимуть думки про те, скільки грошей ви заробили, або як багато компаньйонів придбали за день.
Припустимо, у вашій компанії або у вашому бізнесі середній продавець укладає одну угоду на чотири презентації. Тепер уявіть собі, що ви витягуєте карти з колоди. Кожна карта трьох мастей – піки, бубни та трефи – це презентація, на якій ви професійно представляєте продукт, послугу чи можливість. Ви робите це так добре, як тільки можете, але все одно не укладаєте угоду. А кожна черв'яка карта - це угода, що дозволяє вам отримати гроші або придбати нового компаньйона.
У такій ситуації, хіба вам не захочеться витягти з колоди якнайбільше карт? Припустимо, вам пропонують витягнути стільки карт, скільки ви хочете, і при цьому платити вам або пропонувати нового компаньйона щоразу, коли ви витягуєте червову карту. Ви почнете захоплено тягнути карти, ледь помічаючи, який масті карту щойно витягли.
Ви знаєте, що у колоді з п'ятдесяти двох карт - тринадцять червових. А у двох колодах – двадцять шість червових карт, і так далі. Чи будете ви розчаровані, витягнувши списи, бубни чи трефи? Ні звичайно! Ви думатимете тільки про те, що кожний такий "промах" наближає вас - до чого? До червової карти!
Але знаєте, що? Вам уже зробили таку пропозицію. Ви знаходитесь в унікальній ситуації, що дозволяє заробити стільки, скільки вам захочеться, і витягнути стільки хробаків, скільки ви хочете витягнути у своєму житті. І якщо ви просто сумлінно "тягнете карти", удосконалюєте свої навички і стійко переносите трохи пік, бубон і треф, то станете чудовим продавцем і досягнете успіху.
Одна з речей, що роблять процес продажу настільки захоплюючим - те, що кожного разу, коли тасуєш колоду, карти перемішуються по-різному. Іноді всі черви виявляються на початку колоди, і після вдалої смуги (коли нам уже здається, що ми ніколи не програємо!) на нас чекає довгий ряд карт іншої масті. А вдруге, щоб дістатися першої черви, доведеться пройти через нескінченну кількість пік, треф та бубон. А іноді карти різної масті випадають по черзі. Але в будь-якому випадку, в кожній колоді з п'ятдесяти двох карток, у якомусь порядку, завжди є тринадцять червових карток. Просто витягайте карти доти, доки їх не знайдете.
Від: Leylya,
Закон великих чисел
Закон великих чиселтеоретично ймовірностей стверджує, що емпіричне середнє (середнє арифметичне) досить великий кінцевої вибірки з фіксованого розподілу близько до теоретичного середнього (математичного очікування) цього розподілу. Залежно від виду збіжності розрізняють слабкий закон великих чисел, коли має місце збіжність ймовірно, і посилений закон великих чисел, коли має місце збіжність майже всюди.
Завжди знайдеться така кількість випробувань, при якому з будь-якою заданою наперед ймовірністю відносна частота появи деякої події буде мало відрізнятися від його ймовірності.
Загальний зміст закону великих чисел - спільна дія великої кількості випадкових факторів призводить до результату, що майже не залежить від випадку.
У цьому властивості засновані методи оцінки ймовірності з урахуванням аналізу кінцевої вибірки. Наочним прикладом є прогноз результатів виборів на основі опитування вибірки виборців.
Слабкий закон великих чисел
Нехай є нескінченна послідовність (послідовне перерахування) однаково розподілених та некорельованих випадкових величин, визначених на одному ймовірнісному просторі. Тобто їхня коваріація. Нехай. Позначимо вибіркове середнє перших членів:
Посилений закон великих чисел
Нехай є нескінченна послідовність незалежних однаково розподілених випадкових величин, визначених на одному ймовірнісному просторі. Нехай. Позначимо вибіркове середнє перших членів:
.Тоді майже мабуть.
Див. також
Література
- Ширяєв А. Н.Імовірність, – М.: Наука. 1989.
- Чистяков В. П.Курс теорії ймовірностей, – М., 1982.
Wikimedia Foundation. 2010 .
- Кінематограф Росії
- Громека, Михайло Степанович
Дивитись що таке "Закон великих чисел" в інших словниках:
ЗАКОН ВЕЛИКИХ ЧИСЕЛ- (law of large numbers) У тому випадку, коли поведінка окремих представників населення відрізняється великою своєрідністю, поведінка групи в середньому більш передбачувана, ніж поведінка будь-якого її члена. Тенденція, відповідно до якої групи… Економічний словник
ЗАКОН ВЕЛИКИХ ЧИСЕЛ- див. ВЕЛИКИХ ЧИСЕЛ ЗАКОН. Антіназі. Енциклопедія соціології, 2009 … Енциклопедія соціології
Закон Великих Чисел- принцип, згідно з яким кількісні закономірності, властиві масовим суспільним явищам, найбільш явно виявляються при досить великій кількості спостережень. Поодинокі явища більшою мірою схильні до впливу випадкових і… … Словник бізнес-термінів
ЗАКОН ВЕЛИКИХ ЧИСЕЛ- стверджує, що з ймовірністю, близькою до одиниці, середнє арифметичне великої кількості випадкових величин приблизно одного порядку мало відрізнятиметься від константи, що дорівнює середньому арифметичному з математичних очікувань цих величин. Разл.… … Геологічна енциклопедія
закон великих чисел- - [Я.Н.Лугинський, М.С.Фезі Жилінська, Ю.С.Кабіров. Англо-російський словник з електротехніки та електроенергетики, Москва, 1999 р.] Тематики електротехніка, основні поняття EN law of averageslaw of large numbers … Довідник технічного перекладача
закон великих чисел- didžiųjų skaičių denis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. права великої кількості vok. Gesetz der großen Zahlen, n rus. закон великих чисел, m pranc. loi des grands nombres, f … Fizikos terminų žodynas
ЗАКОН ВЕЛИКИХ ЧИСЕЛ- загальний принцип, в силу якого спільна дія випадкових факторів призводить за деяких вельми загальних умов до різки, майже не залежить від випадку. Зближення частоти настання випадкової події з його ймовірністю у разі зростання числа… … Російська соціологічна енциклопедія
Закон великих чисел- Закон, що свідчить, що сукупна дія великої кількості випадкових факторів призводить, за деяких вельми загальних умов, до результату, що майже не залежить від випадку ... Соціологія: словник
ЗАКОН ВЕЛИКИХ ЧИСЕЛ- статистичний закон, що виражає зв'язок статистичних показників (параметрів) вибіркової та генеральної сукупності. Фактичні значення статистичних показників, отримані певною вибіркою, завжди від т.зв. теоретичних… … Соціологія: Енциклопедія
ЗАКОН ВЕЛИКИХ ЧИСЕЛ- принцип, за яким частота фінансових втрат певного виду може бути передбачена з високою точністю тоді, коли є велика кількість втрат аналогічних видів. Енциклопедичний словник економіки та права
Книги
- Набір таблиць. Математика. Теорія ймовірностей та математична статистика. 6 таблиць + методика, . Таблиці надруковані на щільному поліграфічному картоні розміром 680 х 980 мм. У комплект входить брошура з методичними порадами для вчителя. Навчальний альбом із 6 аркушів. Випадкові…
