Kursuppgifter: Upprepade och oberoende prov. Bernoullis sats om sannolikhetsfrekvensen. Presentation om Bernoullis formel Presentation om Bernoullis retestschema
https://accounts.google.com
Bildtexter:
Kapitel 9. Element i matematisk statistik, kombinatorik och sannolikhetsteori §54. Slumpmässiga händelser och deras sannolikheter 3. OBEROENDE REPETITIONER AV TEST. BERNULLIS SAT OCH STATISTISK STABILITET.
Innehåll EXEMPEL 5. Sannolikhet att träffa målet med ett skott ... Lösning 5a); Lösning 5b); Lösning 5c); Lösning 5d). Observera att... I hela serien av upprepningar är det viktigt att veta... Jacob Bernoulli kombinerade exempel och frågor... SAT 3 (Bernoullis sats). EXEMPEL 6. Bestäm i vart och ett av punkterna a) - d) värdena n, k, p, q och skriv ut (utan beräkningar) uttrycket för den önskade sannolikheten Pn (k). Beslut 6 a); Lösning 6 b); Lösning 6 c); Lösning 6 d). Bernoullis teorem tillåter ... SAT 4. Med ett stort antal oberoende upprepningar ... För läraren. Källor. 2014-08-02 2
3. OBEROENDE REPETITIONER AV TEST. BERNULLIS SAT OCH STATISTISK STABILITET. Del 3. 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, lärare i matematik 3
EXEMPEL 5. Sannolikhet att träffa målet med ett skott Låt oss ändra det föregående exemplet något: istället för två olika skyttar kommer samma skytt att skjuta mot målet. Exempel 5 . Sannolikheten att träffa målet med ett skott är 0,8. 3 oberoende skott avlossades. Hitta sannolikheten för att målet: a) kommer att träffas tre gånger; b) kommer inte att påverkas; c) kommer att träffas minst en gång; d) kommer att träffas exakt en gång. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, lärare i matematik 4
Lösning av exempel 5a) Exempel 5. Sannolikheten att träffa målet med ett skott är 0,8. 3 oberoende skott avlossades. Hitta sannolikheten för att målet: a) kommer att träffas tre gånger; 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, lärare i matematik 5
Lösning av exempel 5b) Exempel 5. Sannolikheten att träffa målet med ett skott är 0,8. 3 oberoende skott avlossades. Hitta sannolikheten att målet: b) inte kommer att träffas; Beslut: 2014-08-02 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, lärare i matematik 6
Lösning av exempel 5c) Exempel 5. Sannolikheten att träffa målet med ett skott är 0,8. 3 oberoende skott avlossades. Hitta sannolikheten att målet: c) kommer att träffas minst en gång; Beslut: 2014-08-02 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, lärare i matematik 7
Lösning av exempel 5d) Exempel 5. Sannolikheten att träffa målet med ett skott är 0,8. 3 oberoende skott avlossades. Hitta sannolikheten att målet: d) kommer att träffas exakt en gång. Beslut: 2014-08-02 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, lärare i matematik 8
Notera Lösningen som ges i punkt d) i exempel 5, i ett särskilt fall, upprepar beviset för den berömda Bernoulli-satsen, som hänvisar till en av de vanligaste probabilistiska modellerna: oberoende upprepningar av samma test med två möjliga utfall. Särskiljande drag många probabilistiska problem består i att testet, som ett resultat av vilket händelsen av intresse för oss kan inträffa, kan upprepas många gånger. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, lärare i matematik 9
I hela serien av repetitioner är det viktigt att veta. I var och en av dessa repetitioner är vi intresserade av frågan om denna händelse kommer att inträffa eller inte. Och i hela serien av repetitioner är det viktigt för oss att veta exakt hur många gånger denna händelse kan inträffa eller inte. Till exempel kastas en tärning tio gånger i rad. Vad är sannolikheten att en 4:a kommer upp exakt 3 gånger? 10 skott avlossade; Vad är sannolikheten att det blir exakt 8 träffar på målet? Eller vad är sannolikheten att i fem kast av ett mynt kommer huvuden att komma upp exakt fyra gånger? 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, lärare i matematik 10
Jacob Bernoulli kombinerade exempel och frågor Den schweiziska matematikern från det tidiga 1700-talet, Jacob Bernoulli, kombinerade exempel och frågor av denna typ till ett enda probabilistiskt schema. Låt sannolikheten slumpmässig händelse Och när man genomför något test är det lika med P (A). Vi kommer att betrakta detta test som ett test med endast två möjliga utfall: ett utfall är att händelse A kommer att inträffa, och det andra resultatet är att händelse A inte kommer att inträffa, dvs händelsen Ᾱ kommer att inträffa. För korthets skull, låt oss kalla det första resultatet (förekomsten av händelsen A) "framgång", och det andra resultatet (förekomsten av händelsen Ᾱ) "misslyckande". Sannolikheten P(A) för "framgång" kommer att betecknas med p, och sannolikheten P(Ᾱ) för "misslyckande" kommer att betecknas med q. Så q = P(Ᾱ) = 1 - P(A) = 1 - p. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, lärare i matematik 11
SAT 3 (Bernoullis sats) Sats 3 (Bernoullis sats). Låt P n (k) vara sannolikheten för exakt k "framgångar" i n oberoende upprepningar av samma test. Då är P n (k)= С n k p k q n- k , där p är sannolikheten för "framgång", och q=1 - p är sannolikheten för "misslyckande" i ett separat test. Denna sats (vi presenterar den utan bevis) är av stor betydelse för både teori och praktik. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, lärare i matematik 12
EXEMPEL 6. Exempel 6. I vart och ett av punkterna a) - d) bestäm värdena för n, k, p, q och skriv ut (utan beräkningar) uttrycket för den önskade sannolikheten P n (k). a) Vad är sannolikheten att få exakt 7 huvuden på 10 kast av ett mynt? b) Var och en av de 20 personerna namnger självständigt en av veckodagarna. "Otursdagar" är måndag och fredag. Vad är sannolikheten att "lycka till" blir exakt hälften? c) Att kasta tärningen är "lyckat" om den slår 5 eller 6. Vad är sannolikheten att exakt 5 kast av 25 kommer att vara "tur"? d) Testet består av att kasta tre olika mynt samtidigt. "Failure": fler "svansar" än "örnar". Vad är sannolikheten att det blir exakt tre "lyckor" bland 7 kast? 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, lärare i matematik 13
Lösning 6a) Exempel 6. I vart och ett av punkterna a) - d) bestäm värdena för n, k, p, q och skriv ut (utan beräkningar) uttrycket för den önskade sannolikheten P n (k). a) Vad är sannolikheten att få exakt 7 huvuden på 10 kast av ett mynt? Beslut: 2014-08-02 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, lärare i matematik 14
Lösning 6b) Exempel 6. I vart och ett av punkterna a) - d) bestäm värdena för n, k, p, q och skriv ut (utan beräkningar) uttrycket för den önskade sannolikheten P n (k). b) Var och en av de 20 personerna namnger självständigt en av veckodagarna. "Otursdagar" är måndag och fredag. Vad är sannolikheten att "lycka till" blir exakt hälften? Beslut: 2014-08-02 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, lärare i matematik 15
Lösning 6c) Exempel 6. I vart och ett av punkterna a) - d) bestäm värdena för n, k, p, q och skriv ut (utan beräkningar) uttrycket för den önskade sannolikheten P n (k). c) Att kasta tärningen är "lyckat" om den slår 5 eller 6. Vad är sannolikheten att exakt 5 kast av 25 kommer att vara "tur"? Beslut: 2014-08-02 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, lärare i matematik 16
Lösning 6d) Exempel 6. I vart och ett av punkterna a) - d) bestäm värdena för n, k, p, q och skriv ut (utan beräkningar) uttrycket för den önskade sannolikheten P n (k). d) Testet består av att kasta tre olika mynt samtidigt. "Failure": fler "svansar" än "örnar". Vad är sannolikheten att det blir exakt tre "lyckor" bland 7 kast? Lösning: d) n = 7, k = 3. ”Tur” med ett kast är att det finns färre ”svansar” än ”örnar”. Totalt 8 resultat är möjliga: PPP, PPO, POP, OPP, POO, ORO, OOP, OOO (P - "svansar", O - "huvuden"). Exakt hälften av dem har färre svansar än huvuden: POO, ORO, OOP, OOO. Så p = q = 0,5; P 7 (3) \u003d C 7 3 ∙ 0,5 3 ∙ 0,5 4 \u003d C 7 3 ∙ 0,5 7. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, lärare i matematik 17
Bernoullis sats tillåter ... Bernoullis sats låter dig upprätta ett samband mellan den statistiska metoden för definitionen av sannolikhet och den klassiska definitionen av sannolikheten för en slumpmässig händelse. För att beskriva detta samband, låt oss återgå till villkoren i 50 § om statistisk behandling av uppgifter. Betrakta en sekvens av n oberoende upprepningar av samma test med två utfall - "framgång" och "misslyckande". Resultaten av dessa tester utgör en serie data, bestående av någon sekvens av två alternativ: "framgång" och "misslyckande". Enkelt uttryckt finns det en sekvens med längden n, som består av två bokstäver U ("lycka till") och H ("misslyckande"). Till exempel, U, U, N, N, U, N, N, N, ..., U eller N, U, U, N, U, U, N, N, U, ..., N, etc. n. Låt oss beräkna multipliciteten och frekvensen för Y-alternativen, d.v.s. hitta bråkdelen k/n, där k är antalet "lyckor" som man stöter på bland alla n repetitioner. Det visar sig att med en obegränsad ökning av n kommer frekvensen k/n för förekomsten av "framgångar" att vara praktiskt taget omöjlig att skilja från sannolikheten p för "framgång" i ett försök. Detta ganska komplicerade matematiska faktum härrör just från Bernoullis teorem. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, lärare i matematik 18
SAT 4. Med ett stort antal oberoende repetitioner SAT 4. Med ett stort antal oberoende repetitioner av samma test är frekvensen av förekomsten av en slumpmässig händelse A med ökande noggrannhet ungefär lika med sannolikheten för händelse A: k/n ≈ P(A). Till exempel, när n > 2000 med en sannolikhet större än 99 %, kan det hävdas att det absoluta felet | k/n - P(A)| ungefärlig likhet k/n≈ P(A) kommer att vara mindre än 0,03. Därför räcker det i sociologiska undersökningar att intervjua cirka 2 000 slumpmässigt utvalda personer (respondenter). Om, säg, 520 av dem svarade positivt på fråga ställd, då k/n=520/2000=0,26 och det är nästan säkert att för alla Mer svarande kommer denna frekvens att ligga i intervallet från 0,23 till 0,29. Detta fenomen kallas fenomenet statistisk stabilitet. Så Bernoullis sats och dess konsekvenser tillåter oss att (ungefärligt) hitta sannolikheten för en slumpmässig händelse i fall där dess explicita beräkning är omöjlig. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, lärare i matematik 19
För läraren 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, lärare i matematik 20
02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, lärare i matematik 21
02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, lärare i matematik 22
Källor Algebra and the Beginnings of Analysis, årskurs 10-11, del 1. Lärobok, 10:e upplagan. (Grundnivå), A.G. Mordkovich, M., 2009 Algebra och analysens början, årskurs 10-11. (Grundnivå) Metodguide för lärare, A.G. Mordkovich, P.V. Semenov, M., 2010 Tabeller är sammanställda i MS Word och MS Excel. Internetresurser Tsybikova Tamara Radnazhapovna, lärare i matematik 08.02.2014 23
Förhandsvisning:
För att använda förhandsgranskningen av presentationer, skapa ett konto för dig själv ( konto) Google och logga in: https://accounts.google.com
Bildtexter:
glida 1
Kapitel 9. Element i matematisk statistik, kombinatorik och sannolikhetsteori
§54. Slumpmässiga händelser och deras sannolikheter 3. OBEROENDE REPETITIONER AV TEST. BERNULLIS SAT OCH STATISTISK STABILITET.
glida 2
Innehåll
EXEMPEL 5. Sannolikhet att träffa ett mål med ett skott ... Lösning 5a); Lösning 5b); Lösning 5c); Lösning 5d. Observera att ... I hela serien av repetitioner är det viktigt att veta ... Jacob Bernoulli kombinerade exempel och frågor ... SAT 3 (Bernoullis sats ).
EXEMPEL 6. Bestäm i vart och ett av punkterna a) - d) värdena på n, k, p, q och skriv ut (utan beräkningar) uttrycket för den önskade sannolikheten Pn(k). Lösning 6a); Lösning 6b) Lösning 6c, Lösning 6d). Bernoullis sats tillåter ... SAT 4. Med ett stort antal oberoende upprepningar ... För läraren Källor.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, lärare i matematik
*
glida 3
3. OBEROENDE REPETITIONER AV TEST. BERNULLIS SAT OCH STATISTISK STABILITET.
Del 3
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, lärare i matematik
*
glida 4
EXEMPEL 5. Sannolikhet att träffa målet med ett skott
Låt oss ändra något på föregående exempel: istället för två olika skyttar kommer samma skytt att skjuta mot målet Exempel 5. Sannolikheten att träffa målet med ett skott är 0,8. 3 oberoende skott avlossades. Hitta sannolikheten för att målet: a) kommer att träffas tre gånger; b) inte kommer att träffas; c) kommer att träffas minst en gång; d) kommer att träffas exakt en gång.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, lärare i matematik
*
glida 5
Lösning av exempel 5a)
Exempel 5. Sannolikheten att träffa målet med ett skott är 0,8. 3 oberoende skott avlossades. Hitta sannolikheten för att målet: a) kommer att träffas tre gånger;
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, lärare i matematik
*
glida 6
Lösning av exempel 5b)
Exempel 5. Sannolikheten att träffa målet med ett skott är 0,8. 3 oberoende skott avlossades. Hitta sannolikheten för att målet: b) inte kommer att träffas; Lösning:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, lärare i matematik
*
Bild 7
Lösning i exempel 5c)
Exempel 5. Sannolikheten att träffa målet med ett skott är 0,8. 3 oberoende skott avlossades. Hitta sannolikheten att målet: c) kommer att träffas minst en gång; Lösning:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, lärare i matematik
*
Bild 8
Lösning av exempel 5d)
Exempel 5. Sannolikheten att träffa målet med ett skott är 0,8. 3 oberoende skott avlossades. Hitta sannolikheten för att målet: d) kommer att träffas exakt en gång Lösning:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, lärare i matematik
*
Bild 9
Notera
Lösningen som ges i punkt d) i exempel 5, i ett specifikt fall, upprepar beviset för den berömda Bernoulli-satsen, som hänvisar till en av de vanligaste probabilistiska modellerna: oberoende upprepningar av samma test med två möjliga utfall. Ett utmärkande drag för många probabilistiska problem är att testet, som ett resultat av vilket händelsen av intresse för oss kan inträffa, kan upprepas många gånger.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, lärare i matematik
*
Bild 10
I hela serien av repetitioner är det viktigt att veta
I var och en av dessa upprepningar är vi intresserade av frågan om denna händelse kommer att inträffa eller inte. Och i hela serien av repetitioner är det viktigt för oss att veta exakt hur många gånger denna händelse kan inträffa eller inte. Till exempel kastas en tärning tio gånger i rad. Vad är sannolikheten att en 4:a kommer upp exakt 3 gånger? 10 skott avlossade; Vad är sannolikheten att det blir exakt 8 träffar på målet? Eller vad är sannolikheten att i fem kast av ett mynt kommer huvuden att komma upp exakt fyra gånger?
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, lärare i matematik
*
glida 11
Jacob Bernoulli kombinerade exempel och frågor
Den schweiziske matematikern från tidigt 1700-tal, Jacob Bernoulli, kombinerade exempel och frågor av denna typ till ett enda probabilistiskt schema Låt sannolikheten för en slumpmässig händelse A under något test vara lika med P (A). Vi kommer att betrakta detta test som ett test med endast två möjliga utfall: ett utfall är att händelse A kommer att inträffa, och det andra resultatet är att händelse A inte kommer att inträffa, dvs händelsen Ᾱ kommer att inträffa. För korthets skull, låt oss kalla det första resultatet (förekomsten av händelsen A) "framgång", och det andra resultatet (förekomsten av händelsen Ᾱ) "misslyckande". Sannolikheten P(A) för "framgång" kommer att betecknas med p, och sannolikheten P(Ᾱ) för "misslyckande" kommer att betecknas med q. Så q = P(Ᾱ) = 1 - P(A) = 1 - p.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, lärare i matematik
*
glida 12
SAT 3 (Bernoullis sats)
Sats 3 (Bernoullis sats). Låt Pn(k) vara sannolikheten för exakt k "framgångar" i n oberoende upprepningar av samma test. Då är Pn(k)= Сnk pk qn-k, där p är sannolikheten för "framgång", och q=1-p är sannolikheten för "misslyckande" i ett separat test. Denna sats (vi ger den utan bevis ) är av stor betydelse för teorin och för praktiken.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, lärare i matematik
*
glida 13
EXEMPEL 6.
Exempel 6. Bestäm i vart och ett av punkterna a) - d) värdena på n, k, p, q och skriv ut (utan beräkningar) uttrycket för den önskade sannolikheten Pn(k). mynt? b) Var och en av de 20 personer namnger självständigt en av veckodagarna. "Otursdagar" är måndag och fredag. Vad är sannolikheten att "lycka till" blir exakt hälften? Vad är sannolikheten att exakt 5 kast av 25 kommer att bli "lyckade"? d) Testet består av att kasta tre olika mynt samtidigt. "Failure": fler "svansar" än "örnar". Vad är sannolikheten att det blir exakt tre "lyckor" bland 7 kast?
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, lärare i matematik
*
Bild 14
Lösning 6a)
Exempel 6. Bestäm i vart och ett av punkterna a) - d) värdena på n, k, p, q och skriv ut (utan beräkningar) uttrycket för den önskade sannolikheten Pn(k). mynt? Lösning:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, lärare i matematik
*
glida 15
Lösning 6b)
Exempel 6. Bestäm i vart och ett av punkterna a) - d) värdena på n, k, p, q och skriv ut (utan beräkningar) ett uttryck för den önskade sannolikheten Pn(k). b) Var och en av 20 personer oberoende av varandra. namnger en av veckodagarna. "Otursdagar" är måndag och fredag. Vad är sannolikheten att det blir exakt hälften av "lycka till"? Lösning:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, lärare i matematik
*
glida 16
Lösning 6c)
Exempel 6. Bestäm i vart och ett av punkterna a) - d) värdena på n, k, p, q och skriv ut (utan beräkningar) uttrycket för den önskade sannolikheten Pn(k). . Vad är sannolikheten att exakt 5 kast av 25 kommer att vara "tur"? Lösning:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, lärare i matematik
*
Bild 17
Lösning 6d)
Exempel 6. Bestäm i vart och ett av punkterna a) - d) värdena på n, k, p, q och skriv ut (utan beräkningar) uttrycket för den önskade sannolikheten Pn(k). d) Testet består av samtidigt kasta tre olika mynt. "Failure": fler "svansar" än "örnar". Vad är sannolikheten att det blir exakt tre ”lyckor” bland 7 kast?Lösning: d) n = 7, k = 3. ”Tur” på ett kast är att det finns färre ”svansar” än ”örnar”. Totalt 8 resultat är möjliga: PPP, PPO, POP, OPP, POO, ORO, OOP, OOO (P - "svansar", O - "huvuden"). Exakt hälften av dem har färre svansar än huvuden: POO, ORO, OOP, OOO. Så p = q = 0,5; Р7(3) = С73 ∙ 0,53 ∙ 0,54 = С73 ∙ 0,57.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, lärare i matematik
*
Bild 18
Bernoullis teorem tillåter...
Bernoullis sats gör det möjligt att fastställa ett samband mellan det statistiska förhållningssättet till definitionen av sannolikhet och den klassiska definitionen av sannolikheten för en slumpmässig händelse. För att beskriva detta samband, låt oss återgå till villkoren i 50 § om statistisk behandling av uppgifter. Betrakta en sekvens av n oberoende upprepningar av samma test med två utfall - "framgång" och "misslyckande". Resultaten av dessa tester utgör en serie data, bestående av någon sekvens av två alternativ: "framgång" och "misslyckande". Enkelt uttryckt finns det en sekvens med längden n, som består av två bokstäver Y ("lycka till") och H ("misslyckande"). Till exempel, U, U, N, N, U, N, N, N, ..., U eller N, U, U, N, U, U, N, N, U, ..., N, etc. n. Låt oss beräkna multipliciteten och frekvensen av alternativen Y, dvs vi hittar bråkdelen k / n, där k är antalet "lyckor" som uppstår bland alla n repetitioner. Det visar sig att med en obegränsad ökning av n kommer frekvensen k/n för förekomsten av "framgångar" att vara praktiskt taget omöjlig att skilja från sannolikheten p för "framgång" i ett försök. Detta ganska komplicerade matematiska faktum härrör just från Bernoullis teorem.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, lärare i matematik
*
Bild 19
SAT 4. För ett stort antal oberoende upprepningar
SAT 4. Med ett stort antal oberoende upprepningar av samma test är frekvensen av förekomsten av en slumpmässig händelse A med ökande noggrannhet ungefär lika med sannolikheten för händelse A: k / n ≈ P (A). n > 2000 med en sannolikhet större än 99% , kan det hävdas att det absoluta felet |k/n- Р(А)| ungefärlig likhet k/n≈ P(A) kommer att vara mindre än 0,03. Därför räcker det i sociologiska undersökningar att intervjua cirka 2 000 slumpmässigt utvalda personer (respondenter). Om, säg, 520 av dem gav ett positivt svar på frågan, då k / n = 520 / 2000 = 0,26 och det är praktiskt taget säkert att för ett större antal svarande kommer en sådan frekvens att ligga i intervallet från 0,23 till 0,29. Detta fenomen kallas fenomenet statistisk stabilitet, så Bernoullis sats och dess konsekvenser tillåter (ungefär) att hitta sannolikheten för en slumpmässig händelse i de fall där dess explicita beräkning är omöjlig.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, lärare i matematik
*
Bild 20
För läraren
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, lärare i matematik
*
glida 21
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, lärare i matematik
*
glida 22
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, lärare i matematik
*
glida 23
Källor
Algebra and the Beginnings of Analysis, årskurs 10-11, del 1. Lärobok, 10:e upplagan. (Grundnivå), A.G. Mordkovich, M., 2009Algebra och analysens början, årskurs 10-11. (Grundnivå) Metodguide för lärare, A.G. Mordkovich, P.V. Semenov, M., 2010 Tabeller är sammanställda i MS Word och MS Excel. Internetresurser
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, lärare i matematik
08.02.2014
*
glida 1
Bernoullis sats
17.03.2017
glida 2
En serie av n oberoende försök utförs. Varje test har 2 resultat: A - "framgång" och - "misslyckande". Sannolikheten för "framgång" i varje test är densamma och är lika med P(A) = p Följaktligen ändras inte heller sannolikheten för "misslyckande" från erfarenhet till erfarenhet och är lika.
Bernoullis plan
Vad är sannolikheten att en serie av n försök kommer att lyckas k gånger? Hitta Pn(k) .
glida 3
Myntet kastas n gånger. Ett kort dras från kortleken n gånger, och varje gång kortet återlämnas blandas kortleken. Vi undersöker n produkter av viss produktion, slumpmässigt utvalda, för kvalitet. Skytten skjuter mot målet n gånger.
Exempel
glida 4
Förklara varför följande frågor passar in i Bernoullis schema. Ange vad "framgång" består av och vad n och k är. a) Vad är sannolikheten att få en 2:a tre gånger på tio kast av en tärning? b) Hur stor är sannolikheten att huvuden kommer att dyka upp 73 gånger om 100 kast av ett mynt? c) Ett par tärningar slås tjugo gånger i rad. Vad är sannolikheten att summan av poängen aldrig har varit lika med tio? d) Tre kort drogs från en kortlek med 36 kort, resultatet registrerades och återfördes till leken, sedan blandades korten. Detta upprepades 4 gånger. Vad är sannolikheten att spaderdrottningen var bland de dragna korten varje gång?
glida 5
För antalet kombinationer från n till k är formeln giltig
Till exempel:
glida 6
Bernoullis sats
Sannolikheten Pn(k) för exakt k framgångar i n oberoende upprepningar av samma test hittas av formeln, där p är sannolikheten för "framgång", q = 1- p är sannolikheten för "misslyckande" i ett separat experiment .
Bild 7
Myntet kastas 6 gånger. Vad är sannolikheten för att vapnet dyker upp 0, 1, ...6 gånger? Lösning. Antalet experiment n=6. Händelse A - "framgång" - förlusten av vapenskölden. Enligt Bernoullis formel är den nödvändiga sannolikheten
;
;
;
;
;
;
Bild 8
Myntet kastas 6 gånger. Vad är sannolikheten för att vapnet dyker upp 0, 1, ...6 gånger? Lösning. Antalet experiment n=6. Händelse A - "framgång" - förlusten av vapenskölden.
;
;
;
;
;
;
Bild 9
Myntet kastas 10 gånger. Vad är sannolikheten att vapnet kommer att dyka upp två gånger? Lösning. Antalet experiment n=10, m=2. Händelse A - "framgång" - förlusten av vapenskölden. Enligt Bernoullis formel är den nödvändiga sannolikheten
;
;
;
;
;
;
Bild 10
En urna innehåller 20 vita och 10 svarta kulor. 4 bollar tas ut och varje boll som tas ut återförs till urnan innan nästa dras och bollarna i urnan blandas. Hitta sannolikheten att 2 av de 4 kulorna som dras är vita. Lösning. Händelse A - fick vit boll. Då är sannolikheterna Enligt Bernoullis formel är den nödvändiga sannolikheten
glida 11
Bestäm sannolikheten att det inte finns några flickor i en familj med 5 barn. Sannolikheten att få en pojke och en flicka antas vara densamma. Lösning. Sannolikheten för födseln av en flicka, en pojke Enligt Bernoullis formel är den nödvändiga sannolikheten lika med
glida 12
Hitta sannolikheten att en familj med 5 barn kommer att få en flicka. Sannolikheten att få en pojke och en flicka antas vara densamma. Lösning. Sannolikheten för födseln av en flicka, en pojke Enligt Bernoullis formel är den nödvändiga sannolikheten lika med
glida 13
Bestäm sannolikheten att en familj med 5 barn kommer att få två flickor. Lösning. Sannolikheten för födseln av en flicka, en pojke Enligt Bernoullis formel är den nödvändiga sannolikheten lika med
Bild 14
Hitta sannolikheten att en familj med 5 barn kommer att få 3 flickor. Lösning. Sannolikheten för födseln av en flicka, en pojke Enligt Bernoullis formel är den nödvändiga sannolikheten lika med
glida 15
Bestäm sannolikheten att en familj med 5 barn inte kommer att ha fler än 3 flickor. Sannolikheten att få en pojke och en flicka antas vara densamma. Lösning. Sannolikheten att få en flicka, en pojke. Den nödvändiga sannolikheten är lika med
.
glida 16
Bland de delar som bearbetas av arbetaren finns det i genomsnitt 4% avvikande. Hitta sannolikheten att två av de 30 delarna som tas för testning kommer att vara icke-standardiserade. Lösning. Här ligger erfarenheten i att kontrollera var och en av de 30 delarna för kvalitet. Händelse A - "utseendet av en icke-standarddel",
"Element of matematisk statistik" - Konfidensintervall. Vetenskapen. Klassificering av hypoteser. Delar tillverkas på olika maskiner. Kontrollera regler. korrelationsberoende. Missbruk. Uppsättningen av kriterievärden. Hitta konfidensintervallet. Beräkning av konfidensintervall för okänd varians. Normal distribution.
"Sannolikhet och matematisk statistik" - Noggrannheten hos de erhållna värdena. Kod för kassaskåpet. Beskrivande statistik. Äpple. Låt oss överväga händelser. multiplikationsregeln. Två skyttar. Jämförelse läroplaner. Kola. Exempel på stapeldiagram. Matematikmärken. Multiplikationsregel för tre. Vita och röda rosor. 9 olika böcker. Vinterlov.
"Fundamentals of Mathematical Statistics" - Villkorlig sannolikhet. Tabell över standardiserade värden. Egenskaper för Students distribution. Konfidensintervall för matematiska förväntningar. Exempel medelvärde. Distribution. En rättegång kan betraktas som en serie av en rättegång. Kvantil - till vänster ska vara antalet värden som motsvarar kvantilindexet.
"Sannolikhetsteori och statistik" - Gränser för intervallet. Kritiska områden. Sannolikhetsmultiplikationssats. Fördelning av en normal stokastisk variabel. Härledning av Bernoullis formel. Fördelningslagar för slumpvariabler. Ordalydelsen i ZBC. Betydelse och formulering av den centrala gränssatsen. Förhållandet mellan nominella egenskaper. Stokastiskt beroende av två slumpvariabler.
"Statistisk forskning" - Relevans. Statistiska egenskaper och forskning. Planen. Intervallet är skillnaden mellan de största och minsta värdena i en dataserie. Typer av statistiska observationer. Gillar du att studera matematik. Tänk på en serie siffror. Som hjälper dig att förstå ett svårt ämne i matematik. Behöver du matematik i ditt framtida yrke.
"Grundläggande statistiska egenskaper" - Grundläggande statistiska egenskaper. Hitta det aritmetiska medelvärdet. PETRONIUS. Hårt slag. Radmode. Aritmetiskt medelvärde av en serie tal. Radspann. Median för serien. Statistik. Median. Skolans anteckningsböcker.
Totalt finns det 17 presentationer i ämnet
FEDERAL UTBILDNINGSMYNDIGHET
Statens läroanstalt
högre yrkesutbildning
"MATI" - RUSSIAN STATE TECHNOLOGIC UNIVERSITY IM. K.E. TSIOLKOVSKY
Institutionen för systemmodellering och informationsteknologi
Upprepning av tester. Bernoullis plan
Metodiska instruktioner för praktiska övningar
i disciplinen "Högre matematik"
Sammanställt av: Egorova Yu.B.
Mamonov I.M.
Moskva 2006 introduktion
Riktlinjerna är avsedda för studenter på dag- och kvällsavdelningarna vid fakultet nr 14, specialiteter 150601, 160301, 230102. Riktlinjerna belyser de grundläggande begreppen i ämnet, bestämmer sekvensen för att studera materialet. Ett stort antal övervägda exempel hjälper till i den praktiska utvecklingen av ämnet. Riktlinjer fungerar som en metodisk grund för praktiska övningar och genomförandet av enskilda uppgifter.
BERNULLI SCHEMA. BERNULLI FORMEL
Bernoullis plan- Ett schema med upprepade oberoende tester, där vissa händelser MEN kan upprepas många gånger med konstant sannolikhet R (MEN)= R .
Exempel på tester som utförts enligt Bernoulli-schemat: multipel kastning av ett mynt eller en tärning, att göra en sats av delar, skjuta mot ett mål, etc.
Sats. Om sannolikheten för att en händelse inträffar MEN i varje test är konstant och lika R, sedan sannolikheten att händelsen MEN kommer komma m en gång n tester (oavsett i vilken ordningsföljd) kan bestämmas med Bernoullis formel:
var q = 1 – sid.
EXEMPEL 1. Sannolikheten att förbrukningen av el under en dag inte överstiger den fastställda normen är lika med p= 0,75. Hitta sannolikheten att elförbrukningen under de kommande 6 dagarna under 4 dagar inte kommer att överstiga normen.
LÖSNING. Sannolikheten för normal strömförbrukning under var och en av de 6 dagarna är konstant och lika med R= 0,75. Därför är sannolikheten för överutgifter för el varje dag också konstant och lika med q = 1R = 1 0,75 = 0,25.
Den önskade sannolikheten enligt Bernoullis formel är lika med:
EXEMPEL 2. Skytten skjuter tre skott mot målet. Sannolikheten att träffa målet med varje skott är p= 0,3. Hitta sannolikheten att: a) ett mål träffas; b) alla tre målen; c) inga mål; d) minst ett mål; e) mindre än två mål.
LÖSNING. Sannolikheten att träffa målet med varje skott är konstant och lika med R=0,75. Därför är sannolikheten för en miss q = 1 R\u003d 1 - 0,3 \u003d 0,7. Totalt antal experiment n=3.
a) Sannolikheten att träffa ett mål med tre skott är lika med:
b) Sannolikheten att träffa alla tre målen med tre skott är:
c) Sannolikheten för tre missar med tre skott är lika med:
d) Sannolikheten att träffa minst ett mål med tre skott är lika med:
e) Sannolikhet att träffa mindre än två mål, dvs. antingen ett mål eller inget:
Moivre-Laplace lokala och integralsatser
Om ett stort antal tester görs, blir beräkningen av sannolikheter med Bernoulli-formeln tekniskt svår, eftersom formeln kräver operationer på enorma tal. Därför finns det enklare ungefärliga formler för att beräkna sannolikheterna för stor n. Dessa formler kallas asymptotiska och definieras av Poissons sats, Laplaces lokala och integralsatser.
Local de Moivre-Laplace teorem. MEN MEN hända m en gång n n (n →∞ ), är ungefär lika med:
var är funktionen 
och argumentet 
Ju mer n, desto mer exakt är beräkningen av sannolikheter. Därför är det lämpligt att tillämpa Moivre-Laplace-satsen när npq 20.
f ( x ) särskilda tabeller sammanställdes (se bilaga 1). Tänk på när du använder ett bord funktionsegenskaper f(x) :
Fungera f(x)är jämnt f( x)= f(x) .
På X ∞ funktion f(x) 0. I praktiken kan vi anta att redan kl X>4 funktion f(x) ≈0.
EXEMPEL 3. Hitta sannolikheten att händelsen MEN inträffar 80 gånger i 400 försök om sannolikheten för händelsen är MEN i varje test är p= 0,2.
LÖSNING. Efter tillstånd n=400, m=80, sid=0,2, q=0,8. Följaktligen:
Enligt tabellen bestämmer vi värdet på funktionen f (0)=0,3989.
Moivre-Laplace integralsats. Om sannolikheten för att en händelse inträffar MEN i varje försök är konstant och skiljer sig från 0 och 1, då sannolikheten att händelsen MEN komma från m 1 innan m 2 en gång n tester med ett tillräckligt stort antal n (n →∞ ), är ungefär lika med:
var 
- integral eller Laplace-funktion, 
För att hitta funktionsvärden F( x ) särskilda tabeller har upprättats (se t.ex. bilaga 2). Tänk på när du använder ett bord egenskaper hos Laplace-funktionen Ф(x) :
Fungera Ф(x)är udda F( x)= Ф(x) .
På X ∞ funktion Ф(x) 0,5. I praktiken kan det anses vara så X>5 funktion Ф(x) ≈0,5.
F (0)=0.
EXEMPEL 4. Sannolikheten att detaljen inte har klarat kvalitetskontrollen är 0,2. Hitta sannolikheten att 70 till 100 artiklar kommer att vara avmarkerade bland 400 artiklar.
LÖSNING. Efter tillstånd n=400, m 1 =70, m 2 =100, sid=0,2, q=0,8. Följaktligen:
Enligt tabellen där värdena för Laplace-funktionen anges, bestämmer vi:
Ф(x 1 ) = F( 1,25 )= F( 1,25 )= 0,3944; Ф(x 2 ) = F( 2,5 )= 0,4938.
En serie oberoende rättegångar pågår,som var och en har 2 möjliga utfall,
som vi villkorligt kommer att kalla framgång och misslyckande.
Till exempel tar en student 4 tentor, i varje
varav 2 möjliga resultat. Framgång: student
klarade provet och Underkänd: underkänd. Sannolikheten för framgång i varje försök är
sid. Felsannolikheten är q=1-p.
Det krävs för att hitta sannolikheten att i serien
av n prövningar kommer framgången komma flera gånger
Pn(m) Bm Ó Ó ... Ó Í ... Í
Í Ó ... Ó Í ... Í ...
Í Í ... Í Ó ... Ó
I varje fall inträffar Framgång m gånger, och
Misslyckade (n-m) gånger.
siffra
Allt
kombinationer
lika
siffra
sätt från n försök att välja de m, i
vilket var Framgång, d.v.s. Centimeter
n Sannolikheten för varje sådan kombination är
sats
handla om
multiplikation
sannolikheter
kommer att vara Pmqn-m.
Eftersom dessa kombinationer är oförenliga, alltså
den önskade sannolikheten för händelsen Bm kommer att vara
Pn (m) p q
m
n m
... p q
m
n m
totalt C s lags û õ C p q
m
n
m
n
m
n m Pn (m) C p q
m
n
m
n m Det är känt att om ett mynt faller på huvuden, en student
går på bio om myntet landar på svansar
studenter. Vad är sannolikheten för att
1) tre av dem kommer att vara med på föreläsningen
2) det kommer att vara minst 3 studenter på föreläsningen
2) kommer minst en av studenterna att komma till föreläsningen? 1) I detta problem, en serie av n=5
oberoende tester. Låt oss kalla det framgång
gå på en föreläsning (svansarna faller ut) och
Misslyckande - gå på bio (faller ur vapnet).
p=q=1/2.
Med hjälp av Bernoullis formel hittar vi sannolikheten att
Vad händer 3 gånger efter 5 kast av ett mynt?
Framgång:
3
2
1 1
P5(3)C
2 2
5! 1 1
1
10
0,3125
3!2! 8 4
32
3
5För att hitta sannolikheten att efter 5 kast
åtminstone en gång kommer myntet att landa svansar,
låt oss gå vidare till sannolikheten för motsatsen
händelser - myntet kommer att falla ut alla 5 gångerna med vapnet:
P5 (0).
Då blir den önskade sannolikheten: P=1-P5(0).
Enligt Bernoullis formel:
0
5
1 1
P5(0)C
2 2
0
5
5
1
0,03125
2 Då blir sannolikheten för den önskade händelsen
P1 0,03125 0,96875
Bernoulli
elev går
i biografen, om myntet faller svansar - eleven går till
föreläsning. Myntet kastades av 5 elever. Vad är mest
troligt antal studenter som går på föreläsningen?
Sannolikhet
vinsten för 1 lott är 0,2. Vad är mest
troligt antal vinnande lotter? Det mest sannolika antalet framgångar i systemet
Bernoulli
np q k np sid Det mest sannolika antalet framgångar i systemet
Bernoulli
Formel för mest sannolika antal framgångar
np q k np sid
Om np-q är ett heltal så innehåller detta intervall 2
heltal. Båda är lika otroliga.
Om np-q är ett icke-heltal, innehåller detta intervall 1
heltal Det mest sannolika antalet framgångar i systemet
Bernoulli
Exempel Det är känt att om ett mynt landar på huvuden,
– Eleven går på föreläsningen. Kasta mynt 5
studenter som ska föreläsa?
np q k np sid
n 5
1
p q
2Det mest sannolika antalet framgångar i systemet
Bernoulli
Exempel Det är känt att om ett mynt landar på huvuden,
en elev går på bio om myntet landar på svansar
– Eleven går på föreläsningen. Kasta mynt 5
studenter. Vilket är det mest sannolika antalet
studenter som ska föreläsa?
np q k np sid
n 5
1
p q
2
1 1
np q 5 2
2 2
1 1
np p 5 3
2 2Det mest sannolika antalet framgångar i systemet
Bernoulli
Exempel Det är känt att om ett mynt landar på huvuden,
en elev går på bio om myntet landar på svansar
– Eleven går på föreläsningen. Kasta mynt 5
studenter. Vilket är det mest sannolika antalet
studenter som ska föreläsa?
np q k np sid
n 5
1
p q
2
1 1
np q 5 2
2 2
1 1
np p 5 3
2 2
2 k 3 k 2, k 3 Det mest sannolika antalet framgångar i systemet
Bernoulli
Exempel Det är känt att om ett mynt landar på huvuden,
en elev går på bio om myntet landar på svansar
– Eleven går på föreläsningen. Kasta mynt 5
studenter. Vilket är det mest sannolika antalet
studenter som ska föreläsa?
2
3
3
2
5
1 1
1 10 5
P5 (2) C52 10
32 16
2 2
2
5
1 1
1 10 5
P5 (3) C53 10
32 16
2 2
2 Det mest sannolika antalet framgångar i systemet
Bernoulli
Exempel Det är känt att om ett mynt landar på huvuden,
en elev går på bio om myntet landar på svansar
– Eleven går på föreläsningen. Kasta mynt 5
studenter. Vilket är det mest sannolika antalet
studenter som ska föreläsa?
sannolikhet, Pn(k)
Sannolikheter för antalet elever som deltog
föreläsning
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
antal elever, k
4
5Det mest sannolika antalet framgångar i systemet
Bernoulli
Exempel 10 lotter köps.
biljetter?
np q k np sid
n 10
p 0,2 q 0,8 Det mest sannolika antalet framgångar i systemet
Bernoulli
Exempel 10 lotter köps.
Sannolikheten att vinna på 1 lott är 0,2.
Vilket är det mest sannolika antalet vinnare
biljetter?
np q k np sid
n 10
p 0,2 q 0,8
np q 10 0,2 0,8 1,2
np p 10 0,2 0,2 2,2 Det mest sannolika antalet framgångar i systemet
Bernoulli
Exempel 10 lotter köps.
Sannolikheten att vinna på 1 lott är 0,2.
Vilket är det mest sannolika antalet vinnare
biljetter?
np q k np sid
n 10
p 0,2 q 0,8
np q 10 0,2 0,8 1,2
1, 2 till 2, 2
np p 10 0,2 0,2 2,2
k2 Det mest sannolika antalet framgångar i systemet
Bernoulli
Exempel 10 lotter köps.
Sannolikheten att vinna på 1 lott är 0,2.
Vilket är det mest sannolika antalet vinnare
biljetter?
P10 (2) C 0,2 0,8
2
10
2
8
45 0, 04 0,16777216=
=0,301989888Det mest sannolika antalet framgångar i systemet
Bernoulli
Exempel 10 lotter köps.
Sannolikheten att vinna på 1 lott är 0,2.
Vilket är det mest sannolika antalet vinnare
biljetter?
Sannolikheter för antalet vinnande lotter
sannolikhet, Pn(k)
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
4
5
6
antal biljetter, k
7
8
9
10Det mest sannolika antalet framgångar i systemet
Bernoulli
10 kontrakt undertecknade
betala försäkringsbeloppet
ett av kontrakten
än tre kontrakt
d) hitta det mest sannolika antalet kontrakt, enligt
vem som ska betala försäkringsbeloppet Det mest sannolika antalet framgångar i systemet
Bernoulli
Exempel I genomsnitt för 20 % av försäkringsavtalen
bolaget betalar försäkringsbeloppet.
10 kontrakt undertecknade
a) Hitta sannolikheten att tre
betala försäkringsbeloppet
0,201327Det mest sannolika antalet framgångar i systemet
Bernoulli
Exempel I genomsnitt för 20 % av försäkringsavtalen
bolaget betalar försäkringsbeloppet.
10 kontrakt undertecknade
b) Försäkringsbeloppet kommer inte att behöva betalas ut enligt någon
ett av kontrakten
0,107374Det mest sannolika antalet framgångar i systemet
Bernoulli
Exempel I genomsnitt för 20 % av försäkringsavtalen
bolaget betalar försäkringsbeloppet.
10 kontrakt undertecknade
c) försäkringsbeloppet behöver inte betalas mer än,
än tre kontrakt
0,753297Om n är stort, använd formeln
Pn (m) C p q
m
n
m
n m
svår
Därför används ungefärliga formler Sats: Om sannolikheten p för att händelsen A inträffar
i varje test är nära noll,
och antalet oberoende försök n är tillräckligt stort,
sedan sannolikheten Pn(m) att i n oberoende försök
händelse A kommer att inträffa m gånger, ungefär lika med:
Pn(m)
m
m!
e
där λ=np
Denna formel kallas Poisson-formeln (lagen om sällsynta händelser) Pn(m)
m
m!
e, np
Vanligtvis används den ungefärliga Poisson-formeln,
när sid<0,1, а npq<10.
Exempel Låt det vara känt att vid tillverkning av ett visst läkemedel
äktenskap (antalet paket som inte uppfyller standarden)
är 0,2 %. Uppskatta sannolikheten för att
efter 1000 slumpmässigt valda paket kommer det att finnas tre paket,
inte uppfyller standarden.
Pn(k)
k
k!
P1000(3) ?
e ,
np Exempel Låt det vara känt att vid tillverkning av ett visst läkemedel
äktenskap (antalet paket som inte uppfyller standarden)
är 0,2 %. Uppskatta sannolikheten för att
efter 1000 slumpmässigt valda paket kommer det att finnas tre paket,
inte uppfyller standarden.
Pn(k)
k
k!
P1000(3) ?
e, np
np 1000 0,002 2
3
2 2 8
P1000 (3) e 0,135=0,18
3!
6
inte fler än 5 kontrakt är anslutna. Exempel I genomsnitt, för 1 % av avtalen, försäkringsbolaget
betalar försäkringsbeloppet. Hitta sannolikheten att från
100 kontrakt med inträffandet av en försäkringsfall kommer att vara
inte fler än 5 kontrakt är anslutna.
