Cours : Tests répétés et indépendants. Théorème de Bernoulli sur la fréquence de probabilité. Présentation sur la formule de Bernoulli Présentation sur le schéma de retest de Bernoulli
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Légendes des diapositives :
Chapitre 9. Éléments de statistique mathématique, combinatoire et théorie des probabilités §54. Les événements aléatoires et leurs probabilités 3. RÉPÉTITIONS INDÉPENDANTES DES TESTS. THÉORÈME DE BERNULLI ET STABILITÉ STATISTIQUE.
Contenu EXEMPLE 5. Probabilité d'atteindre la cible d'un seul coup ... Solution 5a); solution 5b); solution 5c); Solution 5d). Notez que... Dans toute la série de répétitions, il est important de savoir... Jacob Bernoulli a combiné exemples et questions... THÉORÈME 3 (Théorème de Bernoulli). EXEMPLE 6. Dans chacun des paragraphes a) - d), déterminez les valeurs n, k, p, q et écrivez (sans calculs) l'expression de la probabilité souhaitée Pn (k). Décision 6a); Solution 6b); Solution 6c) ; Solution 6d). Le théorème de Bernoulli permet ... THÉORÈME 4. Avec un grand nombre de répétitions indépendantes ... Pour l'enseignant. Sources. 02/08/2014 2
3. RÉPÉTITIONS INDÉPENDANTES DES TESTS. THÉORÈME DE BERNULLI ET STABILITÉ STATISTIQUE. Partie 3. 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, professeur de mathématiques 3
EXEMPLE 5. Probabilité d'atteindre la cible d'un seul coup Modifions légèrement l'exemple précédent : au lieu de deux tireurs différents, le même tireur tirera sur la cible. Exemple 5 . La probabilité d'atteindre la cible d'un seul coup est de 0,8. 3 coups de feu indépendants ont été tirés. Trouvez la probabilité que la cible : a) soit touchée trois fois ; b) ne sera pas affecté ; c) sera touché au moins une fois ; d) sera frappé exactement une fois. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, professeur de mathématiques 4
Solution de l'exemple 5a) Exemple 5. La probabilité d'atteindre la cible d'un seul coup est de 0,8. 3 coups de feu indépendants ont été tirés. Trouvez la probabilité que la cible : a) soit touchée trois fois ; 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, professeur de mathématiques 5
Solution de l'exemple 5b) Exemple 5. La probabilité d'atteindre la cible d'un seul coup est de 0,8. 3 coups de feu indépendants ont été tirés. Trouvez la probabilité que la cible : b) ne soit pas touchée ; Décision : 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, professeur de mathématiques 6
Solution de l'exemple 5c) Exemple 5. La probabilité d'atteindre la cible d'un seul coup est de 0,8. 3 coups de feu indépendants ont été tirés. Trouvez la probabilité que la cible : c) soit touchée au moins une fois ; Décision : 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, professeur de mathématiques 7
Solution de l'exemple 5d) Exemple 5. La probabilité d'atteindre la cible d'un seul coup est de 0,8. 3 coups de feu indépendants ont été tirés. Trouvez la probabilité que la cible : d) soit touchée exactement une fois. Décision : 08/02/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, professeur de mathématiques 8
Remarque La solution donnée au point d) de l'exemple 5, dans un cas particulier, reprend la preuve du célèbre théorème de Bernoulli, qui fait référence à l'un des modèles probabilistes les plus courants : répétitions indépendantes d'un même test avec deux issues possibles. Particularité de nombreux problèmes probabilistes consistent dans le fait que le test, à la suite duquel l'événement qui nous intéresse peut se produire, peut être répété plusieurs fois. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, professeur de mathématiques 9
Dans toute la série de répétitions, il est important de savoir Dans chacune de ces répétitions, on s'intéresse à la question de savoir si cet événement se produira ou non. Et dans toute la série de répétitions, il est important pour nous de savoir exactement combien de fois cet événement peut ou non se produire. Par exemple, un dé est lancé dix fois de suite. Quelle est la probabilité qu'un 4 sorte exactement 3 fois ? 10 coups de feu tirés ; Quelle est la probabilité qu'il y ait exactement 8 touches sur la cible ? Ou quelle est la probabilité qu'en cinq lancers de pièce, face sorte exactement 4 fois ? 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, professeur de mathématiques 10
Jacob Bernoulli a combiné des exemples et des questions Le mathématicien suisse du début du 18e siècle, Jacob Bernoulli, a combiné des exemples et des questions de ce type en un seul schéma probabiliste. Laissez la probabilité Événement aléatoire Et lors d'un test, il est égal à P (A). Nous considérerons ce test comme un test avec seulement deux résultats possibles : un résultat est que l'événement A se produira, et l'autre résultat est que l'événement A ne se produira pas, c'est-à-dire que l'événement Ᾱ se produira. Par souci de brièveté, appelons le premier résultat (l'occurrence de l'événement A) "succès", et le second résultat (l'occurrence de l'événement Ᾱ) "l'échec". La probabilité P(A) de "succès" sera notée p, et la probabilité P(Ᾱ) d'"échec" sera notée q. Donc q = P(Ᾱ) = 1 - P(A) = 1 - p. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, professeur de mathématiques 11
THÉORÈME 3 (théorème de Bernoulli) Théorème 3 (théorème de Bernoulli). Soit P n (k) la probabilité d'exactement k "succès" dans n répétitions indépendantes du même test. Alors P n (k)= С n k p k q n- k , où p est la probabilité de « succès » et q=1 - p est la probabilité « d'échec » dans un test séparé. Ce théorème (nous le présentons sans démonstration) est d'une grande importance tant pour la théorie que pour la pratique. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, professeur de mathématiques 12
EXEMPLE 6. Exemple 6. Dans chacun des paragraphes a) - d) déterminez les valeurs de n, k, p, q et écrivez (sans calculs) l'expression de la probabilité souhaitée P n (k). a) Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 7 faces en 10 lancers de pièce ? b) Chacune des 20 personnes nomme indépendamment un des jours de la semaine. Les jours "malchanceux" sont le lundi et le vendredi. Quelle est la probabilité que "bonne chance" soit exactement la moitié ? c) Lancer le dé est "réussi" s'il obtient 5 ou 6. Quelle est la probabilité qu'exactement 5 lancers sur 25 soient "chanceux" ? d) Le test consiste à lancer trois pièces différentes en même temps. « Échec » : plus de « queues » que d'« aigles ». Quelle est la probabilité qu'il y ait exactement trois "chances" parmi 7 lancers ? 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, professeur de mathématiques 13
Solution 6a) Exemple 6. Dans chacun des paragraphes a) - d) déterminez les valeurs de n, k, p, q et écrivez (sans calculs) l'expression de la probabilité souhaitée P n (k). a) Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 7 faces en 10 lancers de pièce ? Décision : 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, professeur de mathématiques 14
Solution 6b) Exemple 6. Dans chacun des paragraphes a) - d) déterminez les valeurs de n, k, p, q et écrivez (sans calculs) l'expression de la probabilité souhaitée P n (k). b) Chacune des 20 personnes nomme indépendamment un des jours de la semaine. Les jours "malchanceux" sont le lundi et le vendredi. Quelle est la probabilité que "bonne chance" soit exactement la moitié ? Décision : 08/02/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, professeur de mathématiques 15
Solution 6c) Exemple 6. Dans chacun des paragraphes a) - d) déterminez les valeurs de n, k, p, q et écrivez (sans calculs) l'expression de la probabilité souhaitée P n (k). c) Lancer le dé est "réussi" s'il obtient 5 ou 6. Quelle est la probabilité qu'exactement 5 lancers sur 25 soient "chanceux" ? Décision : 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, professeur de mathématiques 16
Solution 6d) Exemple 6. Dans chacun des paragraphes a) - d) déterminez les valeurs de n, k, p, q et écrivez (sans calculs) l'expression de la probabilité souhaitée P n (k). d) Le test consiste à lancer trois pièces différentes en même temps. « Échec » : plus de « queues » que d'« aigles ». Quelle est la probabilité qu'il y ait exactement trois "chances" parmi 7 lancers ? Solution : d) n = 7, k = 3. La « chance » avec un lancer, c'est qu'il y a moins de « queues » que d'« aigles ». Un total de 8 résultats sont possibles : PPP, PPO, POP, OPP, POO, ORO, OOP, OOO (P - « queues », O - « têtes »). Exactement la moitié d'entre eux ont moins de queues que de têtes : POO, ORO, OOP, OOO. Donc p = q = 0,5 ; P 7 (3) \u003d C 7 3 ∙ 0,5 3 ∙ 0,5 4 \u003d C 7 3 ∙ 0,5 7. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, professeur de mathématiques 17
Le théorème de Bernoulli permet ... Le théorème de Bernoulli permet d'établir un lien entre l'approche statistique de la définition de la probabilité et la définition classique de la probabilité d'un événement aléatoire. Pour décrire ce lien, revenons aux termes du § 50 sur le traitement statistique de l'information. Considérons une séquence de n répétitions indépendantes du même test avec deux résultats - "succès" et "échec". Les résultats de ces tests constituent une série de données, composée d'une séquence de deux options : "succès" et "échec". En termes simples, il existe une séquence de longueur n, composée de deux lettres U ("bonne chance") et H ("échec"). Par exemple, U, U, N, N, U, N, N, N, ..., U ou N, U, U, N, U, U, N, N, U, ..., N, etc. . n. Calculons la multiplicité et la fréquence des options Y, c'est-à-dire, trouvons la fraction k / n, où k est le nombre de "chances" rencontrées parmi toutes les n répétitions. Il s'avère qu'avec une augmentation illimitée de n, la fréquence k/n d'occurrence de "succès" sera pratiquement indiscernable de la probabilité p de "succès" dans un essai. Ce fait mathématique assez compliqué dérive précisément du théorème de Bernoulli. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, professeur de mathématiques 18
THÉORÈME 4. Avec un grand nombre de répétitions indépendantes THÉORÈME 4. Avec un grand nombre de répétitions indépendantes du même test, la fréquence d'occurrence d'un événement aléatoire A avec une précision croissante est approximativement égale à la probabilité de l'événement A : k/n ≈ P(A). Par exemple, lorsque n > 2000 avec une probabilité supérieure à 99 %, on peut affirmer que l'erreur absolue | k/n - P(A)| l'égalité approchée k/n≈ P(A) sera inférieure à 0,03. Par conséquent, dans les enquêtes sociologiques, il suffit d'interroger environ 2 000 personnes sélectionnées au hasard (répondants). Si, disons, 520 d'entre eux ont répondu positivement à question posée, alors k/n=520/2000=0.26 et il est presque certain que pour tout Suite répondants, cette fréquence sera comprise entre 0,23 et 0,29. Ce phénomène est appelé phénomène de stabilité statistique. Ainsi, le théorème de Bernoulli et ses conséquences permettent de trouver (approximativement) la probabilité d'un événement aléatoire dans les cas où son calcul explicite est impossible. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, professeur de mathématiques 19
Pour l'enseignant 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, professeur de mathématiques 20
02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, professeur de mathématiques 21
02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, professeur de mathématiques 22
Sources Algebra and the Beginnings of Analysis, Grades 10-11, Part 1. Textbook, 10th ed. (Niveau de base), A.G. Mordkovich, M., 2009 Algèbre et début de l'analyse, 10e-11e année. (Niveau de base) Guide méthodologique pour les enseignants, A.G. Mordkovich, P.V. Semenov, M., 2010 Les tableaux sont compilés dans MS Word et MS Excel. Ressources Internet Tsybikova Tamara Radnazhapovna, professeur de mathématiques 08.02.2014 23
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Légendes des diapositives :
diapositive 1
Chapitre 9. Éléments de statistique mathématique, combinatoire et théorie des probabilités
§54. Les événements aléatoires et leurs probabilités 3. RÉPÉTITIONS INDÉPENDANTES DES TESTS. THÉORÈME DE BERNULLI ET STABILITÉ STATISTIQUE.
diapositive 2
Contenu
EXEMPLE 5. Probabilité d'atteindre une cible d'un seul coup... Solution 5a); Solution 5b); Solution 5c); Solution 5d) Notez que... Dans toute la série de répétitions, il est important de savoir... Jacob Bernoulli combinait exemples et questions... THÉORÈME 3 (Théorème de Bernoulli).
EXEMPLE 6. Dans chacun des paragraphes a) - d) déterminer les valeurs de n, k, p, q et écrire (sans calculs) l'expression de la probabilité souhaitée Pn(k). Solution 6a); Solution 6b) ; Solution 6c) ; Solution 6d). Le théorème de Bernoulli permet ... THÉORÈME 4. Avec un grand nombre de répétitions indépendantes ... Pour l'enseignant Sources.
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diapositive 3
3. RÉPÉTITIONS INDÉPENDANTES DES TESTS. THÉORÈME DE BERNULLI ET STABILITÉ STATISTIQUE.
Partie 3
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EXEMPLE 5. Probabilité d'atteindre la cible d'un seul coup
Modifions légèrement l'exemple précédent : au lieu de deux tireurs différents, le même tireur tirera sur la cible Exemple 5. La probabilité d'atteindre la cible d'un seul coup est de 0,8. 3 coups de feu indépendants ont été tirés. Trouvez la probabilité que la cible : a) soit touchée trois fois ; b) ne soit pas touchée ; c) soit touchée au moins une fois ; d) soit touchée exactement une fois.
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Solution de l'exemple 5a)
Exemple 5. La probabilité d'atteindre la cible d'un seul coup est de 0,8. 3 coups de feu indépendants ont été tirés. Trouvez la probabilité que la cible : a) soit touchée trois fois ;
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Solution de l'exemple 5b)
Exemple 5. La probabilité d'atteindre la cible d'un seul coup est de 0,8. 3 coups de feu indépendants ont été tirés. Trouver la probabilité que la cible : b) ne soit pas touchée ; Solution :
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Solution de l'exemple 5c)
Exemple 5. La probabilité d'atteindre la cible d'un seul coup est de 0,8. 3 coups de feu indépendants ont été tirés. Trouver la probabilité que la cible : c) soit touchée au moins une fois ; Solution :
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Solution de l'exemple 5d)
Exemple 5. La probabilité d'atteindre la cible d'un seul coup est de 0,8. 3 coups de feu indépendants ont été tirés. Trouvez la probabilité que la cible : d) soit touchée exactement une fois. Solution :
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Noter
La solution donnée au point d) de l'exemple 5, dans un cas précis, reprend la preuve du célèbre théorème de Bernoulli, qui fait référence à l'un des modèles probabilistes les plus courants : répétitions indépendantes d'un même test avec deux résultats possibles. Une caractéristique distinctive de nombreux problèmes probabilistes est que le test, à la suite duquel l'événement qui nous intéresse peut se produire, peut être répété plusieurs fois.
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Dans toute la série de répétitions, il est important de savoir
Dans chacune de ces répétitions, nous nous intéressons à la question de savoir si cet événement se produira ou non. Et dans toute la série de répétitions, il est important pour nous de savoir exactement combien de fois cet événement peut ou non se produire. Par exemple, un dé est lancé dix fois de suite. Quelle est la probabilité qu'un 4 sorte exactement 3 fois ? 10 coups de feu tirés ; Quelle est la probabilité qu'il y ait exactement 8 touches sur la cible ? Ou quelle est la probabilité qu'en cinq lancers de pièce, face sorte exactement 4 fois ?
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Jacob Bernoulli a combiné des exemples et des questions
Le mathématicien suisse du début du XVIIIe siècle, Jacob Bernoulli, a combiné des exemples et des questions de ce type en un seul schéma probabiliste : supposons que la probabilité d'un événement aléatoire A au cours d'un test soit égale à P (A). Nous considérerons ce test comme un test avec seulement deux résultats possibles : un résultat est que l'événement A se produira, et l'autre résultat est que l'événement A ne se produira pas, c'est-à-dire que l'événement Ᾱ se produira. Par souci de brièveté, appelons le premier résultat (l'occurrence de l'événement A) "succès", et le second résultat (l'occurrence de l'événement Ᾱ) "l'échec". La probabilité P(A) de "succès" sera notée p, et la probabilité P(Ᾱ) d'"échec" sera notée q. Donc q = P(Ᾱ) = 1 - P(A) = 1 - p.
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THÉORÈME 3 (théorème de Bernoulli)
Théorème 3 (théorème de Bernoulli). Soit Pn(k) la probabilité d'exactement k "succès" dans n répétitions indépendantes du même test. Alors Pn(k)= Сnk pk qn-k, où p est la probabilité de "succès", et q=1-p est la probabilité "d'échec" dans un test séparé. Ce théorème (nous le donnons sans preuve ) est d'une grande importance pour la théorie et pour la pratique.
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EXEMPLE 6.
Exemple 6. Dans chacun des paragraphes a) - d) déterminer les valeurs de n, k, p, q et écrire (sans calculs) l'expression de la probabilité souhaitée Pn(k).coins? b) Chacun des 20 personnes nomment indépendamment l'un des jours de la semaine. Les jours "malchanceux" sont le lundi et le vendredi. Quelle est la probabilité que "bonne chance" soit exactement la moitié ? Quelle est la probabilité qu'exactement 5 lancers sur 25 soient « réussis » ? d) Le test consiste à lancer trois pièces différentes en même temps. « Échec » : plus de « queues » que d'« aigles ». Quelle est la probabilité qu'il y ait exactement trois "chances" parmi 7 lancers ?
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Diapositive 14
Solution 6a)
Exemple 6. Dans chacun des paragraphes a) - d) déterminez les valeurs de n, k, p, q et écrivez (sans calculs) l'expression de la probabilité souhaitée Pn(k).
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Solution 6b)
Exemple 6. Dans chacun des paragraphes a) - d) déterminez les valeurs de n, k, p, q et écrivez (sans calculs) une expression pour la probabilité souhaitée Pn(k).b) Chacune des 20 personnes indépendamment nomme un des jours de la semaine. Les jours "malchanceux" sont le lundi et le vendredi. Quelle est la probabilité qu'il y ait exactement la moitié de "bonne chance" ? Solution :
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diapositive 16
solution 6c)
Exemple 6. Dans chacun des paragraphes a) - d) déterminez les valeurs de n, k, p, q et écrivez (sans calculs) l'expression de la probabilité souhaitée Pn(k). . Quelle est la probabilité qu'exactement 5 lancers sur 25 soient "chanceux" ?
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Diapositive 17
Solution 6d)
Exemple 6. Dans chacun des paragraphes a) - d) déterminer les valeurs de n, k, p, q et écrire (sans calculs) l'expression de la probabilité souhaitée Pn(k).d) Le test consiste dans le lancement simultané de trois pièces différentes. « Échec » : plus de « queues » que d'« aigles ». Quelle est la probabilité qu'il y ait exactement trois "chances" parmi 7 lancers ? Solution : d) n = 7, k = 3. La "chance" sur un lancer signifie qu'il y a moins de "piles" que d'"aigles". Un total de 8 résultats sont possibles : PPP, PPO, POP, OPP, POO, ORO, OOP, OOO (P - « queues », O - « têtes »). Exactement la moitié d'entre eux ont moins de queues que de têtes : POO, ORO, OOP, OOO. Donc p = q = 0,5 ; Р7(3) = С73 ∙ 0,53 ∙ 0,54 = С73 ∙ 0,57.
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Diapositive 18
Le théorème de Bernoulli permet...
Le théorème de Bernoulli permet d'établir un lien entre l'approche statistique de la définition de la probabilité et la définition classique de la probabilité d'un événement aléatoire. Pour décrire ce lien, revenons aux termes du § 50 sur le traitement statistique de l'information. Considérons une séquence de n répétitions indépendantes du même test avec deux résultats - "succès" et "échec". Les résultats de ces tests constituent une série de données, composée d'une séquence de deux options : "succès" et "échec". En termes simples, il existe une séquence de longueur n, composée de deux lettres Y ("bonne chance") et H ("échec"). Par exemple, U, U, N, N, U, N, N, N, ..., U ou N, U, U, N, U, U, N, N, U, ..., N, etc. . n. Calculons la multiplicité et la fréquence des options Y, c'est-à-dire que nous trouverons la fraction k / n, où k est le nombre de "chances" rencontrées parmi toutes les n répétitions. Il s'avère qu'avec une augmentation illimitée de n, la fréquence k/n d'occurrence de "succès" sera pratiquement indiscernable de la probabilité p de "succès" dans un essai. Ce fait mathématique assez compliqué dérive précisément du théorème de Bernoulli.
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Diapositive 19
THÉORÈME 4. Pour un grand nombre de répétitions indépendantes
THÉORÈME 4. Avec un grand nombre de répétitions indépendantes du même test, la fréquence d'occurrence d'un événement aléatoire A avec une précision croissante est approximativement égale à la probabilité de l'événement A: k / n ≈ P (A).Par exemple, avec n > 2000 avec une probabilité supérieure à 99% , on peut avancer que l'erreur absolue |k/n- Р(А)| l'égalité approchée k/n≈ P(A) sera inférieure à 0,03. Par conséquent, dans les enquêtes sociologiques, il suffit d'interroger environ 2 000 personnes sélectionnées au hasard (répondants). Si, disons, 520 d'entre eux ont donné une réponse positive à la question, alors k / n = 520 / 2000 = 0,26 et il est pratiquement certain que pour tout plus grand nombre de répondants, une telle fréquence sera comprise entre 0,23 et 0,29. Ce phénomène est appelé phénomène de stabilité statistique Ainsi, le théorème de Bernoulli et ses conséquences permettent de trouver (approximativement) la probabilité d'un événement aléatoire dans les cas où son calcul explicite est impossible.
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Diapositive 20
Pour le professeur
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diapositive 21
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diapositive 22
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diapositive 23
Sources
Algebra and the Beginnings of Analysis, Grades 10-11, Part 1. Textbook, 10th ed. (Niveau de base), A.G. Mordkovich, M., 2009Algèbre et début de l'analyse, 10e-11e année. (Niveau de base) Guide méthodologique pour les enseignants, A.G. Mordkovich, P.V. Semenov, M., 2010 Les tableaux sont compilés dans MS Word et MS Excel.
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08.02.2014
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diapositive 1
Théorème de Bernoulli
17.03.2017
diapositive 2
Une série de n essais indépendants est effectuée. Chaque test a 2 issues : A - "succès" et - "échec". La probabilité de "réussite" dans chaque test est la même et est égale à P(A) = p En conséquence, la probabilité d'"échec" ne change pas non plus d'une expérience à l'autre et est égale.
Schéma de Bernoulli
Quelle est la probabilité qu'une série de n essais réussisse k fois ? Trouver Pn(k) .
diapositive 3
La pièce est lancée n fois. Une carte est tirée du paquet n fois, et chaque fois que la carte est retournée, le paquet est mélangé. Nous examinons n produits d'une certaine production, sélectionnés au hasard, pour la qualité. Le tireur tire sur la cible n fois.
Exemples
diapositive 4
Expliquez pourquoi les questions suivantes s'inscrivent dans le schéma de Bernoulli. Indiquez en quoi consiste le "succès" et ce que sont n et k. a) Quelle est la probabilité d'obtenir un 2 trois fois en dix lancers de dé ? b) Quelle est la probabilité qu'en 100 lancers d'une pièce, face apparaisse 73 fois ? c) Une paire de dés est lancée vingt fois de suite. Quelle est la probabilité que la somme des points n'ait jamais été égale à dix ? d) Trois cartes ont été tirées d'un jeu de 36 cartes, le résultat a été enregistré et remis dans le jeu, puis les cartes ont été mélangées. Cela a été répété 4 fois. Quelle est la probabilité que la reine de pique ait été parmi les cartes tirées à chaque fois ?
diapositive 5
Pour le nombre de combinaisons de n à k, la formule est valable
Par exemple:
diapositive 6
Théorème de Bernoulli
La probabilité Pn(k) d'exactement k succès dans n répétitions indépendantes du même test est trouvée par la formule, où p est la probabilité de "succès", q = 1- p est la probabilité "d'échec" dans une expérience séparée .
Diapositive 7
La pièce est lancée 6 fois. Quelle est la probabilité que les armoiries apparaissent 0, 1, ...6 fois ? La solution. Le nombre d'expériences n=6. Événement A - "succès" - la perte des armoiries. Selon la formule de Bernoulli, la probabilité requise est
;
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Diapositive 8
La pièce est lancée 6 fois. Quelle est la probabilité que les armoiries apparaissent 0, 1, ...6 fois ? La solution. Le nombre d'expériences n=6. Événement A - "succès" - la perte des armoiries.
;
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Diapositive 9
La pièce est lancée 10 fois. Quelle est la probabilité que les armoiries apparaissent deux fois ? La solution. Le nombre d'expériences n=10, m=2. Événement A - "succès" - la perte des armoiries. Selon la formule de Bernoulli, la probabilité requise est
;
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Diapositive 10
Une urne contient 20 boules blanches et 10 boules noires. 4 boules sont retirées, et chaque boule retirée est remise dans l'urne avant que la suivante ne soit tirée et que les boules dans l'urne soient mélangées. Trouver la probabilité que 2 des 4 boules tirées soient blanches. La solution. Événement A - obtenu boule blanche. Alors les probabilités Selon la formule de Bernoulli, la probabilité requise est
diapositive 11
Déterminer la probabilité qu'il n'y ait pas de filles dans une famille de 5 enfants. Les probabilités d'avoir un garçon et une fille sont supposées être les mêmes. La solution. La probabilité de naissance d'une fille, d'un garçon Selon la formule de Bernoulli, la probabilité requise est égale à
diapositive 12
Trouvez la probabilité qu'une famille de 5 enfants ait une fille. Les probabilités d'avoir un garçon et une fille sont supposées être les mêmes. La solution. La probabilité de naissance d'une fille, d'un garçon Selon la formule de Bernoulli, la probabilité requise est égale à
diapositive 13
Déterminez la probabilité qu'une famille de 5 enfants ait deux filles. La solution. La probabilité de naissance d'une fille, d'un garçon Selon la formule de Bernoulli, la probabilité requise est égale à
Diapositive 14
Trouvez la probabilité qu'une famille de 5 enfants ait 3 filles. La solution. La probabilité de naissance d'une fille, d'un garçon Selon la formule de Bernoulli, la probabilité requise est égale à
diapositive 15
Déterminez la probabilité qu'une famille de 5 enfants n'ait pas plus de 3 filles. Les probabilités d'avoir un garçon et une fille sont supposées être les mêmes. La solution. La probabilité d'avoir une fille, un garçon La probabilité recherchée est égale à
.
diapositive 16
Parmi les pièces traitées par l'ouvrier, il y a en moyenne 4% de pièces hors normes. Trouvez la probabilité que deux des 30 pièces prises pour les tests soient non standard. La solution. Ici, l'expérience consiste à vérifier la qualité de chacune des 30 pièces. Evénement A - "apparition d'une pièce non standard",
"Eléments de statistiques mathématiques" - Intervalle de confiance. La science. Classement des hypothèses. Les pièces sont fabriquées sur différentes machines. Vérification des règles. dépendance de corrélation. Dépendance. Ensemble de valeurs de critères. Trouvez l'intervalle de confiance. Calcul des intervalles de confiance pour la variance inconnue. Distribution normale.
"Probabilités et statistiques mathématiques" - La précision des valeurs obtenues. Code pour le coffre-fort. Statistiques descriptives. Pomme. Considérons les événements. règle de multiplication. Deux tireurs. Comparaison programmes d'études. Caramel. Exemples de graphiques à barres. Notes mathématiques. Règle de multiplication pour trois. Roses blanches et rouges. 9 livres différents. Vacances d'hiver.
"Fondamentaux de la statistique mathématique" - Probabilité conditionnelle. Tableau des valeurs normalisées. Propriétés de la distribution de Student. Intervalle de confiance de l'espérance mathématique. Moyenne de l'échantillon. Distribution. Un essai peut être considéré comme une série d'un essai. Quantile - à gauche doit être le nombre de valeurs correspondant à l'indice quantile.
"Théorie des probabilités et statistiques" - Limites de l'intervalle. Zones critiques. Théorème de multiplication de probabilité. Distribution d'une variable aléatoire normale. Dérivation de la formule de Bernoulli. Lois de distribution des variables aléatoires. Le libellé de la ZBC. Signification et formulation du théorème central limite. Relation des caractéristiques nominales. Dépendance stochastique de deux variables aléatoires.
"Recherche statistique" - Pertinence. Caractéristiques statistiques et recherche. Planifier. La plage est la différence entre les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une série de données. Types d'observation statistique. Aimez-vous étudier les mathématiques. Considérez une série de nombres. Qui vous aide à comprendre un sujet difficile en mathématiques. Avez-vous besoin de mathématiques dans votre futur métier.
"Caractéristiques statistiques de base" - Caractéristiques statistiques de base. Trouvez la moyenne arithmétique. PÉTRONE. Balayez. Mode rangée. Moyenne arithmétique d'une série de nombres. Portée de ligne. La médiane de la série. Statistiques. Médian. Cahiers scolaires.
Au total, il y a 17 présentations dans le sujet
AGENCE FÉDÉRALE POUR L'ÉDUCATION
Établissement d'enseignement public
enseignement professionnel supérieur
"MATI" - UNIVERSITÉ TECHNOLOGIQUE D'ÉTAT RUSSE IM. K.E. TSIOLKOVSKI
Département de modélisation des systèmes et des technologies de l'information
Répétition des tests. Schéma de Bernoulli
Instructions méthodiques pour les exercices pratiques
dans la discipline "Mathématiques Supérieures"
Compilé par : Egorova Yu.B.
Mamonov I.M.
Présentation de Moscou 2006
Les directives sont destinées aux étudiants des départements de jour et de soir de la faculté n ° 14, spécialités 150601, 160301, 230102. Les directives mettent en évidence les concepts de base du sujet, déterminent la séquence d'étude du matériel. Un grand nombre d'exemples considérés aide au développement pratique du sujet. Les lignes directrices servent de base méthodologique pour les exercices pratiques et la mise en œuvre des tâches individuelles.
SCHÉMA BERNULLI. FORMULE BERNULLI
Schéma de Bernoulli- un schéma de tests indépendants répétés, dans lequel certains événements MAIS peut être répété plusieurs fois avec une probabilité constante R (MAIS)= R .
Exemples de tests réalisés selon le schéma de Bernoulli : lancers multiples d'une pièce ou d'un dé, fabriquer un lot de pièces, tirer sur une cible, etc.
Théorème. Si la probabilité qu'un événement se produise MAIS dans chaque test est constant et égal R, alors la probabilité que l'événement MAIS viendra m une fois par n tests (peu importe dans quel ordre), peut être déterminé par la formule de Bernoulli :
où q = 1 – p.
EXEMPLE 1. La probabilité que la consommation d'électricité pendant une journée ne dépasse pas la norme établie est égale à p= 0,75. Trouvez la probabilité qu'au cours des 6 prochains jours, la consommation d'électricité pendant 4 jours ne dépasse pas la norme.
LA SOLUTION. La probabilité de consommation électrique normale pendant chacun des 6 jours est constante et égale à R= 0,75. Par conséquent, la probabilité de dépense excessive d'électricité chaque jour est également constante et égale à q = 1R = 1 0,75 = 0,25.
La probabilité recherchée selon la formule de Bernoulli est égale à :
EXEMPLE 2. Le tireur tire trois coups sur la cible. La probabilité d'atteindre la cible à chaque tir est p= 0,3. Trouvez la probabilité que : a) une cible soit touchée ; b) les trois cibles ; c) pas de cibles ; d) au moins une cible ; e) moins de deux cibles.
LA SOLUTION. La probabilité d'atteindre la cible à chaque tir est constante et égale à R=0,75. Par conséquent, la probabilité d'un échec est q = 1 R\u003d 1 - 0,3 \u003d 0,7. Nombre total d'expériences n=3.
a) La probabilité d'atteindre une cible avec trois tirs est égale à :
b) La probabilité de toucher les trois cibles avec trois tirs est :
c) La probabilité de trois ratés avec trois tirs est égale à :
d) La probabilité de toucher au moins une cible avec trois tirs est égale à :
e) Probabilité d'atteindre moins de deux cibles, c'est-à-dire une cible ou aucune :
Théorèmes locaux et intégraux de Moivre-Laplace
Si un grand nombre de tests sont effectués, le calcul des probabilités à l'aide de la formule de Bernoulli devient techniquement difficile, car la formule nécessite des opérations sur des nombres énormes. Par conséquent, il existe des formules approchées plus simples pour calculer les probabilités pour les grandes n. Ces formules sont dites asymptotiques et sont définies par le théorème de Poisson, les théorèmes locaux et intégraux de Laplace.
Théorème local de Moivre-Laplace. MAIS MAIS se produire m une fois par n n (n →∞ ), est approximativement égal à :
où est la fonction 
et la polémique 
Le plus n, plus le calcul des probabilités est précis. Par conséquent, il est conseillé d'appliquer le théorème de Moivre-Laplace lorsque npq 20.
F ( X ) des tableaux spéciaux ont été compilés (voir annexe 1). Lorsque vous utilisez une table, gardez à l'esprit propriétés de la fonction f(x) :
Fonction f(x) est même F( x)= f(x) .
À X ∞ fonction f(x) 0. En pratique, on peut supposer que déjà à X>4 fonction f(x) ≈0.
EXEMPLE 3. Trouver la probabilité que l'événement MAIS survient 80 fois sur 400 essais si la probabilité d'occurrence de l'événement est MAIS dans chaque test est p= 0,2.
LA SOLUTION. Par condition n=400, m=80, p=0,2, q=0,8. Par conséquent:
Selon le tableau, nous déterminons la valeur de la fonction F (0)=0,3989.
Théorème intégral de Moivre-Laplace. Si la probabilité qu'un événement se produise MAIS dans chaque essai est constante et différente de 0 et 1, alors la probabilité que l'événement MAIS viens de m 1 avant de m 2 une fois par n tests avec un nombre suffisamment grand n (n →∞ ), est approximativement égal à :
où 
- fonction intégrale ou fonction de Laplace, 
Pour trouver des valeurs de fonction F( X ) des tableaux spéciaux ont été établis (voir par exemple l'annexe 2). Lorsque vous utilisez une table, gardez à l'esprit propriétés de la fonction de Laplace Ф(x) :
Fonction Ф(x) est impair F( x)= Ф(x) .
À X ∞ fonction Ф(x) 0,5. En pratique, on peut considérer que X>5 fonction Ф(x) ≈0,5.
F (0)=0.
EXEMPLE 4. La probabilité que la pièce n'ait pas réussi le contrôle du service de contrôle qualité est de 0,2. Trouvez la probabilité que 70 à 100 éléments soient décochés parmi 400 éléments.
LA SOLUTION. Par condition n=400, m 1 =70, m 2 =100, p=0,2, q=0,8. Par conséquent:
D'après le tableau dans lequel sont données les valeurs de la fonction de Laplace, on détermine :
Ф(x 1 ) = F( 1,25 )= F( 1,25 )= 0,3944; Ф(x 2 ) = F( 2,5 )= 0,4938.
Une série d'essais indépendants est en cours,dont chacun a 2 résultats possibles,
que nous appellerons conditionnellement Succès et Échec.
Par exemple, un étudiant passe 4 examens, dans chaque
dont 2 issues possibles Réussite : étudiant
réussi l'examen et Échec : échec. La probabilité de succès de chaque essai est
p. La probabilité d'échec est q=1-p.
Il faut trouver la probabilité que dans la série
sur n essais, le succès viendra m fois
Pn(m) Bm Ó Ó ... Ó Í ... Í
Í Ó ... Ó Í ... Í ...
Í Í ... Í Ó ... Ó
Dans chaque cas, le succès se produit m fois, et
Échec (n-m) fois.
Numéro
tout
combinaisons
équivaut à
Numéro
chemins parmi n essais pour choisir ceux m, en
qui était le succès, c'est-à-dire Cm
n La probabilité de chacune de ces combinaisons est
théorème
sur
multiplication
probabilités
sera Pmqn-m.
Comme ces combinaisons sont incompatibles, alors
la probabilité désirée de l'événement Bm sera
Pn (m) pq
m
n m
... p q
m
n m
total C s retards û õ C p q
m
n
m
n
m
n m Pn (m) C p q
m
n
m
n m On sait que si une pièce tombe sur face, un étudiant
va au cinéma si la pièce tombe sur pile
étudiants. Quelle est la probabilité que
1) trois d'entre eux seront à la conférence
2) il y aura au moins 3 étudiants à la conférence
2) est-ce qu'au moins un des étudiants se rendra au cours magistral ? 1) Dans ce problème, une série de n=5
essais indépendants. Appelons ça le succès
aller à une conférence (les queues tombent) et
Échec - aller au cinéma (tomber des armoiries).
p=q=1/2.
En utilisant la formule de Bernoulli, on trouve la probabilité que
Que se passera-t-il 3 fois après 5 lancers de pièce ?
Succès:
3
2
1 1
P5(3)C
2 2
5! 1 1
1
10
0,3125
3!2! 8 4
32
3
5Pour trouver la probabilité qu'après 5 lancers
au moins une fois la pièce tombera pile,
passons à la probabilité du contraire
événements - la pièce tombera toutes les 5 fois avec les armoiries :
P5 (0).
Alors la probabilité désirée sera : P=1-P5(0).
Selon la formule de Bernoulli :
0
5
1 1
P5(0)C
2 2
0
5
5
1
0,03125
2 Alors la probabilité de l'événement désiré sera
P1 0,03125 0,96875
Bernoulli
étudiant va
au cinéma, si la pièce tombe pile - l'étudiant va à
conférence. La pièce a été lancée par 5 élèves. Quel est le plus
nombre probable d'étudiants allant à la conférence ?
Probabilité
le gain pour 1 ticket est de 0,2. Quel est le plus
nombre probable de billets gagnants ? Le nombre le plus probable de succès dans le programme
Bernoulli
np q k np p Le nombre le plus probable de succès dans le programme
Bernoulli
Formule du nombre de succès le plus probable
np q k np p
Si np-q est un entier, alors cet intervalle contient 2
nombres entiers. Les deux sont tout aussi incroyables.
Si np-q est un nombre non entier, alors cet intervalle contient 1
entier Le nombre le plus probable de succès dans le programme
Bernoulli
Exemple On sait que si une pièce tombe sur face,
- L'étudiant se rend au cours. Pièce jetée 5
étudiants vont donner des cours?
np q k np p
n 5
1
p q
2Le nombre le plus probable de succès dans le programme
Bernoulli
Exemple On sait que si une pièce tombe sur face,
un étudiant va au cinéma si la pièce tombe pile
- L'étudiant se rend au cours. Pièce jetée 5
étudiants. Quel est le nombre le plus probable
étudiants vont donner des cours?
np q k np p
n 5
1
p q
2
1 1
np q 5 2
2 2
1 1
np p 5 3
2 2Le nombre le plus probable de succès dans le programme
Bernoulli
Exemple On sait que si une pièce tombe sur face,
un étudiant va au cinéma si la pièce tombe pile
- L'étudiant se rend au cours. Pièce jetée 5
étudiants. Quel est le nombre le plus probable
étudiants vont donner des cours?
np q k np p
n 5
1
p q
2
1 1
np q 5 2
2 2
1 1
np p 5 3
2 2
2 m 3 m 2, m 3 Le nombre le plus probable de succès dans le programme
Bernoulli
Exemple On sait que si une pièce tombe sur face,
un étudiant va au cinéma si la pièce tombe pile
- L'étudiant se rend au cours. Pièce jetée 5
étudiants. Quel est le nombre le plus probable
étudiants vont donner des cours?
2
3
3
2
5
1 1
1 10 5
P5 (2) C52 10
32 16
2 2
2
5
1 1
1 10 5
P5 (3) C53 10
32 16
2 2
2 Le nombre le plus probable de succès dans le programme
Bernoulli
Exemple On sait que si une pièce tombe sur face,
un étudiant va au cinéma si la pièce tombe pile
- L'étudiant se rend au cours. Pièce jetée 5
étudiants. Quel est le nombre le plus probable
étudiants vont donner des cours?
probabilité, Pn(k)
Probabilités du nombre d'étudiants qui ont fréquenté
conférence
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
nombre d'étudiants, k
4
5Le nombre le plus probable de succès dans le programme
Bernoulli
Exemple 10 billets de loterie sont achetés.
des billets?
np q k np p
n 10
p 0,2 q 0,8 Le nombre le plus probable de succès dans le programme
Bernoulli
Exemple 10 billets de loterie sont achetés.
La probabilité de gagner sur 1 ticket est de 0,2.
Quel est le nombre le plus probable de gagnants
des billets?
np q k np p
n 10
p 0,2 q 0,8
np q 10 0,2 0,8 1,2
np p 10 0,2 0,2 2,2 Le nombre le plus probable de succès dans le programme
Bernoulli
Exemple 10 billets de loterie sont achetés.
La probabilité de gagner sur 1 ticket est de 0,2.
Quel est le nombre le plus probable de gagnants
des billets?
np q k np p
n 10
p 0,2 q 0,8
np q 10 0,2 0,8 1,2
1, 2 à 2, 2
np p 10 0,2 0,2 2,2
k2 Le nombre le plus probable de succès dans le programme
Bernoulli
Exemple 10 billets de loterie sont achetés.
La probabilité de gagner sur 1 ticket est de 0,2.
Quel est le nombre le plus probable de gagnants
des billets?
P10 (2) C 0,2 0,8
2
10
2
8
45 0, 04 0,16777216=
=0,301989888Le nombre le plus probable de succès dans le programme
Bernoulli
Exemple 10 billets de loterie sont achetés.
La probabilité de gagner sur 1 ticket est de 0,2.
Quel est le nombre le plus probable de gagnants
des billets?
Probabilités du nombre de billets gagnants
probabilité, Pn(k)
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
4
5
6
nombre de billets, k
7
8
9
10Le nombre le plus probable de succès dans le programme
Bernoulli
10 contrats signés
payer la somme assurée
un des contrats
plus de trois contrats
d) trouver le nombre de contrats le plus probable, selon
qui devra payer la somme assurée Le nombre le plus probable de succès dans le programme
Bernoulli
Exemple En moyenne, pour 20 % des contrats d'assurance
la compagnie paie la somme assurée.
10 contrats signés
a) Trouvez la probabilité que trois
payer la somme assurée
0,201327Le nombre le plus probable de succès dans le programme
Bernoulli
Exemple En moyenne, pour 20 % des contrats d'assurance
la compagnie paie la somme assurée.
10 contrats signés
b) La somme assurée ne devra être payée en vertu d'aucun
un des contrats
0,107374Le nombre le plus probable de succès dans le programme
Bernoulli
Exemple En moyenne, pour 20 % des contrats d'assurance
la compagnie paie la somme assurée.
10 contrats signés
c) le montant assuré ne devra pas être payé plus de,
plus de trois contrats
0,753297Si n est grand, alors en utilisant la formule
Pn (m) C p q
m
n
m
n m
difficile
Par conséquent, des formules approximatives sont utilisées Théorème : Si la probabilité p d'occurrence de l'événement A
dans chaque test est proche de zéro,
et le nombre d'essais indépendants n est suffisamment grand,
alors la probabilité Pn(m) que dans n essais indépendants
l'événement A se produira m fois, environ égal à :
Pn(m)
m
moi !
e
où λ=np
Cette formule s'appelle la formule de Poisson (loi des événements rares) Pn(m)
m
moi !
e, np
Habituellement, la formule de Poisson approximative est utilisée,
quand p<0,1, а npq<10.
Exemple Sachez que dans la fabrication d'un certain médicament
mariage (le nombre de colis qui ne répondent pas à la norme)
est de 0,2 %. Estimer la probabilité que
après 1000 packages sélectionnés au hasard, il y aura trois packages,
ne répondant pas à la norme.
Pn(k)
k
k !
P1000(3) ?
e ,
np Exemple Sachez que dans la fabrication d'un certain médicament
mariage (le nombre de colis qui ne répondent pas à la norme)
est de 0,2 %. Estimer la probabilité que
après 1000 packages sélectionnés au hasard, il y aura trois packages,
ne répondant pas à la norme.
Pn(k)
k
k !
P1000(3) ?
e, np
np 1000 0,002 2
3
2 2 8
P1000 (3) et 0,135=0,18
3!
6
pas plus de 5 contrats sont connectés. Exemple En moyenne, pour 1% des contrats, la compagnie d'assurance
paie la somme assurée. Trouver la probabilité qu'à partir de
100 contrats avec survenance d'un événement assuré seront
pas plus de 5 contrats sont connectés.
