Náhodně se dvakrát hodí symetrická mince. Matematika a my. Kombinační metoda výčtu
Formulace úkolu: V náhodném experimentu se dvakrát hodí symetrická mince. Najděte pravděpodobnost, že hlavy (ocásky) nevypadnou ani jednou (vypadnou přesně / alespoň 1, 2krát).
Úloha je zařazena do USE v matematice základní úrovně pro ročník 11 na čísle 10 (Klasická definice pravděpodobnosti).
Podívejme se, jak se takové problémy řeší na příkladech.
Příklad úlohy 1:
V náhodném experimentu se dvakrát hodí symetrická mince. Najděte pravděpodobnost, že hlavy nikdy nepřijdou.
OO NEBO RO RR
Takové kombinace jsou celkem 4. Nás zajímají pouze ty, ve kterých není ani jeden orel. Existuje pouze jedna taková kombinace (PP).
P = 1/4 = 0,25
Odpověď: 0,25
Příklad úkolu 2:
V náhodném experimentu se dvakrát hodí symetrická mince. Najděte pravděpodobnost, že se to objeví přesně dvakrát.
Zvažte všechny možné kombinace, které mohou vypadnout, pokud se mincí hodí dvakrát. Pro usnadnění označíme orla písmenem O a ocasy písmenem P:
OO NEBO RO RR
Takové kombinace jsou celkem 4. Nás zajímají pouze ty kombinace, ve kterých se hlavy objevují právě 2x. Existuje pouze jedna taková kombinace (OO).
P = 1/4 = 0,25
Odpověď: 0,25
Příklad úkolu 3:
V náhodném experimentu se dvakrát hodí symetrická mince. Najděte pravděpodobnost, že se to objeví přesně jednou.
Zvažte všechny možné kombinace, které mohou vypadnout, pokud se mincí hodí dvakrát. Pro usnadnění označíme orla písmenem O a ocasy písmenem P:
OO NEBO RO RR
Celkem jsou takové kombinace 4. Zajímají nás pouze ty, ve kterých vypadly hlavy právě 1x. Existují pouze dvě takové kombinace (OP a RO).
Odpověď: 0,5
Příklad úlohy 4:
V náhodném experimentu se dvakrát hodí symetrická mince. Najděte pravděpodobnost, že se alespoň jednou objeví hlavy.
Zvažte všechny možné kombinace, které mohou vypadnout, pokud se mincí hodí dvakrát. Pro usnadnění označíme orla písmenem O a ocasy písmenem P:
OO NEBO RO RR
Takové kombinace jsou celkem 4. Nás zajímají pouze ty kombinace, ve kterých alespoň jednou vypadnou hlavy. Existují pouze tři takové kombinace (OO, OR a RO).
P = 3/4 = 0,75
V náhodném experimentu se hodí symetrická mince...
Jako předmluva.
Každý ví, že mince má dvě strany – hlavu a patu.
Numismatici věří, že mince má tři strany – líc, rub a hranu.
A mezi těmi a mezi jinými málokdo ví, co je to symetrická mince. Ale vědí o tom (no, nebo by měli vědět :), ti, kteří se na zkoušku připravují.
Obecně se tento článek zaměří na neobvyklou minci, která nemá nic společného s numismatikou, ale zároveň je nejoblíbenější mincí mezi školáky.
Tak.
Symetrická mince- jedná se o pomyslnou matematicky ideální minci bez velikosti, váhy, průměru atd. Ve výsledku taková mince také nemá hranu, tedy má skutečně jen dvě strany. Hlavní vlastností symetrické mince je, že za takových podmínek je pravděpodobnost pádu hlav nebo ocasů naprosto stejná. A přišli se symetrickou mincí pro myšlenkové experimenty.
Nejoblíbenější problém se symetrickou mincí zní takto - "V náhodném experimentu se symetrická mince hodí dvakrát (třikrát, čtyřikrát atd.). Je třeba určit pravděpodobnost, že jedna ze stran vypadne. určitý počet krát.
Řešení problému pomocí symetrické mince
Je jasné, že v důsledku hodu padne mince buď hlavami, nebo ocasy. Kolikrát – záleží na tom, kolik hodů provést. Pravděpodobnost získání hlav nebo ocasů se vypočítá vydělením počtu výsledků, které splňují podmínku, celkovým počtem možných výsledků.
Jeden hod
Všechno je zde jednoduché. Zvednou se buď hlavy, nebo ocasy. Tito. máme dva možné výsledky, z nichž jeden nás uspokojuje - 1/2 = 50 %
Twothrow
Za dva hody může padnout:
dva orli
dva ocasy
hlavy, pak ocasy
ocasy, pak hlavy
Tito. jsou možné pouze čtyři možnosti. Problémy s více než jedním hodem se nejsnáze řeší vytvořením tabulky možných možností. Pro zjednodušení označme hlavy jako „0“ a ocasy jako „1“. Pak bude tabulka možných výsledků vypadat takto:
00
01
10
11
Potřebujete-li např. zjistit pravděpodobnost, že jednou padnou hlavy, stačí si spočítat počet vhodných možností v tabulce - tzn. ty linie, kde se orel vyskytuje jednou. Takové linky jsou dvě. Pravděpodobnost získání jedné hlavy ve dvou hodech symetrické mince je tedy 2/4 = 50 %
Pravděpodobnost, že dostanete hlavy dvakrát ve dvou hodech, je 1/4 = 25 %
Tři růže
Vytvoříme tabulku možností:
000
001
010
011
100
101
110
111
Ti, kteří jsou obeznámeni s binárním počtem, rozumí tomu, k čemu jsme dospěli. :) Ano, jsou to binární čísla od "0" do "7". Tímto způsobem je snazší nezaměnit se s možnostmi.
Vyřešme problém z předchozího odstavce – spočítáme pravděpodobnost, že orel jednou vypadne. Existují tři řádky, kde se "0" vyskytuje jednou. Takže pravděpodobnost získání jedné hlavy ve třech hodech symetrické mince je 3/8 = 37,5 %
Pravděpodobnost, že hlavy ve třech hodech vypadnou dvakrát, je 3/8=37,5 %, tzn. úplně stejný.
Pravděpodobnost, že hlava ve třech hodech vypadne třikrát, je 1/8 = 12,5 %.
Čtyři hody
Vytvoříme tabulku možností:
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Pravděpodobnost, že se hlavy jednou objeví. Jsou pouze tři řady, kde se "0" vyskytuje jednou, stejně jako v případě tří hodů. Ale existuje již šestnáct možností. Takže pravděpodobnost získání jedné hlavy ve čtyřech hodech symetrické mince je 3/16 = 18,75 %
Pravděpodobnost, že orel vypadne dvakrát ve třech hodech je 6/8=75%,.
Pravděpodobnost, že se hlavy objeví třikrát ve třech hodech, je 4/8=50%.
Takže s nárůstem počtu hodů se princip řešení problému vůbec nemění - pouze se v přiměřeném postupu zvyšuje počet možností.
Popis prezentace na jednotlivých snímcích:
1 snímek
Popis snímku:
Řešení úloh v teorii pravděpodobnosti. Učitelka matematiky MBOU Nivnyanskaya střední škola, Nechaeva Tamara Ivanovna
2 snímek
Popis snímku:
Cíle lekce: Přehled odlišné typy problémy v teorii pravděpodobnosti a metody jejich řešení. Cíle lekce: naučit rozpoznávat různé typy problémů v teorii pravděpodobnosti a zlepšovat se logické myšleníškolní děti.
3 snímek
Popis snímku:
Úkol 1. V náhodném pokusu se 2x hodí symetrická mince. Najděte pravděpodobnost získání stejného počtu hlav a ocasů.
4 snímek
Popis snímku:
Úkol 2. Hodí se čtyřikrát mincí. Najděte pravděpodobnost, že to nikdy nepřijde na chvost.
5 snímek
Popis snímku:
Úloha 3. V náhodném experimentu se dvakrát hodí symetrická mince. Najděte pravděpodobnost, že se hlavy objeví právě jednou. Řešení: Abychom našli pravděpodobnost zadané události, je nutné zvážit všechny možné výsledky experimentu a poté z nich vybrat příznivé výsledky (příznivé výsledky jsou výsledky, které splňují požadavky problému). V našem případě budou příznivé výsledky, kdy při dvou hodech symetrické mince vypadnou hlavy pouze jednou. Pravděpodobnost události se vypočítá jako poměr počtu příznivých výsledků k celkovému počtu výsledků. Proto pravděpodobnost, že když je symetrická mince hozena dvakrát, hlavy vypadnou pouze jednou, je rovna: P \u003d 2/4 \u003d 0,5 \u003d 50% Odpověď: pravděpodobnost, že v důsledku výše uvedeného experimentu hlavy vypadnou pouze jednou je 50 %. Počet pokusů 1. hod 2. hod Početkrát hlavy 1 Hlavy Hlavy 2 2 Ocasy Ocasy 0 3 Hlavy Ocasy 1 4 Ocasy Hlavy 1
6 snímek
Popis snímku:
Úkol 4. Jednou byla vržena kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že počet hozených bodů je větší než 4. Řešení: Náhodný pokus - hod kostkou. Elementární událost je číslo na stažené hraně. Odpověď: 1/3 Celkový počet obličejů: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Základní události: N=6 N(A)=2
7 snímek
Popis snímku:
Úkol 5. Biatlonista střílí na terče pětkrát. Pravděpodobnost zasažení cíle jednou ranou je 0,8. Najděte pravděpodobnost, že biatlonista zasáhl terče první třikrát a minul poslední dva. Výsledek zaokrouhlete na nejbližší setinu. Řešení: Pravděpodobnost zásahu = 0,8 Pravděpodobnost chybění = 1 - 0,8 = 0,2 А=(zásah, zásah, zásah, minul, minul) 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 P (A) \u003d 0,512 ∙ 0,04 \u002 02. Odpověď: 0,02
8 snímek
Popis snímku:
Úkol 6. V náhodném pokusu se hází dvěma kostkami. Najděte pravděpodobnost, že součet hozených bodů je 6. Zaokrouhlete svou odpověď na nejbližší setiny Řešení: Základním výsledkem tohoto pokusu je uspořádaná dvojice čísel. První číslo padne na první kostku, druhé na druhou. Množina elementárních výsledků je vhodně reprezentována tabulkou. Řádky odpovídají počtu bodů na první kostce, sloupce odpovídají druhé kostce. Elementárních událostí je celkem n = 36. Do každé buňky napíšeme součet vyhozených bodů a vybarvíme buňky, kde je součet 6. Takových buněk je 5. Proto událost A = (součet vyhozených bodů je 6) upřednostňuje 5 základních výsledků. Proto m = 5. Proto P(A) = 5/36 = 0,14. Odpověď: 0,14. 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 11 7 8 9 10 11 12
9 snímek
Popis snímku:
Pravděpodobnost Věta o vzorci Nechť se mincí hodí nkrát. Pravděpodobnost, že hlavy vypadnou přesně kkrát, pak zjistíme podle vzorce: Kde Cnk je počet kombinací n prvků krát k, který se vypočítá podle vzorce:
10 snímek
Popis snímku:
Úloha 7. Mince je hozena čtyřikrát. Najděte pravděpodobnost, že se hlavy zvednou přesně třikrát. Řešení Podle stavu úlohy bylo celkem n =4 hodů. Požadovaný počet orlů: k =3. Dosaďte do vzorce n a k: Se stejným úspěchem můžete spočítat počet ocasů: k = 4 − 3 = 1. Odpověď bude stejná. Odpověď: 0,25
11 snímek
Popis snímku:
Úloha 8. Hodí se třikrát mincí. Najděte pravděpodobnost, že to nikdy nepřijde na chvost. Řešení Čísla n a k zapíšeme znovu. Protože se mincí hodí 3x, n = 3. A protože by neměly být žádné ocasy, k = 0. Zbývá dosadit čísla n a k do vzorce: Připomínám, že 0! = 1 podle definice. Proto C30 = 1. Odpověď: 0,125
12 snímek
Popis snímku:
Úloha 9. V náhodném experimentu se 4krát hodí symetrická mince. Najděte pravděpodobnost, že se hlavy zvednou vícekrát než ocasy. Řešení: Aby bylo více hlav než ocasů, musí vypadnout buď 3x (pak bude 1 ocas) nebo 4 (pak nebudou ocasy vůbec). Pojďme najít pravděpodobnost každé z těchto událostí. Nechť p1 je pravděpodobnost získání hlav 3krát. Pak n = 4, k = 3. Máme: Nyní najdeme p2 - pravděpodobnost, že hlavy padnou všechny 4krát. V tomto případě n = 4, k = 4. Máme: Abychom dostali odpověď, zbývá sečíst pravděpodobnosti p1 a p2. Pamatujte: můžete přidat pouze pravděpodobnosti pro vzájemně se vylučující události. Máme: p = p1 + p2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125 Odpověď: 0,3125
13 snímek
Popis snímku:
Úkol 10. Před začátkem volejbalového utkání si kapitáni družstev spravedlivým způsobem vylosují, které družstvo zahájí hru s míčem. Tým Stator střídavě hraje s týmy Rotor, Motor a Starter. Najděte pravděpodobnost, že Stator spustí pouze první a poslední hru. Řešení. Je nutné zjistit pravděpodobnost součinu tří událostí: "Stator" spustí první hru, nezahájí druhou hru, spustí třetí hru. Pravděpodobnost vzniku nezávislých událostí se rovná součinu pravděpodobností těchto událostí. Pravděpodobnost každého z nich je rovna 0,5, odkud zjistíme: 0,5 0,5 0,5 = 0,125. Odpověď: 0,125.
V teorii pravděpodobnosti existuje skupina problémů, k jejichž řešení stačí znát klasickou definici pravděpodobnosti a vizualizovat navrženou situaci. Tyto problémy jsou většinou problémy s házením mincí a problémy s házením kostkami. Připomeňme si klasickou definici pravděpodobnosti.
Pravděpodobnost události A (objektivní možnost výskytu události v číselném vyjádření) se rovná poměru počtu výsledků příznivých pro tuto událost k celkovému počtu všech stejně možných neslučitelných elementárních výsledků: P(A)=m/n, kde:
- m je počet základních výsledků testu, které podporují výskyt události A;
- n je celkový počet všech možných výsledků elementárního testu.
Počet možných výsledků elementárního testu a počet příznivých výsledků v uvažovaných úlohách je vhodné stanovit výčtem všech možných variant (kombinací) a přímým výpočtem.
Z tabulky vidíme, že počet možných elementárních výsledků je n=4. Příznivé výsledky jevu A = (orel vypadne 1x) odpovídají možnosti č. 2 a č. 3 experimentu, jsou dvě takové možnosti m=2.
Najděte pravděpodobnost události Р(А)=m/n=2/4=0,5
Úkol 2 . V náhodném experimentu se dvakrát hodí symetrická mince. Najděte pravděpodobnost, že hlavy nikdy nepřijdou.
Řešení
. Protože se mincí hodí dvakrát, je počet možných elementárních výsledků n=4, stejně jako v úloze 1. Příznivé výsledky jevu A = (orel nevypadne ani jednou) odpovídají variantě č. 4 pokusu (viz tabulka v úloze 1). Existuje pouze jedna taková možnost, takže m=1.
Najděte pravděpodobnost události Р(А)=m/n=1/4=0,25
Úkol 3 . V náhodném experimentu se třikrát hodí symetrická mince. Najděte pravděpodobnost, že se objeví přesně 2krát.
Řešení . Možné možnosti pro tři hody mincí (všechny možné kombinace hlav a ocasů) jsou uvedeny ve formě tabulky:
Z tabulky vidíme, že počet možných elementárních výsledků je n=8. Příznivé výsledky události A = (hlavy 2krát) odpovídají možnostem č. 5, 6 a 7 experimentu. Existují tři takové možnosti, takže m=3.
Najděte pravděpodobnost události Р(А)=m/n=3/8=0,375
Úkol 4 . V náhodném experimentu se čtyřikrát hodí symetrická mince. Najděte pravděpodobnost, že se objeví přesně 3krát.
Řešení . Možné varianty čtyř hodů mincí (všechny možné kombinace hlav a ocasů) jsou uvedeny ve formě tabulky:
| číslo možnosti | 1. hod | 2. role | 3. role | 4. role | číslo možnosti | 1. hod | 2. role | 3. role | 4. role |
| 1 | Orel | Orel | Orel | Orel | 9 | Ocasy | Orel | Ocasy | Orel |
| 2 | Orel | Ocasy | Ocasy | Ocasy | 10 | Orel | Ocasy | Orel | Ocasy |
| 3 | Ocasy | Orel | Ocasy | Ocasy | 11 | Orel | Ocasy | Ocasy | Orel |
| 4 | Ocasy | Ocasy | Orel | Ocasy | 12 | Orel | Orel | Orel | Ocasy |
| 5 | Ocasy | Ocasy | Ocasy | Orel | 13 | Ocasy | Orel | Orel | Orel |
| 6 | Orel | Orel | Ocasy | Ocasy | 14 | Orel | Ocasy | Orel | Orel |
| 7 | Ocasy | Orel | Orel | Ocasy | 15 | Orel | Orel | Ocasy | Orel |
| 8 | Ocasy | Ocasy | Orel | Orel | 16 | Ocasy | Ocasy | Ocasy | Ocasy |
Z tabulky vidíme, že počet možných elementárních výsledků je n=16. Příznivé výsledky jevu A = (orel vypadne 3x) odpovídají možnostem č. 12, 13, 14 a 15 experimentu, což znamená m=4.
Najděte pravděpodobnost události Р(А)=m/n=4/16=0,25
 |
Určení pravděpodobnosti v problémech s kostkami
Úkol 5 . Určete pravděpodobnost, že při hodu kostkou (správnou kostkou) vypadnou více než 3 body.
Řešení
. Při hodu kostkou (běžná kostka) může vypadnout kterákoli z jejích šesti ploch, tzn. nastat některá ze základních událostí - ztráta 1 až 6 bodů (bodů). Počet možných elementárních výsledků je tedy n=6.
Událost A = (vypadlo více než 3 body) znamená, že vypadlo 4, 5 nebo 6 bodů (bodů). Takže počet příznivých výsledků m=3.
Pravděpodobnost události Р(А)=m/n=3/6=0,5
Úkol 6 . Určete pravděpodobnost, že při hodu kostkou počet bodů nepřekročí 4. Zaokrouhlete výsledek na nejbližší tisícinu.
Řešení
. Při hodu kostkou může vypadnout kterýkoli z jejích šesti obličejů, tzn. nastat některá ze základních událostí - ztráta 1 až 6 bodů (bodů). Počet možných elementárních výsledků je tedy n=6.
Událost A = (nevypadly více než 4 body) znamená, že vypadly 4, 3, 2 nebo 1 body (bod). Takže počet příznivých výsledků m=4.
Pravděpodobnost události Р(А)=m/n=4/6=0,6666…≈0,667
Úkol 7 . Kostkou se hází dvakrát. Najděte pravděpodobnost, že obě čísla jsou menší než 4.
Řešení . Protože kostka (kostka) se hází dvakrát, budeme argumentovat následovně: pokud na první kostce padl jeden bod, na druhé může vypadnout 1, 2, 3, 4, 5, 6. Získáme dvojice (1; 1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6) a tak dále s každou plochou. Všechny případy uvádíme ve formě tabulky o 6 řádcích a 6 sloupcích:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
Vypočteme příznivé výsledky jevu A = (v obou případech vypadlo číslo menší než 4) (jsou zvýrazněny tučně) a dostaneme m=9.
Najděte pravděpodobnost události Р(А)=m/n=9/36=0,25
Úkol 8 . Kostkou se hází dvakrát. Najděte pravděpodobnost, že největší ze dvou vylosovaných čísel je 5. Zaokrouhlete svou odpověď na nejbližší tisícinu.
Řešení . Všechny možné výsledky dvou hodů kostky přítomno v tabulce:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
Z tabulky vidíme, že počet možných elementárních výsledků je n=6*6=36.
Spočítají se příznivé výsledky jevu A = (největší ze dvou vylosovaných čísel je 5) (jsou zvýrazněny tučně) a dostaneme m=8.
Najděte pravděpodobnost události Р(А)=m/n=8/36=0,2222…≈0,222
Úkol 9 . Kostkou se hází dvakrát. Najděte pravděpodobnost, že alespoň jednou padne číslo menší než 4.
Řešení . Všechny možné výsledky dvou hodů kostkou jsou uvedeny v tabulce:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
Z tabulky vidíme, že počet možných elementárních výsledků je n=6*6=36.
Fráze „alespoň jednou vypadlo číslo menší než 4“ znamená „číslo menší než 4 vypadlo jednou nebo dvakrát“, pak počet příznivých výsledků události A = (alespoň jednou vypadlo číslo menší než 4 ) (jsou vyznačeny tučně) m=27.
Najděte pravděpodobnost události Р(А)=m/n=27/36=0,75
