Zákon průměru aneb co je tajemstvím úspěšných prodejců. Průměrné hodnoty Silný zákon velkých čísel
Slova o velkých číslech odkazují na počet testů - uvažuje se velký počet hodnot náhodné veličiny nebo kumulativní působení velkého počtu náhodných veličin. Podstata tohoto zákona je následující: nelze sice předvídat, jakou hodnotu nabude jedna náhodná veličina v jediném experimentu, nicméně celkový výsledek působení velkého počtu nezávislých náhodných veličin ztrácí svůj náhodný charakter a může lze téměř spolehlivě (tj. s vysokou pravděpodobností) předpovědět. Například nelze předvídat, na kterou stranu mince padne. Pokud však hodíte 2 tuny mincí, pak lze s velkou jistotou tvrdit, že váha mincí, které padly erbem nahoru, je 1 tuna.
Za prvé, tzv. Čebyševova nerovnost odkazuje na zákon velkých čísel, který v samostatném testu odhaduje pravděpodobnost, že náhodná veličina přijme hodnotu, která se od průměrné hodnoty neodchyluje o více než danou hodnotu.
Čebyševova nerovnost. Nechat X je libovolná náhodná veličina, a=M(X) , a D(X) je jeho rozptyl. Pak
Příklad. Jmenovitá (tedy požadovaná) hodnota průměru objímky obráběné na stroji je 5 mm, a rozptyl již není 0.01 (jedná se o toleranci přesnosti stroje). Odhadněte pravděpodobnost, že při výrobě jednoho pouzdra bude odchylka jeho průměru od jmenovitého menší než 0,5 mm .
Řešení. Ať r.v. X- průměr vyrobeného pouzdra. Podle podmínky se jeho matematické očekávání rovná jmenovitému průměru (pokud nedojde k systematické chybě při nastavení stroje): a=M(X)=5 a rozptyl D(X) < 0,01. Použití Čebyševovy nerovnosti pro e = 0,5, dostaneme:
Pravděpodobnost takové odchylky je tedy poměrně vysoká, a proto můžeme usoudit, že v případě jednorázové výroby dílu je téměř jisté, že odchylka průměru od jmenovitého nepřekročí 0,5 mm .
V podstatě směrodatná odchylka σ charakterizuje průměrný odchylka náhodné veličiny od jejího středu (tedy od jejího matematického očekávání). Protože to průměrný odchylka, pak jsou při testování možné velké odchylky (důraz na o). Jak velké odchylky jsou prakticky možné? Při studiu normálně distribuovaných náhodných proměnných jsme odvodili pravidlo „tři sigma“: normálně distribuovaná náhodná proměnná X v jediném testu prakticky nevybočuje ze svého průměru dále než 3σ, kde σ= σ(X) je směrodatná odchylka r.v. X. Takové pravidlo jsme odvodili z toho, že jsme dostali nerovnost
.
Pojďme nyní odhadnout pravděpodobnost pro libovolný náhodná proměnná X přijmout hodnotu, která se neliší od průměru o více než trojnásobek standardní odchylky. Použití Čebyševovy nerovnosti pro ε = 3σ a vzhledem k tomu D(X) = a 2 , dostaneme:
.
Takto, obecně můžeme odhadnout pravděpodobnost odchylky náhodné veličiny od jejího průměru nejvýše o tři směrodatné odchylky o číslo 0.89 , zatímco pro normální rozdělení to lze s pravděpodobností zaručit 0.997 .
Čebyševovu nerovnost lze zobecnit na systém nezávislých shodně rozdělených náhodných veličin.
Zobecněná Čebyševova nerovnost. Pokud nezávislé náhodné proměnné X 1 , X 2 , … , X n M(X i )= A a disperze D(X i )= D, pak
V n=1 tato nerovnost přechází do výše formulované Čebyševovy nerovnosti.
Čebyševova nerovnost, mající nezávislý význam pro řešení příslušných problémů, se používá k prokázání tzv. Čebyševova teorému. Nejprve popíšeme podstatu této věty a poté uvedeme její formální formulaci.
Nechat X 1
, X 2
, … , X n– velké množství nezávislých náhodných veličin s matematickými očekáváními M(X 1
)=a 1
, … , M(X n )=a n. Ačkoli každý z nich může v důsledku experimentu nabývat hodnoty daleko od svého průměru (tedy matematického očekávání), náhodná veličina 
, rovnající se jejich aritmetickému průměru, s vysokou pravděpodobností bude mít hodnotu blízkou pevnému číslu 
(toto je průměr všech matematických očekávání). To znamená následující. Nechť jako výsledek testu nezávislé náhodné veličiny X 1
, X 2
, … , X n(je jich hodně!) podle toho vzali hodnoty X 1
, X 2
, … , X n respektive. Pokud se pak tyto hodnoty samy mohou ukázat jako daleko od průměrných hodnot odpovídajících náhodných proměnných, jejich průměrná hodnota 
pravděpodobně bude blízko 
. Aritmetický průměr velkého počtu náhodných veličin již tedy ztrácí svůj náhodný charakter a lze jej s velkou přesností předpovídat. To lze vysvětlit tím, že náhodné odchylky hodnot X i z A i mohou mít různá znaménka, a proto jsou v součtu tyto odchylky s vysokou pravděpodobností kompenzovány.
Terema Čebyševová (zákon velkých čísel v podobě Čebyševa). Nechat X 1 , X 2 , … , X n … je posloupnost párově nezávislých náhodných proměnných, jejichž rozptyly jsou omezeny na stejný počet. Pak, bez ohledu na to, jak malé číslo ε vezmeme, pravděpodobnost nerovnosti
bude libovolně blízko jednotě, pokud číslo n náhodné proměnné, aby byly dostatečně velké. Formálně to znamená, že za podmínek věty
Tento typ konvergence se nazývá konvergence v pravděpodobnosti a označuje se:
Čebyševova věta tedy říká, že pokud existuje dostatečně velký počet nezávislých náhodných proměnných, pak jejich aritmetický průměr v jediném testu téměř jistě nabude hodnoty blízké průměru jejich matematických očekávání.
Nejčastěji se Čebyševova věta uplatňuje v situaci, kdy jsou náhodné veličiny X 1 , X 2 , … , X n … mají stejné rozdělení (tj. stejný distribuční zákon nebo stejnou hustotu pravděpodobnosti). Ve skutečnosti se jedná pouze o velký počet instancí stejné náhodné proměnné.
Následek(zobecněné Čebyševovy nerovnosti). Pokud nezávislé náhodné proměnné X 1 , X 2 , … , X n … mají stejné rozdělení s matematickými očekáváními M(X i )= A a disperze D(X i )= D, pak
, tj. 
.
Důkaz vyplývá ze zobecněné Čebyševovy nerovnosti přechodem na limitu as n→∞ .
Ještě jednou poznamenáváme, že výše uvedené rovnosti nezaručují, že hodnota veličiny 
má sklony k A v n→∞. Tato hodnota je stále náhodná proměnná a její jednotlivé hodnoty mohou být poměrně vzdálené A. Ale pravděpodobnost takového (zdaleka ne A) hodnoty s rostoucími n inklinuje k 0.
Komentář. Závěr z důsledků samozřejmě platí i v obecnějším případě, kdy jsou nezávislé náhodné proměnné X 1 , X 2 , … , X n … mají jiné rozdělení, ale stejná matematická očekávání (rov A) a odchylky omezené v souhrnu. To umožňuje předvídat přesnost měření určité veličiny, i když jsou tato měření prováděna různými přístroji.
Podívejme se podrobněji na aplikaci tohoto důsledku na měření veličin. Použijme nějaké zařízení n měření stejné veličiny, jejíž skutečná hodnota je A a my nevíme. Výsledky takových měření X 1
, X 2
, … , X n se mohou navzájem výrazně lišit (a od skutečné hodnoty A) v důsledku různých náhodných faktorů (poklesy tlaku, teploty, náhodné vibrace atd.). Zvažte r.v. X- přístrojový odečet pro jedno měření veličiny, dále soubor r.v. X 1
, X 2
, … , X n- odečet přístroje při prvním, druhém, ..., posledním měření. Tedy každá z veličin X 1
, X 2
, … , X n
existuje právě jeden z případů r.v. X, a proto mají všechny stejné rozdělení jako r.v. X. Protože výsledky měření jsou na sobě nezávislé, r.v. X 1
, X 2
, … , X n lze považovat za nezávislé. Pokud zařízení nedává systematickou chybu (například na stupnici není „sražena“ nula, pružina není natažená atd.), můžeme předpokládat, že matematické očekávání M(X) = a, a proto M(X 1
) = ... = M(X n ) = a. Jsou tedy splněny podmínky výše uvedeného důsledku, a tedy jako přibližná hodnota veličiny A můžeme vzít "implementaci" náhodné veličiny 
v našem experimentu (sestávajícím z řady n měření), tzn.
.
Při velkém počtu měření je dobrá přesnost výpočtu pomocí tohoto vzorce prakticky spolehlivá. To je zdůvodněním praktického principu, že při velkém počtu měření se jejich aritmetický průměr prakticky příliš neliší od skutečné hodnoty měřené veličiny.
„Selektivní“ metoda, která je široce používána v matematické statistice, je založena na zákonu velkých čísel, který umožňuje získat její objektivní charakteristiky s přijatelnou přesností z relativně malého vzorku hodnot náhodné veličiny. Ale o tom bude řeč v další části.
Příklad. Na měřicím zařízení, které nedělá systematické zkreslení, se měří určitá veličina A jednou (přijatá hodnota X 1
), a pak dalších 99krát (získané hodnoty X 2
, … , X 100
). Pro skutečnou hodnotu měření A nejprve zjistěte výsledek prvního měření 
a poté aritmetický průměr všech měření 
. Přesnost měření přístroje je taková, že směrodatná odchylka měření σ není větší než 1 (protože rozptyl D=σ
2
také nepřesahuje 1). Pro každou z metod měření odhadněte pravděpodobnost, že chyba měření nepřekročí 2.
Řešení. Ať r.v. X- odečet přístroje pro jedno měření. Pak podle podmínek M(X)=a. Abychom odpověděli na položené otázky, použijeme zobecněnou Čebyševovu nerovnost
pro ε =2
nejprve pro n=1
a pak pro n=100
. V prvním případě dostaneme 
a ve druhém. Druhý případ tedy prakticky zaručuje danou přesnost měření, zatímco první v tomto smyslu zanechává vážné pochybnosti.
Aplikujme výše uvedená tvrzení na náhodné veličiny, které vznikají v Bernoulliho schématu. Připomeňme si podstatu tohoto schématu. Ať se vyrábí n nezávislé testy, v každém z nich nějaká event ALE se může objevit se stejnou pravděpodobností R, a q=1–r(to znamená, že se jedná o pravděpodobnost opačné události - nikoli výskyt události ALE) . Pojďme utratit nějaké číslo n takové testy. Zvažte náhodné proměnné: X 1 – počet výskytů události ALE v 1 test, ..., X n– počet výskytů události ALE v n test. Všechny zavedené r.v. může nabývat hodnot 0 nebo 1 (událost ALE se může v testu objevit nebo ne) a hodnotu 1 podmíněně přijat v každém pokusu s pravděpodobností p(pravděpodobnost výskytu události ALE v každém testu) a hodnotu 0 s pravděpodobností q= 1 – p. Proto mají tato množství stejné distribuční zákony:
|
X 1 | ||
|
X n | ||
Proto jsou průměrné hodnoty těchto veličin a jejich rozptyly také stejné: M(X 1 )=0 ∙ q+1 ∙ p= p, …, M(X n )= p ; D(X 1 )=(0 2 ∙ q+1 2 ∙ p)− p 2 = p∙(1− p)= p ∙ q, …, D(X n )= p ∙ q. Nahrazením těchto hodnot do zobecněné Čebyševovy nerovnosti získáme
.
Je jasné, že r.v. X=X 1 +…+Х n je počet výskytů události ALE celkově n pokusy (jak se říká - "počet úspěchů" v n testy). Pusťte dovnitř n zkušební akce ALE objevil se v k z nich. Pak lze předchozí nerovnost zapsat jako
.
Ale velikost 
, rovnající se poměru počtu výskytů události ALE v n nezávislých studií, na celkový počet studií, dříve nazývaných relativní četnost událostí ALE v n testy. Proto existuje nerovnost
.
Probíhá nyní na limit v n→∞, dostáváme 
, tj. 
(podle pravděpodobnosti). To je obsah zákona velkých čísel v Bernoulliho podobě. Z toho vyplývá, že pro dostatečně velký počet pokusů n libovolně malé odchylky relativní četnosti 
události z její pravděpodobnosti R jsou téměř jisté události a velké odchylky jsou téměř nemožné. Výsledný závěr o takové stabilitě relativních frekvencí (kterou jsme dříve označovali jako experimentální fakt) odůvodňuje dříve zavedenou statistickou definici pravděpodobnosti události jako čísla, kolem kterého kolísá relativní četnost události.
Vzhledem k tomu, že výraz p∙
q=
p∙(1−
p)=
p−
p 2
nepřekročí interval výměny 
(to lze snadno ověřit nalezením minima této funkce na tomto segmentu), z výše uvedené nerovnosti 
snadné to získat
,
který se používá při řešení odpovídajících problémů (jeden z nich bude uveden níže).
Příklad. Mince byla přehozena 1000krát. Odhadněte pravděpodobnost, že odchylka relativní četnosti výskytu erbu od jeho pravděpodobnosti bude menší než 0,1.
Řešení. Použití nerovnosti 
v p=
q=1/2
,
n=1000
,
e=0,1, dostaneme .
Příklad. Odhadněte pravděpodobnost, že za podmínek předchozího příkladu číslo k spadlých erbů bude v rozsahu 400 před 600 .
Řešení. Stav 400<
k<600
znamená, že 400/1000<
k/
n<600/1000
, tj. 0.4<
W n (A)<0.6
nebo 
. Jak jsme právě viděli z předchozího příkladu, pravděpodobnost takové události je minimálně 0.975
.
Příklad. Spočítat pravděpodobnost nějaké události ALE Bylo provedeno 1000 experimentů, při kterých se event ALE se objevil 300krát. Odhadněte pravděpodobnost, že relativní četnost (rovná se 300/1000=0,3) se liší od skutečné pravděpodobnosti R ne více než 0,1.
Řešení. Použití výše uvedené nerovnosti 
pro n=1000, ε=0,1 dostaneme .
Přednáška 8. Sekce 1. Teorie pravděpodobnosti
Zvažované problémy
1) Zákon velkých čísel.
2) Centrální limitní věta.
Zákon velkých čísel.
Zákon velkých čísel v širokém slova smyslu je chápán jako obecný princip, podle kterého při velkém počtu náhodných veličin přestává být jejich průměrný výsledek náhodný a lze jej s vysokou mírou jistoty předvídat.
Zákon velkých čísel v užším smyslu je chápán jako řada matematických vět, v každé z nich je za určitých podmínek stanovena možnost aproximace průměrných charakteristik velkého počtu testů.
na nějaké určité konstanty. Při dokazování vět tohoto druhu se používají Markovovy a Čebyševovy nerovnosti, které jsou rovněž nezávislé.
Věta 1 (Markovova nerovnost). Pokud náhodná proměnná nabývá nezáporných hodnot a má matematické očekávání, pak pro jakékoli kladné číslo nerovnost
Důkaz provedeme pro diskrétní náhodnou veličinu. Budeme předpokládat, že nabývá hodnot, z nichž první jsou menší nebo rovné a všechny ostatní jsou pak větší
kde
Příklad 1 Průměrný počet hovorů přicházejících do tovární ústředny za hodinu je 300. Odhadněte pravděpodobnost, že v příští hodině bude počet hovorů na ústřednu:
1) překročí 400;
2) nebude více než 500.
Řešení. 1) Nechť náhodná proměnná je počet hovorů přicházejících na ústřednu během hodiny. Střední hodnota je . Musíme tedy hodnotit. Podle Markovovy nerovnosti
2) Pravděpodobnost, že počet hovorů nebude vyšší než 500, je tedy alespoň 0,4.
Příklad 2 Součet všech vkladů v pobočce banky je 2 miliony rublů a pravděpodobnost, že náhodně přijatý vklad nepřesáhne 10 tisíc rublů, je 0,6. Co lze říci o počtu přispěvatelů?
Řešení. Nechť náhodně vybraná hodnota je velikost náhodně vybraného příspěvku a počet všech příspěvků. Pak (tisíc). Podle Markovovy nerovnosti odkud
Příklad 3 Nechť je čas, kdy se student opozdí na přednášku a je známo, že se v průměru opozdí o 1 minutu. Odhadněte pravděpodobnost, že se student zpozdí alespoň o 5 minut.
Řešení. Předpokladem Aplikováním Markovovy nerovnosti to získáme 
Z každých 5 studentů tak nebude mít více než 1 student zpoždění alespoň 5 minut.
Věta 2 (Čebyševova nerovnost). 
.
Důkaz. Nechť je náhodná veličina X dána řadou rozdělení
Podle definice disperze Vynechme z tohoto součtu ty členy, pro které 
. Zároveň od všechny členy jsou nezáporné, součet se může pouze snižovat. Pro jistotu budeme předpokládat, že první k podmínky. Pak
Tudíž, 
.
Čebyševova nerovnost umožňuje odhadnout shora pravděpodobnost odchylky náhodné veličiny od jejího matematického očekávání pouze na základě informace o jejím rozptylu. Hojně se využívá např. v teorii odhadu.
Příklad 4 Mince je hozena 10 000krát. Odhadněte pravděpodobnost, že se frekvence erbu liší od 0,01 nebo více.
Řešení. Zaveďme nezávislé náhodné veličiny , kde je náhodná veličina s distribuční řadou
Pak 
protože je distribuován podle binomického zákona s 
Četnost výskytu erbu je náhodná veličina kde 
. Rozptyl frekvence vzhledu erbu je tedy podle Čebyševovy nerovnosti, 
.
V průměru se tak frekvence erbu při 10 000 hodech mince bude lišit v průměru maximálně ve čtvrtině případů o jednu setinu nebo více.
Věta 3 (Čebyšev). Jestliže jsou nezávislé náhodné veličiny, jejichž rozptyly jsou rovnoměrně ohraničené (), pak
Důkaz. Protože
pak použitím Čebyševovy nerovnosti získáme
Protože pravděpodobnost události nemůže být větší než 1, dostaneme, co chceme.
Důsledek 1. Pokud jsou nezávislé náhodné veličiny s rovnoměrně ohraničenými rozptyly a stejným matematickým očekáváním rovné A, pak
Rovnost (1) naznačuje, že náhodné odchylky jednotlivých nezávislých náhodných veličin od jejich společné průměrné hodnoty, jsou-li velké co do hmotnosti, se navzájem ruší. Proto, i když jsou samotné veličiny náhodné, jejich průměr 
obecně již prakticky není náhodný a blízký . To znamená, že pokud to není známo předem, lze to vypočítat pomocí aritmetického průměru. Tato vlastnost sekvencí nezávislých náhodných veličin se nazývá zákon statistické stability. Zákon statistické stability odůvodňuje možnost uplatnění analýzy statistiky při konkrétních manažerských rozhodnutích.
Věta 4 (Bernoulli). Pokud v každém z P nezávislých experimentů, pravděpodobnost p výskytu jevu A je pak konstantní
,
kde je počet výskytů události A pro tyto P testy.
Důkaz. Zavádíme nezávislé náhodné veličiny , kde Х i je náhodná veličina s distribuční řadou
Poté M(X i)=p, D(X i)=pq. Od , pak D(X i) jsou v souhrnu omezeny. Z Čebyševovy věty vyplývá, že
.
Ale X 1 + X 2 + ... + X P je počet výskytů události A v řadě P testy.
Smyslem Bernoulliho věty je, že při neomezeném nárůstu počtu identických nezávislých experimentů lze s praktickou jistotou tvrdit, že frekvence výskytu události se bude libovolně málo lišit od pravděpodobnosti jejího výskytu v samostatném experimentu. ( statistická stabilita pravděpodobnosti události). Proto Bernoulliho teorém slouží jako most od teorie aplikací k jejich aplikacím.
Jaké je tajemství úspěšných prodejců? Pokud sledujete nejlepší prodejce jakékoli společnosti, všimnete si, že mají jedno společné. Každý z nich se setkává s více lidmi a dělá více prezentací než méně úspěšní prodejci. Tito lidé chápou, že prodej je hra čísel, a čím více lidem řeknou o svých produktech nebo službách, tím více obchodů uzavřou, to je vše. Chápou, že pokud budou komunikovat nejen s těmi pár, kteří jim určitě řeknou ano, ale i s těmi, jejichž zájem o jejich návrh není tak velký, tak zákon průměru bude hrát v jejich prospěch.
Vaše výdělky budou záviset na počtu prodejů, ale zároveň budou přímo úměrné počtu provedených prezentací. Jakmile pochopíte a začnete uplatňovat zákon průměrů, úzkost spojená se zahájením nového podnikání nebo prací v novém oboru se začne snižovat. A v důsledku toho začne růst pocit kontroly a důvěra v jejich schopnost vydělávat. Pokud budete jen dělat prezentace a zdokonalovat své dovednosti v tomto procesu, dojde k dohodám.
Spíše než přemýšlet o počtu obchodů přemýšlejte o počtu prezentací. Nemá smysl se ráno probouzet nebo přijít večer domů a začít přemýšlet, kdo si koupí váš produkt. Místo toho je nejlepší si každý den naplánovat, kolik hovorů potřebujete uskutečnit. A pak, bez ohledu na to, volejte všechny ty hovory! Tento přístup vám usnadní práci – protože jde o jednoduchý a konkrétní cíl. Pokud víte, že máte před sebou zcela konkrétní a dosažitelný cíl, bude pro vás snazší uskutečnit plánovaný počet hovorů. Pokud během tohoto procesu několikrát uslyšíte „ano“, tím lépe!
A pokud „ne“, večer budete mít pocit, že jste poctivě udělali vše, co jste mohli, a nebudete se trápit myšlenkami na to, kolik peněz jste vydělali nebo kolik partnerů jste za den získali.
Řekněme, že ve vaší společnosti nebo ve vaší firmě průměrný prodejce uzavře jednu transakci každé čtyři prezentace. Nyní si představte, že si lízáte karty z balíčku. Každá karta tří barev – piky, káry a kluby – je prezentací, kde profesionálně prezentujete produkt, službu nebo příležitost. Děláte to, jak nejlépe umíte, ale obchod stále neuzavřete. A každá srdeční karta je obchod, který vám umožní získat peníze nebo získat nového společníka.
Nechtěli byste si v takové situaci líznout co nejvíce karet z balíčku? Předpokládejme, že vám je nabídnuto, abyste si lízli tolik karet, kolik chcete, a přitom vám platíte nebo navrhujete nového společníka pokaždé, když si líznete kartu srdce. Začnete nadšeně tahat karty a sotva si všimnete, v jaké barvě byla karta právě vytažena.
Víte, že v balíčku padesáti dvou karet je třináct srdcí. A ve dvou balíčcích - dvacet šest karet srdce a tak dále. Zklame vás kreslení piky, káry nebo kyje? Samozřejmě že ne! Budete si jen myslet, že každá taková „misska“ vás přibližuje – k čemu? Na kartu srdcí!
Ale víš co? Tato nabídka vám již byla dána. Jste v jedinečné pozici, kdy můžete vydělávat tolik, kolik chcete, a líznout si tolik karet srdce, kolik chcete ve svém životě líznout. A pokud budete jen svědomitě „tahat karty“, zlepšovat své dovednosti a snášet trochu rýče, diamantu a kyje, pak se stanete vynikajícím obchodníkem a uspějete.
Jednou z věcí, díky kterým je prodej tak zábavný, je to, že pokaždé, když balíček zamícháte, karty se zamíchají jinak. Někdy všechna srdce skončí na začátku balíčku a po úspěšné sérii (kdy už se nám zdá, že nikdy neprohrajeme!) čekáme na dlouhou řadu karet jiné barvy. A jindy, abyste se dostali k prvnímu srdci, musíte projít nekonečným množstvím piků, kyjů a tamburín. A někdy karty různých barev vypadnou přísně střídavě. Ale v každém případě je v každém balíčku padesáti dvou karet v určitém pořadí vždy třináct srdcí. Vytahujte karty, dokud je nenajdete.
Od: Leylya,
Zákon velkých čísel
Zákon velkých čísel v teorii pravděpodobnosti tvrdí, že empirický průměr (aritmetický průměr) dostatečně velkého konečného vzorku z pevného rozdělení se blíží teoretickému průměru (očekávání) tohoto rozdělení. V závislosti na typu konvergence existuje slabý zákon velkých čísel, kdy dochází ke konvergenci pravděpodobnosti, a silný zákon velkých čísel, kdy ke konvergenci dochází téměř všude.
Vždy bude takový počet pokusů, že s jakoukoliv předem stanovenou pravděpodobností se relativní četnost výskytu nějaké události bude libovolně málo lišit od její pravděpodobnosti.
Obecný význam zákona velkých čísel je ten, že společné působení velkého množství náhodných faktorů vede k výsledku, který je téměř nezávislý na náhodě.
Na této vlastnosti jsou založeny metody pro odhad pravděpodobnosti založené na analýze konečného vzorku. Dobrým příkladem je predikce volebních výsledků na základě průzkumu na vzorku voličů.
Slabý zákon velkých čísel
Nechť existuje nekonečná posloupnost (konsekutivní výčet) identicky distribuovaných a nekorelovaných náhodných proměnných , definovaných na stejném pravděpodobnostním prostoru . Tedy jejich kovariance. Nechte Označme vzorový průměr prvních členů:
Silný zákon velkých čísel
Nechť existuje nekonečná posloupnost nezávislých identicky distribuovaných náhodných proměnných, definovaných na stejném pravděpodobnostním prostoru. Nechte Označme vzorový průměr prvních členů:
.Pak téměř jistě.
viz také
Literatura
- Shiryaev A. N. Pravděpodobnost, - M .: Věda. 1989.
- Chistyakov V.P. Kurz teorie pravděpodobnosti, - M., 1982.
Nadace Wikimedia. 2010 .
- Kino Ruska
- Gromeka, Michail Stěpanovič
Podívejte se, co je „Zákon velkých čísel“ v jiných slovnících:
ZÁKON VELKÝCH ČÍSEL- (zákon velkých čísel) V případě, kdy je chování jednotlivých členů populace vysoce osobité, je chování skupiny v průměru předvídatelnější než chování kteréhokoli z jejích členů. Trend, ve kterém skupiny ... ... Ekonomický slovník
ZÁKON VELKÝCH ČÍSEL- viz ZÁKON VELKÝCH ČÍSEL. antinacistické. Encyklopedie sociologie, 2009 ... Encyklopedie sociologie
Zákon velkých čísel- princip, podle kterého se kvantitativní vzorce vlastní masovým společenským jevům nejzřetelněji projevují při dostatečně velkém počtu pozorování. Jednotlivé jevy jsou náchylnější k účinkům náhodných a ... ... Slovníček obchodních podmínek
ZÁKON VELKÝCH ČÍSEL- tvrdí, že s pravděpodobností blízkou jedné se aritmetický průměr velkého počtu náhodných proměnných přibližně stejného řádu bude jen málo lišit od konstanty rovné aritmetickému průměru matematických očekávání těchto proměnných. Rozdíl…… Geologická encyklopedie
zákon velkých čísel- — [Ja.N. Luginskij, M.S. Fezi Zhilinskaya, Yu.S. Kabirov. Anglicko-ruský slovník elektrotechniky a energetiky, Moskva, 1999] Elektrotechnická témata, základní pojmy EN zákon průměru velkých čísel ... Technická příručka překladatele
zákon velkých čísel- didžiųjų skaičių dėsnis statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. zákon velkých čísel vok. Gesetz der großen Zahlen, n rus. zákon velkých čísel, m pranc. loi des grands nombres, f … Fizikos terminų žodynas
ZÁKON VELKÝCH ČÍSEL- obecný princip, díky kterému kombinované působení náhodných faktorů vede za určitých velmi obecných podmínek k výsledku, který je téměř nezávislý na náhodě. Konvergence četnosti výskytu náhodné události s její pravděpodobností s nárůstem počtu ... ... Ruská sociologická encyklopedie
Zákon velkých čísel- zákon, který stanoví, že kumulativní působení velkého počtu náhodných faktorů vede za určitých velmi obecných podmínek k výsledku téměř nezávislému na náhodě... Sociologie: slovník
ZÁKON VELKÝCH ČÍSEL- statistický zákon vyjadřující vztah statistických ukazatelů (parametrů) výběrového souboru a obecné populace. Skutečné hodnoty statistických ukazatelů získané z určitého vzorku se vždy liší od tzv. teoretická...... Sociologie: Encyklopedie
ZÁKON VELKÝCH ČÍSEL- zásada, že četnost finančních ztrát určitého typu lze s vysokou přesností předvídat při velkém počtu ztrát podobného typu ... Encyklopedický slovník ekonomie a práva
knihy
- Sada stolů. Matematika. Teorie pravděpodobnosti a matematická statistika. 6 tabulek + metodika, . Tabulky jsou vytištěny na silném polygrafickém kartonu o rozměrech 680 x 980 mm. Součástí sady je brožura s metodickými doporučeními pro učitele. Vzdělávací album o 6 listech. Náhodný…
