≡×МЕНЮ

• PОР
• Windows
• Антивірус
• Антивіруси
• Графіка

Курсова робота: Повторні та незалежні випробування. Теорема Бернуллі про частоту ймовірності. Презентація на тему "формула бернуллі" Презентація на тему схеми повторних випробувань бернуллі

https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

Глава 9. Елементи математичної статистики, комбінаторики та теорії ймовірностей §54. Випадкові події та їх ймовірності 3. НЕЗАЛЕЖНІ ПОВТОРЕННЯ ВИПРОБУВАНЬ. ТЕОРЕМА БЕРНУЛИ І СТАТИСТИЧНА СТІЙКІСТЬ.

Зміст ПРИКЛАД 5. Імовірність влучення в ціль при одному пострілі … Рішення 5а); Рішення 5б); Рішення 5в); Рішення 5г). Зауважимо, що… У всій серії повторень важливо знати… Якоб Бернуллі об'єднав приклади та питання… ТЕОРЕМА 3 (теорема Бернуллі). ПРИКЛАД 6. У кожному з пунктів а) - г) визначити значення n, k, p, q і виписати (без обчислень) вираз для шуканої ймовірності Pn (k). Рішення 6 а); Рішення 6 б); Рішення 6 в); Рішення 6 г). Теорема Бернуллі дозволяє … ТЕОРЕМА 4. За великої кількості незалежних повторень … Для вчителя. Джерела. 08.02.2014 2

3. НЕЗАЛЕЖНІ ПОВТОРЕННЯ ВИПРОБУВАНЬ. ТЕОРЕМА БЕРНУЛИ І СТАТИСТИЧНА СТІЙКІСТЬ. Частина 3. 08.02.2014 Цибікова Тамара Раднажапівна, учитель математики 3

ПРИКЛАД 5. Імовірність попадання в мішень при одному пострілі Дещо змінимо попередній приклад: замість двох різних стрільців по мішені стрілятиме той самий стрілець. Приклад 5 . Імовірність влучення в ціль при одному пострілі дорівнює 0,8. Було зроблено 3 незалежні один від одного постріли. Визначити можливість, що мета: а) буде вражена тричі; б) не буде вражена; в) буде вражена хоча б раз; г) буде вражена рівно один раз. 08.02.2014 Цибікова Тамара Раднажапівна, вчитель математики 4

Рішення прикладу 5а) Приклад 5 . Імовірність влучення в ціль при одному пострілі дорівнює 0,8. Було зроблено 3 незалежні один від одного постріли. Визначити можливість, що мета: а) буде вражена тричі; 08.02.2014 Цибікова Тамара Раднажапівна, учитель математики 5

Рішення прикладу 5б) Приклад 5 . Імовірність влучення в ціль при одному пострілі дорівнює 0,8. Було зроблено 3 незалежні один від одного постріли. Визначити можливість, що мета: б) нічого очікувати вражена; Рішення: 08.02.2014 Цибікова Тамара Раднажапівна, учитель математики 6

Рішення прикладу 5в) Приклад 5 . Імовірність влучення в ціль при одному пострілі дорівнює 0,8. Було зроблено 3 незалежні один від одного постріли. Визначити можливість, що мета: в) буде вражена хоча б раз; Рішення: 08.02.2014 Цибікова Тамара Раднажапівна, вчитель математики 7

Рішення прикладу 5г) Приклад 5. Імовірність влучення в ціль при одному пострілі дорівнює 0,8. Було зроблено 3 незалежні один від одного постріли. Знайти ймовірність того, що мета: г) буде вражена рівно один раз. Рішення: 08.02.2014 Цибікова Тамара Раднажапівна, учитель математики 8

Зауважимо Рішення, наведене в пункті г) прикладу 5, у конкретному випадку повторює доказ знаменитої теореми Бернуллі, яка відноситься до однієї з найбільш поширених імовірнісних моделей: незалежним повторенням одного й того ж випробування з двома можливими наслідками. Відмінна особливістьбагатьох імовірнісних завдань полягає в тому, що випробування, в результаті якого може настати подію, що цікавить нас, можна багаторазово повторювати. 08.02.2014 Цибікова Тамара Раднажапівна, учитель математики 9

У всій серії повторень важливо знати У кожному з таких повторень нас цікавить питання про те, чи станеться ця подія. А у всій серії повторень нам важливо знати, скільки саме разів може статися чи не статися ця подія. Наприклад, гральний кубик кинули десять разів поспіль. Яка ймовірність того, що «четвірка» випаде рівно тричі? Зроблено 10 пострілів; яка ймовірність того, що буде рівно 8 попадань у ціль? Або яка ймовірність того, що при п'яти киданнях монети «орел» випаде рівно 4 рази? 08.02.2014 Цибікова Тамара Раднажапівна, учитель математики 10

Якоб Бернуллі об'єднав приклади та питання Швейцарський математик початку XVIII століття Якоб Бернуллі об'єднав приклади та питання такого типу в єдину імовірнісну схему. Нехай ймовірність випадкової подіїПри проведенні деякого випробування дорівнює Р(А). Будемо розглядати це випробування як випробування тільки з двома можливими наслідками: один результат полягає в тому, що подія А відбудеться, а інший результат полягає в тому, що подія А не відбудеться, тобто станеться подія Ᾱ. Для стислості назвемо перший результат (настання події А) «успіхом», а другий результат (настання події Ᾱ) «невдачею». Імовірність Р(А) «успіху» позначимо p, а ймовірність Р(Ᾱ) «невдачі» позначимо q. Отже, q = Р(Ᾱ) = 1 - Р(А) = 1 - р. 08.02.2014 Цибікова Тамара Раднажапівна, учитель математики 11

ТЕОРЕМА 3 (теорема Бернуллі) Теорема 3 (теорема Бернуллі). Нехай P n (k) - ймовірність настання рівно k «успіхів» у n незалежних повтореннях одного й того самого випробування. Тоді P n (k) = З n k  p k  q n-k , де р - ймовірність успіху, a q = 1 - р - ймовірність невдачі в окремому випробуванні. Ця теорема (ми наводимо її без доказу) має велике значення і теорії, і практики. 08.02.2014 Цибікова Тамара Раднажапівна, учитель математики 12

ПРИКЛАД 6. Приклад 6 . У кожному з пунктів а) - г) визначити значення n, k, р, q і виписати (без обчислень) вираз для ймовірності P n (k). а) Чому дорівнює можливість появи рівно 7 «орлів» при 10 киданнях монети? б) Кожен із 20 осіб незалежно називає один із днів тижня. «Невдалими» днями вважаються понеділок та п'ятниця. Яка ймовірність того, що «удач» буде рівно половина? в) Кидання кубика «вдало», якщо випадає 5 чи 6 очок. Яка ймовірність того, що рівно 5 кидань із 25 будуть «вдалими»? г) Випробування полягає у одночасному киданні трьох різних монет. «Невдача»: «грашок» більше, ніж «орлів». Яка ймовірність того, що буде рівно три «удачі» серед 7 кидань? 08.02.2014 Цибікова Тамара Раднажапівна, вчитель математики 13

Рішення 6а) Приклад 6 . У кожному з пунктів а) - г) визначити значення n, k, р, q і виписати (без обчислень) вираз для ймовірності P n (k). а) Чому дорівнює можливість появи рівно 7 «орлів» при 10 киданнях монети? Рішення: 08.02.2014 Цибікова Тамара Раднажапівна, учитель математики 14

Рішення 6б) Приклад 6 . У кожному з пунктів а) - г) визначити значення n, k, р, q і виписати (без обчислень) вираз для ймовірності P n (k). б) Кожен із 20 осіб незалежно називає один із днів тижня. «Невдалими» днями вважаються понеділок та п'ятниця. Яка ймовірність того, що «удач» буде рівно половина? Рішення: 08.02.2014 Цибікова Тамара Раднажапівна, учитель математики 15

Рішення 6в) Приклад 6 . У кожному з пунктів а) - г) визначити значення n, k, р, q і виписати (без обчислень) вираз для ймовірності P n (k). в) Кидання кубика «вдало», якщо випадає 5 чи 6 очок. Яка ймовірність того, що рівно 5 кидань із 25 будуть «вдалими»? Рішення: 08.02.2014 Цибікова Тамара Раднажапівна, учитель математики 16

Рішення 6г) Приклад 6 . У кожному з пунктів а) - г) визначити значення n, k, р, q і виписати (без обчислень) вираз для ймовірності P n (k). г) Випробування полягає у одночасному киданні трьох різних монет. «Невдача»: «грашок» більше, ніж «орлів». Яка ймовірність того, що буде рівно три «удачі» серед 7 кидань? Рішення: г) n = 7, k = 3. "Удача" при одному киданні полягає в тому, що "решічок" випало менше, ніж "орлів". Усього можливі 8 результатів: РРР, РРО, POP, ОРР, POO, ОРО, OOP, ТОВ (Р – «решка», О – «орел»). Рівно в половині з них «грашок» менше за «орли»: РОО, ОРО, OOP, ТОВ. Значить, p = q = 0,5; Р 7 (3) = З 7 3 ∙ 0,5 3 ∙ 0,5 4 = З 7 3 ∙ 0,5 7 . 08.02.2014 Цибікова Тамара Раднажапівна, вчитель математики 17

Теорема Бернуллі дозволяє … Теорема Бернуллі дозволяє встановити зв'язок між статистичним підходом до визначення ймовірності та класичним визначенням ймовірності випадкової події. Щоб описати цей зв'язок, повернемося до термінів § 50 про статистичну обробку інформації. Розглянемо послідовність з n незалежних повторень однієї й тієї ж випробування з двома результатами - «удачею» і «невдачею». Результати цих випробувань становлять ряд даних, що складається з деякої послідовності двох варіантів: «удачі» і «невдачі». Простіше кажучи, є послідовність довжини n, складена з двох букв У («удача») та Н («невдача»). Наприклад, У, У, Н, Н, У, Н, Н, Н, ..., У або Н, У, У, Н, У, У, Н, Н, У, ..., Н і т.д. п. Підрахуємо кратність і частоту варіанти У, т. е. знайдемо дріб k/n , де k - кількість "удач", що зустрілися серед усіх n повторень. Виявляється, що з необмеженому зростанні n частота k/n появи «успіхів» буде практично не відрізняється від ймовірності p «успіху» щодо одного випробуванні. Цей складний математичний факт виводиться саме з теореми Бернуллі. 08.02.2014 Цибікова Тамара Раднажапівна, учитель математики 18

ТЕОРЕМА 4. При великому числі незалежних повторень ТЕОРЕМА 4. При великому числі незалежних повторень одного й того ж випробування частота появи випадкової події А з дедалі більшою точністю приблизно дорівнює ймовірності події А: k/n ≈ Р(А). Наприклад, при n > 2000 з ймовірністю більшою ніж 99% можна стверджувати, що абсолютна похибка | k/n - Р(А)| наближеної рівності k/n Р(А) буде менше 0,03. Тому за соціологічних опитуваннях досить буває опитати близько 2000 випадково обраних людей (респондентів). Якщо, припустимо, 520 із них позитивно відповіли на задане питання, то k/n=520/2000=0,26 і майже достовірно, що з будь-якого більшого числаопитаних така частота буде в межах від 0,23 до 0,29. Це явище називають явищем статистичної стійкості. Отже, теорема Бернуллі та наслідки з неї дозволяють (наближено) знаходити ймовірність випадкової події у тих випадках, коли її явне обчислення неможливе. 08.02.2014 Цибікова Тамара Раднажапівна, учитель математики 19

Для вчителя 08.02.2014 Цибікова Тамара Раднажапівна, вчитель математики 20

08.02.2014 Цибікова Тамара Раднажапівна, учитель математики 21

08.02.2014 Цибікова Тамара Раднажапівна, вчитель математики 22

Джерела Алгебра та початку аналізу, 10-11 класи, Частина 1. Підручник, 10-е вид. (Базовий рівень), А.Г.Мордкович, М., 2009 Алгебра та початки аналізу, 10-11 класи. (Базовий рівень) Методичний посібник для вчителя, А.Г.Мордкович, П.В.Семенов, М., 2010 Таблиці складені в MS Word та MS Excel. Інтернет-ресурси Цибікова Тамара Раднажапівна, вчитель математики 08.02.2014 23

Попередній перегляд:

Щоб користуватися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис ( обліковий запис) Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

Слайд 1
Глава 9. Елементи математичної статистики, комбінаторики та теорії ймовірностей
§54. Випадкові події та їх вероятности3. НЕЗАЛЕЖНІ ПОВТОРЕННЯ ВИПРОБУВАНЬ. ТЕОРЕМА БЕРНУЛИ І СТАТИСТИЧНА СТІЙКІСТЬ.

Слайд 2
Зміст
ПРИКЛАД 5. Імовірність попадання в мішень при одному пострілі …Рішення 5а); Рішення 5б); Рішення 5в); ).
ПРИКЛАД 6. У кожному з пунктів а) - г) визначити значення n, k, p, q і виписати (без обчислень) вираз для шуканої ймовірності Pn(k).Рішення 6а);Рішення 6б);Рішення 6в);Рішення 6г ). Теорема Бернуллі дозволяє ... ТЕОРЕМА 4. При великій кількості незалежних повторень ... Для вчителя. Джерела.
08.02.2014
Цибікова Тамара Раднажапівна, учитель математики
*

Слайд 3
3. НЕЗАЛЕЖНІ ПОВТОРЕННЯ ВИПРОБУВАНЬ. ТЕОРЕМА БЕРНУЛИ І СТАТИСТИЧНА СТІЙКІСТЬ.
Частина 3
08.02.2014
Цибікова Тамара Раднажапівна, учитель математики
*

Слайд 4
ПРИКЛАД 5. Імовірність попадання в ціль при одному пострілі
Дещо змінимо попередній приклад: замість двох різних стрільців по мішені буде стріляти один і той же стрілок. Було зроблено 3 незалежні один від одного постріли. Знайти ймовірність того, що мета: а) буде вражена тричі; б) не буде вражена; в) буде вражена хоча б раз; г) буде вражена рівно один раз.
08.02.2014
Цибікова Тамара Раднажапівна, учитель математики
*

Слайд 5
Рішення прикладу 5а)
Приклад 5. Імовірність влучення в ціль за одного пострілу дорівнює 0,8. Було зроблено 3 незалежні один від одного постріли. Визначити можливість, що мета: а) буде вражена тричі;
08.02.2014
Цибікова Тамара Раднажапівна, учитель математики
*

Слайд 6
Рішення прикладу 5б)
Приклад 5. Імовірність влучення в ціль за одного пострілу дорівнює 0,8. Було зроблено 3 незалежні один від одного постріли. Знайти ймовірність того, що мета: б) не буде вражена; Рішення:
08.02.2014
Цибікова Тамара Раднажапівна, учитель математики
*

Слайд 7
Рішення прикладу 5в)
Приклад 5. Імовірність влучення в ціль за одного пострілу дорівнює 0,8. Було зроблено 3 незалежні один від одного постріли. Знайти ймовірність того, що мета: в) буде вражена хоча б раз; Рішення:
08.02.2014
Цибікова Тамара Раднажапівна, учитель математики
*

Слайд 8
Рішення прикладу 5г)
Приклад 5. Імовірність влучення в ціль за одного пострілу дорівнює 0,8. Було зроблено 3 незалежні один від одного постріли. Знайти ймовірність того, що мета: г) буде вражена рівно один раз.
08.02.2014
Цибікова Тамара Раднажапівна, учитель математики
*

Слайд 9
Зауважимо
Рішення, наведене в пункті г) прикладу 5, у конкретному випадку повторює доказ знаменитої теореми Бернуллі, яка відноситься до однієї з найбільш поширених імовірнісних моделей: незалежних повторень одного й того ж випробування з двома можливими наслідками. Відмінна особливість багатьох ймовірнісних завдань полягає в тому, що випробування, в результаті якого може наступити подія, що цікавить нас, можна багаторазово повторювати.
08.02.2014
Цибікова Тамара Раднажапівна, учитель математики
*

Слайд 10
У всій серії повторень важливо знати
У кожному з таких повторень нас цікавить питання про те, чи відбудеться чи не станеться ця подія. А у всій серії повторень нам важливо знати, скільки саме разів може статися чи не статися ця подія. Наприклад, гральний кубик кинули десять разів поспіль. Яка ймовірність того, що «четвірка» випаде рівно тричі? Зроблено 10 пострілів; яка ймовірність того, що буде рівно 8 попадань у ціль? Або яка ймовірність того, що при п'яти киданнях монети «орел» випаде рівно 4 рази?
08.02.2014
Цибікова Тамара Раднажапівна, учитель математики
*

Слайд 11
Якоб Бернуллі об'єднав приклади та питання
Швейцарський математик початку XVIII століття Якоб Бернуллі об'єднав приклади та питання такого типу в єдину ймовірнісну схему. Нехай ймовірність випадкової події А при проведенні деякого випробування дорівнює Р(А). Будемо розглядати це випробування як випробування тільки з двома можливими наслідками: один результат полягає в тому, що подія А відбудеться, а інший результат полягає в тому, що подія А не відбудеться, тобто станеться подія Ᾱ. Для стислості назвемо перший результат (настання події А) «успіхом», а другий результат (настання події Ᾱ) «невдачею». Імовірність Р(А) «успіху» позначимо p, а ймовірність Р(Ᾱ) «невдачі» позначимо q. Отже, q = Р(Ᾱ) = 1 - Р(А) = 1 - р.
08.02.2014
Цибікова Тамара Раднажапівна, учитель математики
*

Слайд 12
ТЕОРЕМА 3 (теорема Бернуллі)
Теорема 3 (теорема Бернуллі). Нехай Pn(k) - ймовірність настання рівно k «успіхів» у n незалежних повтореннях того самого випробування. Тоді Pn(k)= Сnk pk qn-k, де р – ймовірність «успіху», a q=1-р – ймовірність «невдачі» в окремому випробуванні. Ця теорема (ми наводимо її без доказу) має величезне значення і для теорії та для практики.
08.02.2014
Цибікова Тамара Раднажапівна, учитель математики
*

Слайд 13
ПРИКЛАД 6.
Приклад 6. У кожному з пунктів а) - г) визначити значення n, k, р, q і виписати (без обчислень) вираз для ймовірності Pn(k).а) Чому дорівнює ймовірність появи рівно 7 «орлів» при 10 киданнях монети? б) Кожен із 20 осіб незалежно називає один із днів тижня. «Невдалими» днями вважаються понеділок та п'ятниця. Яка ймовірність того, що "удач" буде рівно половина? в) Кидання кубика "вдало", якщо випадає 5 або 6 очок. Яка ймовірність того, що рівно 5 кидань із 25 будуть «вдалими»? г) Випробування полягає в одночасному киданні трьох різних монет. «Невдача»: «грашок» більше, ніж «орлів». Яка ймовірність того, що буде рівно три «удачі» серед 7 кидань?
08.02.2014
Цибікова Тамара Раднажапівна, учитель математики
*

Слайд 14
Рішення 6а)
Приклад 6. У кожному з пунктів а) - г) визначити значення n, k, р, q і виписати (без обчислень) вираз для ймовірності Pn(k).а) Чому дорівнює ймовірність появи рівно 7 «орлів» при 10 киданнях монети?Рішення:
08.02.2014
Цибікова Тамара Раднажапівна, учитель математики
*

Слайд 15
Рішення 6б)
Приклад 6. У кожному з пунктів а) - г) визначити значення n, k, р, q і виписати (без обчислень) вираз для ймовірності Pn(k).б) Кожен з 20 осіб незалежно називає один з днів тижня. «Невдалими» днями вважаються понеділок та п'ятниця. Яка ймовірність того, що «удач» буде рівно половина?
08.02.2014
Цибікова Тамара Раднажапівна, учитель математики
*

Слайд 16
Рішення 6в)
Приклад 6. У кожному з пунктів а) - г) визначити значення n, k, р, q і виписати (без обчислень) вираз для ймовірності Pn(k).в) Кидання кубика «вдало», якщо випадає 5 або 6 очок . Яка ймовірність того, що рівно 5 кидань з 25 будуть «вдалими»?
08.02.2014
Цибікова Тамара Раднажапівна, учитель математики
*

Слайд 17
Рішення 6г)
Приклад 6. У кожному з пунктів а) - г) визначити значення n, k, р, q і виписати (без обчислень) вираз для ймовірності Pn(k).г) Випробування полягає в одночасному киданні трьох різних монет. «Невдача»: «грашок» більше, ніж «орлів». Яка ймовірність того, що буде рівно три «удачі» серед 7 кидань?Рішення: г) n = 7, k = 3. «Удача» при одному киданні полягає в тому, що «решічок» випало менше, ніж «орлів». Усього можливі 8 результатів: РРР, РРО, POP, ОРР, POO, ОРО, OOP, ТОВ (Р – «решка», О – «орел»). Рівно в половині з них «грашок» менше за «орли»: РОО, ОРО, OOP, ТОВ. Значить, p = q = 0,5; Р7(3) = С73 ∙ 0,53 ∙ 0,54 = С73 ∙ 0,57.
08.02.2014
Цибікова Тамара Раднажапівна, учитель математики
*

Слайд 18
Теорема Бернуллі дозволяє…
Теорема Бернуллі дозволяє встановити зв'язок між статистичним підходом до визначення ймовірності та класичним визначенням ймовірності випадкової події. Щоб описати цей зв'язок, повернемося до термінів § 50 про статистичну обробку інформації. Розглянемо послідовність з n незалежних повторень однієї й тієї ж випробування з двома результатами - «удачею» і «невдачею». Результати цих випробувань становлять ряд даних, що складається з деякої послідовності двох варіантів: «удачі» і «невдачі». Простіше кажучи, є послідовність довжини n, складена з двох букв У («удача») та Н («невдача»). Наприклад, У, У, Н, Н, У, Н, Н, Н, ..., У або Н, У, У, Н, У, У, Н, Н, У, ..., Н і т.д. п. Підрахуємо кратність і частоту варіанти У, т. е. знайдемо дріб k/n, де k - кількість «удач», що зустрілися серед усіх n повторень. Виявляється, що з необмеженому зростанні n частота k/n появи «успіхів» буде практично не відрізняється від ймовірності p «успіху» щодо одного випробуванні. Цей складний математичний факт виводиться саме з теореми Бернуллі.
08.02.2014
Цибікова Тамара Раднажапівна, учитель математики
*

Слайд 19
ТЕОРЕМА 4. При великій кількості незалежних повторень
ТЕОРЕМА 4. При великій кількості незалежних повторень одного і того ж випробування частота появи випадкової події А з дедалі більшою точністю приблизно дорівнює ймовірності події А: k/n≈ Р(А). Наприклад, при n > 2000 з ймовірністю більшою ніж 99% можна стверджувати, що абсолютна похибка |k/n- Р(А)| наближеної рівності k/n Р(А) буде менше 0,03. Тому за соціологічними запитаннями досить буває опитати близько 2000 випадково обраних людей (респондентів). Якщо, припустимо, 520 їх позитивно відповіли на задане питання, то k/n=520/2000=0,26 і достовірно, що з будь-якого більшого числа опитаних така частота перебуватиме у межах від 0,23 до 0,29. Це явище називають явищем статистичної стійкості. Отже, теорема Бернуллі та наслідки з неї дозволяють (наближено) знаходити ймовірність випадкової події в тих випадках, коли її явне обчислення неможливе.
08.02.2014
Цибікова Тамара Раднажапівна, учитель математики
*

Слайд 20
Для вчителя
08.02.2014
Цибікова Тамара Раднажапівна, учитель математики
*

Слайд 21
08.02.2014
Цибікова Тамара Раднажапівна, учитель математики
*

Слайд 22
08.02.2014
Цибікова Тамара Раднажапівна, учитель математики
*

Слайд 23
Джерела
Алгебра та початку аналізу, 10-11 класи, Частина 1. Підручник, 10-е вид. (Базовий рівень), А.Г.Мордкович, М., 2009Алгебра та початки аналізу, 10-11 класи. (Базовий рівень) Методичний посібник для вчителя, А.Г.Мордкович, П.В.Семенов, М., 2010Таблиці складені в MS Word та MS Excel.Інтернет-ресурси
Цибікова Тамара Раднажапівна, учитель математики
08.02.2014
*

Слайд 1

Теорема Бернуллі
17.03.2017

Слайд 2

Виготовляється серія n незалежних випробувань. У кожного випробування 2 результати: A - "успіх" та - "неуспіх". Імовірність "успіху" у кожному випробуванні однакова і дорівнює P(A) = p Відповідно, ймовірність "неуспіху" також не змінюється від досвіду до досвіду і дорівнює.
Схема Бернуллі
Яка ймовірність того, що в серії з n дослідів k разів настане успіх? Знайти Pn(k).

Слайд 3

Монета кидається n разів. З колоди виймається карта n разів, причому щоразу карта повертається, колода перемішується. Досліджується n виробів деякого виробництва, навмання обрані, на якість. Стрілець стріляє по мішені n разів.
Приклади

Слайд 4

Поясніть, чому такі питання укладаються у схему Бернуллі. Вкажіть, у чому «успіх» і до чого рівні n і k. а) Якою є ймовірність триразового випадання «двійки» при десяти киданнях грального кубика? б) Яка ймовірність того, що при ста киданнях монети «орел» з'явиться 73 рази? в) Двадцять разів поспіль кинули пару гральних кубиків. Яка ймовірність того, що сума очок жодного разу не дорівнювала десяти? г) З колоди в 36 карт витягли три карти, записали результат і повернули їх у колоду, потім карти перемішали. Так повторювалося чотири рази. Яка ймовірність того, що кожного разу серед витягнутих карт була дама пік?

Слайд 5

Для числа поєднань з n до k справедлива формула
Наприклад:

Слайд 6

Теорема Бернуллі
Імовірність Pn(k) настання рівно k успіхів у n незалежних повтореннях одного й того ж випробування знаходиться за формулою, де p – ймовірність «успіху», q = 1- p – ймовірність «невдачі» в окремому досвіді.

Слайд 7

Монета кидається 6 разів. Яка можливість випадання герба 0, 1, …6 разів? Рішення. Число дослідів n=6. Подія А - "успіх" - випадання герба. За формулою Бернуллі необхідна ймовірність дорівнює
;
;
;
;
;
;

Слайд 8

Монета кидається 6 разів. Яка можливість випадання герба 0, 1, …6 разів? Рішення. Число дослідів n=6. Подія А - "успіх" - випадання герба.
;
;
;
;
;
;

Слайд 9

Монета кидається 10 разів. Яка ймовірність дворазової появи герба? Рішення. Число дослідів n=10, m=2. Подія А - "успіх" - випадання герба. За формулою Бернуллі необхідна ймовірність дорівнює
;
;
;
;
;
;

Слайд 10

В урні 20 білих та 10 чорних куль. Вийняли 4 кулі, причому кожну вийняту кулю повертають в урну перед вилученням наступного і кулі в урні перемішують. Знайти ймовірність того, що з чотирьох вийнятих куль виявиться 2 білих. Рішення. Подія А – дістали біла куля. Тоді ймовірності За формулою Бернуллі необхідна ймовірність дорівнює

Слайд 11

Визначити ймовірність того, що у сім'ї, яка має 5 дітей, немає дівчаток. Імовірності народження хлопчика та дівчинки передбачаються однаковими. Рішення. Імовірність народження дівчинки, хлопчика За формулою Бернуллі необхідна ймовірність дорівнює

Слайд 12

Визначити ймовірність того, що у сім'ї, яка має 5 дітей, буде одна дівчинка. Імовірності народження хлопчика та дівчинки передбачаються однаковими. Рішення. Імовірність народження дівчинки, хлопчика За формулою Бернуллі необхідна ймовірність дорівнює

Слайд 13

Визначити ймовірність того, що у сім'ї, яка має 5 дітей, буде дві дівчинки. Рішення. Імовірність народження дівчинки, хлопчика За формулою Бернуллі необхідна ймовірність дорівнює

Слайд 14

Визначити ймовірність того, що у сім'ї, яка має 5 дітей, буде три дівчинки. Рішення. Імовірність народження дівчинки, хлопчика За формулою Бернуллі необхідна ймовірність дорівнює

Слайд 15

Визначити ймовірність того, що в сім'ї, яка має 5 дітей, буде не більше трьох дівчаток. Імовірності народження хлопчика та дівчинки передбачаються однаковими. Рішення. Імовірність народження дівчинки, хлопчика.
.

Слайд 16

Серед деталей, які обробляє робітник, буває в середньому 4% нестандартних. Знайти ймовірність того, що серед взятих на випробування 30 деталей дві будуть нестандартними. Рішення. Тут досвід полягає у перевірці кожної із 30 деталей на якість. Подія А – «поява нестандартної деталі»,

«Елементи математичної статистики» – довірчий інтервал. Наука. Класифікація гіпотез. Деталі виготовляються на різних верстатах. правила перевірки. Кореляційна залежність. Залежність. Сукупність значень критерію. Знайти довірчий інтервал. Розрахунок довірчих інтервалів за невідомої дисперсії. Нормальний розподіл.

«Вірогідність та математична статистика» - Точність набутих значень. Шифр для сейфа. Описова статистика. Яблуко. Розглянемо події. Правило множення. Дві стрілки. Порівняння навчальних програм. Карамель. Приклади стовпчастих діаграм. Відмітки з математики. Правило множення для трьох. Білі та червоні троянди. 9 різних книг. Зимові канікули.

«Основи математичної статистики» - умовна ймовірність. Таблиця стандартизованих значень. Властивості розподілу Стьюдента. Довірчий інтервал математичного очікування. Вибіркове середнє. Розподіл. Одне випробування можна як серію з одного випробування. Квантиль – лівіше має розташовуватися кількість значень, відповідне індексу квантили.

«Теорія ймовірності та статистика» - Межі інтервалу. Критичні сфери. Теорема множення ймовірностей. Розподіл нормальної випадкової величини. Висновок формули Бернуллі. Закони розподілу випадкових величин. Формулювання ЗБЛ. Сенс та формулювання центральної граничної теореми. Зв'язок номінальних ознак. Стохастична залежність двох випадкових величин.

«Статистичне дослідження» – Актуальність. Статистичні характеристики та дослідження. План. Розмах – це різниця найбільшого та найменшого значень низки даних. Види статистичного спостереження. Чи подобається тобі займатися вивченням математики. Розглянемо ряд чисел. Хто тобі допомагає розібрати важку тему з математики. Чи потрібна математика у майбутній вашій професії.

«Основні статистичні характеристики» – основні статистичні характеристики. Знайдіть середнє арифметичне. Петроній. Розмах. Мода серії. Середнє арифметичне ряд чисел. Розмах ряду. Медіана ряду. Статистика. Медіана. Шкільні зошити.

Всього у темі 17 презентацій

ФЕДЕРАЛЬНЕ АГЕНТСТВО З ОСВІТИ

Державний освітній заклад

вищої професійної освіти

«МАТИ» - РОСІЙСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМ. К.Е. ЦІОЛКОВСЬКОГО

Кафедра «Моделювання систем та інформаційні технології»

Повторення випробувань. Схема бернуллі

Методичні вказівки до практичних занять

з дисципліни «Вища математика»

Упорядники: Єгорова Ю.Б.

Мамонов І.М.

Москва 2006 введення

Методичні вказівки призначені для студентів денного та вечірнього відділення факультету №14 спеціальностей 150601, 160301, 230102. Вказівки виділяють основні поняття теми, визначають послідовність вивчення матеріалу. Велика кількість розглянутих прикладів допомагає у практичному освоєнні теми. Методичні вказівки є методичною основою для практичних занять та виконання індивідуальних завдань.

СХЕМА БЕРНУЛЛІ. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛІ

Схема Бернуллі- схема повторних незалежних випробувань, за якої якась подія Аможе багаторазово повторюватися з постійною ймовірністю Р (А)= р .

Приклади випробувань, що проводяться за схемою Бернуллі: багаторазове підкидання монети або гральної кістки, виготовлення партії деталей, стрілянина по мішені тощо.

Теорема.Якщо ймовірність настання події Ау кожному випробуванні постійна і рівна р, то ймовірність того, що подія Анастане mраз на nвипробуваннях (байдуже в якій послідовності), можна визначити за формулою Бернуллі:

де q = 1 – p.

ПРИКЛАД 1.Імовірність того, що витрата електроенергії протягом однієї доби не перевищить встановленої норми, дорівнює р= 0,75. Знайти ймовірність того, що протягом найближчих 6 діб витрата електроенергії протягом 4 діб не перевищить норми.

РІШЕННЯ. Імовірність нормальної витрати електроенергії протягом кожної з 6 діб постійна і дорівнює р= 0,75. Отже, ймовірність перевитрати електроенергії щодня також постійна і дорівнює q = 1р = 1  0,75 = 0,25.

Шукана ймовірність за формулою Бернуллі дорівнює:

ПРИКЛАД 2.Стрілець робить по мішені три постріли. Імовірність попадання в ціль при кожному пострілі дорівнює р= 0,3. Визначити можливість, що вражена: а) одна мета; б) усі три мішені; в) жодної мішені; г) хоча одна мета; д) менше двох мішеней.

РІШЕННЯ. Імовірність попадання в ціль при кожному пострілі постійна і рівна р=0,75. Отже, ймовірність промаху дорівнює q = 1 р= 1 - 0,3 = 0,7. Загальна кількість проведених дослідів n=3.

а) Імовірність ураження однієї мішені при трьох пострілах дорівнює:

б) Імовірність ураження всіх трьох мішеней при трьох пострілах дорівнює:

в) Імовірність трьох промахів при трьох пострілах дорівнює:

г) Імовірність поразки хоча б однієї мішені при трьох пострілах дорівнює:

д) Імовірність ураження менше двох мішеней, тобто або однієї мішені, або жодної:

1. Локальна та інтегральна теореми муавра-лапласу

Якщо зроблено велику кількість випробувань, то обчислення ймовірностей за формулою Бернуллі стає технічно складним, оскільки формула потребує дій над великими числами. Тому існують простіші наближені формули для обчислення ймовірностей при великих n. Ці формули називаються асимптотичними та визначаються теоремою Пуассона, локальною та інтегральною теоремою Лапласа.

Локальна теорема Муавра Лапласа. А Астанеться mраз на n n (n →∞ ), приблизно дорівнює:

де функція
а аргумент

Чим більше n, Тим точніше обчислення ймовірностей. Тому теорему Муавра-Лапласа доцільно застосовувати при npq  20.

f ( x ) складено спеціальні таблиці (див. додаток 1). При використанні таблиці необхідно мати на увазі властивості функції f(x) :

Функція f(x)є парною f(  x) = f(x) .

При х ∞ функція f(x) 0. Практично можна вважати, що вже при х>4 функція f(x) ≈0.

ПРИКЛАД 3.Знайти ймовірність того, що подія Анастане 80 разів у 400 випробуваннях, якщо ймовірність появи події Ау кожному випробуванні дорівнює р= 0,2.

РІШЕННЯ. За умовою n=400, m=80, p=0,2, q=0,8. Отже:

За таблицею визначимо значення функції f (0)=0,3989.

Інтегральна теорема Муавра-Лапласа.Якщо ймовірність настання події Ау кожному випробуванні постійна і відмінна від 0 і 1, то ймовірність того, що подія Астанеться від m 1 до m 2 раз на n випробуваннях при досить великій кількості n (n →∞ ), приблизно дорівнює:

де
 інтеграл або функція Лапласа,

Для знаходження значень функції Ф( x ) складено спеціальні таблиці (наприклад, див. додаток 2). При використанні таблиці необхідно мати на увазі властивості функції Лапласа Ф(x) :

Функція Ф(x)є непарною Ф(  x)=  Ф(x) .

При х ∞ функція Ф(x) 0,5. Практично можна вважати, що вже при х>5 функція Ф(x) ≈0,5.

Ф (0)=0.

ПРИКЛАД 4.Імовірність того, що деталь не пройшла перевірку ВТК, дорівнює 0,2. Знайти ймовірність того, що серед 400 деталей виявиться неперевіреним від 70 до 100 деталей.

РІШЕННЯ. За умовою n=400, m 1 =70, m 2 =100, p=0,2, q=0,8. Отже:

За таблицею, у якій наведено значення функції Лапласа, визначаємо:

Ф(x 1 ) = Ф(  1,25 )=  Ф( 1,25 )=  0,3944; Ф(x 2 ) = Ф( 2,5 )= 0,4938.

Проводиться серія незалежних випробувань,
кожному з яких можливо 2 результати,
які умовно назвемо Успіх та Невдача.
Наприклад, студент складає 4 іспити, у кожному
з яких можливе 2 результати Успіх: студент
склав іспит і Невдача: не склав.

Імовірність Успіху в кожному випробуванні дорівнює
p. Імовірність Невдачі дорівнює q = 1-p.
Потрібно знайти ймовірність того, що в серії
з n випробувань успіх настане m разів
Pn(m)

Bm Ó Ó ... Ó Í ... Í
Í Ó ... Ó Í ... Í ...
Í Í ... Í Ó ... Ó
У кожному випадку успіх відбувається m разів, а
Невдача (n-m) разів.
Число
всіх
комбінацій
одно
числу
способів з n випробувань вибрати ті m,
яких був успіх, тобто. C m
n

Імовірність кожної такої комбінації щодо
теоремі
про
множенні
ймовірностей
складе Pmqn-m.
Оскільки ці комбінації несумісні, то
шукана ймовірність події Bm буде
Pn (m) p q
m
n m
... p q
m
n m
âñåãî C ñëàãàåì û õ C p q
m
n
m
n
m
n m

Pn (m) C p q
m
n
m
n m

Відомо, якщо монета впаде орлом, то студент
йде в кіно, якщо монета впаде решкою

студентів. Яка ймовірність, що
1) троє з них опиняться на лекції
2) на лекції виявиться не менше 3 студентів
2) хоча б один із студентів потрапить на лекцію?

1) У цій задачі проводиться серія з n=5
незалежних випробувань. Назвемо Успіхом
похід на лекцію (випадання решки) та
Невдачею – похід у кіно (випадання герба).
p=q=1/2.
За формулою Бернуллі знаходимо ймовірність того,
що при 5 киданнях монети тричі станеться
успіх:
3
2
1 1
P5 (3) C
2 2
5! 1 1
1
10
0,3125
3!2! 8 4
32
3
5

Щоб знайти ймовірність того, що при 5 киданнях
хоча б один раз монета випаде рішкою,
перейдемо до ймовірності протилежного
події - монета усі 5 разів випаде гербом:
Р5(0).
Тоді ймовірність буде: Р=1- Р5(0).
За формулою Бернуллі:
0
5
1 1
P5 (0) C
2 2
0
5
5
1
0,03125
2

Тоді ймовірність шуканої події становитиме
P 1 0.03125 0,96875

Бернуллі
студент йде
у кіно, якщо монета впаде решкою ​​– студент йде на
лекцію. Монету покинуло 5 студентів. Яке найбільше
Чи можлива кількість студентів, які йдуть на лекцію?
Ймовірність
виграшу по 1 квитку дорівнює 0,2. Яке найбільше
ймовірна кількість квитків, що виграли?

Найімовірніше число успіхів у схемі
Бернуллі

np q k np p

Найімовірніше число успіхів у схемі
Бернуллі
Формула для найбільш ймовірної кількості успіхів
np q k np p
Якщо np-q– ціле число, то цьому інтервалі лежить 2
цілих числа. Обидва рівноймовірні.
Якщо np-q – неціле число, то цьому інтервалі лежить 1
ціле число

Найімовірніше число успіхів у схемі
Бернуллі
Приклад Відомо, якщо монета впаде орлом,

– студент іде на лекцію. Монету кинуло 5

студентів, які йдуть на лекцію?
np q k np p
n 5
1
p q
2

Найімовірніше число успіхів у схемі
Бернуллі
Приклад Відомо, якщо монета впаде орлом,
студент йде в кіно, якщо монета впаде решкою
– студент іде на лекцію. Монету кинуло 5
студентів. Яке найбільш імовірне число
студентів, які йдуть на лекцію?
np q k np p
n 5
1
p q
2
1 1
np q 5 2
2 2
1 1
np p 5 3
2 2

Найімовірніше число успіхів у схемі
Бернуллі
Приклад Відомо, якщо монета впаде орлом,
студент йде в кіно, якщо монета впаде решкою
– студент іде на лекцію. Монету кинуло 5
студентів. Яке найбільш імовірне число
студентів, які йдуть на лекцію?
np q k np p
n 5
1
p q
2
1 1
np q 5 2
2 2
1 1
np p 5 3
2 2
2 k 3 k 2, k 3

Найімовірніше число успіхів у схемі
Бернуллі
Приклад Відомо, якщо монета впаде орлом,
студент йде в кіно, якщо монета впаде решкою
– студент іде на лекцію. Монету кинуло 5
студентів. Яке найбільш імовірне число
студентів, які йдуть на лекцію?
2
3
3
2
5
1 1
1 10 5
P5 (2) C52 10
32 16
2 2
2
5
1 1
1 10 5
P5 (3) C53 10
32 16
2 2
2

Найімовірніше число успіхів у схемі
Бернуллі
Приклад Відомо, якщо монета впаде орлом,
студент йде в кіно, якщо монета впаде решкою
– студент іде на лекцію. Монету кинуло 5
студентів. Яке найбільш імовірне число
студентів, які йдуть на лекцію?
ймовірність, Pn(k)
Ймовірність числа студентів, які відвідали
лекцію
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
кількість студентів, k
4
5

Найімовірніше число успіхів у схемі
Бернуллі
Приклад Куплено 10 лотерейних квитків.


квитків?
np q k np p
n 10
p 0,2 q 0,8

Найімовірніше число успіхів у схемі
Бернуллі
Приклад Куплено 10 лотерейних квитків.
Імовірність виграшу по 1 квитку дорівнює 0,2.
Яка найбільш ймовірна кількість переможених
квитків?
np q k np p
n 10
p 0,2 q 0,8
np q 10 0,2 0,8 1,2
np p 10 0,2 0,2 ​​2,2

Найімовірніше число успіхів у схемі
Бернуллі
Приклад Куплено 10 лотерейних квитків.
Імовірність виграшу по 1 квитку дорівнює 0,2.
Яка найбільш ймовірна кількість переможених
квитків?
np q k np p
n 10
p 0,2 q 0,8
np q 10 0,2 0,8 1,2
1, 2 до 2, 2
np p 10 0,2 0,2 ​​2,2
k 2

Найімовірніше число успіхів у схемі
Бернуллі
Приклад Куплено 10 лотерейних квитків.
Імовірність виграшу по 1 квитку дорівнює 0,2.
Яка найбільш ймовірна кількість переможених
квитків?
P10 (2) C 0, 2 0,8
2
10
2
8
45 0, 04 0,16777216=
=0,301989888

Найімовірніше число успіхів у схемі
Бернуллі
Приклад Куплено 10 лотерейних квитків.
Імовірність виграшу по 1 квитку дорівнює 0,2.
Яка найбільш ймовірна кількість переможених
квитків?
Ймовірність числа виграшних квитків
ймовірність, Pn(k)
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
4
5
6
кількість квитків, k
7
8
9
10

Найімовірніше число успіхів у схемі
Бернуллі


Укладено 10 договорів

виплатити страхову суму

одному з договорів

ніж за трьома договорами
г) знайти найбільш ймовірну кількість договорів, за
яким доведеться виплатити страхову суму

Найімовірніше число успіхів у схемі
Бернуллі
Приклад У середньому по 20% страхових договорів
компанія сплачує страхову суму.
Укладено 10 договорів
а) Знайти ймовірність того, що за трьома доведеться
виплатити страхову суму
0,201327

Найімовірніше число успіхів у схемі
Бернуллі
Приклад У середньому по 20% страхових договорів
компанія сплачує страхову суму.
Укладено 10 договорів
б) Страхову суму не доведеться виплачувати ні за
одному з договорів
0,107374

Найімовірніше число успіхів у схемі
Бернуллі
Приклад У середньому по 20% страхових договорів
компанія сплачує страхову суму.
Укладено 10 договорів
в) страхову суму доведеться виплатити не більше,
ніж за трьома договорами
0,753297

Якщо n велике, то використання формули
Pn (m) C p q
m
n
m
n m
важко
Тому застосовуються наближені формули

Теорема: Якщо ймовірність настання події А
у кожному випробуванні близька до нуля,
а число незалежних випробувань n досить велике,
то ймовірність Pn(m) того, що в n незалежних випробуваннях
подія А настане m разів, приблизно дорівнює:
Pn (m)
m
m!
e
де λ=np
Ця формула називається формулою Пуассона (закон рідкісних подій)

Pn (m)
m
m!
e, np
Зазвичай наближену формулу Пуассона застосовують,
коли p<0,1, а npq<10.

Нехай відомо, що при виготовленні деякого препарату
шлюб (кількість упаковок, що не відповідають стандарту)
складає 0,2%. Оцінити приблизно ймовірність того, що
серді 1000 навмання вибраних упаковок виявляться три упаковки,
що не відповідають стандарту.
Pn (k)
k
k!
P1000 (3) ?
e,
np

Нехай відомо, що при виготовленні деякого препарату
шлюб (кількість упаковок, що не відповідають стандарту)
складає 0,2%. Оцінити приблизно ймовірність того, що
серді 1000 навмання вибраних упаковок виявляться три упаковки,
що не відповідають стандарту.
Pn (k)
k
k!
P1000 (3) ?
e, np
np 1000 0,002 2
3
2 2 8
P1000 (3) e 0,135 = 0,18
3!
6

пов'язано трохи більше 5 договорів.

Приклад У середньому по 1% договорів страхова компанія
виплачує страхову суму. Знайти ймовірність того, що з
100 договорів із настанням страхового випадку буде
пов'язано трохи більше 5 договорів.