≡×МЕНЮ

• PОР
• Windows
• Антивірус
• Антивіруси
• Графіка

Знайди масу кожної кулі за мінімальну. Зважуємо кульки

Вітання! Сьогодні я дам відповіді на ваші запитання щодо набору маси. Не тягтимемо, погнали.

Друзі ще раз дякую вам за вашу активність. Я дуже люблю відповідати на ваші запитання та коментарі.

Вони досі продовжують надходити.

Я відповів практично всім, але коли відповідав помітив, що питання повторюються або навпаки, трапляються зовсім рідкісні і цікаві.

Тому для тих, кому не відповів на його повідомлення, вирішив написати цю статтю, т.к. відповіді на ці запитання, впевнений, будуть корисними для багатьох читачів мого блогу.

Харчування для набору м'язової маси – дуже важлива річ!

Справа в тому, що якщо ми харчуватимемося неправильно, то на зростання м'язів можна буде не розраховувати.

Суть у тому, що оскільки ми хочемо збільшити рухові одиниці нашого тіла (м'язи), які споживають велику кількість енергії, необхідно харчуватися більше, ніж ми звикли.

Збільшення м'язів = збільшення енергоспоживання нашого тіла

Думаю тут нічого складного немає.

Нашому тілу потрібно збільшена кількість енергії, що надходить із їжею, т.к. йому необхідно повертати організм у вихідний стан після тренувань (стан гомеостазу), а також збільшувати м'язові клітини (гіпертрофія м'язів), щоб долати подібне навантаження в майбутньому ().

Для всіх цих процесів потрібна енергія.

• Ми споживаємо калорій МЕНШЕ, ніж витрачаємо= тілу не вистачає енергії, і воно палить запаси жиру та м'язів.
• Ми споживаємо калорій СТІЛЬКИ А, скільки витрачаємо= це рівновага (гомеостаз), у якому вистачає калорій, але з приростають м'язи.
• Ми споживаємо калорій БІЛЬШЕ, ніж витрачаємо= енергії вистачає відновлення і зростання нових структур (м'язів і жиру).

З усього цього ми можемо зробити висновок, що нам необхідний надлишок добової калорійності!

Тобто. ми повинні споживати калорій трохи більше, ніж витрачаємо.

Це не говорить про те, що ми повинні жерти все підряд, як не в себе, і ходити свинею, що розжралася, немає.

Ми лише повинні створити невеликий, підконтрольний надлишок енергії в нашому тілі, щоб організм міг спокійно витрачати надлишки енергії на гіпертрофію (зростання) м'язової тканини.

Питання, на мій погляд, правильне і дуже цікаве.

Справа в тому, що, дійсно, досить часто настає такий момент, коли ви починаєте тренуватися набагато більше, а ваші м'язи СТАЮТЬ МЕНШЕ!

Це неможливо демотивує і дратує, т.к. ми витрачаємо енергії більше, а отримуємо натомість менше.

Все це, при неправильному підході, призводить до .

Ми витрачаємо і руйнуємо більше, ніж отримуємо та будуємо.

У результаті навіть найсильніший організм здається і починає давати збій.

Для того, щоб цього уникнути, найголовніше це:

1. Скласти грамотну програму тренувань, яку тіло здатне "перетравити".
2. Споживати потрібну кількість калорій на добу.
3. Спати по 8-10 годин на добу.
4. Допомагати організму потрібними спортивними добавками.

Я відзначив найголовніші, на мою думку, моменти.

Скласти грамотну програму тренувань, яку тіло здатне "перетравити".

Дуже часто новачки, які приходять у тренажерний зал, починаю тренуватися, використовую схеми професійних атлетів, які вони взяли з глянсових журналів.

Як правило, ці схеми розраховані на людей, які вживають стероїди. Справді, коли твої відновлювальні здібності різко зростають у кілька разів, то працює практично будь-яка програма. Натуралам, а, доводиться дуже скрупульозно підходити до вибору тренувальної програми.

Для новачків у мене є «Система вибору індивідуальної програми тренувань», яку можна отримати дуже просто, дотримуючись того, що написано нижче:

Споживати потрібну кількість калорій на добу.

Харчування - це, і справді, не половина, а 60-70% успіху ваших тренувань.

Як ми сказали вище, необхідно створити певний надлишок калорійності, щоб тіло могло собі дозволити витрачати її на ріст м'язів.

Спати по 8-10 годин на добу.

Поки що, ще не придуманий спосіб іншого відновлення організму, як здоровий сон.

Справа в тому, що під час сну в нашому організмі виробляються необхідні для зростання та відновлення гормони, такі як соматотропін (гормон росту), тестостерон та інші.

Все це створює сприятливе тло для м'язового зростання. Інакше, коли сну не вистачає день у день, згодом енергетична, центрально-нервова, серцево-судинна, ендокринна та інші системи можуть дати збій.

Допомагати організму необхідними спортивними добавками.

"Ну ось, знову про свої таблетки розповідає!" – скаже хтось. Ну так, тільки не, а про ті, які справді можуть надати істотну допомогу нашому організму.

Насамперед це:

Цього цілком вистачить для початку.

«Вагове плато» – це річ, яка настає у КОЖНОГО АТЛЕТУ, рано чи пізно.

Той самий момент, коли колишня програма тренувань перестає працювати, вага стоїть на місці, силові не рухаються. Як це подолати, розберемося.

1. Прогресія навантажень.
2. Мікроперіодизація навантажень.
3. Поступове збільшення калорійності раціону.
4. Макроперіодизація навантажень.
5. Спортивні добавки
6. Анаболічні стероїди.

Це те, що спало мені на думку зльоту, насправді, пунктів набагато більше і збільшити масу можна набагато більшою кількістю способів.

Прогресія навантажень- Основа набору м'язової маси.

Якщо зростає навантаження, то м'язам немає сенсу збільшуватися. Багато новачків припускаються дуже багато помилок, та й не тільки новачки, пов'язаних зі збільшенням навантаження або з його відсутністю.

Мікроперіодизація навантажень– це нелінійна спрямованість навантаження у бодібілдингу.

Коли ви просто збільшуєте ваги від тренування до тренування – це варіант ЛІНІЙНОЇ прогресії навантажень.

А коли ви в одне тренування робите 5 підходів до відмови у вправі, в діапазоні 6-8 повторень ДО ВІДМОВИ, а на наступному тренуванні робите цю вправу в діапазоні 15-20 повторень НЕ ДО ВІДМОВИ, то ви використовуєте нелінійну, мікроперіодизовану схему. Точніше, один з їх різновидів.

Мікроперіодизація потрібна з кількох причин:

1. Уникнути перетренованості.
2. Пробити «вагове плато».
3. Гіпертрофія саркоплазми.

Поступове збільшення калорійності раціонутакож може допомогти пробити «вагове плато».

Найчастіше трапляється так, що тренування не може викликати жодних нарікань, але як дізнаєшся про те, чим людина або скільки харчується, то взагалі не розумієш, як вона взагалі щось змогла набрати на такому бідному харчуванні.

Якщо причина цього, то нам потрібно поступово починати збільшувати калорійність нашого раціону, а потім спостерігати, що з цього вийшло.

Макроперіодизація навантажень. Сенс той самий, як і в микропериодизации, різниця лише у ВЕЛИЧИНІ циклу зміни спрямованості навантаження.

Мікроцикли можуть бути від 1-2 днів до місяця в середньому, а макроцикли до року.

Сенс той самий, поступово розвивати паралельно кілька м'язових структур, щоб постійно збільшувати навантаження.

Спортивні добавки. Є спортивні добавки, які дійсно можуть допомогти у зростанні м'язової маси, наприклад, або .

Добавки відносно недорогі, але ефект від них дуже добрий (щодо, звичайно).

Анаболічні стероїди. Через деякий час буде серія статей про різні стимулятори та стероїди, а поки що скажу, що зростання м'язової маси на даних препаратах – річ вкрай виражена і потужна.

Окремі атлети можуть набрати від 5 до 25 кг м'язової ваги за двомісячний курс! Тільки уявіть, наскільки ця потужна зброя, але лише в умілих руках.

Абсолютній більшості людей НІКОЛИ годі було приймати анаболики, т.к. це доля атлетів, які займаються бодібілдингом професійно.

Сподіваюся, мені вдалося відповісти на запитання досить докладно.

Щодо цього існує маса оман.

В інтернеті дуже багато неписьменних «фітнес-тренерів», які радять одразу після тренування завантажуватись вуглеводами чи іншою їжею, бо НЕ ДАЙ БОГ м'язи згорять.

У бодібілдингу часто згадується ідея вузького ВУГЛЕВОДНОГО ВІКНА, яке «відкривається» відразу після тренування, і в цей час організм здатний засвоїти особливо велику кількість поживних речовин. Вуглеводів та білків, особливо.

Ідея виглядає розумною, особливо якщо брати до уваги величезну кількість статей на цей рахунок у різних фітнес-виданнях. Всі рекомендують випивати протеїн або гейнер (рідкі вуглеводи в сильній концентрації з невеликою кількістю білка).

Але вже давно ця ідея мені здавалася трохи перебільшеною.

У 2012-2013 роках я служив в армії, і там у мене не було можливості вживати вуглеводи згідно з теорією «вуглеводного вікна», хоча до цього періоду мого життя я завжди справно її дотримувався.

Вгадайте, що сталося?

Я не втратив у масі ЗАГАЛЬНО НІЧОГО! Сталося навіть навпаки. Я зміг набрати більше м'язової маси, ніж раніше. Дивно, чи не так?

Коли я повернувся з армії, то більше не вантажився швидкими вуглеводами відразу після тренування.

Тепер я завжди просто п'ю воду після тренування, спокійно їду додому, а вже через 1-2 години спокійно їм звичайну їжу. Зазвичай це яйця або м'ясо з овочами.

Я не помічаю жодних негативних змін. І тепер навіть почуваюся краще, т.к. на мій погляд, травлення йде навіть краще, ніж раніше.

Велику роль грає саме ЗАГАЛЬНЕ СПОЖИВАННЯ КАЛОРІЙ, а не один конкретний прийом їжі, друзі.

На мій погляд тут яскраво виражений надлишок калорійності раціону.

Якщо росте живіт, то калорійність раціону значно перевищена.

Думаю, інформації з тієї статті буде більш ніж достатньо.

Способів існує безліч, але найкращі, я вважаю, три:

1. Щотижневий контроль ваги тіла.
2. Відображення у дзеркалі та фотографії.
3. Біоімпедансний аналіз тіла.

Щотижневий контроль ваги тіла. Ми щотижня в той самий день на голодний шлунок проводимо контрольне зважування.

• Якщо наша вага зростає в межах 200-500 грамів на тиждень, то, швидше за все, ми набираємо досить чисту м'язову масу (у новачків маса може рости швидше).
• Якщо вага росте більш ніж на 1 кг на тиждень, то ми набираємо крім м'язів жир теж. Нам потрібно зменшити калорійність.
• Якщо вага не змінюється, ми харчуємося в межах нашої точки відліку, треба трохи збільшити калорійність раціону, поки вага плавно не піде вгору.

Усе це дуже умовно, т.к. на зростання ваги тіла може впливати безліч факторів: вага, вік, генетика, метаболізм, стать і т.д.

Наприклад, віковому атлету буде набагато складніше набрати м'язову масу без жиру, те саме і дівчатам.

Відображення в дзеркалі. Наступний критерій, який можна спиратися.

Сфотографуйтеся на самому початку вашого шляху і фотографуйте себе, наприклад, щотижня в один і той самий час.

За фотографіями ви чітко бачитимете свій прогрес.

Поки ви плавно ростете, ваші м'язи досить рельєфні, прес видно, нічого міняти не потрібно, плавно підвищуємо калорійність та прогресуємо навантаження.

Як тільки ви починаєте плавно запливати жиром, ваш прес перестав бути видно, вам необхідно знизити калорійність і додати фізичну активність (можна додати кардіо).

Так ви зможете зрозуміти, швидкість вашого зростання якісної м'язової маси.

Біоімпедансний аналіз тіла. Досить точний метод, який заснований на діагностиці складу тіла людини за допомогою вимірювання імпедансу (електричного опору ділянок тіла) різних частинахорганізму.

Спочатку біоімпедансметр (прилад, призначений для проведення біоімпедансометрії) був розроблений для реанімації з метою розрахунку кількості введених ліків.

За допомогою біоімпедансметра фахівець зможе оцінити обсяг:

• жирової маси.
• М'язової маси та органів.
• Сполучної тканини (зв'язки, сухожилля тощо).
• Рідини.

За результатами отриманих параметрів можна досить точно визначити нормальну або порушену гідратацію тканин організму, жировий та водно-сольовий обмін.

Для нас найцікавіше те, що ми можемо собі вибрати подальший шлях набору м'язової маси або трохи скоригувати програму харчування.

• При дихальних присіданнях на початковому етапі ноги зростатимуть, за умови збереження найголовнішого правила – прогрес навантаження. Чергування класичних і дихальних присідань буде оптимальним рішенням, т.к. створює залучення більшої кількості м'язових волокон у роботу, що веде за собою велику вироблення анаболічних гормонів (у тому числі, ендогенного тестостерону).
• Так звичайно. Якщо ти ектоморфної статури, то ти можеш їсти складні вуглеводи в передостанній прийом їжі. Але справа не в тому в який прийом їжі ти їх вживаєш, головне це ЗАГАЛЬНЕ СПОЖИВАННЯ КАЛОРІЙ!
• Овочі ти можеш їсти майже без обмежень, т.к. вони мають нульову калорійність та допомагають травленню. З фруктами не так однозначно, т.к. вони містять в основному швидкозасвоювані вуглеводи з високим. Мінімальна кількість для кожного індивідуальна та залежить від індивідуальних особливостей.

У мене є хороша стаття на блозі про те, . Обов'язково почитайте.

Зірочки на ногах (телеангіекстазії), як правило, виникають у людей, у яких є генетична схильність до їх утворення.

Зірочки з'являються під впливом факторів, що провокують:

1. Тривале стояння дома день у день у одному й тому ж позі без руху.
2. Тренування у тренажерному залі.
3. Надлишкова вага.
4. Зловживання саунами та лазнями.
5. Вагітність.

Самі собою, судинні зірочки на ногах – це основний прояв ретикулярного (сітчастого) варикозного розширення вен.

Даний діагноз не вирок, а лише додаткова умова у вашому житті.

Про всяк випадок необхідно звернутися до лікаря – флеболога для встановлення тяжкості захворювання та виявлення всіх супутніх факторів.

Що робити із тренуваннями?

Основна проблема при варикозі – це застій крові.

Ви можете робити БУДЬ-ЯКЕ КАРДІО, яке повністю задіює всі ноги.

Які вправи можна виконувати? НА ВЕРХ ТІЛА БУДЬ-ЯКІ!

З ногами складніше. Найголовніше УНИКАТИ ПАМПІНГУ!

Кровонаповненість може дати розвиток новим телеангіекстазій, що нам не потрібно, тому від високооб'ємного тренінгу краще відмовитися.

Тяжка робота можлива, наприклад, розминка, далі 1-2 підходи важкого присіду, далі 15-20 хвилин кардіо.

Після тренувань у вас має бути втома м'язів ніг, але не наповненість кров'ю.

Якщо відчуття пампінгу все ж таки є, то раджу лягти на підлогу і підняти ноги вгору (наприклад, оперти об стіну), поки кров «не стіче».

Що можна використати додатково?

• Компресійний трикотажза розміром вашої ноги. Купити можна в аптеці, він стискає ноги з усіх боків і не дає розпухати і заливатись.
• Пентоксифілін(Спочатку проконсультуйтеся з лікарем). Робочий препарат коштує недорого.
• Лавенум гель(або гепаринова мазь). Мастити 2 рази на добу. Працює дуже повільно, ефект нагромаджується місяцями.
• Детралекс.Коштує дорого, але робітник.

Тут питання немає, але хотів би сказати, що на моєму блозі дуже багато інформації про схуднення плюс є потужний платний продукт «Екстремальне жироспалювання», який отримав масу позитивних відгуків.

Тому тема схуднення також розглядається на моєму блозі дуже щільно. Просто зараз не сезон)

На цю тему на моєму блогу буде окрема докладна стаття.

Але якщо сказати коротко, то соєвий білок, незважаючи на те, що він максимально наближений за амінокислотним складом до тваринного білка все одно не має повного набору амінокислот.

Фрукти також складаються практично повністю з води та швидкозасвоюваних вуглеводів. Це добре для відновлення енергетичних запасів та глікогену, але не дає необхідної кількості білка для зростання м'язової маси.

Якщо калорій мало і співвідношення БЖУ не зовсім правильне, про зростання м'язової маси можна забути.

Кількість повторень ЗАГАЛЬНО НЕ ВАЖЛИВО, про це я розповідав. Обов'язково прочитайте.

Кількість підходів залежить від вашої тренувальної програми та тренованості. Початківцям достатньо робити 2-3 робочі підходи, а вже потім, зі зростанням тренованості збільшувати кількість робочих підходів.

Допустимо в низькокатаболічному тренінгу ми робимо більше підходів, у високооб'ємному трохи менше. Все це індивідуально, але якщо сказати загалом, то чим вища твоя тренованість, тим більше робочих підходів тобі слід виконувати. І головне, не дуже багато підходів, які якість.

Згодом, за результатами експериментів, ти навчишся розуміти, скільки підходів тобі слід робити.

Дотримуватись потрібно і того, і іншого! Ти можеш набрати потрібну калорійність, якщо їстимеш одні шоколадки, але хіба це правильно?

Кількість калорій говорить про кількість отриманої енергії, а БЖУ говорить про співвідношення отриманих нутрієнтів, з яких будуватиметься подальша життєдіяльність.

Як набрати суху м'язову масу, я розповідав і статтях.

Тут все дуже коротко і лаконічно) Про харчування ми вже з вами говорили у статтях, посилання на які я дав вище.

Набір сухої м'язової маси ми розбирали з вами в моїй статті (посилання на неї трохи вище). Там все докладно розписано.

Якщо хочеться солодкого, можна його собі дозволити, але з урахуванням загальнодобової калорійності раціону і, бажано, перед тренуванням.

Точний рельєф на ногах береться з двох речей:

1. Гіпертрофія м'язів ніг.
2. Зменшення кількості жиру у тілі.

З першим пунктом все просто, хитай ноги і з'явиться рельєф.

Із другим пунктом треба пояснити. Не можна схуднути тільки в «потрібних місцях», жироспалювання в нашому тілі запускається ГОРМОНАМИ, які циркулюють по всьому тілу, запускаючи жироспалювання У ВСІХ КЛІТКАХ!

Інша річ, що в різних тканинах нашого організму знаходиться різне співвідношення АЛЬФА та БЕТА-рецепторів (особливо другого типу), через які гормони взаємодіють з ними.

У стегнах у жінок досить велика кількість альфа-2-адренорецепторів, тому в цих частинах тіла схуднути складніше.

Але нічого не залишається, як поступово знижувати калорійність раціону харчування, щоб викликати жироспаление (про набір маси тоді не йдеться). Також можна задіяти. Це крута добавка, яка допоможе схуднути і трохи посилить сексуальне бажання.

Основні принципи залишаються колишніми, а саме:

1. Прогресія навантаження.
2. Поступове збільшення раціону харчування.
3. Основне навантаження лягає на низ тіла (бо там більше м'язів).
4. Використання мікроперіодизації є обов'язковим (через менструальний цикл).

З приводу того, жир набираєш або м'язи я говорив вище. Найточнішим способом є біоімпедансний аналіз тіла хоча б раз на місяць. Цього буде достатньо, щоб зрозуміти динаміку зростання тих чи інших тканин організму.

У сантиметрах збільшуються обсяги з причин зростання тканин організму під впливом фізичних навантажень, наприклад. Зростання м'язової та жирової тканини (в основному).

Дмитре, дякую за добрі слова! Дуже приємно.

Подібна система живлення (і не одна) буде у моєму новому продукті, зовсім скоро, і навіть більше. Скажу по секрету. Буде розписано АБСОЛЮТНО ВСЕ! Повністю!

А так це тема окремої статті, як мінімум.

Поки що просто постарайся вирахувати свою точку відліку і почні поступово збільшувати калорійність раціону.

Михайле, привіт! Дуже радий, що прогрес іде. Важко сказати, але швидше за все зростання м'язів у тебе вже почалося.

Ціль у тебе цілком реальна. Впевнений, що в тебе вийде.

До попереднього списку тебе включив.

Курс буде дуже крутий! Нічого подібного я ще не робив, та й не бачить ніде.

Привіт Алекс!

Це реально. Потрібно наголосити на вправах в рамах і тренажери. Спробувати гакк-присід, жимаючи ногами лежачи. Поступово зміцнювати поперек гіперекстензією.

У мене теж були проблеми, але з коліном, робив жим ногами і чудово зростав. Потрібно просто трохи промацати те, що працює саме на тобі.

Одночасне спалювання жиру та набір м'язової маси практично не можна реалізувати (без стимуляторів).

Якщо мова про натуральний тренінг, то спочатку я б схуд до 10-12% жиру в організмі (коли чітко видно прес і т.д.), а потім уже почав набирати якісну м'язову масу шляхом прогресії навантажень і поступового збільшення калорійності раціону.

Трохи підсумуємо

Ще раз дякую вам за ваші запитання. Мені було цікаво поспілкуватися з вами вкотре.

Тепер у мене з'явилося практично чітке розуміння, ніж мені доповнити новий курс про набір м'язової маси. Спасибі вам велике!

Не переставайте рости і вдосконалюватись, друзі.

Підписуйтесь на мій інстаграмта інші соціальні мережі.

P.S. Підписуйтесь на оновлення блогу. Далі буде тільки крутіше.

З повагою та найкращими побажаннями, !

Спочатку здавалося, що завдання вирішити неможливо. Дійшов до 11 куль при розподілі вихідної купки на менші: 3-3-3-2.
Якщо перші дві купки дорівнюють 3=3, то порівнюємо будь-які три кулі з них з третьої, якщо знову рівність, то куля, що шукається в двох, що залишилися, знаходиться за 1 зважування з будь-якою звичайною кулею.
Якщо на якомусь із попередніх етапів нерівність, то зважуванням будь-якої з нерівних купок з трьома звичайними кулями знаходиться як купка з 3 куль, так і співвідношення ваг. І далі вирішується за 1 зважування.

Можна ввести позначення:
3+,1 - це означає, що завдання про знаходження кулі в купці з трьох куль вирішується за одне зважування, якщо відомо, легша куля або важча від інших.
Відповідно, 9+,2; 27+,3.

Можна спробувати перебирати варіанти. Пронумеруємо кулі, як зазначено у рішенні: 1,2,3,...,12.
1. Зважуємо будь-які 2 кулі. Є хороший варіант, коли куля - одна з цих двох куль, а є поганий варіант. Далі розглядатимемо погані варіанти.
Виходить завдання 10-, яка не вирішується за 2 зважування ніяк (за 2 ходи вирішується максимум 9+).
2. Зважуємо 1,2 та 3,4. У поганому випадку завдання зводиться до 8-, яка також за 2 ходи не вирішується.
3. 1,2,3 та 4,5,6. При нерівності якомусь етапі завдання вирішується, як було зазначено вище. У поганому випадку після двох рівностей 1,2,3=4,5,6 і 1,2,3=7,8,9 приходимо до завдання 3-, яка не вирішується на 1 хід, що залишився.
4. 1,2,3,4 та 5,6,7,8. Якщо рівність, то в 4 кулях, що залишилися, шуканий знаходиться досить просто за допомогою двох зважувань і можливості використання звичайних куль. Саме цей пункт і не висвітлено коректно у запропонованому рішенні.
а) Можна зважити 9 і 10, якщо рівність, то будь-який з 11-12 з будь-яким із звичайних 1-10.
Якщо нерівність, то зважуємо будь-який із 9-10 з будь-яким із звичайних 1-8 або 11-12.
б) Можна зважити будь-які три з 1-8 і 9,10,11, якщо рівність, то куля - 12.
Якщо нерівність, то куля в 9,10,11 і ми знаємо, важча вона чи легша. Завдання зводиться до 3+ та вирішується за 1 хід.

Якщо першому зважуванні нерівність, то, здавалося б, завдання вирішується. Це обговоримо нижче.
5. 1,2,3,4,5 та 6,7,8,9,10. У поганому варіанті отримуємо нерівність і завдання за 2 ходи, що залишилися, не вирішується (1 хід піде на те, щоб ідентифікувати шукану групу з 4 куль, а завдання 4+ за один хід, що залишився, не вирішується).
6. 1,2,3,4,5,6 та 7,8,9,10,11,12. У поганому випадку за 2 ходи ми дізнаємося тільки групу з 6 куль, де шукана куля. Завдання 6+ за хід, що залишився, не вирішується.

У варіанті 4 мене спочатку бентежило те, що у разі нерівності в першому зважуванні не виходило далі за 1 хід звести завдання до 3+. Звичайний спосіб: розподіл будь-якої з купок 1-4 і 5-8 на дві по 2 кулі та їх зважування дає в поганому випадку завдання 4+. І за 1 хід, що залишився, не вона не наважується.
У наведеному рішенні є вказівка ​​на те, як можна вчинити та вирішити це питання. Можна скористатися запропонованими позначеннями або просто логічно міркувати.
Треба перерозподілити групи 1-4, 5-8 так, щоб у логічно виділених підгрупах залишилося трохи більше 3 куль. І у нас 3 можливі показання ваг: =, >,<, которые могут указывать на искомую группу.
З першої групи прибираємо один шар, припустимо, 1, і переносимо його в другу групу. А з другої переносимо одну кулю, припустимо, 5, в першу. З другої групи замінюємо три кулі, що залишилися, звичайними (6-8 замінюємо на будь-які три з 9-12).
Зважуємо (5,2,3,4 та 1,9,10,11).
а) Співвідношення між масами на чашах зміниться, якщо куля була перенесена на іншу чашу або замінена. Тобто, якщо спостерігається колишнє ставлення, тоді шукана куля в тих, що залишилися на своєму місці, а це 2,3,4. Завдання звелося до 3+.
б) Якщо співвідношення змінилося на рівновагу, це означає, що кулю було прибрано з ваг. Тоді ця вказівка ​​на кулі 6,7,8. Завдання звелося до 3+.
в) Якщо співвідношення змінилося на протилежне, це означає, що кулю було переміщено з однієї чаші на іншу. Тобто. це вказівка ​​на кулі 1 і 5. Зважуванням будь-якої з цих куль з будь-яким звичайним (2-4 або 6-12) знаходиться куля, що шукається.

Подане у відповіді рішення правильне, крім плутанини у першій частині (після рівності у першому зважуванні 1,2,3,4 = 5,6,7,8).

Беремо на кожну чашу ваг по чотири кулі і зважуємо. Назвемо ті кулі про, які ми ТОЧНО знаємо, що вони не те, що ми шукаємо, еталонними.
I) Якщо ваги прийшли в рівновагу, то потрібна куля залишилася в тих чотирьох кулях, які не брали участі у зважуванні. Підозрілими в цьому випадку у нас будуть ті кулі, які не брали участь у першому зважуванні, а еталонними ті, що лежали на шальках терезів.
A) Кладемо на одну чашу терезів дві "підозрілих" кулі, на другу один "підозрілий" і доповнюємо цю чашу однією з еталонних куль.
а) Якщо ваги прийшли в рівновагу, то потрібна куля та, яка залишилася. Зважуємо його з будь-якою з етлонних куль і знаходимо легше він чи важче.
б) Якщо ваги вийшли з рівноваги, то запам'ятовуємо положення ваг (Це важливо, якщо ми хочемо не тільки виявити, але і точно визначити легше потрібну кулю або важче за інші). ДРУГОЮ чашею ту, на якій лежала ОДНА підозріла куля і одна еталонна.

Б) Забираємо одну з "підозрілих" куль з тих двох, які були на одній чаші (На другій чаші, як пам'ятаємо, лежала одна "підозрільна" і одна еталонна), перекидаємо "підозрілу" кулю з другої чаші на першу чашу і доповнюємо другу чашу терезів ще однією еталонною кулею. Таким чином у нас виявляється, що на першій чаші у нас знову ДВА "підозрілих" кулі, а на другій-два еталонних. Зважуємо. Аналізуємо з урахуванням попереднього зважування.
1) ваги прийшли в рівновагу: винна та куля, яку ми зняли з першої чаші терезів. Якщо перша чаша терезів у попередньому зважуванні була вищою, значить він легший за інших, якщо нижче-важчий.
2) Якщо ваги не змінили свого стану, значить "винна" та куля, з першої чаші терезів, яку ми не чіпали. Якщо в попередньому зважуванні перша чаша терезів була вищою за другу, значить він легший за інших, якщо нижче-важчий.
3) Якщо ваги прийшли в стан протилежний тому, що було в попередньому зважуванні, значить "винний" "підозрілий" з другої чаші, яку ми перенесли на першу чашу. Якщо Перша чаша у попередньому зважуванні була
вище другий, значить куля важча інших, якщо нижче-важче.

II) Терези вийшли з рівноваги.
Переносимо з однієї чаші ДВА "підозрілих" кулі з однієї чаші терезів на іншу, а з другої чаші переносимо ОДИН підозрілий шар. Так ми ділимо кулі на трійки. Зважуємо.

Газалова Вікторія та Попова Марина

У цій роботі представлені цікаві методи вирішення завдань на переливання та зважування. Цей матеріал можна використовувати під час підготовки до олімпіад з предмета.

Завантажити:

Попередній перегляд:

1. Актуалізація
2. Завдання на зважування
3. Завдання на переливання
4. Висновок
5. Література

Актуальність дослідження

Математичні завдання на переливання та зважування відомі з давніх-давен. Нині їх можна зустріти в олімпіадних завданнях чи комп'ютерних іграх – головоломках. Класична задача про фальшиві монети (ФМ) останнім часом знайшла застосування в теорії кодування та інформації – для виявлення помилки в коді. Мета нашої роботи – знайти та описати алгоритми вирішення таких завдань. Завдання на переливання та зважування відносяться до типу задач комбінаторного пошуку; їхнє рішення зводиться до роботи з інформацією.

У результаті дослідження виявилося, що різних сюжетів цих завдань дуже багато. Тому ми розглянули найпоширеніші сюжети кожного виду.

Завдання на зважування.

Завдання на зважування - це тип завдань, у яких потрібно встановити той чи інший факт (виділити фальшиву монету серед справжніх, відсортувати набір вантажів за зростанням ваги і т. п.) за допомогою зважування на вагах важеля без циферблата. Найчастіше як об'єкти, що зважуються, використовуються монети. Рідше є також набір гирек відомої маси.

Дуже часто використовується постановка задачі, що вимагає визначити або мінімальну кількість зважувань, потрібну для встановлення певного факту, або навести алгоритм визначення цього факту за певну кількість зважувань. Рідше зустрічається постановка, що вимагає відповісти на запитання, чи можливе встановлення певного факту за кілька зважувань. Часто така постановка є не дуже вдалою, тому що при позитивній відповіді на питання завдання найчастіше зводиться до побудови алгоритму, а негативний майже не трапляється.

Пошук рішення здійснюється шляхом операцій порівняння, причому, як одиночних елементів, а й груп елементів між собою. Завдання цього типу найчастіше вирішуються шляхом міркувань.

Вивчивши літературу на цю тему, ми дійшли висновку у тому, що це завдання зважування можна розділити такі типи:

Завдання для порівняння за допомогою ваг.

Завдання на зважування на терезах з гирями.

Завдання на зважування на терезах без гир.

Завдання 1.1 Найкласичніша головоломка.

Одна з 9 монет фальшива, вона важить легше за справжню. Як визначити фальшиву монету (ФМ) за 2 зважування?

Рішення. Ключова ідея вирішення таких завдань – правильнатрисекція , Т. е. послідовне розподіл безлічі варіантів на три рівні частини. Після першої трисекції має залишитися трохи більше трьох підозрілих монет, після другої – трохи більше однієї ПМ, якою і є ФМ.

Зважуємо монети 123 і 456, відклавши 789.

Якщо 123 легше, серед них ФМ; важче, то ФМ серед 456; рівні, то ФМ серед 789.

Гіпотеза . Існують алгоритми для визначення ФМ за найменшу кількість зважувань у разі, якщо відомо, що ФМ важче або легше від справжньої (алгоритм 1) і у випадку, якщо це невідомо (алгоритм 2).

Узагальнення 1. Нехай є До монет і одна з них - фальшива (До більше двох). Відомо, що вона легша за справжню. За яку найменшу кількість зважувань можна знайти ФМ?

Рішення.

Алгоритм 1. Викладемо на чаші по К:3 монет, решту відкладемо (якщо кількість монет не кратно 3, то кладемо на чаші однакове число монет, що дорівнює (К-1):3 або (К+1):3 залежно від того , Яке з них натуральне). Далі, якщо одна із чаш переважила, то ФМ на іншій чаші, а у разі рівноваги – ФМ серед відкладених. Далі повторюємо це для групи монет, серед яких ФМ.

ФМ в умові може бути важчою за справжню, в цьому випадку міркуємо також, тільки ФМ монета буде на тій чаші, яка переважила.

Розглянемо завдання з гирями, де також можна застосувати це правило.

Завдання 1.2 Є 9 гирек-еталонів вагою 100,200, ..., 900 гр. Одна з них була в руках нечесних торговців і тепер важить на 10 гр. менше. Як знайти її за 2 зважування?

Знайдемо дві різні трійки гир, однакові за вагою. Наприклад, зважимо 100+500+900 та

200+600+700 та залишаться 300+400+800. Розмірковуючи також, знайдемо групу зі зіпсованою гирею. Потім можна знайти зіпсовану гирку, додавши свідомо справжні. Наприклад, 200+600 та 700+100.

Наступне завдання відрізняється тим, що заздалегідь невідомо – легше чи важче ФМ, ніж справжнє.

Завдання 1.3 З трьох монет одна фальшива, причому невідомо, легша вона чи важча за справжню. Як знайти її за два зважування і визначити, легша вона чи важча за справжню?

У цій задачі 6 варіантів відповіді (кожна з трьох монет може бути або легшою, або важчою за справжню).

Відповідь: так, можна, при цьому найменша кількість зважувань дорівнює 2.

Завдання 1.4 Є 4 гирки з маркуваннями 1г, 2г, 3г, 4г. Одна з них дефектна – легша або важча. Чи можна за два зважування знайти цю гирю і визначити, легша вона чи важча за справжню?

Тут вісім варіантів відповіді. Зважимо 1г+2г та 3г, потім 1г+3г та 4г гирі.

Отримаємо таку таблицю варіантів:

Відповідь: так, можна.

Узагальнення 2. Нехай є До монет і з них фальшива. За яку найменшу кількість зважувань можна визначити ФМ і легша вона чи важча?

Спочатку треба дізнатися кількість варіантів відповідей. Їх К*2, тому що кожна монета може бути легшою або важчою. Потім визначимо кількість зважувань. Одне зважування визначає три варіанти: =. Два зважування визначає 9 варіантів: , =, >=, >>, ==(їх 3*3, але у цій задачі варіант == неможливий).Три зважування визначає 3*3*3= 27 варіантів тощо.

Алгоритм 2. Ділимо монети на три групи. Якщо До ділиться на 3, то або (К-1) ділиться на 3, тоді на ваги кладемо по (К-1): 3 монет і залишиться (К-1): 3 монет і ще 1 монета. Або (К-2) ділиться на 3, тоді на ваги кладемо по (К-2): 3 монети і залишиться (К-2): 3 монети і ще 2 монети. Зважуючи першу та другу групи, а потім другу та третю, Робимо висновок, у якій групі знаходиться ФМ. Якщо ваги опинилися в обох випадках у рівновазі, то ФМ у відкладених монетах і тоді, відповідно до кількості відкладених монет, за одне або два зважування ми знайдемо ФМ і легше чи важче вона справжньої (порівнюючи їх із справжніми монетами). Далі, якщо ФМ не опинилася у відкладених монетах, то ми вже можемо визначити, легша чи важча вона справжня. І потім діємо за алгоритмом 1. Позначивши групи монет 1, 2, 3, покажемо зважування 12 потім 13 в даній таблиці.

Знаючи, важче або легше ФМ справжньої, ми можемо скористатися алгоритмом1, описаним в узагальненні 1. Як бачимо, тут поділ на три по можливості рівні частини.

Перевіримо алгоритм за більшої кількості монет.

Завдання 1.5 Є 80 монет, одна з яких є фальшивою. За яку найменшу кількість зважувань на терезах без гир можна знайти фальшиву монету?

Рішення. Проводимо перше зважування: кладемо на чаші (80-2): 3 = 26 монет. У разі рівноваги-ФМ серед 28, що залишилися;зважуючи справжні 26 монет з 26 «підозрілими», ми визначимо, легше ФМ або важче за справжню(у разі рівноваги, вона у двох і далі треба ще 2 зважування). Якщо при першому зважуванні ваги не опинилися в рівновазі, то фальшива - в якійсь із чаш на терезах. Порівнюємо першу групу монет із справжніми з третьої та робимо висновок. Потім ділимо ту групу монет, де є фальшива на 9, 9, 8 зважуємо, далі зважуємо по 3 монети, а потім - по одній.

Відповідь: за 5 зважувань.

Алгоритм 1. Зважуємо перші дві групи монет. (Виділені кольором).

Кількість монет	1 розподіл	2 поділ	3 поділ	4 поділ
		9 по 3,3 та 3	3 по 1,1 та 1
		10 по 3,3 та 4 9 по 3,3 та 3	3 по 1,1 та 1 4 по 1,1 та 2	2 по 1 та 1
		10 по 3,3 та 4 9 по 3,3 та 3	3 по 1,1 та 1 4 по 1,1 та 2	2 по 1 та 1
До кратно 3	До:3 До:3 До:3	ділимо аналогічно	і серед них є одна фальшива, про яку відомо, легша вона чи важча, ніж справжні. Тоді найменша кількість зважувань на чашкових вагах без гир, необхідних знаходження фальшивої монети, дорівнює n.
К:3 з зуп. 1	(К-1):3 (К-1):3 (К-1): 3+1
К:3 з зуп. 2	(До+1):3 (До+1):3 (К+1):3-1

• Якщо монет 2 чи 3, то знаходження серед них фальшивої монети потрібно 1 зважування.
• Якщо монет від 4 до 9 включно, то найменше зважування для знаходження фальшивої монети дорівнює 2.
• Якщо монет від 10 до 27 включно, воно дорівнює 3.
• Якщо монет від 28 до 81 включно (у зв'язку з тим, що 81 = 3*27), то найменше зважування дорівнює 4.

Закономірність . Числа 9, 27, 81 є послідовними ступенями трійки, а числа 4, 10, 28 – відповідно попередніми ступенями трійки, збільшеними на 1: 4 = 3+1, 10 = 3 2 +1, 28 = 3 3 +1.

Алгоритм 2. У 2 зважуванні на ваги кладемо другу та третю групи монет. У решті зважуємо 1 та 2 групи монет.

Кількість монет	1 розподіл 2 зважування		2 поділ	3 поділ	4 поділ
			9 по 3,3 та 3	3 по 1,1 та 1
		9 +1	10 по 3,3 та 4 9 по 3,3 та 3 1 та 1	3 по 1,1 та 1 4 по 1,1 та 2	2 по 1 та 1
		9 +2	10 по 3,3 та 4 9 по 3,3 та 3 1 та 1	4 по 1,1 та 2 1 та 1 3 по 1,1 та 1	2 по 1 та 1
До кратно 3	До:3 До:3 До:3	До:3 До:3 До:3	Якщо у першому чи другому випадках ваги були у рівновазі, можна визначити групу монет, містять ФМ, і навіть зробити висновок у тому, легше чи важче вона, ніж справжня монета. Далі діємо за алгоритмом 1. (інакше *)	Взагалі, нехай кількість монет k задовольняє нерівності За доказомданого і серед них є одна фальшива, про яку невідомо, легша вона чи важча, ніж справжні. Тоді найменша кількість зважувань на чашкових вагах без гир, необхідних знаходження фальшивої монети, дорівнює n.
К:3 з зуп. 1	(К-1):3 (К-1):3 (К-1): 3+1	(К-1):3 (К-1):3 (К-1):3+1
К:3 з зуп. 2	(К-2):3 (К-2):3 (К-2):3+2	(К-2):3 (К-2):3 (К-2):3+2

*У другому зважуванні знаходимо групу монет, що містить ФМ. Якщо в 1 і 2 зважуваннях ваги були в рівновазі, то ФМ серед однієї або двох, що залишилися. Якщо залишилася 1 монета, то вона ФМ і зважуючи її зі справжньою, дізнаємося, легша чи важча вона, ніж справжня монета. Якщо залишилося 2, то зважуючи їх між собою, а потім одну з них із справжньою, відповідаємо на питання задачі. Якщо у першому чи другому випадках ваги були у рівновазі, можна визначити групу монет, містять ФМ, і навіть зробити висновок у тому, легше чи важче вона, ніж справжня монета.

• Якщо монет 2, то завдання 2 немає рішення.
• Якщо монет 3, то знаходження серед них фальшивої монети потрібно 2 зважування.
• Якщо монет від 4 до 9 включно, то найменше зважування для знаходження фальшивої монети дорівнює 3.
• Якщо монет від 10 до 27 включно, воно дорівнює 4.
• Якщо монет від 28 до 81 включно (у зв'язку з тим, що 81 = 3*27), то найменше зважування дорівнює 5.

Підіб'ємо підсумок завданням.

Гіпотеза підтвердилася. Ми описали алгоритми визначення ФМ за найменшу кількість зважувань у разі, якщо відомо, що ФМ важче або легше ніж справжня (алгоритм 1) і якщо це невідомо (алгоритм 2).

Завдання на переливання.

Опис: маючи кілька судин різного об'єму, один з яких наповнений рідиною, потрібно розділити її в будь-якому відношенні або відлити якусь її частину за допомогою інших судин за найменшу кількість переливань.

У завданнях на переливання потрібно вказати послідовність дій, коли він здійснюється необхідне переливання і виконані умови завдання. Якщо не сказано нічого іншого, вважається, що

Всі судини без поділів,

Не можна переливати рідини "на око"

Неможливо нізвідки додавати рідини та нікуди зливати.

Ми можемо точно сказати, скільки рідини в посудині, тільки в таких випадках:

1. знаємо, що посудина порожня,
2. знаємо, що посудина повна, а в задачі дана його місткість,
3. в задачі дано, скільки рідини в посудині, а переливання з використанням цієї посудини не проводилися,
4. у переливанні брали участь дві судини, у кожному з яких відомо, скільки було рідини, і після переливання вся рідина помістилася в одну з них,
5. у переливанні брали участь дві судини, у кожному з яких відомо, скільки було рідини, відома місткість тієї судини, в яку переливали, і відомо, що вся рідина в неї не помістилася: ми можемо знайти, скільки її залишилося в іншій посудині.

Найчастіше використовуються словесний спосіб розв'язання (тобто опис послідовності дій) і спосіб розв'язання з допомогою таблиць, де у першому стовпці (чи рядку) вказуються обсяги даних судин, а кожному наступному - результат чергового переливання. Таким чином, кількість стовпців (крім першого) показує кількість необхідних переливань. Ці методи (словесний і табличний) використовувалися і під час вирішення завдань зважування. Однак, ми виявили ще один цікавий спосіб, яким можна вирішувати такі завдання. Це метод математичного більярду. Я І. Перельман у своїй книзі «Цікава геометрія» запропонував вирішувати завдання на переливання за допомогою «розумної» кульки. До кожного випадку пропонувалося будувати більярдний стіл особливої ​​конструкції з рівносторонніх трикутників, довжини двох сторін якого чисельно рівні обсягу двох менших судин. Далі, з гострого кута цього столу вздовж однієї зі сторін потрібно «запустити» кульку, яка за законом «кут падіння дорівнює куту відбиття» стикатиметься з бортами столу, показуючи тим самим послідовність переливань. На бортах столу нанесена шкала, ціна розподілу якої відповідає обраній одиниці обсягу. В результаті руху кулька або ударяється об бортик у потрібній точці (тоді завдання має рішення), або не вдаряється (тоді вважається, що завдання рішення не має). Більярдна куля може переміщатися лише вздовж прямих, що утворюють сітку на паралелограмі. Після удару з боку паралелограма куля відбивається і продовжує рух уздовж борту, що виходить з точки, де сталося зіткнення, повністю характеризує, скільки води знаходиться в кожній з судин.

Старовинне цікаве завдання.

Восьмивідерне барило заповнене доверху квасом. Двоє мають поділити квас порівну. Але у них є тільки дві порожні барильця, в одну з яких входить 5 відер, а в іншій – 3 відра квасу. Постає питання, як вони можуть розділити квас, користуючись тільки цими трьома барилами?

У розглядуваній Завдання сторони паралелограма повинні мати сторони 3 одиниці та 5 одиниць. По горизонталі будемо відкладати кількість квасу у відрах у 5-відерній барильці, а по вертикалі – у 3-відерній барильці.

Нехай куля знаходиться в точці О і після удару потрапляє в точку А. Це означає, що 5-відерний барило наповнений до країв, а 3-відерний порожній. Відбивши пружно від правого борту, куля покотиться вгору і вліво і вдариться об верхній борт у точці з координатами 2 по горизонталі і 3 по вертикалі. Це означає, що в 5-відерній барильці залишилося всього 2 відра квасу, а відра з нього перелили в меншу барило. Відбивши пружно від верхнього борту, куля покотиться вниз і вліво і вдариться об нижній борт у точці з координатами 2 по горизонталі і 0 по вертикалі. Це означає, що в 5-відерній барильці залишилося 2 відра квасу, а з 3-відерної судини перелили квас у 8-відерне барило. Відбивши пружно від нижнього борту, куля покотиться вгору і вліво і вдариться об лівий борт у точці з координатами 0 по горизонталі і 2 по вертикалі. Це означає, що з 5-відерної барильця вилили 2 відра квасу в 3-відерну барило. Відбивши пружно від лівого борту, куля покотиться вправо і вдариться об правий борт у точці з координатами 5 по горизонталі і 2 по вертикалі. Це означає, що в 5-відерну барило налили 5 відер квасу, а в 3-відерній барильці залишилося 2 відра. Відбивши пружно від правого борту, куля покотиться вгору і вліво і вдариться об верхній борт у точці з координатами 4 по горизонталі і 3 по вертикалі. Це означає, що з 5-відерної барильця вилили 1 відро квасу в 3-відерне барило, де стало 3 відра, а в 5-відерному залишилося 4 відра. Відбивши пружно від верхнього борту, куля покотиться вниз і вліво і вдариться об нижній борт у точці з координатами 4 по горизонталі і 0 по вертикалі. Це означає, що в 5-відерній барильці залишилося 2 відра квасу, а з 3-відерної барильця перелили квас у 8-відерне барило. Завдання вирішено за допомогою 7 переливань. Одночасно із цим заповнюємо таблицю:

№ переливань
8 л
5 л
3 л

Подивимося, як поводитиметься наша більярдна кулька, якщо спочатку наповнити 3-відерну барило квасом.

Наочно видно, що це завдання вирішено в результаті 8 переливань.

Вирішимо методом більярду знаменитузавдання Пуассона.

Це завдання пов'язують з ім'ям знаменитого французького математика, механіка та фізика Сіменона Денні Пуассона (1781 – 1840). Коли Пуассон був ще дуже молодий і вагався у виборі життєвого шляху, приятель показав йому тексти кількох завдань, з якими ніяк не міг упоратися сам. Пуассон менш ніж за годину вирішив їх усі до однієї. Але особливо йому

сподобалося питання про дві судини. «Це завдання визначило мою долю, – говорив він згодом. - Я вирішив, що неодмінно буду математиком

Завдання. Хтось має 12 пінтів вина і хоче подарувати з нього половину. Але в нього немає судини 6 пінт. Має 2 судини. Один на 8, інший на 5 пінт. Постає питання, яким чином налити 6 пінт в посудину в 8 пінт?

Побудуємо більярдний стіл у вигляді паралелограма. Сторони візьмемо рівними 5 одиниць та 8 одиниць. По горизонталі відкладатимемо кількість вина в посудині в 8 пінт, а по вертикалі – у 5 пінт. Розмірковуємо аналогічно.

12 л

5 л

8 л

Виходить 7 переливань. Однак, якщо налити спочатку в посудину в 5 пінт, то потрібно 18 переливань.

Чи завжди завдання цього мають рішення?

Метод більярдної кулі можна застосувати до завдання про переливання рідини за допомогою не більше трьох судин. Якщо обсяги двох менших судин не мають спільного дільника (тобто взаємно прості), а обсяг третьої судини більший або дорівнює сумі обсягів двох менших, то за допомогою цих трьох судин можна відміряти будь-яке ціле число літрів, починаючи з 1 літра і закінчуючи об'ємом середньої судини. Маючи, наприклад, судини місткістю 15, 16 та 31 літр, можна відміряти будь-яку кількість води від 1 до 16 літрів. Така процедура неможлива, якщо обсяги двох менших судин мають спільний дільник. Коли обсяг більшої судини менший за суму обсягів двох інших, виникають нові обмеження. Якщо, наприклад, обсяги судин дорівнюють 7, 9 та 12 літрам, то біля ромбічного столу треба відсікти нижній правий кут. Тоді шар зможе потрапити в будь-яку точку від 1 до 9, за винятком точки 6. Незважаючи на те, що 7 і 9 взаємно прості, відміряти 6 літрів води виявляється неможливим через те, що найбільша посудина має занадто маленький об'єм. Легко бачити, що крапки з цифрою 6 утворюють на діаграмі правильний трикутник, і ми не можемо ніяк потрапити на цей трикутник з будь-якої іншої точки, що лежить поза ним. Зазначимо також, що узагальнення методу математичного більярду у разі чотирьох судин зводиться до руху кулі у просторової області (паралелепіпеді). Але які виникають у своїй проблеми зображення траєкторій роблять спосіб незручним.

Перевага цього витонченого методу математичного більярду полягає, перш за все, у його наочності та привабливості.

Висновок

Підбивши підсумок, можна сказати, що в ході дослідницької роботи:

1. Зібрано теоретичний та практичний матеріал з проблеми дослідження.

2. За підсумками цієї роботи нами були систематизовані завдання на переливання та зважування.

3. Складено алгоритми рішення.

4. Складено презентацію, щоб ознайомити однокласників з цими завданнями та допомогти їм у підготовці до олімпіади.

Отже, можна дійти невтішного висновку у тому, що виконана нами робота виявилася плідною, учні ознайомилися зі способами і методами вирішення завдань зважування і переливання. Навчилися правильно застосовувати оптимальні способи їх вирішення. За відгуками учнів, проведена робота дозволила їм опанувати методами вирішення завдань на переливання, розширила їхній кругозір. Учні відзначили можливість і практичність застосування більярдного методу під час вирішення цього завдання. Продовжуючи надалі це дослідження, можна спробувати знайти формулу для обчислення найменшої кількості зважувань (переливань).

Список використаних джерел

1. Гальперін Г.А., Математичні більярди - М.: Наука, - 1990. - 290с.

2. Гальперін Г.А., Періодичні рухи більярдної кулі/Квант. 1989. № 3.

3. Ф.Ф.Нагібін, Е.С.Канін Математична скринька М.: Просвітництво, 1988

4. Я.І.Перельман Цікава геометрія М: ГІФМЛ, 1959

5. В.Н.Русанов Математичні олімпіади молодших школярів М., Просвітництво, 1990

6. Е.П.Коляда Розвиток логічного та алгоритмічного мислення учнів // Інформатика та освіта. 1996. N1.

7. І. Ф. Шаригін Математичний вінегрет М., АГЕНЦІЯ "ОРІОН", 1991

8. http://www.i-u.ru/biblio/archive/makovelskiy_logic_history/4.aspx (сайт російського гуманітарного інтернет університету, стаття історія логіки)

9. http://ua.wikipedia.org/wiki/ (Вікіпедія-сучасна енциклопедія)

10. http://wiki.syktsu.ru/index.php/Способи вирішення логічних завдань.

11. Байіф Ж-К. Логічні задачі. М.: Світ, 1983. 171 з.

12. Балк М.Б., Балк Г.Д. Математика після уроків. М: Просвітництво,1971.

13. Барабанов А.І., Чернявський І.Я. Завдання та вправи з математики. Саратов: Саратовський ун-т, 1965. 234 с.

14. Барр С. Розсипи головоломок. М.: Світ, 1978. 414 з.

15. Беррондо М. Цікаві завдання. М.: Мир, 1983. 229 з.

16. Болл У., Коксетер Г. Математичні есе та розваги. М: Мир,1986. 472 с.

17. Перельман Я.І. Цікава арифметика.

18. Перельман Я.І. Цікава алгебра.

19. Перельман Я.І. Цікава геометрія.

20. Перельман Я.І. Жива математика.