• POP
• pencereler
• antivirüs
• antivirüs
• Grafik Sanatları

düşmanca oyun. Matris karşıt oyunlarını çözme Matris karşıt oyunlarını çözme ilkeleri

Oyun teorisi, çatışma veya belirsizlik koşulları altında karar vermenin matematiksel modellerinin bir teorisidir. Oyundaki tarafların eylemlerinin belirli stratejilerle - eylem kuralları kümesiyle - karakterize edildiği varsayılmaktadır. Bir tarafın kazancı kaçınılmaz olarak diğer tarafın kaybına yol açarsa, o zaman düşmanca oyunlardan bahsederler. Eğer strateji seti sınırlıysa, oyuna matris oyunu denir ve çözüm çok basit bir şekilde elde edilebilir. Oyun teorisi yardımıyla elde edilen çözümler, rakiplerin olası muhalefeti veya dış ortamdaki belirsizlikler karşısında planların hazırlanmasında faydalıdır.

Bimatriks oyunu antagonistik ise, o zaman 2. oyuncunun getiri matrisi tamamen 1. oyuncunun getiri matrisi tarafından belirlenir (bu iki matrisin karşılık gelen elemanları sadece işaretlerde farklılık gösterir). Bu nedenle, bir bimatriks antagonistik oyun tamamen tek bir matrisle (oyuncu 1'in getiri matrisi) tanımlanır ve buna göre matris oyunu olarak adlandırılır.

Bu oyun antagonistiktir. İçinde j \u003d x2 - O, P ve R (O, O] \u003d H (P, P) \u003d -I ve R (O, P) \u003d R (P, O) \u003d 1 veya matris formunda o p

Bazı oyun sınıflarının Г "ayna kapalı" olmasına izin verin, yani. oyunlarının her biri ile birlikte bir ayna eşbiçimli oyun içerir (belirli birine ayna eşbiçimli olan tüm oyunlar birbirine eş biçimli olduğundan, az önce söylenenlere göre, bir ayna eşbiçimli oyundan bahsedebiliriz). Böyle bir sınıf, örneğin, tüm antagonistik oyunların sınıfı veya tüm matris oyunlarının sınıfıdır.

Antagonistik oyunda kabul edilebilir durumların tanımını hatırlayarak, matris oyununun karma uzantısındaki (X, Y) durumunun, ancak ve ancak herhangi bir x G x eşitsizliği için, oyuncu 1 için kabul edilebilir olduğunu elde ederiz.

Oyunları simetrik oyunlara dönüştürme işlemine simetrikleştirme denir. Burada bir simetrikleştirme yöntemini tanımlıyoruz. Simetrileştirmenin temelde farklı bir başka versiyonu Bölüm 26.7'de verilecektir. Bu simetri varyantlarının her ikisi de aslında keyfi antagonistik oyunlara uygulanabilir, ancak yalnızca matris oyunları için formüle edilecek ve kanıtlanacaktır.

Böylece, genel antagonistik oyunlar teorisinin ilk terimleri ve tanımları, matris oyunları teorisinin karşılık gelen terimleri ve tanımlarıyla örtüşür.

Sonlu antagonistik (matris) oyunlar için, bu ekstremlerin varlığı Bölüm 10'da tarafımızdan kanıtlanmıştır. 1 ve bütün mesele onların eşitliğini sağlamak ya da en azından eşitsizliklerinin üstesinden gelmenin yollarını bulmaktı.

Matris oyunlarının dikkate alınması, oyuncuların başlangıçta verilen stratejilerinde denge durumları olmayan (ve hatta yeterince küçük e > 0 için e-denge durumları bile olmayan) antagonistik oyunların olduğunu zaten göstermektedir.

Ancak her sonlu (matris) oyun, örneğin her oyuncuya herhangi bir sayıda baskın strateji sağlayarak sonsuz bir oyuna genişletilebilir (bkz. 22 Bölüm 1). Açıktır ki, oyuncunun strateji setinin bu şekilde genişletilmesi, gerçekten onun olasılıklarının genişletilmesi anlamına gelmeyecektir ve genişletilmiş oyundaki fiili davranışı, orijinal oyundaki davranışından farklı olmamalıdır. Böylece, eyer noktaları olmayan yeterli sayıda sonsuz antagonistik oyun örneğini hemen elde ettik. Bu tür örnekler de var.

Bu nedenle, sonsuz antagonistik bir oyunda maksimin ilkesini uygulamak için, sonlu (matris) bir oyunda olduğu gibi, oyuncuların stratejik yeteneklerinin bir miktar genişletilmesi gereklidir. 96 için

Matris oyunlarında olduğu gibi (bkz. Bölüm 1, 17), genel antagonistik oyunlar için, burada daha genel bir tanım verilmesi gereken karma strateji spektrumu kavramı önemli bir rol oynar.

Son olarak, rastgele bir antagonist oyunda oyuncu 1'in tüm karma stratejilerinin kümesinin matriste olduğu gibi olduğuna dikkat edin.

Antagonist oyunların bir değerlendirmesi bile, sonlu olanlar da dahil olmak üzere bu tür çok sayıda oyunun, matris oyunlarının orijinal, saf stratejilerde değil, yalnızca genelleştirilmiş karma stratejilerde denge durumlarına sahip olduğunu gösterir. Bu nedenle, genel, antagonistik olmayan, işbirlikçi olmayan oyunlar için, denge durumlarını tam olarak karma stratejilerde aramak doğaldır.

Bu nedenle, örneğin (bkz. Şekil 3.1), "Yüklenicinin" neredeyse hiçbir zaman davranışsal belirsizlikle uğraşmak zorunda olmadığını belirtmiştik. Ama "Yönetici" tipinin kavramsal düzeyini alırsak, o zaman her şey tam tersidir. Kural olarak, bu tür "karar vericimizin" yüzleşmek zorunda olduğu ana belirsizlik türü "Çatışma"dır. Şimdi bunun genellikle katı olmayan bir rekabet olduğunu açıklığa kavuşturabiliriz. Daha az sıklıkla, "Yönetici", "doğal belirsizlik" koşullarında kararlar alır ve daha da nadiren katı, düşmanca bir çatışmayla karşılaşır. Ek olarak, "Yönetici" tarafından karar verirken çıkar çatışması, tabiri caizse, "bir kez" meydana gelir, yani. bizim sınıflandırmamızda, genellikle oyunun sadece bir (bazen çok az sayıda) oyununu oynar. Sonuçları değerlendirmeye yönelik ölçekler genellikle nicel olmaktan çok niteldir. "Yönetici"nin stratejik bağımsızlığı oldukça sınırlıdır. Yukarıdakileri göz önünde bulundurarak, bu büyüklükteki problem durumlarının çoğunlukla işbirlikçi olmayan, antagonistik olmayan iki matrisli oyunlar kullanılarak, ayrıca saf stratejilerde analiz edilmesi gerektiği iddia edilebilir.

Matris antagonistik oyunları çözme ilkeleri

Sonuç olarak, yukarıda açıklanan oyunda rakiplerin seçtikleri stratejilere bağlı kalmalarını beklemek mantıklıdır. Maks min beş = min maks Aiy> olan matris antagonistik oyun

Bununla birlikte, tüm matris antagonistik oyunları oldukça kesin değildir ve genel durumda

Bu nedenle, genel durumda, bir matris antagonistik boyut /uxl oyununu çözmek için, bir çift ikili doğrusal programlama problemini çözmek gerekir, bu da bir dizi optimal strateji ile sonuçlanır , / ve oyunun maliyeti v.

İki kişinin matris antagonistik oyunu nasıl tanımlanır?

Matris antagonistik oyunları basitleştirme ve çözme yöntemleri nelerdir?

İki kişilik bir oyun söz konusu olduğunda, çıkarlarının doğrudan zıt olduğunu düşünmek doğaldır - oyun düşmancadır. Böylece, bir oyuncunun getirisi diğerinin kaybına eşittir (her iki oyuncunun getirilerinin toplamı sıfırdır, dolayısıyla adı, sıfır toplamlı oyun). Her oyuncunun sınırlı sayıda alternatifi olduğu oyunları ele alacağız. Böyle sıfır toplamlı iki kişilik bir oyun için ödeme işlevi matris biçiminde (bir getiri matrisi biçiminde) verilebilir.

Daha önce belirtildiği gibi, son antagonistik oyuna matris denir.

MATRIX OYUNLARI - iki oyuncunun katıldığı ve her oyuncunun sınırlı sayıda stratejisi olduğu bir düşmanca oyunlar sınıfı. Bir oyuncunun m stratejisi ve diğer oyuncunun n stratejisi varsa, o zaman txn boyutlu bir oyun matrisi oluşturabiliriz. Mi. bir eyer noktasına sahip olabilir veya olmayabilir. son durumda

Moskova Enerji Mühendisliği Enstitüsü

(Teknik Üniversite)

Laboratuvar raporu

oyun teorisinde

"Matris biçiminde verilen bir eşleştirilmiş antagonistik oyun için optimal stratejiler için bir arama programı"

Öğrenciler tarafından tamamlandı

grup A5-01

Ashrapov Daler

Ashrapova Olga

Oyun teorisinin temel kavramları

Çözmek için tasarlanmış oyun teorisi çatışma durumları , yani farklı amaçlar peşinde koşan iki veya daha fazla tarafın çıkarlarının çatıştığı durumlar.

Tarafların amaçları tam tersi ise, o zaman hakkında konuşurlar. antagonistik çatışma .

oyun bir çatışma durumunun basitleştirilmiş resmi modeli olarak adlandırılır.

Bir oyunu baştan sona bir kez oynamaya denir. Parti . Partinin sonucu şudur. Ödeme (veya kazanç ).

parti oluşur hareket eder , yani olası alternatifler arasından oyuncuları seçmek.

Hareketler olabilir kişiye özel ve rastgele.kişisel hareket , Farklı rastgele , oyuncu tarafından bir seçeneğin bilinçli bir seçimini ifade eder.

En az bir kişisel hareketin olduğu oyunlara denir. stratejik .

Tüm hareketlerin rastgele olduğu oyunlara denir. kumar .

Kişisel bir hamle yaparken, onlar hakkında da konuşurlar. stratejiler oyuncu, yani Oyuncunun seçimini belirleyen kural veya kurallar dizisi hakkında. Aynı zamanda, strateji kapsamlı olmalıdır, yani. seçim, oyun sırasında olası herhangi bir durum için belirlenmelidir.

Oyun teorisi meydan okuması– oyuncuların optimal stratejilerini bulma, yani. onlara maksimum kazanç veya minimum kayıp sağlayan stratejiler.

Oyun teorik modellerinin sınıflandırılması

oyun n kişiler genellikle şu şekilde adlandırılır:
i-inci oyuncunun strateji setidir,
- oyun ödemesi.

Bu atamaya göre, oyun teorik modellerinin aşağıdaki sınıflandırması önerilebilir:

Ayrık (strateji setleri ayrık)

son

Sonsuz

Sürekli (strateji setleri sürekli)

Sonsuz

n kişiler (
)

Koalisyon (kooperatif)

Kooperatif olmayan (kooperatif olmayan)

2 kişi (eşleştirilmiş)

Antagonistik (sıfır toplamlı oyunlar)

(tarafların çıkarları zıttır yani bir oyuncunun kaybı diğerinin kazancına eşittir)

düşmanca olmayan

Tam bilgi ile (kişisel bir hamle yapan oyuncu oyunun tüm geçmişini, yani rakibin tüm hamlelerini biliyorsa)

Eksik bilgi ile

Sıfır tutarla (toplam ödeme sıfırdır)

Sıfır olmayan bir toplamla

Tek yön (piyangolar)

çok yönlü

Eşleştirilmiş bir karşıt oyunun matris temsili

Bu eğitimde, ele alacağız iki kişinin düşmanca oyunları matris şeklinde verilmiştir. Bu, ilk oyuncunun (oyuncu) strateji setini bildiğimiz anlamına gelir. A){ A i }, i = 1,…, m ve ikinci oyuncunun strateji seti (oyuncu B){ B j }, j = 1,..., n ve matris A = || a ij || ilk oyuncunun getirileri. Antagonist bir oyundan bahsettiğimiz için ilk oyuncunun kazancının ikincinin kaybına eşit olduğu varsayılır. matris elemanı olduğunu düşünüyoruz. a ij bir strateji seçtiğinde ilk oyuncunun getirisidir A i ve strateji ile ikinci oyuncunun cevabı B j. Böyle bir oyuna değineceğiz
, nerede m - oyuncu stratejileri sayısı ANCAK,n - oyuncu stratejileri sayısı AT. Genel olarak, aşağıdaki tablo ile temsil edilebilir:

örnek 1

Basit bir örnek olarak, oyunun iki hamleden oluştuğu bir oyunu düşünün.

1. hareket: Oyuncu ANCAK rakibine seçimini söylemeden sayılardan (1 veya 2) birini seçer.

2. hareket: Oyuncu AT sayılardan birini (3 veya 4) seçer.

Sonuç: Oyuncu seçimi ANCAK ve AT ekleyin. Toplamı eşitse, o zaman AT oyuncuya değerini öder ANCAK, eğer garipse - tersi, ANCAK oyuncuya ödeme yapar AT.

Bu oyun şu şekilde temsil edilebilir:
Aşağıdaki şekilde:

bunu görmek kolay bu oyun antagonistiktir, ayrıca eksik bilgi içeren bir oyundur, çünkü oyuncu AT, kişisel bir hamle yapıyor, oyuncunun hangi seçimi yaptığı bilinmiyor ANCAK.

Yukarıda belirtildiği gibi, oyun teorisinin görevi, oyuncuların optimal stratejilerini bulmaktır. onlara maksimum kazanç veya minimum kayıp sağlayan stratejiler. Bu süreç denir oyun kararı .

Bir oyunu matris formunda çözerken, oyunun varlığı kontrol edilmelidir. Eyer noktası . Bunun için iki değer tanıtıldı:

oyunun fiyatının alt sınırıdır ve

oyunun fiyatının üst tahminidir.

İlk oyuncu büyük olasılıkla ikinci oyuncunun olası tüm cevapları arasından maksimum kazancı elde edeceği stratejiyi seçecek, ikincisi ise tam tersine kendi kaybını en aza indirecek olanı seçecektir, yani. ilk olası galibiyet.

Kanıtlanabilir ki α ≤ V ≤ β , nerede V–oyun fiyatı , yani ilk oyuncunun olası getirisi.

eğer ilişki α = β = V, o zaman diyorlar oyunun bir eyer noktası var
, ve saf stratejilerde çözüldü . Başka bir deyişle, birkaç strateji var
, oyuncuya vermek ANCAKV.

Örnek 2

Örnek 1'de ele aldığımız oyuna geri dönelim ve bir eyer noktasının olup olmadığını kontrol edelim.

Bu oyun için
= -5,
= 4,
, bu nedenle, hiçbir eyer noktası yoktur.

Yine, bu oyunun eksik bir bilgi oyunu olduğunu unutmayın. Bu durumda, yalnızca oyuncuya tavsiyede bulunabilirsiniz. ANCAK bir strateji seç , çünkü bu durumda, oyuncunun seçmesi koşuluyla en büyük getiriyi alabilir. AT stratejiler .

Örnek 3

Örnek 1'den oyunun kurallarında bazı değişiklikler yapalım. oyuncu verelim AT oyuncu seçim bilgileri ANCAK. O zamanlar ATİki ek strateji vardır:

- yararlı bir strateji ANCAK. eğer seçim bir - 1, sonra AT seçim varsa 3'ü seçer bir - 2, sonra AT 4'ü seçer;

- için yararlı olmayan bir strateji ANCAK. eğer seçim bir - 1, sonra AT seçim varsa 4'ü seçer bir - 2, sonra AT 3'ü seçer.

Bu oyun bilgi dolu.

Bu durumda
= -5,
= -5,
, bu nedenle oyunun bir eyer noktası var
. Bu eyer noktası, iki çift optimal stratejiye karşılık gelir:
ve
. Oyun fiyatı V= -5. için olduğu açıktır ANCAK bu oyun işe yaramaz.

Örnek 2 ve 3, oyun teorisinde kanıtlanmış aşağıdaki teoremin iyi bir örneğidir:

Teorem 1

Kusursuz bilgiye sahip her eşleştirilmiş karşıt oyun, saf stratejilerle çözülür.

O. Teorem 1, mükemmel bilgiye sahip iki kişilik herhangi bir oyunun bir eyer noktası olduğunu ve bir çift saf strateji olduğunu söylüyor.
, oyuncuya vermek ANCAK oyunun fiyatına eşit sürdürülebilir kazanç V.

Bir eyer noktasının olmaması durumunda, sözde karma stratejiler :, nerede p i veq j stratejileri seçme olasılıkları A i ve B j sırasıyla birinci ve ikinci oyuncular. Bu durumda oyunun çözümü bir çift karışık stratejidir.
oyunun fiyatının matematiksel beklentisini maksimize etmek.

Eksik bilgi içeren bir oyun durumu için Teorem 1'in genelleştirilmesi aşağıdaki teoremdir:

Teorem 2

Herhangi bir eşleştirilmiş antagonist oyunun en az bir optimal çözümü vardır, yani genel durumda bir çift karma strateji
, oyuncuya vermek ANCAK oyunun fiyatına eşit sürdürülebilir kazanç V, dahası α ≤ V ≤ β .

Özel bir durumda, eyer noktası olan bir oyun için, karma stratejilerdeki çözüm, bir elemanın bire eşit olduğu ve geri kalanının sıfıra eşit olduğu bir çift vektör gibi görünür.

Oyun teorisinde ayrıntılı olarak detaylandırılan en basit durum, sıfır toplamlı sonlu bir çift oyunudur (iki kişinin veya iki koalisyonun antagonistik bir oyunu). Bu oyunu düşünün G, hangi iki oyuncu ANCAK ve AT, karşıt çıkarlara sahip olmak: birinin kazancı diğerinin kaybına eşittir. Oyuncunun ödemesinden bu yana ANCAK oyuncunun kazancına eşittir İle ters işaret, biz sadece getiri ile ilgilenebiliriz a oyuncu ANCAK. Doğal olarak, ANCAK maksimize etmek istiyor ve AT - küçültmek a. Basit olması için, kendimizi zihinsel olarak oyunculardan biriyle özdeşleştirelim (bırakın ANCAK) ve ona "biz" diyeceğiz ve oyuncu AT -"rakip" (elbette, ANCAK bundan kaynaklanmaz). Alalım t olası stratejiler ANCAK 1 , A 2 , ..., ANCAK m, ve düşman n olası stratejiler AT 1 , AT 2 , ..; AT n(böyle bir oyuna oyun denir t × n). belirtmek a ij stratejiyi kullanırsak kazancımız A i , ve düşman bir stratejidir B j .

Tablo 26.1

Her strateji çifti için A olduğunu varsayalım.<, AT, kazanmak (veya ortalama kazanmak) a, j biliyoruz. Daha sonra, prensip olarak, oyuncuların stratejilerini ve karşılık gelen getirileri listeleyen dikdörtgen bir tablo (matris) derlemek mümkündür (bkz. Tablo 26.1).

Böyle bir tablo derlenirse, o zaman oyun diyoruz. G bir matris formuna indirgenir (kendi başına, oyunu böyle bir forma getirmek zaten zor bir görev olabilir ve çok sayıda strateji nedeniyle bazen neredeyse imkansız olabilir). Oyun bir matris formuna indirgenirse, o zaman çok hamleli oyun aslında tek hamlelik bir oyuna indirgenir - oyuncunun yalnızca bir hamle yapması gerekir: bir strateji seçin. Oyun matrisini kısaca belirteceğiz ( a ij).

Örnek bir oyun düşünün G(4×5) matris formunda. Elimizde (seçmek için) dört strateji var, düşmanın beş stratejisi var. Oyun matrisi tablo 26.2'de verilmiştir.

Bir düşünelim biz (oyuncu ANCAK) faydalanmak? Matrix 26.2'nin cazip getirisi "10"; bir strateji seçmeye çekildik ANCAK 3 , bu "tidbit" i alacağız. Ama bekleyin, düşman da aptal değil! Bir strateji seçersek ANCAK 3 , bize inat bir strateji seçecek AT 3 , ve sefil bir getiri "1" alırız. Hayır, bir strateji seçin ANCAK 3 yasaktır! Nasıl olunur? Açıkçası, dikkat ilkesine dayanarak (ve oyun teorisinin ana ilkesidir), seçim yapmalıyız.

Tablo 26.2

strateji ki minimum kazancımız maksimumdur. Bu sözde "minimax ilkesi": düşmanın sizin için en kötü davranışıyla maksimum kazancı elde edecek şekilde hareket edin.

Tablo 26.2'yi yeniden yazıyoruz ve sağdaki ek sütuna her satırdaki minimum getiri değerini yazıyoruz (minimum satır); hadi ona göre tanımlayalım i-inci sıra α i(bkz. tablo 26.3).

Tablo 26.3

tüm değerlerden α i(sağ sütun) en büyüğü (3) vurgulanır. Stratejiyle eşleşiyor A dört Bu stratejiyi seçtikten sonra, her durumda (düşmanın herhangi bir davranışı için) 3'ten az kazanacağımızdan emin olabiliriz. Bu değer bizim garantili kazancımızdır; dikkatli olursak bundan daha azını alamayız (daha fazlasını da alabilirim). Bu getiri, oyunun düşük fiyatı (veya "maximin" - minimum getirilerin maksimumu) olarak adlandırılır. onu belirteceğiz a. bizim durumumuzda α = 3.

Şimdi düşmanın bakış açısını ele alalım ve onun için tartışalım. O bir tür piyon değil, aynı zamanda makul! Bir strateji seçerken daha az vermek ister, ancak onun için en kötüsü olan davranışlarımıza güvenmek zorundadır. Bir strateji seçerse AT 1 , ona cevap vereceğiz ANCAK 3 , ve 10 verecek; eğer seçerse B 2 - ona cevap vereceğiz ANCAK 2 , ve 8 verecek, vb. Tablo 26.3'e ek bir alt satır ekliyoruz ve içine β sütunlarının maksimumlarını yazıyoruz. j. Açıkçası, dikkatli bir düşman bu değeri en aza indiren stratejiyi seçmelidir (karşılık gelen 5 değeri Tablo 26.3'te vurgulanmıştır). Bu β değeri, makul bir rakibin kesinlikle bize vermeyeceği kazancın değeridir. Buna oyunun üst fiyatı (veya "minimax" - maksimum kazançların minimumu) denir. Örneğimizde β = 5 ve rakibin stratejisi ile elde ediliyor. B 3 .

Yani, ihtiyat ilkesine dayanarak (reasürans kuralı “her zaman en kötüsüne güvenin!”), bir strateji seçmeliyiz. ANCAK 4 , ve düşman - strateji AT 3 . Bu tür stratejilere "minimaks" denir (minimaks ilkesinden yola çıkarak). Örneğimizdeki her iki taraf da minimax stratejilerine bağlı kaldığı sürece, getirisi a 43 = 3.

Şimdi bir an için düşmanın bir strateji izlediğini öğrendiğimizi hayal edin. AT 3 . Hadi, bunun için onu cezalandıralım ve bir strateji seçelim. ANCAK 1 - 5 alacağız, ki bu o kadar da kötü değil. Ama sonuçta, düşman da ıska değil; stratejimizi ona bildirin ANCAK 1 ; o da seçmek için hızlı AT 4 , getirimizi 2'ye düşürmek vb. (ortaklar “stratejiler için acele ettiler”). Tek kelimeyle, örneğimizde minimax stratejileri ile ilgili olarak kararsız ile diğer tarafın davranışı hakkında bilgi; bu stratejiler denge özelliğine sahip değildir.

Her zaman böyle midir? Hayır her zaman değil. Tablo 26.4'te verilen matris ile bir örnek düşünün.

Bu örnekte, oyunun düşük fiyatı, üst fiyatına eşittir: α = β = 6. Bundan ne çıkar? Minimax Oyuncu Stratejileri ANCAK ve AT sürdürülebilir olacaktır. Her iki oyuncu da onlara bağlı kaldığı sürece getirisi 6 olur. (ANCAK) bil ki düşman (AT)

Tablo 26.4

stratejiye bağlı kalıyor B 2 ? Ve kesinlikle hiçbir şey değişmeyecek. Çünkü stratejiden herhangi bir sapma ANCAK 2 sadece durumumuzu daha da kötüleştirebilir. Aynı şekilde düşmanın aldığı bilgiler de onun stratejisinden geri adım atmasına neden olmaz. AT 2 . strateji çifti ANCAK 2 , B 2 denge (dengeli bir strateji çifti) özelliğine sahiptir ve bu strateji çiftiyle elde edilen getiriye (bizim durumumuzda, 6) “matrisin eyer noktası” 1) denir. Bir eyer noktasının ve dengeli bir strateji çiftinin varlığının bir işareti, oyunun alt ve üst fiyatlarının eşitliğidir; α ve β'nın ortak değerine oyunun fiyatı denir. onu etiketleyeceğiz v:

α = β = v

stratejiler A i , B j(bu durumda ANCAK 2 , AT 2 ), Bu getiriye ulaşılanlara optimal saf stratejiler denir ve bunların toplamına oyunun çözümü denir. Bu durumda oyunun kendisinin saf stratejilerle çözüldüğü söylenir. İki taraf da ANCAK ve AT pozisyonlarının mümkün olan en iyi olduğu optimal stratejilerini belirtebilir. oyuncu nedir ANCAK bu durumda, 6 galibiyet ve oyuncu AT - 6 kaybeder, - iyi, Bunlar oyunun koşulları: onlar için faydalıdır ANCAK ve dezavantajlı AT

1) "Emer noktası" terimi geometriden alınmıştır - bu, bir koordinat boyunca minimuma ve diğeri boyunca maksimuma aynı anda ulaşıldığı yüzeydeki noktanın adıdır.

Okuyucunun bir sorusu olabilir: neden optimal stratejilere “saf” deniyor? Biraz ileriye bakarak, şu soruyu cevaplayalım: Oyuncunun bir stratejiyi değil, birkaçını rastgele değiştirerek kullanması gerçeğinden oluşan "karma" stratejiler vardır. Dolayısıyla, saf stratejilere ek olarak karma stratejilere de izin verirsek, herhangi bir oyun sonu bir çözümü var - bir denge noktası. Ama hala atomdan bahsediyoruz.

Oyunda bir eyer noktasının varlığı kural olmaktan çok uzaktır, aksine istisnadır. Çoğu oyunun bir eyer noktası yoktur. Ancak, her zaman bir eyer noktası olan ve bu nedenle saf stratejilerde çözülen çeşitli oyunlar vardır. Bunlar sözde "tam bilgi içeren oyunlar". Bilgi rafına sahip bir oyun, her oyuncunun gelişiminin tüm geçmişini, yani her bir kişisel hamlede hem kişisel hem de rastgele önceki tüm hamlelerin sonuçlarını bildiği bir oyundur. Tam bilgi içeren oyunlara örnek olarak dama, satranç, tic-tac-toe vb. verilebilir.

Oyun teorisinde kanıtlanmıştır ki, tam bilgiye sahip her oyunun bir eyer noktası vardır, ve dolayısıyla saf stratejilerde çözülebilir. Mükemmel bilgiye sahip her oyunda, oyunun zincirine eşit istikrarlı bir getiri sağlayan bir çift optimal strateji vardır. v. Eğer böyle bir oyun sadece kişisel hamlelerden oluşuyorsa, o zaman her oyuncu kendi optimal stratejisini uyguladığında, oldukça kesin bir şekilde - oyunun fiyatına eşit bir getiri ile - sona ermelidir. Yani oyunun çözümü biliniyorsa oyunun kendisi anlamını kaybeder!

Tam bilgi içeren bir oyunun temel bir örneğini ele alalım: iki oyuncu, madeni paranın merkezinin konumunu keyfi olarak seçerek, dönüşümlü olarak nikelleri yuvarlak bir masaya yerleştirir (paraların karşılıklı üst üste binmesine izin verilmez). Kazanan, son kuruşunu koyandır (başkalarına yer olmadığında). Bu oyunun sonucunun esasen önceden tahmin edilen bir sonuç olduğunu görmek kolaydır. İlk parayı atan oyuncunun kazanmasını sağlayan belirli bir strateji vardır. Yani, önce masanın ortasına bir nikel koymalı, ardından rakibin her hareketine simetrik bir hareketle cevap vermelidir. Açıkçası, rakibi nasıl davranırsa davransın kaybetmekten kaçınamaz. Durum, genel olarak tam bilgi içeren satranç ve oyunlar için tamamen aynıdır: matris biçiminde yazılmış herhangi birinin bir eyer noktası vardır ve bu nedenle çözüm saf stratejilerdedir ve bu nedenle, yalnızca bu olduğu sürece anlamlıdır. çözüm bulunamadı. Diyelim ki bir satranç oyunu ya Her zaman Beyazın kazanmasıyla biter veya Her zaman - siyah kazanır veya Her zaman - bir beraberlik, sadece tam olarak - henüz bilmiyoruz (neyse ki satranç severler için). Bir şey daha ekleyelim: Yakın gelecekte bunu pek bilemeyeceğiz, çünkü stratejilerin sayısı o kadar çok ki, oyunu bir matris formuna indirgemek ve içinde bir eyer noktası bulmak (imkansız değilse bile) son derece zor.

Şimdi oyunun bir eyer noktası yoksa ne yapacağımızı kendimize soralım: α ≠ β ? Eh, her oyuncu bir tane seçmek zorunda kalırsa - tek saf strateji, o zaman yapacak bir şey yoktur: kişi minimax ilkesine göre yönlendirilmelidir. Başka bir şey de, bir dizi stratejiyi "karıştırmak" mümkünse, bazı olasılıklarla rastgele dönüşümlü olarak. Karma stratejilerin kullanımı şu şekilde tasarlanmıştır: oyun birçok kez tekrarlanır; oyunun her oyunundan önce, oyuncuya kişisel bir hamle verildiğinde, seçimini şansa "güvenir", "kura atar" ve düşen stratejiyi alır (bir önceki bölümden kurayı nasıl organize edeceğimizi zaten biliyoruz). ).

Oyun teorisindeki karma stratejiler, oyuncuların hiçbirinin belirli bir oyunda rakibin nasıl davranacağını bilmediği, değiştirilebilir, esnek bir taktik modelidir. Bu taktik (genellikle herhangi bir matematiksel gerekçesi olmasa da) kart oyunlarında sıklıkla kullanılır. Aynı zamanda şunu da belirtelim ki davranışınızı düşmandan gizlemenin en iyi yolu ona rastgele bir karakter vermek ve bu nedenle ne yapacağınızı önceden bilmemek.

Öyleyse, karma stratejiler hakkında konuşalım. Oyuncuların karma stratejilerini belirteceğiz ANCAK ve AT sırasıyla S bir = ( p 1 , R 2 , ..., p m), S B = (q 1 , q 2 , …, q n), nerede p 1 , p 2 , …, p m(toplam bir tane oluşturur) - oyuncunun kullanma olasılıkları ANCAK stratejiler ANCAK 1 , A 2 ,… , A m ; q 1 , q 2 , …, q n- oyuncu tarafından kullanım olasılıkları AT stratejiler AT 1 , AT 2 , ..., AT n . Belirli bir durumda, bir hariç tüm olasılıklar sıfıra eşit olduğunda ve bu bir bire eşit olduğunda, karma strateji saf bir stratejiye dönüşür.

Oyun teorisinin temel bir teoremi vardır: herhangi iki kişilik sıfır toplamlı sonlu oyunun en az bir çözümü vardır - optimal strateji çifti, genellikle karışık
ve karşılık gelen fiyat v.

Optimal strateji çifti
oyunun çözümünü oluşturan şu özelliklere sahiptir: oyunculardan biri optimal stratejisine bağlı kalırsa, diğerinin kendisininkinden sapması karlı olamaz. Bu strateji çifti oyunda bir tür denge oluşturur: bir oyuncu kazancı maksimuma, diğeri minimuma çevirmek ister, her biri kendi yönünde çeker ve her ikisinin de makul davranışıyla bir denge ve istikrarlı bir denge. kazanım belirlenir. v. Eğer bir v > 0, o zaman oyun bizim için karlı ise v< 0 - düşman için; de v= 0 oyun “adil”dir, her iki katılımcı için de eşit derecede faydalıdır.

Eyer noktası olmayan bir oyun örneği düşünün ve (kanıt olmadan) çözümünü verin. Oyun şu şekildedir: iki oyuncu ANCAK ve AT aynı anda ve tek kelime etmeden bir, iki veya üç parmağınızı gösterin. Kazanma, toplam parmak sayısına göre belirlenir: çift ise kazanır ANCAK ve alır AT bu sayıya eşit bir miktar; garipse, tam tersi ANCAKöder AT bu sayıya eşit bir miktar. Oyuncular ne yapmalı?

Bir oyun matrisi oluşturalım. Bir oyunda, her oyuncunun üç stratejisi vardır: bir, iki veya üç parmağını göster. 3×3 matrisi Tablo 26.5'te verilmiştir; ekstra sağ sütun satır minimumlarını gösterir ve ekstra alt satır sütun maksimumlarını gösterir.

Oyunun daha düşük fiyatı α = - 3 ve stratejiye karşılık gelir A 1 . Bu, makul, ihtiyatlı bir davranışla 3'ten fazla kaybetmeyeceğimizi garanti ettiğimiz anlamına gelir. Küçük bir teselli, ancak yine de, örneğin matrisin bazı hücrelerinde meydana gelen 5'lik bir galibiyetten daha iyidir. Bizim için kötü, oyuncu ANCAK... Ama kendimizi teselli edelim:

Rakibin konumu daha da kötü görünüyor: oyunun daha düşük maliyeti β = 4, yani makul bir davranışla bize en az 4 verecek. diğer taraf. Ama bakalım geliştirilebilir mi? Yapabileceğin ortaya çıktı. Her iki taraf da tek bir saf strateji değil, karma bir strateji kullanıyorsa,

Tablo 26.5

birinci ve üçüncüsü 1/4 olasılıkla girer ve ikincisi - 1/2 olasılıkla girer, yani.

o zaman ortalama getiri sürekli olarak sıfıra eşit olacaktır (bu, oyunun “adil” olduğu ve her iki taraf için de eşit derecede faydalı olduğu anlamına gelir). stratejiler
oyuna ve fiyatına bir çözüm oluşturmak v= 0. Bu çözümü nasıl bulduk? Bu farklı bir soru. Bir sonraki bölümde, sonlu oyunların genel olarak nasıl çözüldüğünü göstereceğiz.

Sonlu bir sıfır toplamlı çift oyunu düşünün. ile belirtmek a oyuncunun getirisi A, Ve aracılığıyla b- oyuncu kazanır B. Çünkü a = –b, o zaman böyle bir oyunu analiz ederken bu sayıların her ikisini de dikkate almaya gerek yoktur - oyunculardan birinin getirisini dikkate almak yeterlidir. Örneğin olsun, A. Aşağıda, sunum kolaylığı için yan Aşartlı olarak adlandıracağız " Biz"ve yan B – "düşman".

Alalım m olası stratejiler A 1 , A 2 , …, bir m, ve düşman n olası stratejiler B 1 , B 2 , …, ben(böyle bir oyuna oyun denir m×n). Her iki tarafın da belirli bir strateji seçtiğini varsayalım: AI, düşman B j. Oyun sadece kişisel hareketlerden oluşuyorsa, strateji seçimi AI ve B j oyunun sonucunu benzersiz bir şekilde belirler - bizim kazancımız (olumlu veya olumsuz). Bu kazancı şöyle ifade edelim: aij(stratejiyi seçtiğimizde kazanmak AI, ve düşman - stratejiler B j).

Oyun, kişisel rastgele hareketlere ek olarak, bir çift stratejinin getirisini de içeriyorsa AI, B j tüm rastgele hareketlerin sonuçlarına bağlı olan rastgele bir değişkendir. Bu durumda, beklenen ödemenin doğal tahmini, rastgele bir galibiyetin matematiksel beklentisi. Kolaylık sağlamak için, ile belirteceğiz aij hem ödemenin kendisi (rastgele hamlelerin olmadığı bir oyunda) hem de matematiksel beklentisi (rastgele hamlelerin olduğu bir oyunda).

Değerleri bildiğimizi varsayalım. aij Her bir strateji çifti için. Bu değerler, satırları stratejilerimize karşılık gelen bir matris olarak yazılabilir ( AI) ve sütunlar rakibin stratejilerini gösterir ( B j):

Böyle bir matris denir oyunun getiri matrisi ya da sadece oyun matrisi.

Çok sayıda stratejiye sahip oyunlar için bir getiri matrisi oluşturmanın zor bir iş olabileceğini unutmayın. örneğin, için Satranç oyunu olası stratejilerin sayısı o kadar fazladır ki, ödeme matrisinin oluşturulması pratik olarak imkansızdır. Ancak prensipte herhangi bir sonlu oyun bir matris formuna indirgenebilir.

Düşünmek örnek 1 4×5 düşmanca oyun. Elimizde dört strateji var, düşmanın beş stratejisi var. Oyun matrisi aşağıdaki gibidir:

Hangi stratejiyi kullanmalıyız (yani oyuncu A) kullanmak? Hangi stratejiyi seçersek seçelim, makul bir düşman ona, kazancımızın minimum olacağı stratejiyle karşılık verecektir. Örneğin, stratejiyi seçersek A 3 (10'luk bir galibiyetle cezbedici), rakip yanıt olarak bir strateji seçecek B 1 ve kazancımız sadece 1 olacaktır. Açıkçası, dikkatli olma ilkesine (ve oyun teorisinin ana ilkesidir) dayanarak, hangi stratejiyi uygulayacağımızı seçmeliyiz. minimum kazancımız maksimum.

ile belirtmek bir ben strateji için minimum getiri değeri AI:

ve oyun matrisine bu değerleri içeren bir sütun ekleyin:

Bir strateji seçerken, değere sahip olanı seçmeliyiz. bir ben maksimum. Bu maksimum değeri şu şekilde gösterelim: α :

Değer α aranan düşük oyun fiyatı veya maksimin(maksimum minimum kazanç). Oyuncu stratejisi A maximin'e karşılık gelen α , denir maksimin stratejisi.

Bu örnekte, maximin α 3'e eşittir (tablodaki ilgili hücre gri renkle vurgulanmıştır) ve maximin stratejisi A dört Bu stratejiyi seçtikten sonra, düşmanın herhangi bir davranışı için en az 3 (ve belki de düşmanın “mantıksız” davranışı ile daha fazla) kazanacağımızdan emin olabiliriz. kendimiz, en ihtiyatlı ("reasürans") stratejisine bağlı kalarak.

Şimdi düşman için de benzer bir mantık yürüteceğiz. B B A B 2 - ona cevap vereceğiz A .

ile belirtmek βj A B) strateji için AI:

βj β :

7. ÜST DEĞER OYUNU NEDİR Şimdi rakip için de benzer bir mantık yürüteceğiz. B. Kazancımızı en aza indirmekle, yani bize daha az vermekle ilgileniyor, ancak onun için en kötüsü olan davranışlarımıza güvenmelidir. Örneğin, stratejiyi seçerse B 1 , o zaman ona bir strateji ile cevap vereceğiz A 3 ve bize 10 verecek. Eğer seçerse B 2 - ona cevap vereceğiz A 2 ve 8 verecek, vb.Açıkçası, dikkatli bir rakip hangi stratejiyi seçmelidir? maksimum kazancımız minimum olacak.

ile belirtmek βj kazanç matrisinin sütunlarındaki maksimum değerler (oyuncunun maksimum getirisi A veya aynısı, oyuncunun maksimum kaybı B) strateji için AI:

ve oyun matrisine bu değerleri içeren bir satır ekleyin:

Bir strateji seçen düşman, değeri en yüksek olanı tercih edecektir. βj minimum. ile belirtelim β :

Değer β aranan en iyi oyun fiyatı veya minimaks(minimum maksimum kazanç). Minimuma karşılık gelen rakibin (oyuncunun) stratejisi B), denir minimaks stratejisi.

Minimax, makul bir rakibin kesinlikle bize vermeyeceği kazancın değeridir (başka bir deyişle, makul bir rakip, β ). Bu örnekte, minimaks β 5'e eşittir (tablodaki ilgili hücre gri renkle vurgulanmıştır) ve rakibin stratejisiyle elde edilir B 3 .

Bu nedenle, dikkatli olma ilkesine dayanarak ("daima en kötüsünü bekleyin!"), bir strateji seçmeliyiz. A 4 ve düşman - bir strateji B 3. Dikkat ilkesi oyun teorisinde esastır ve buna denir. minimaks prensibi.

Düşünmek örnek 2. Oyunculara izin ver A ve ATüç sayıdan biri aynı anda ve birbirinden bağımsız olarak yazılır: "1" veya "2" veya "3". Yazılan sayıların toplamı çift ise, oyuncu B oyuncuya ödeme yapar A bu miktar. Tutar tek ise, oyuncu bu tutarı öder. A oyuncu AT.

Oyunun getiri matrisini yazalım ve oyunun alt ve üst fiyatlarını bulalım (strateji numarası yazılı sayıya karşılık gelir):

oyuncu A maximin stratejisine bağlı kalmalı A 1 en az -3 kazanmak (yani en fazla 3 kaybetmek). Minimax Oyuncu Stratejisi B stratejilerden herhangi biri B 1 ve B 2 , 4'ten fazla vermeyeceğini garanti eder.

Oyuncunun bakış açısından getiri matrisini yazarsak aynı sonucu elde ederiz. AT. Aslında bu matris, oyuncunun bakış açısından oluşturulan matrisin transpoze edilmesiyle elde edilir. A, ve öğelerin işaretlerini tersine değiştirmek (oyuncunun getirisinden beri A oyuncunun kaybıdır AT):

Bu matrise dayanarak, oyuncunun B stratejilerden herhangi birini takip etmeli B 1 ve B 2 (ve sonra 4'ten fazla kaybetmeyecek) ve oyuncu A– stratejiler A 1 (ve sonra 3'ten fazla kaybetmeyecek). Gördüğünüz gibi, sonuç yukarıda elde edilenle tamamen aynı, bu nedenle analiz, hangi oyuncu açısından yaptığımızın bir önemi yok.

8 DEĞERLİ BİR OYUN NEDİR.

9. MİNİMAX İLKESİ NELERDEN OLUŞMAKTADIR. 2. Oyunun alt ve üst fiyatı. Minimaks prensibi

Getiri matrisli türde bir matris oyunu düşünün

eğer oyuncu ANCAK bir strateji seçecek bir ben, o zaman tüm olası getirileri unsurlar olacaktır i matrisin -inci satırı İTİBAREN. Bir oyuncu için en kötüsü ANCAK oyuncu olduğunda durum AT uygun bir strateji uygular. asgari bu çizginin elemanı, oyuncunun getirisi ANCAK sayısına eşit olacaktır.

Bu nedenle, maksimum getiriyi elde etmek için oyuncu ANCAK numaranın hangi stratejiler için uygun olduğunu seçmeniz gerekir. maksimum.

Sistem yaklaşımı çerçevesinde ele alınan karar verme problemi üç ana bileşen içermektedir: sistem, kontrol alt sistemi ve içinde çevre tanımlanmıştır. Şimdi, sistemin bir değil, her birinin kendi amaçları ve eylem olasılıkları olan birkaç kontrol alt sisteminden etkilendiği karar verme problemlerinin çalışmasına dönüyoruz. Karar vermeye yönelik bu yaklaşıma oyun teorisi denir ve buna karşılık gelen etkileşimlerin matematiksel modelleri denir. oyunlar. Kontrol alt sistemlerinin amaçlarındaki farklılık ve ayrıca bunlar arasında bilgi alışverişi olasılığı üzerindeki belirli kısıtlamalar nedeniyle, bu etkileşimler çatışma niteliğindedir. Bu nedenle, herhangi bir oyun matematiksel bir çatışma modelidir. Kendimizi iki kontrol alt sisteminin olduğu durumla sınırlandırıyoruz. Sistemlerin amaçları zıtsa, çatışmaya antagonistik denir ve böyle bir çatışmanın matematiksel modeline denir. düşmanca oyun..

Oyun teorik terminolojisinde 1. kontrol alt sistemi olarak adlandırılır. oyuncu 1, 2. kontrol alt sistemi - oyuncu 2, setler

onların alternatif eylemleri denir strateji setleri bu oyuncular. İzin vermek X- oyuncu 1 stratejileri seti, Y- birçok strateji

oyuncu 2. Sistemin durumu, alt sistemler 1 ve 2 tarafından kontrol eylemlerinin seçimi, yani stratejilerin seçimi ile benzersiz bir şekilde belirlenir.

x∈X ve y∈Y. İzin vermek F(x,y) - o durumdaki 1. oyuncu için fayda tahmini

1. oyuncu bir strateji seçtiğinde geçtiği sistem X ve

oyuncu 2 stratejisi de. Sayı F(x,y) denir kazanan durumdaki oyuncu 1 ( x,y) ve fonksiyon F- oyuncu 1 ödeme işlevi. Oyuncu kazanır

1 aynı zamanda oyuncu 2'nin kaybıdır, yani ilk oyuncunun artırmaya çalıştığı değer ve ikincisi - azaltmaktır. işte bu

çatışmanın antagonistik doğasının tezahürü: oyuncuların çıkarları tamamen zıttır (biri kazanır, diğeri kaybeder).

Düşmanca bir oyun, sistem tarafından doğal olarak belirlenir G=(X, Y, F).

Resmi olarak antagonistik oyunun aslında belirsizlik koşulları altında bir karar verme problemi ile aynı şekilde kurulduğuna dikkat edin - eğer

kontrol alt sistemini 2 çevre ile tanımlayın. Kontrol alt sistemi ile çevre arasındaki önemli fark şudur:

ilkinin davranışı amaçlıdır. Gerçek bir çatışmanın matematiksel bir modelini derlerken, çevreyi bir düşman olarak düşünmek için bir nedenimiz (veya niyetimiz) varsa, amacı

Bize maksimum zarar, o zaman böyle bir durum antagonistik bir oyun olarak temsil edilebilir. Başka bir deyişle, antagonistik oyun, belirsizlik koşulları altında ZPR'nin uç bir örneği olarak yorumlanabilir,

çevrenin bir amacı olan bir düşman olarak görülmesiyle karakterize edilir. Aynı zamanda, çevrenin davranışıyla ilgili hipotez türlerini de sınırlandırmalıyız.

Burada en çok doğrulanan, bir karar verirken çevrede hareket etmemiz için mümkün olan en kötü senaryoya güvendiğimizde aşırı dikkatli olma hipotezidir.

Tanım. Eğer bir X ve Y sonluysa, antagonistik oyuna matris denir. Matris oyununda şunu varsayabiliriz: X={1,…,n},

Y={1,…,m) ve koy aij=F(ben, j). Böylece matris oyunu tamamen matris tarafından belirlenir. bir=(aij), i=1,…,n, j=1,…,m.

Örnek 3.1. İki parmakla oyun.

Aynı anda iki kişi bir veya iki parmağını gösterir ve konuşmacıya göre numara anlamına gelen 1 veya 2 numarayı arar.

başkalarına gösterilen parmaklar. Parmaklar gösterildikten ve sayılar adlandırıldıktan sonra, kazançlar aşağıdaki kurallara göre dağıtılır:

her ikisi de tahmin ettiyse veya ikisi de rakibinin kaç parmak gösterdiğini tahmin etmediyse, her birinin getirisi sıfıra eşittir; sadece biri doğru tahmin ederse, rakip tahminciye gösterilen toplam sayıyla orantılı olarak para miktarını öder.

Bu, antagonistik bir matris oyunudur. Her oyuncunun dört stratejisi vardır: 1- 1 parmağını göster ve 1 de, 2- 1 parmağını göster ve 2 de, 3-

2 parmak gösterin ve 1, 4 deyin - 2 parmak gösterin ve 2 deyin. Sonra getiri matrisi A=(aij), ben= 1,…, 4, j= 1,…, 4 aşağıdaki gibi tanımlanır:

a12= 2, a21 = – 2, a13=a42=–3, a24=a31= 3, a34 = – 4, a43= 4,aij= 0 aksi halde.

Örnek 3.2. Ayrık düello tipi oyun.

Düello tipi görevler, örneğin, iki oyuncunun mücadelesini tanımlar,

her biri bir kerelik bir işlem yapmak istiyor (piyasada bir mal sevkıyatının serbest bırakılması, bir açık artırmada satın alma başvurusu) ve bunun için bir zaman seçiyor. Oyuncuların birbirlerine doğru hareket etmesine izin verin. n adımlar. Atılan her adımdan sonra oyuncu rakibe ateş edebilir veya etmeyebilir. Her kişi sadece bir atış yapabilir. İlerlerseniz düşmanı vurma olasılığının olduğuna inanılıyor. k n =5 forma sahiptir