โดยการสุ่ม เหรียญสมมาตรจะถูกโยนสองครั้ง คณิตศาสตร์และเรา วิธีการนับรวม
การกำหนดงาน:ในการทดลองแบบสุ่ม เหรียญสมมาตรจะถูกโยนสองครั้ง ค้นหาความน่าจะเป็นที่หัว (ก้อย) จะไม่หลุดแม้แต่ครั้งเดียว (มันจะหลุดออกมาอย่างแน่นอน / อย่างน้อย 1, 2 ครั้ง)
งานนี้รวมอยู่ใน USE ในวิชาคณิตศาสตร์ระดับพื้นฐานสำหรับเกรด 11 ที่หมายเลข 10 (คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น)
เรามาดูกันว่าปัญหาดังกล่าวจะแก้ไขอย่างไรด้วยตัวอย่าง
งานที่ 1 ตัวอย่าง:
ในการทดลองแบบสุ่ม เหรียญสมมาตรจะถูกโยนสองครั้ง หาความน่าจะเป็นที่หัวไม่ขึ้น
OO OR RO RR
มีทั้งหมด 4 ชุด เราสนใจเฉพาะชุดที่ไม่มีนกอินทรีตัวเดียว มีเพียงหนึ่งชุดค่าผสมดังกล่าว (PP)
P = 1 / 4 = 0.25
คำตอบ: 0.25
ตัวอย่างงานที่ 2:
ในการทดลองแบบสุ่ม เหรียญสมมาตรจะถูกโยนสองครั้ง หาความน่าจะเป็นที่จะขึ้นหัวสองครั้งพอดี
พิจารณาชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่อาจหลุดออกมาหากโยนเหรียญสองครั้ง เพื่อความสะดวกเราจะระบุนกอินทรีด้วยตัวอักษร O และหางด้วยตัวอักษร P:
OO OR RO RR
มีทั้งหมด 4 ชุด เราสนใจเฉพาะชุดค่าผสมที่ส่วนหัวปรากฏ 2 ครั้งเท่านั้น มีเพียงหนึ่งชุดค่าผสมดังกล่าว (OO)
P = 1 / 4 = 0.25
คำตอบ: 0.25
ตัวอย่างงานที่ 3:
ในการทดลองแบบสุ่ม เหรียญสมมาตรจะถูกโยนสองครั้ง หาความน่าจะเป็นที่จะขึ้นหัวเพียงครั้งเดียว
พิจารณาชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่อาจหลุดออกมาหากโยนเหรียญสองครั้ง เพื่อความสะดวกเราจะระบุนกอินทรีด้วยตัวอักษร O และหางด้วยตัวอักษร P:
OO OR RO RR
โดยรวมแล้วมีชุดค่าผสมดังกล่าว 4 ชุด เราสนใจเฉพาะชุดที่หัวหลุดออกมา 1 ครั้งเท่านั้น มีเพียงสองชุดค่าผสมดังกล่าว (OP และ RO)
คำตอบ: 0.5
ตัวอย่างงานที่ 4:
ในการทดลองแบบสุ่ม เหรียญสมมาตรจะถูกโยนสองครั้ง ค้นหาความน่าจะเป็นที่หัวจะเกิดขึ้นอย่างน้อยหนึ่งครั้ง
พิจารณาชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่อาจหลุดออกมาหากโยนเหรียญสองครั้ง เพื่อความสะดวกเราจะระบุนกอินทรีด้วยตัวอักษร O และหางด้วยตัวอักษร P:
OO OR RO RR
มีทั้งหมด 4 ชุด เราสนใจเฉพาะชุดค่าผสมที่หัวหลุดออกมาอย่างน้อยหนึ่งครั้ง มีเพียงสามชุดค่าผสมดังกล่าว (OO, OR และ RO)
P = 3 / 4 = 0.75
ในการทดลองแบบสุ่ม จะมีการโยนเหรียญสมมาตร...
เป็นคำนำ
ทุกคนรู้ดีว่าเหรียญมีสองด้าน หัวกับก้อย
นักเหรียญนิยมเชื่อว่าเหรียญมีสามด้าน - ด้านหน้า ด้านหลัง และขอบ
และในหมู่คนเหล่านั้น และในหมู่คนอื่นๆ มีเพียงไม่กี่คนที่รู้ว่าเหรียญสมมาตรคืออะไร แต่เค้ารู้เรื่อง (ก็น่ารู้ :) คนที่กำลังเตรียมสอบอยู่
โดยทั่วไป บทความนี้จะเน้นที่เหรียญที่ไม่ธรรมดาซึ่งไม่เกี่ยวกับเหรียญ แต่ในขณะเดียวกันก็เป็นเหรียญที่ได้รับความนิยมมากที่สุดในหมู่เด็กนักเรียน
ดังนั้น.
เหรียญสมมาตร- นี่คือเหรียญในอุดมคติทางคณิตศาสตร์จินตภาพที่ไม่มีขนาด น้ำหนัก เส้นผ่านศูนย์กลาง ฯลฯ ดังนั้น เหรียญดังกล่าวจึงไม่มีขอบ กล่าวคือ มันมีเพียงสองด้านจริงๆ คุณสมบัติหลักของเหรียญสมมาตรคือภายใต้เงื่อนไขดังกล่าว ความน่าจะเป็นที่จะตกหัวหรือก้อยจะเหมือนกันทุกประการ และพวกเขาได้เหรียญสมมาตรสำหรับการทดลองทางความคิด
ปัญหาที่ได้รับความนิยมมากที่สุดเกี่ยวกับเหรียญสมมาตรมีเสียงดังนี้ - "ในการทดลองแบบสุ่ม เหรียญสมมาตรถูกโยนสองครั้ง (สามครั้ง สี่ครั้ง ฯลฯ) จำเป็นต้องกำหนดความน่าจะเป็นที่ด้านใดด้านหนึ่งจะหลุดออกมา จำนวนครั้ง
การแก้ปัญหาด้วยเหรียญสมมาตร
เป็นที่ชัดเจนว่าผลจากการโยน เหรียญจะตกหัวหรือก้อย กี่ครั้ง - ขึ้นอยู่กับว่าจะทำกี่ครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวหรือก้อยคำนวณโดยการหารจำนวนผลลัพธ์ที่ตรงตามเงื่อนไขด้วยจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด
โยนครั้งเดียว
ทุกอย่างง่ายที่นี่ หัวหรือก้อยจะขึ้น เหล่านั้น. เรามีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้สองอย่าง ซึ่งหนึ่งในนั้นทำให้เราพอใจ - 1/2=50%
Twothrow
สำหรับการขว้างสองครั้งสามารถตกได้:
นกอินทรีสองตัว
สองหาง
หัว แล้วก็ก้อย
หางแล้วก็หัว
เหล่านั้น. เป็นไปได้เพียงสี่ตัวเลือกเท่านั้น ปัญหาเกี่ยวกับการโยนมากกว่าหนึ่งครั้งจะแก้ไขได้ง่ายที่สุดโดยจัดทำตารางตัวเลือกที่เป็นไปได้ เพื่อความง่าย ให้แสดงหัวเป็น "0" และก้อยเป็น "1" จากนั้นตารางผลลัพธ์ที่เป็นไปได้จะมีลักษณะดังนี้:
00
01
10
11
ตัวอย่างเช่น หากคุณต้องการค้นหาความน่าจะเป็นที่หัวจะตกเพียงครั้งเดียว คุณเพียงแค่ต้องนับจำนวนตัวเลือกที่เหมาะสมในตาราง นั่นคือ เส้นที่นกอินทรีเกิดขึ้นครั้งเดียว มีสองบรรทัดดังกล่าว ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะได้หนึ่งหัวในการโยนเหรียญสมมาตรสองครั้งคือ 2/4=50%
ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวสองครั้งในการทอยสองครั้งคือ 1/4=25%
กุหลาบสามดอก
เราทำตารางตัวเลือก:
000
001
010
011
100
101
110
111
ผู้ที่คุ้นเคยกับแคลคูลัสไบนารีจะเข้าใจสิ่งที่เราได้มา :) ใช่ มันเป็นเลขฐานสองจาก "0" ถึง "7" วิธีนี้จะง่ายกว่าที่จะไม่สับสนกับตัวเลือกต่างๆ
มาแก้ปัญหาจากย่อหน้าก่อนกัน - เราคำนวณความน่าจะเป็นที่นกอินทรีจะหลุดออกมาครั้งเดียว มีสามบรรทัดที่ "0" เกิดขึ้นครั้งเดียว ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะได้หนึ่งหัวในการโยนเหรียญสมมาตร 3 ครั้งคือ 3/8=37.5%
ความน่าจะเป็นที่จะออกลูกสามครั้งจะเสียสองครั้งคือ 3/8=37.5% กล่าวคือ เหมือนกันหมด
ความน่าจะเป็นที่หัวในการโยนสามครั้งจะหลุดออกมาสามครั้งคือ 1/8 = 12.5%
สี่ทุ่ม
เราทำตารางตัวเลือก:
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
ความน่าจะเป็นที่จะขึ้นหัวครั้งเดียว มีเพียงสามแถวที่ "0" เกิดขึ้นครั้งเดียว เช่นเดียวกับในกรณีของการโยนสามครั้ง แต่มีอยู่แล้วสิบหกตัวเลือก ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะได้หนึ่งหัวในสี่ครั้งของเหรียญสมมาตรคือ 3/16=18.75%
ความน่าจะเป็นที่นกอินทรีจะหลุดออกมาสองครั้งในสามครั้งคือ 6/8=75%
ความน่าจะเป็นที่จะออกหัวสามครั้งในการโยนสามครั้งคือ 4/8=50%
ดังนั้นด้วยการเพิ่มจำนวนการโยน หลักการแก้ปัญหาจึงไม่เปลี่ยนแปลงเลย - เฉพาะในความก้าวหน้าที่เหมาะสม จำนวนตัวเลือกก็เพิ่มขึ้น
คำอธิบายของการนำเสนอในแต่ละสไลด์:
1 สไลด์
คำอธิบายของสไลด์:
การแก้ปัญหาในทฤษฎีความน่าจะเป็น ครูสอนคณิตศาสตร์ MBOU Nivnyanskaya โรงเรียนมัธยม Nechaeva Tamara Ivanovna
2 สไลด์
คำอธิบายของสไลด์:
วัตถุประสงค์ของบทเรียน: ทบทวน ประเภทต่างๆปัญหาในทฤษฎีความน่าจะเป็นและวิธีการแก้ไข วัตถุประสงค์ของบทเรียน: เพื่อสอนให้รู้จักปัญหาประเภทต่างๆ ในทฤษฎีความน่าจะเป็นและปรับปรุง การคิดอย่างมีตรรกะเด็กนักเรียน
3 สไลด์
คำอธิบายของสไลด์:
ภารกิจที่ 1 ในการทดลองแบบสุ่ม โยนเหรียญสมมาตร 2 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้หัวและก้อยเท่ากัน
4 สไลด์
คำอธิบายของสไลด์:
ภารกิจที่ 2 เหรียญถูกโยนสี่ครั้ง หาความน่าจะเป็นที่มันไม่ขึ้นหาง
5 สไลด์
คำอธิบายของสไลด์:
ปัญหาที่ 3 ในการทดลองแบบสุ่ม โยนเหรียญสมมาตรสองครั้ง หาความน่าจะเป็นที่จะขึ้นหัวเพียงครั้งเดียว วิธีแก้ไข: เพื่อค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ระบุ จำเป็นต้องพิจารณาผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการทดสอบ แล้วเลือกผลลัพธ์ที่น่าพอใจจากเหตุการณ์นั้น (ผลลัพธ์ที่น่าพอใจคือผลลัพธ์ที่ตรงตามข้อกำหนดของปัญหา) ในกรณีของเรา ผลลัพธ์เหล่านั้นจะเป็นที่น่าพอใจ โดยเมื่อโยนเหรียญสมมาตรสองครั้ง หัวจะหลุดออกมาเพียงครั้งเดียว ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์คำนวณเป็นอัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์ที่น่าพอใจต่อจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่เมื่อโยนเหรียญสมมาตรสองครั้ง หัวจะหลุดออกมาเพียงครั้งเดียว เท่ากับ: P \u003d 2/4 \u003d 0.5 \u003d 50% คำตอบ: ความน่าจะเป็นที่เป็นผลจากการทดลองข้างต้น หัวจะหลุดแค่ครั้งเดียว 50% จำนวนการทดลอง ม้วนที่ 1 ม้วนที่ 2 จำนวนครั้ง หัว 1 หัว หัว 2 2 ก้อย ก้อย 0 3 หัว ก้อย 1 4 ก้อย หัว 1
6 สไลด์
คำอธิบายของสไลด์:
ภารกิจที่ 4 ลูกเต๋าถูกโยนหนึ่งครั้ง ความน่าจะเป็นที่จำนวนแต้มมากกว่า 4 เป็นเท่าใด วิธีแก้ไข: การทดลองแบบสุ่ม - การกลิ้งลูกเต๋า เหตุการณ์เบื้องต้นคือตัวเลขที่ตกหล่น คำตอบ: 1/3 จำนวนใบหน้าทั้งหมด: 1, 2, 3, 4, 5, 6 เหตุการณ์เบื้องต้น: N=6 N(A)=2
7 สไลด์
คำอธิบายของสไลด์:
ภารกิจที่ 5 นักชีววิทยายิงไปที่เป้าหมายห้าครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะโดนเป้าหมายด้วยการยิงครั้งเดียวคือ 0.8 ค้นหาความน่าจะเป็นที่ biathlete โจมตีเป้าหมายในสามครั้งแรกและพลาดสองครั้งสุดท้าย ปัดเศษผลลัพธ์เป็นร้อยที่ใกล้ที่สุด วิธีแก้ไข: ความน่าจะเป็นของการชน = 0.8 ความน่าจะเป็นที่จะพลาด = 1 - 0.8 = 0.2 А=(ชน, ตี, ตี, พลาด, พลาด) 0.8 ∙ 0.2 ∙ 0.2 P (A) \u003d 0.512 ∙ 0.04 \u003d 0.02048 ≈ 0.02 คำตอบ: 0.02
8 สไลด์
คำอธิบายของสไลด์:
งาน 6. ในการทดลองสุ่ม ลูกเต๋าสองลูกถูกโยน หาความน่าจะเป็นที่ผลรวมของคะแนนที่ทอยได้คือ 6 ปัดเศษคำตอบของคุณให้เป็นจำนวนที่ร้อยที่ใกล้ที่สุด วิธีแก้ไข: ผลลัพธ์เบื้องต้นในการทดลองนี้คือคู่ตัวเลขที่เรียงลำดับกัน ตัวเลขแรกจะตกอยู่ที่ลูกเต๋าตัวแรก ตัวที่สองจะเป็นตัวที่สอง ชุดของผลลัพธ์เบื้องต้นจะแสดงอย่างสะดวกด้วยตาราง แถวจะตรงกับจำนวนแต้มบนลูกเต๋าลูกแรก คอลัมน์ตรงกับลูกที่สอง มีเหตุการณ์เบื้องต้นทั้งหมด n = 36 เหตุการณ์ ลองเขียนผลรวมของจุดที่หลุดและระบายสีเซลล์ที่ผลรวมเป็น 6 กัน มี 5 เซลล์ดังกล่าว ดังนั้นเหตุการณ์ A = (ผลรวมของจุดที่หลุด คือ 6) ได้รับการสนับสนุนโดย 5 ผลลัพธ์เบื้องต้น ดังนั้น m = 5 ดังนั้น P(A) = 5/36 = 0.14 คำตอบ: 0.14 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 11 7 8 9 10 11 12
9 สไลด์
คำอธิบายของสไลด์:
ทฤษฎีบทความน่าจะเป็น ให้โยนเหรียญ n ครั้ง จากนั้นความน่าจะเป็นที่ส่วนหัวจะหลุดออกมาอย่างแม่นยำ k ครั้งสามารถพบได้โดยสูตร: โดยที่ Cnk คือจำนวนชุดค่าผสมขององค์ประกอบ n รายการโดย k ซึ่งคำนวณโดยสูตร:
10 สไลด์
คำอธิบายของสไลด์:
ปัญหาที่ 7. เหรียญถูกโยนสี่ครั้ง หาความน่าจะเป็นที่หัวจะเกิดขึ้นสามครั้งพอดี วิธีแก้ไข ตามเงื่อนไขของปัญหา มีการโยนทั้งหมด n =4 ครั้ง จำนวนนกอินทรีที่ต้องการ: k =3. แทนที่ n และ k ลงในสูตร: ด้วยความสำเร็จเดียวกัน คุณสามารถนับจำนวนก้อย: k = 4 − 3 = 1 คำตอบจะเหมือนกัน คำตอบ: 0.25
11 สไลด์
คำอธิบายของสไลด์:
ปัญหาที่ 8 เหรียญถูกโยนสามครั้ง หาความน่าจะเป็นที่มันไม่ขึ้นหาง วิธีแก้ไข เราเขียนตัวเลข n และ k อีกครั้ง เนื่องจากเหรียญถูกโยน 3 ครั้ง n = 3 และเนื่องจากไม่ควรมีหาง k = 0 จึงยังคงใช้แทนตัวเลข n และ k ในสูตร: ผมขอเตือนคุณว่า 0! = 1 ตามคำจำกัดความ ดังนั้น C30 = 1 คำตอบ: 0.125
12 สไลด์
คำอธิบายของสไลด์:
ปัญหาที่ 9 ในการทดลองแบบสุ่ม โยนเหรียญสมมาตร 4 ครั้ง หาความน่าจะเป็นที่หัวจะขึ้นมากกว่าก้อย วิธีแก้ไข: เพื่อให้มีหัวมากกว่าก้อย จะต้องหลุดออกมา 3 ครั้ง (แล้วจะมี 1 ก้อย) หรือ 4 อัน (แล้วจะไม่มีก้อยเลย) ลองหาความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์เหล่านี้กัน ให้ p1 เป็นความน่าจะเป็นที่จะได้หัว 3 ครั้ง จากนั้น n = 4, k = 3 เรามี: ทีนี้ลองหา p2 - ความน่าจะเป็นที่หัวจะตกทั้งหมด 4 ครั้ง ในกรณีนี้ n = 4, k = 4 เรามี: ในการหาคำตอบ ยังคงต้องบวกความน่าจะเป็น p1 และ p2 ข้อควรจำ: คุณสามารถเพิ่มความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกันเท่านั้น เรามี: p = p1 + p2 = 0.25 + 0.0625 = 0.3125 คำตอบ: 0.3125
13 สไลด์
คำอธิบายของสไลด์:
ภารกิจที่ 10 ก่อนเริ่มการแข่งขันวอลเลย์บอล กัปตันทีมจะจับฉลากเพื่อตัดสินว่าทีมใดจะเริ่มเกมด้วยลูกบอล ทีมสเตเตอร์ผลัดกันเล่นกับทีมโรเตอร์ มอเตอร์ และสตาร์ทเตอร์ ค้นหาความน่าจะเป็นที่ Stator จะเริ่มเกมแรกและเกมสุดท้ายเท่านั้น วิธีการแก้. จำเป็นต้องค้นหาความน่าจะเป็นของผลิตภัณฑ์ของสามเหตุการณ์: "สเตเตอร์" เริ่มเกมแรก ไม่เริ่มเกมที่สอง เริ่มเกมที่สาม ความน่าจะเป็นในการสร้างเหตุการณ์อิสระเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้ ความน่าจะเป็นของแต่ละรายการเท่ากับ 0.5 ดังนั้นเราจึงพบ: 0.5 0.5 0.5 = 0.125 คำตอบ: 0.125
ในทฤษฎีความน่าจะเป็น มีปัญหากลุ่มหนึ่งสำหรับการแก้ปัญหาซึ่งเพียงพอที่จะทราบคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็นและเห็นภาพสถานการณ์ที่เสนอ ปัญหาเหล่านี้มักเป็นปัญหาในการโยนเหรียญและปัญหาการโยนลูกเต๋า จำคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A (ความเป็นไปได้ตามวัตถุประสงค์ของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในรูปแบบตัวเลข) เท่ากับอัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นประโยชน์ต่อเหตุการณ์นี้ ต่อจำนวนรวมของผลลัพธ์เบื้องต้นที่เข้ากันไม่ได้ทั้งหมดที่เป็นไปได้: P(A)=m/n, ที่ไหน:
- m คือจำนวนผลการทดสอบเบื้องต้นที่สนับสนุนเหตุการณ์ A
- n คือจำนวนรวมของผลการทดสอบเบื้องต้นที่เป็นไปได้ทั้งหมด
สะดวกในการกำหนดจำนวนผลการทดสอบเบื้องต้นที่เป็นไปได้และจำนวนผลลัพธ์ที่น่าพอใจในปัญหาที่พิจารณาโดยการแจกแจงตัวเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมด (ชุดค่าผสม) และการคำนวณโดยตรง
จากตารางจะเห็นว่าจำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้คือ n=4 ผลลัพธ์ที่น่าพอใจของเหตุการณ์ A = (นกอินทรีล้มลง 1 ครั้ง) สอดคล้องกับตัวเลือกที่ 2 และหมายเลข 3 ของการทดสอบ มีสองตัวเลือกดังกล่าว m=2
หาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ Р(А)=m/n=2/4=0.5
งาน2 . ในการทดลองแบบสุ่ม เหรียญสมมาตรจะถูกโยนสองครั้ง หาความน่าจะเป็นที่หัวจะไม่ขึ้นมา
วิธีการแก้
. เนื่องจากเหรียญถูกโยนสองครั้ง ดังนั้น ในปัญหาที่ 1 จำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้คือ n=4 ผลลัพธ์ที่น่าพอใจของเหตุการณ์ A = (อินทรีจะไม่หลุดออกมาแม้แต่ครั้งเดียว) สอดคล้องกับตัวแปรหมายเลข 4 ของการทดสอบ (ดูตารางในงานที่ 1) มีเพียงตัวเลือกเดียวเท่านั้น ดังนั้น m=1
หาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ Р(А)=m/n=1/4=0.25
งาน3 . ในการทดลองแบบสุ่ม โยนเหรียญสมมาตรสามครั้ง หาความน่าจะเป็นที่จะขึ้นหัว 2 เท่าพอดี
วิธีการแก้ . ตัวเลือกที่เป็นไปได้สำหรับการโยนเหรียญสามครั้ง (การรวมหัวและก้อยที่เป็นไปได้ทั้งหมด) จะแสดงในรูปแบบของตาราง:
จากตารางจะเห็นว่าจำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้คือ n=8 ผลลัพธ์ที่น่าพอใจของเหตุการณ์ A = (หัว 2 ครั้ง) สอดคล้องกับตัวเลือกที่ 5, 6 และ 7 ของการทดสอบ มีสามตัวเลือกดังกล่าว ดังนั้น m=3
หาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ Р(А)=m/n=3/8=0.375
งาน 4 . ในการทดลองแบบสุ่ม โยนเหรียญสมมาตรสี่ครั้ง หาความน่าจะเป็นที่จะขึ้นหัว 3 ครั้งพอดี
วิธีการแก้ . รูปแบบที่เป็นไปได้ของการโยนเหรียญสี่แบบ (การผสมหัวและก้อยที่เป็นไปได้ทั้งหมด) ถูกนำเสนอในรูปแบบของตาราง:
| ตัวเลือกหมายเลข | โยนครั้งแรก | ม้วนที่ 2 | ม้วนที่ 3 | ม้วนที่ 4 | ตัวเลือกหมายเลข | โยนครั้งแรก | ม้วนที่ 2 | ม้วนที่ 3 | ม้วนที่ 4 |
| 1 | อินทรี | อินทรี | อินทรี | อินทรี | 9 | หาง | อินทรี | หาง | อินทรี |
| 2 | อินทรี | หาง | หาง | หาง | 10 | อินทรี | หาง | อินทรี | หาง |
| 3 | หาง | อินทรี | หาง | หาง | 11 | อินทรี | หาง | หาง | อินทรี |
| 4 | หาง | หาง | อินทรี | หาง | 12 | อินทรี | อินทรี | อินทรี | หาง |
| 5 | หาง | หาง | หาง | อินทรี | 13 | หาง | อินทรี | อินทรี | อินทรี |
| 6 | อินทรี | อินทรี | หาง | หาง | 14 | อินทรี | หาง | อินทรี | อินทรี |
| 7 | หาง | อินทรี | อินทรี | หาง | 15 | อินทรี | อินทรี | หาง | อินทรี |
| 8 | หาง | หาง | อินทรี | อินทรี | 16 | หาง | หาง | หาง | หาง |
จากตารางจะเห็นว่าจำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้คือ n=16 ผลลัพธ์ที่น่าพอใจของเหตุการณ์ A = (นกอินทรีล้มลง 3 ครั้ง) สอดคล้องกับตัวเลือกที่ 12, 13, 14 และ 15 ของการทดลอง ซึ่งหมายถึง m=4
หาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ Р(А)=m/n=4/16=0.25
 |
การหาความน่าจะเป็นในปัญหาลูกเต๋า
งาน 5 . กำหนดความน่าจะเป็นที่มากกว่า 3 คะแนนจะหลุดออกมาเมื่อโยนลูกเต๋า (ตายที่ถูกต้อง)
วิธีการแก้
. เมื่อโยนลูกเต๋า (ลูกเต๋าปกติ) ใบหน้าทั้งหกของลูกเต๋าอาจหลุดออกมาได้ เช่น ที่จะเกิดเหตุการณ์เบื้องต้นใด ๆ - สูญเสีย 1 ถึง 6 คะแนน (คะแนน) ดังนั้นจำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้คือ n=6
เหตุการณ์ A = (หลุดออกมามากกว่า 3 แต้ม) หมายความว่า 4, 5 หรือ 6 แต้ม (แต้ม) หลุดออกมา จำนวนผลลัพธ์ที่น่าพอใจ m=3
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ Р(А)=m/n=3/6=0.5
งาน 6 . กำหนดความน่าจะเป็นที่เมื่อลูกเต๋าถูกโยน จำนวนคะแนนไม่เกิน 4 ปัดเศษผลลัพธ์เป็นพันที่ใกล้ที่สุด
วิธีการแก้
. เมื่อโยนลูกเต๋า ใบหน้าใดหน้าหนึ่งจากหกด้านของลูกเต๋าอาจหลุดออกมา เช่น ที่จะเกิดเหตุการณ์เบื้องต้นใด ๆ - สูญเสีย 1 ถึง 6 คะแนน (คะแนน) ดังนั้นจำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้คือ n=6
เหตุการณ์ A = (หลุดไม่เกิน 4 แต้ม) หมายความว่า 4, 3, 2 หรือ 1 แต้ม (แต้ม) หลุดออกมา จำนวนผลลัพธ์ที่น่าพอใจ m=4
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ Р(А)=m/n=4/6=0.6666…≈0.667
งาน7 . ตายถูกโยนสองครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่ตัวเลขทั้งสองน้อยกว่า 4
วิธีการแก้ . เนื่องจากลูกเต๋า (ลูกเต๋า) ถูกโยนสองครั้ง เราจะโต้แย้งดังนี้: หากจุดหนึ่งตกในการตายครั้งแรก จากนั้น 1, 2, 3, 4, 5, 6 อาจหลุดออกมาในวินาที เราได้รับคู่ (1; 1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6) และอื่นๆ กับแต่ละใบหน้า เรานำเสนอทุกกรณีในรูปแบบของตาราง 6 แถวและ 6 คอลัมน์:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
ผลลัพธ์ที่น่าพอใจของเหตุการณ์ A = (ทั้งสองครั้งที่ตัวเลขน้อยกว่า 4 หลุดออกมา) (จะถูกเน้นด้วยตัวหนา) จะถูกคำนวณและเราจะได้รับ m=9
หาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ Р(А)=m/n=9/36=0.25
งาน 8 . ตายถูกโยนสองครั้ง หาความน่าจะเป็นที่ตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดของตัวเลขสองตัวที่ออกมาคือ 5. ปัดเศษคำตอบของคุณให้เป็นหลักพันที่ใกล้ที่สุด
วิธีการแก้ . ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของสองทุ่ม ลูกเต๋าอยู่ในตาราง:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
จากตารางจะเห็นว่าจำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้คือ n=6*6=36
ผลลัพธ์ที่น่าพอใจของเหตุการณ์ A = (ตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดของสองตัวเลขที่ดึงออกมาคือ 5) (จะเน้นด้วยตัวหนา) และเราจะได้รับ m=8
หาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ Р(А)=m/n=8/36=0.2222…≈0.222
งาน 9 . ตายถูกโยนสองครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่จะทอยเลขน้อยกว่า 4 อย่างน้อยหนึ่งครั้ง
วิธีการแก้ . ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการโยนลูกเต๋าสองครั้งจะแสดงในตาราง:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
จากตารางจะเห็นว่าจำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้คือ n=6*6=36
วลี "อย่างน้อยหนึ่งครั้งตัวเลขที่น้อยกว่า 4 หลุดออกมา" หมายถึง "จำนวนที่น้อยกว่า 4 หลุดออกมาครั้งหรือสองครั้ง" จากนั้นจำนวนผลลัพธ์ที่ดีของเหตุการณ์ A = (อย่างน้อยหนึ่งครั้งตัวเลขที่น้อยกว่า 4 หลุดออกมา ) (เป็นตัวหนา) m=27.
หาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ Р(А)=m/n=27/36=0.75
