กฎแห่งค่าเฉลี่ยหรือความลับของผู้ขายที่ประสบความสำเร็จคืออะไร ค่าเฉลี่ย กฎแรงของตัวเลขจำนวนมาก
คำเกี่ยวกับจำนวนมากหมายถึงจำนวนการทดสอบ - พิจารณาค่าจำนวนมากของตัวแปรสุ่มหรือการกระทำสะสมของตัวแปรสุ่มจำนวนมาก สาระสำคัญของกฎหมายนี้มีดังต่อไปนี้: แม้ว่าจะเป็นไปไม่ได้ที่จะคาดการณ์ว่าตัวแปรสุ่มตัวเดียวจะใช้ค่าใดในการทดลองเดียว อย่างไรก็ตาม ผลรวมของการกระทำของตัวแปรสุ่มอิสระจำนวนมากจะสูญเสียลักษณะสุ่มและสามารถ คาดการณ์ได้เกือบน่าเชื่อถือ (เช่น มีความเป็นไปได้สูง) ตัวอย่างเช่น เป็นไปไม่ได้ที่จะทำนายว่าเหรียญจะตกด้านใด อย่างไรก็ตาม หากคุณโยนเหรียญ 2 ตัน แน่นอนว่าสามารถโต้แย้งได้ว่าน้ำหนักของเหรียญที่ตกลงมาเมื่อยกแขนเสื้อขึ้นคือ 1 ตัน
ประการแรก ความไม่เท่าเทียมกันที่เรียกว่า Chebyshev หมายถึงกฎของตัวเลขจำนวนมาก ซึ่งประเมินในการทดสอบแยกต่างหากว่าความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มที่ยอมรับค่าที่เบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ยไม่เกินค่าที่กำหนด
ความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev. อนุญาต Xเป็นตัวแปรสุ่มตามอำเภอใจ a=M(X) , แ ดี(X) คือการกระจายตัวของมัน แล้ว
ตัวอย่าง. ค่าที่ระบุ (เช่น จำเป็น) ของเส้นผ่านศูนย์กลางของปลอกที่ตัดเฉือนบนเครื่องคือ 5mmและความแปรปรวนไม่มีอีกต่อไป 0.01 (นี่คือความทนทานต่อความแม่นยำของเครื่อง) ประมาณความน่าจะเป็นที่ในการผลิตบุชชิ่งหนึ่งส่วนเบี่ยงเบนของเส้นผ่านศูนย์กลางจากค่าเล็กน้อยจะน้อยกว่า 0.5mm .
วิธีการแก้. ให้ r.v. X- เส้นผ่านศูนย์กลางของบุชชิ่งที่ผลิตขึ้น ตามเงื่อนไข การคาดหมายทางคณิตศาสตร์จะเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางเล็กน้อย (หากไม่มีความล้มเหลวอย่างเป็นระบบในการตั้งค่าเครื่อง): a=M(X)=5 และความแปรปรวน ดี(X) ≤0.01. การใช้ความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev สำหรับ ε = 0.5, เราได้รับ:
ดังนั้นความน่าจะเป็นของการเบี่ยงเบนดังกล่าวจึงค่อนข้างสูง ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าในกรณีของการผลิตชิ้นส่วนเดียว เกือบจะแน่นอนว่าความเบี่ยงเบนของเส้นผ่านศูนย์กลางจากค่าเล็กน้อยจะไม่เกิน 0.5mm .
โดยทั่วไป ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ ลักษณะ เฉลี่ยการเบี่ยงเบนของตัวแปรสุ่มจากจุดศูนย์กลาง (เช่น จากการคาดหมายทางคณิตศาสตร์) เพราะมัน เฉลี่ยส่วนเบี่ยงเบนจากนั้นค่าเบี่ยงเบนขนาดใหญ่ (เน้นที่ o) เป็นไปได้ในระหว่างการทดสอบ เป็นไปได้จริงค่าเบี่ยงเบนมากเพียงใด? เมื่อศึกษาตัวแปรสุ่มแบบกระจายตามปกติ เราได้รับกฎ "สามซิกมา": ตัวแปรสุ่มแบบกระจายปกติ X ในการทดสอบเดียวในทางปฏิบัติไม่เบี่ยงเบนไปจากค่าเฉลี่ยเกินกว่า 3σ, ที่ไหน σ= σ(X)คือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของ r.v. X. เราอนุมานกฎดังกล่าวได้จากข้อเท็จจริงที่เราได้รับความไม่เท่าเทียมกัน
.
ตอนนี้ให้เราประมาณความน่าจะเป็นของ โดยพลการตัวแปรสุ่ม Xยอมรับค่าที่แตกต่างจากค่าเฉลี่ยไม่เกินสามเท่าของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน การใช้ความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev สำหรับ ε = 3σและให้สิ่งนั้น ดี(X)=σ 2 , เราได้รับ:
.
ทางนี้, โดยทั่วไปเราสามารถประมาณความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มที่เบี่ยงเบนไปจากค่าเฉลี่ยโดยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานไม่เกินสามค่าด้วยตัวเลข 0.89 ในขณะที่การแจกแจงแบบปกติสามารถรับประกันได้ด้วยความน่าจะเป็น 0.997 .
ความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev สามารถนำไปใช้กับระบบของตัวแปรสุ่มที่แจกแจงอย่างอิสระเหมือนกัน
ความไม่เท่าเทียมกันทั่วไปของ Chebyshev. ถ้าตัวแปรสุ่มอิสระ X 1 , X 2 , … , X น เอ็ม(X ผม )= เอและการกระจายตัว ดี(X ผม )= ดี, แล้ว
ที่ น=1 ความไม่เท่าเทียมกันนี้นำไปสู่ความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev ที่กำหนดไว้ข้างต้น
ความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev ซึ่งมีความสำคัญอย่างอิสระในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้อง ใช้เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบท Chebyshev ที่เรียกว่า ก่อนอื่นเราจะอธิบายแก่นแท้ของทฤษฎีบทนี้ก่อน จากนั้นจึงกำหนดสูตรที่เป็นทางการ
อนุญาต X 1
, X 2
, … , X น– ตัวแปรสุ่มอิสระจำนวนมากพร้อมความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ M(X .) 1
)=a 1
, … , M(X น )=a น. แม้ว่าผลลัพธ์จากการทดลองแต่ละรายการสามารถหาค่าได้ไกลจากค่าเฉลี่ย (เช่น การคาดหมายทางคณิตศาสตร์) อย่างไรก็ตาม ตัวแปรสุ่ม 
เท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิต โดยมีความน่าจะเป็นสูงจะได้ค่าใกล้เคียงกับจำนวนคงที่ 
(นี่คือค่าเฉลี่ยของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ทั้งหมด) ซึ่งหมายความถึงสิ่งต่อไปนี้ ให้จากการทดสอบตัวแปรสุ่มอิสระ X 1
, X 2
, … , X น(มีเยอะมาก!) ได้นำเอาค่านิยมมาตามลำดับ X 1
, X 2
, … , X นตามลำดับ แล้วถ้าค่าเหล่านี้เองอาจกลายเป็นว่าอยู่ไกลจากค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มที่สอดคล้องกัน ค่าเฉลี่ยของพวกมัน 
มีแนวโน้มที่จะใกล้เคียงกับ 
. ดังนั้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวแปรสุ่มจำนวนมากจึงสูญเสียอักขระสุ่มไปและสามารถทำนายได้อย่างแม่นยำมาก สิ่งนี้สามารถอธิบายได้ด้วยความจริงที่ว่าค่าเบี่ยงเบนแบบสุ่มของค่า X ผมจาก เอ ผมอาจมีสัญญาณต่างกัน ดังนั้นโดยรวมแล้ว การเบี่ยงเบนเหล่านี้จะได้รับการชดเชยด้วยความน่าจะเป็นสูง
Terema Chebysheva (กฎของตัวเลขจำนวนมากในรูปแบบของ Chebyshev) อนุญาต X 1 , X 2 , … , X น … เป็นลำดับของตัวแปรสุ่มอิสระแบบคู่ซึ่งความแปรปรวนจำกัดอยู่ที่ตัวเลขเดียวกัน จากนั้น ไม่ว่าเราจะหาจำนวน ε น้อยเพียงใด ความน่าจะเป็นของอสมการ
จะเข้าใกล้ความสามัคคีโดยพลการถ้าจำนวน นตัวแปรสุ่มให้มีขนาดใหญ่พอ อย่างเป็นทางการหมายความว่าภายใต้เงื่อนไขของทฤษฎีบท
การบรรจบกันประเภทนี้เรียกว่าคอนเวอร์เจนซ์ในความน่าจะเป็นและแสดงโดย:
ดังนั้น ทฤษฎีบทของ Chebyshev จึงกล่าวว่า หากมีตัวแปรสุ่มอิสระจำนวนมากเพียงพอ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพวกมันในการทดสอบครั้งเดียวก็จะได้ค่าที่ใกล้เคียงกับค่าเฉลี่ยของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์อย่างแน่นอน
ส่วนใหญ่มักใช้ทฤษฎีบท Chebyshev ในสถานการณ์ที่ตัวแปรสุ่ม X 1 , X 2 , … , X น … มีการแจกแจงแบบเดียวกัน (เช่น กฎการแจกแจงแบบเดียวกันหรือความหนาแน่นของความน่าจะเป็นเท่ากัน) อันที่จริง นี่เป็นเพียงอินสแตนซ์จำนวนมากของตัวแปรสุ่มตัวเดียวกัน
ผลที่ตามมา(ของความไม่เท่าเทียมกันทั่วไปของ Chebyshev) ถ้าตัวแปรสุ่มอิสระ X 1 , X 2 , … , X น … มีการแจกแจงแบบเดียวกันกับความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ เอ็ม(X ผม )= เอและการกระจายตัว ดี(X ผม )= ดี, แล้ว
, เช่น. 
.
หลักฐานดังต่อไปนี้จากความไม่เท่าเทียมกันทั่วไปของ Chebyshev โดยผ่านไปยังขีด จำกัด as น→∞ .
เราทราบอีกครั้งว่าความเท่าเทียมกันที่เขียนไว้ข้างต้นไม่ได้รับประกันว่ามูลค่าของปริมาณ 
มีแนวโน้มที่จะ เอที่ น→∞. ค่านี้ยังคงเป็นตัวแปรสุ่มและค่าแต่ละค่านั้นค่อนข้างไกลจาก เอ. แต่ความน่าจะเป็นดังกล่าว (ห่างไกลจาก เอ) มีค่าเพิ่มขึ้น นมีแนวโน้มเป็น 0
ความคิดเห็น. ข้อสรุปของผลสืบเนื่องก็เห็นได้ชัดในกรณีทั่วไปมากขึ้นเมื่อตัวแปรสุ่มอิสระ X 1 , X 2 , … , X น … มีการแจกแจงต่างกัน แต่มีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เหมือนกัน (equal เอ) และความแปรปรวนจำกัดโดยรวม ทำให้สามารถคาดการณ์ความถูกต้องของการวัดปริมาณที่แน่นอนได้ แม้ว่าการวัดเหล่านี้จะทำโดยเครื่องมือต่างๆ
ให้เราพิจารณารายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับการประยุกต์ใช้ผลลัพธ์นี้กับการวัดปริมาณ มาใช้อุปกรณ์กัน นการวัดปริมาณเท่ากัน มูลค่าที่แท้จริงคือ เอและเราไม่รู้ ผลของการวัดดังกล่าว X 1
, X 2
, … , X นอาจมีความแตกต่างกันอย่างมีนัยสำคัญ (และจากมูลค่าที่แท้จริง เอ) เนื่องจากปัจจัยสุ่มต่างๆ (แรงดันตก อุณหภูมิ การสั่นสะเทือนแบบสุ่ม ฯลฯ) พิจารณา r.v. X- การอ่านค่าเครื่องมือสำหรับการวัดปริมาณครั้งเดียวและชุดของ r.v. X 1
, X 2
, … , X น- การอ่านค่าเครื่องครั้งแรก ครั้งที่สอง ... การวัดครั้งสุดท้าย ดังนั้นแต่ละปริมาณ X 1
, X 2
, … , X น
มีเพียงหนึ่งในกรณีของ r.v. Xดังนั้นพวกมันทั้งหมดจึงมีการแจกแจงแบบเดียวกับ r.v. X. เนื่องจากผลการวัดเป็นอิสระจากกัน ดังนั้น r.v. X 1
, X 2
, … , X นถือว่าเป็นอิสระได้ หากอุปกรณ์ไม่ได้ให้ข้อผิดพลาดอย่างเป็นระบบ (เช่น ศูนย์ไม่ได้ "ล้มลง" บนมาตราส่วน สปริงไม่ยืดออก ฯลฯ) เราก็สามารถสันนิษฐานได้ว่าการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ M(X) = a, และดังนั้นจึง M(X .) 1
) = ... = M(X น ) = a. ดังนั้นเงื่อนไขของผลสืบเนื่องข้างต้นเป็นที่พอใจและเป็นค่าประมาณของปริมาณ เอเราสามารถ "ดำเนินการ" ของตัวแปรสุ่มได้ 
ในการทดลองของเรา (ประกอบด้วยชุดของ นการวัด) เช่น
.
ด้วยการวัดจำนวนมาก ความแม่นยำที่ดีของการคำนวณโดยใช้สูตรนี้จึงเชื่อถือได้ในทางปฏิบัติ นี่คือเหตุผลของหลักการในทางปฏิบัติที่ว่า ด้วยการวัดจำนวนมาก ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพวกมันแทบไม่แตกต่างจากมูลค่าที่แท้จริงของปริมาณที่วัดได้มากนัก
วิธีการ "คัดเลือก" ซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลายในสถิติทางคณิตศาสตร์นั้นขึ้นอยู่กับกฎของตัวเลขจำนวนมากซึ่งช่วยให้ได้ลักษณะวัตถุประสงค์ด้วยความแม่นยำที่ยอมรับได้จากตัวอย่างค่าตัวแปรสุ่มที่ค่อนข้างเล็ก แต่จะกล่าวถึงในหัวข้อถัดไป
ตัวอย่าง. บนอุปกรณ์วัดที่ไม่ทำให้เกิดการบิดเบือนอย่างเป็นระบบจะมีการวัดปริมาณที่แน่นอน เอครั้งเดียว (ได้รับค่า X 1
) และอีก 99 ครั้ง (ได้รับค่า X 2
, … , X 100
). สำหรับมูลค่าที่แท้จริงของการวัด เอขั้นแรกเอาผลการวัดครั้งแรก 
แล้วค่าเฉลี่ยเลขคณิตของการวัดทั้งหมด 
. ความแม่นยำในการวัดของอุปกรณ์นั้นมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของการวัด σ ไม่เกิน 1 (เนื่องจากการกระจายตัว ดี=σ
2
ยังไม่เกิน 1). สำหรับแต่ละวิธีการวัด ให้ประมาณความน่าจะเป็นที่ข้อผิดพลาดในการวัดไม่เกิน 2
วิธีการแก้. ให้ r.v. X- การอ่านค่าเครื่องมือสำหรับการวัดครั้งเดียว แล้วตามเงื่อนไข M(X)=a. ในการตอบคำถาม เราใช้ความไม่เท่าเทียมกันทั่วไปของ Chebyshev
สำหรับ ε =2
ครั้งแรกสำหรับ น=1
แล้วสำหรับ น=100
. ในกรณีแรกเราได้รับ 
และในครั้งที่สอง ดังนั้น กรณีที่สองจึงรับประกันความแม่นยำในการวัดที่ให้ไว้ได้จริง ในขณะที่กรณีแรกทำให้เกิดความสงสัยอย่างมากในแง่นี้
ให้เรานำข้อความข้างต้นไปใช้กับตัวแปรสุ่มที่เกิดขึ้นในรูปแบบเบอร์นูลลี ให้เราระลึกถึงสาระสำคัญของโครงการนี้ ปล่อยให้มันผลิต น การทดสอบอิสระ ในแต่ละเหตุการณ์ แต่สามารถปรากฏด้วยความน่าจะเป็นเท่ากัน R, แ q=1–r(โดยความหมายนี่คือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงกันข้าม ไม่ใช่การเกิดขึ้นของเหตุการณ์ แต่) . มาใช้เลขกัน นการทดสอบดังกล่าว พิจารณาตัวแปรสุ่ม: X 1 – จำนวนครั้งของเหตุการณ์ แต่ใน 1 ทดสอบ, ..., X น– จำนวนครั้งของเหตุการณ์ แต่ใน นการทดสอบครั้ง ทั้งหมดแนะนำ r.v. สามารถรับค่าได้ 0 หรือ 1 (เหตุการณ์ แต่อาจปรากฏในการทดสอบหรือไม่) และค่า 1 ยอมรับแบบมีเงื่อนไขในการทดลองแต่ละครั้งด้วยความน่าจะเป็น พี(ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ แต่ในการทดสอบแต่ละครั้ง) และค่า 0 ด้วยความน่าจะเป็น q= 1 – พี. ดังนั้น ปริมาณเหล่านี้จึงมีกฎการจำหน่ายเหมือนกัน:
|
X 1 | ||
|
X น | ||
ดังนั้นค่าเฉลี่ยของปริมาณเหล่านี้และการกระจายก็เหมือนกัน: M(X .) 1 )=0 ∙ q+1 ∙ p= p, …, M(X น )= พี ; ดี(X 1 )=(0 2 ∙ q+1 2 ∙ พี)− พี 2 = พี∙(1− พี)= พี ∙ q, … , ดี(X น )= พี ∙ ถาม เราได้รับค่าเหล่านี้แทนค่าความไม่เท่าเทียมกันทั่วไปของ Chebyshev
.
เป็นที่ชัดเจนว่า r.v. X=X 1 +…+Х นคือจำนวนครั้งของเหตุการณ์ แต่ทั้งหมด นการทดลอง (ตามที่พวกเขาพูด - "จำนวนความสำเร็จ" ใน นการทดสอบ) ปล่อยให้ใน นเหตุการณ์ทดสอบ แต่ปรากฏใน k ของพวกเขา. จากนั้นอสมการก่อนหน้าสามารถเขียนเป็น
.
แต่ขนาด 
, เท่ากับอัตราส่วนของจำนวนเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น แต่ใน นการทดลองอิสระต่อจำนวนการทดลองทั้งหมด ซึ่งก่อนหน้านี้เรียกว่าอัตราเหตุการณ์สัมพัทธ์ แต่ใน นการทดสอบ ดังนั้นจึงมีความไม่เท่าเทียมกัน
.
ทะลุขีดจำกัดแล้วที่ น→∞ เราได้ 
, เช่น. 
(ตามความน่าจะเป็น) นี่คือเนื้อหาของกฎหมายจำนวนมากในรูปแบบของเบอร์นูลลี จากนี้ไปว่าสำหรับการทดลองจำนวนมากเพียงพอ นความเบี่ยงเบนเล็กน้อยโดยพลการของความถี่สัมพัทธ์ 
เหตุการณ์จากความน่าจะเป็น Rเกือบจะเป็นเหตุการณ์บางอย่าง และการเบี่ยงเบนครั้งใหญ่แทบจะเป็นไปไม่ได้เลย ผลลัพธ์ที่ได้เกี่ยวกับความเสถียรของความถี่สัมพัทธ์ดังกล่าว (ซึ่งก่อนหน้านี้เราเรียกว่า ทดลองข้อเท็จจริง) ให้เหตุผลกับคำจำกัดความทางสถิติที่นำมาใช้ก่อนหน้านี้ของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เป็นตัวเลขที่ความถี่สัมพัทธ์ของเหตุการณ์ผันผวน
พิจารณาว่านิพจน์ พี∙
q=
พี∙(1−
พี)=
พี−
พี 2
ไม่เกินช่วงการเปลี่ยนแปลง 
(ง่ายต่อการตรวจสอบโดยหาค่าต่ำสุดของฟังก์ชันในส่วนนี้) จากอสมการข้างต้น 
หาง่าย
,
ซึ่งใช้ในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้อง (หนึ่งในนั้นจะได้รับด้านล่าง)
ตัวอย่าง. เหรียญถูกพลิก 1,000 ครั้ง ประมาณความน่าจะเป็นที่ความเบี่ยงเบนของความถี่สัมพัทธ์ของลักษณะที่ปรากฏของเสื้อคลุมแขนจากความน่าจะเป็นจะน้อยกว่า 0.1
วิธีการแก้. การใช้ความไม่เท่าเทียมกัน 
ที่ พี=
q=1/2
,
น=1000
,
ε=0.1, เราได้รับ .
ตัวอย่าง. ประมาณความน่าจะเป็นที่ภายใต้เงื่อนไขของตัวอย่างก่อนหน้านี้ ตัวเลข kของเสื้อคลุมแขนที่ลดลงจะอยู่ในช่วงของ 400 ก่อน 600 .
วิธีการแก้. สภาพ 400<
k<600
หมายความว่า 400/1000<
k/
น<600/1000
, เช่น. 0.4<
W น (อา)<0.6
หรือ 
. ดังที่เราได้เห็นจากตัวอย่างก่อนหน้านี้ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ดังกล่าวอย่างน้อยก็ 0.975
.
ตัวอย่าง. เพื่อคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์บางอย่าง แต่มีการทดลอง 1,000 ครั้งซึ่งเหตุการณ์ แต่ปรากฏ 300 ครั้ง ประมาณความน่าจะเป็นที่ความถี่สัมพัทธ์ (เท่ากับ 300/1000=0.3) แตกต่างจากความน่าจะเป็นจริง Rไม่เกิน 0.1
วิธีการแก้. ใช้ความไม่เท่าเทียมกันข้างต้น 
สำหรับ n=1000 ε=0.1 เราได้รับ
บรรยายที่ 8 ส่วนที่ 1 ทฤษฎีความน่าจะเป็น
ประเด็นที่อยู่ระหว่างการพิจารณา
1) กฎของตัวเลขจำนวนมาก
2) ทฤษฎีบทขีด จำกัด กลาง
กฎของตัวเลขจำนวนมาก
กฎของตัวเลขจำนวนมากในความหมายกว้าง ๆ เป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นหลักการทั่วไปตามที่มีตัวแปรสุ่มจำนวนมาก ผลลัพธ์โดยเฉลี่ยของพวกมันจะหยุดสุ่มและสามารถคาดการณ์ได้ด้วยความแน่นอนในระดับสูง
กฎของตัวเลขจำนวนมากในความหมายที่แคบเป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์จำนวนหนึ่ง ซึ่งภายใต้เงื่อนไขบางประการ มีความเป็นไปได้ที่จะประมาณลักษณะเฉลี่ยของการทดสอบจำนวนมากขึ้น
เป็นค่าคงที่ที่แน่นอน ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทประเภทนี้ มีการใช้ความไม่เท่าเทียมกันของ Markov และ Chebyshev ซึ่งเป็นผลประโยชน์โดยอิสระเช่นกัน
ทฤษฎีบท 1(ความไม่เท่าเทียมกันของ Markov). หากตัวแปรสุ่มใช้ค่าที่ไม่เป็นลบและมีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ดังนั้นสำหรับจำนวนบวกใด ๆ ความไม่เท่าเทียมกัน
การพิสูจน์เราจะดำเนินการหาตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง เราจะถือว่าใช้ค่าจากที่ค่าแรกน้อยกว่าหรือเท่ากับและค่าอื่น ๆ ทั้งหมดมีค่ามากกว่านั้น
ที่ไหน
ตัวอย่าง 1จำนวนการโทรโดยเฉลี่ยที่มาถึงสวิตช์ของโรงงานในหนึ่งชั่วโมงคือ 300 ประมาณความน่าจะเป็นที่ในชั่วโมงถัดไปจำนวนการโทรไปที่สวิตช์:
1) จะเกิน 400;
2) จะไม่เกิน 500.
วิธีการแก้. 1) ให้ตัวแปรสุ่มเป็นจำนวนการโทรที่มาถึงสวิตช์ในช่วงเวลาหนึ่งชั่วโมง ค่ากลางคือ เราจึงต้องประเมิน ตามความเหลื่อมล้ำของมาร์คอฟ
2) ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะมีจำนวนการโทรไม่เกิน 500 ครั้ง คือ 0.4 เป็นอย่างน้อย
ตัวอย่าง 2ผลรวมของเงินฝากทั้งหมดในสาขาของธนาคารคือ 2 ล้านรูเบิล และความน่าจะเป็นที่เงินฝากแบบสุ่มไม่เกิน 10,000 รูเบิลคือ 0.6 สิ่งที่สามารถพูดเกี่ยวกับจำนวนผู้มีส่วนร่วม?
วิธีการแก้.ให้ค่าที่สุ่มมาคือขนาดของการมีส่วนร่วมแบบสุ่มและจำนวนการมีส่วนร่วมทั้งหมด แล้ว (พัน) ตามความเหลื่อมล้ำของ Markov เหตุใด
ตัวอย่างที่ 3ให้เป็นเวลาที่นักเรียนมาสายสำหรับการบรรยาย เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าเขามาสายโดยเฉลี่ย 1 นาที ประมาณความน่าจะเป็นที่นักเรียนจะมาสายอย่างน้อย 5 นาที
วิธีการแก้.โดยสมมติฐาน การใช้ความไม่เท่าเทียมกันของ Markov เราได้รับสิ่งนั้น 
ดังนั้นจากนักเรียนทุกๆ 5 คน จะมีนักเรียนไม่เกิน 1 คนมาสายอย่างน้อย 5 นาที
ทฤษฎีบท 2 (ความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev) 
.
การพิสูจน์.ให้ตัวแปรสุ่ม X ถูกกำหนดโดยชุดของการแจกแจง
ตามคำจำกัดความของการกระจาย ให้เรายกเว้นจากผลรวมนี้ เงื่อนไขเหล่านั้นซึ่ง 
. ในเวลาเดียวกันตั้งแต่ เงื่อนไขทั้งหมดไม่เป็นค่าลบ ผลรวมจะลดลงเท่านั้น เพื่อความชัดเจนเราจะถือว่าแรก kเงื่อนไข แล้ว
เพราะเหตุนี้, 
.
ความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev ทำให้สามารถประมาณค่าความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มที่เบี่ยงเบนไปจากการคาดหมายทางคณิตศาสตร์ได้จากข้อมูลเฉพาะเกี่ยวกับความแปรปรวนของตัวแปรดังกล่าว มีการใช้กันอย่างแพร่หลาย เช่น ในทฤษฎีการประมาณค่า
ตัวอย่างที่ 4โยนเหรียญ 10,000 ครั้ง ประเมินความน่าจะเป็นที่ความถี่ของเสื้อคลุมแขนแตกต่างจาก 0.01 หรือมากกว่า
วิธีการแก้.ให้เราแนะนำตัวแปรสุ่มอิสระ โดยที่ตัวแปรสุ่มกับชุดการแจกแจงคืออะไร
แล้ว 
เนื่องจากมีการกระจายตามกฎทวินามด้วย 
ความถี่ของการปรากฏตัวของเสื้อคลุมแขนเป็นตัวแปรสุ่มโดยที่ 
. ดังนั้นการกระจายของความถี่ของการปรากฏตัวของเสื้อคลุมแขนจึงเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev 
.
ดังนั้น โดยเฉลี่ยแล้ว ในการโยนเหรียญ 10,000 เหรียญ ไม่เกินหนึ่งในสี่ของกรณี ความถี่ของเสื้อคลุมแขนจะแตกต่างจากหนึ่งร้อยหรือมากกว่า
ทฤษฎีบท 3 (เชบีเชฟ).หากเป็นตัวแปรสุ่มอิสระที่มีความแปรปรวนมีขอบเขตเท่ากัน () แล้ว
การพิสูจน์.เพราะ
จากนั้นนำความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev มาประยุกต์ใช้ เราจะได้
เนื่องจากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต้องไม่มากกว่า 1 เราจึงได้สิ่งที่ต้องการ
ผลที่ 1หากเป็นตัวแปรสุ่มอิสระที่มีความแปรปรวนที่มีขอบเขตเท่ากันและมีความคาดหวังทางคณิตศาสตร์เท่ากัน เอ, แล้ว
ความเท่าเทียมกัน (1) แสดงให้เห็นว่าการเบี่ยงเบนแบบสุ่มของตัวแปรสุ่มอิสระแต่ละตัวจากค่าเฉลี่ยทั่วไปของพวกมัน เมื่อมวลของพวกมันมาก จะหักล้างกัน ดังนั้นแม้ว่าปริมาณจะเป็นแบบสุ่ม แต่ค่าเฉลี่ยของพวกมัน 
โดยรวมแล้ว แทบไม่มีการสุ่มและใกล้เคียงกับ . ซึ่งหมายความว่าหากไม่ทราบล่วงหน้าก็สามารถคำนวณได้โดยใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต คุณสมบัติของลำดับของตัวแปรสุ่มอิสระนี้เรียกว่า กฎความมั่นคงทางสถิติกฎความมั่นคงทางสถิติยืนยันความเป็นไปได้ของการนำการวิเคราะห์ทางสถิติมาใช้ในการตัดสินใจเฉพาะด้านการจัดการ
ทฤษฎีบท 4 (เบอร์นูลลี).ถ้าในแต่ละ พีการทดลองอิสระ ความน่าจะเป็น p ของการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ A เป็นค่าคงที่ ดังนั้น
,
จำนวนของเหตุการณ์ A เกิดขึ้นที่ไหนสำหรับสิ่งเหล่านี้ พีการทดสอบ
การพิสูจน์.เราแนะนำตัวแปรสุ่มอิสระ โดยที่ Х ผมเป็นตัวแปรสุ่มที่มีอนุกรมการแจกแจง
แล้วก็ M(X ผม)=p, D(X ผม)=pq. ตั้งแต่ แล้ว D(X ผม) ถูกจำกัดโดยรวม ตามทฤษฎีบทของเชบีเชฟว่า
.
แต่ X 1 + X 2 + ... + X พีคือ จำนวนครั้งของเหตุการณ์ A ในชุดของ พีการทดสอบ
ความหมายของทฤษฎีบทของเบอร์นูลลีก็คือด้วยการเพิ่มจำนวนการทดลองอิสระที่เหมือนกันอย่างไม่จำกัด ด้วยความแน่นอนในทางปฏิบัติ จึงสามารถโต้แย้งได้ว่าความถี่ของการเกิดเหตุการณ์จะแตกต่างกันเล็กน้อยตามอำเภอใจจากความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นในการทดลองแยกกัน ( เสถียรภาพทางสถิติของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์)ดังนั้น ทฤษฎีบทของเบอร์นูลลีจึงทำหน้าที่เป็นสะพานเชื่อมจากทฤษฎีการประยุกต์ไปสู่การประยุกต์
เคล็ดลับของผู้ขายที่ประสบความสำเร็จคืออะไร? หากคุณดูพนักงานขายที่เก่งที่สุดของบริษัทใดๆ คุณจะสังเกตเห็นว่าพวกเขามีสิ่งหนึ่งที่เหมือนกัน แต่ละคนพบปะกับผู้คนมากขึ้นและนำเสนอผลงานมากกว่าพนักงานขายที่ประสบความสำเร็จน้อยกว่า คนเหล่านี้เข้าใจดีว่าการขายคือเกมตัวเลข และยิ่งพวกเขาบอกเกี่ยวกับผลิตภัณฑ์หรือบริการของพวกเขามากเท่าไร พวกเขาก็ยิ่งปิดการขายมากขึ้นเท่านั้น พวกเขาเข้าใจดีว่าหากพวกเขาสื่อสารไม่เพียงแค่กับคนไม่กี่คนที่จะตอบตกลงกับพวกเขาอย่างแน่นอน แต่ยังรวมถึงผู้ที่มีความสนใจในข้อเสนอของพวกเขาที่ไม่ค่อยดีนัก กฎของค่าเฉลี่ยก็จะเป็นประโยชน์ต่อพวกเขา
รายได้ของคุณจะขึ้นอยู่กับจำนวนการขาย แต่ในขณะเดียวกัน รายได้ก็จะแปรผันตรงกับจำนวนการนำเสนอที่คุณทำ เมื่อคุณเข้าใจและเริ่มนำไปใช้จริงกับกฎแห่งค่าเฉลี่ยแล้ว ความวิตกกังวลที่เกี่ยวข้องกับการเริ่มต้นธุรกิจใหม่หรือการทำงานในสาขาใหม่จะเริ่มลดลง และด้วยเหตุนี้ ความรู้สึกในการควบคุมและความมั่นใจในความสามารถในการหารายได้จึงเริ่มเติบโตขึ้น หากคุณเพียงแค่ทำการนำเสนอและฝึกฝนทักษะของคุณในกระบวนการนี้ ก็จะมีข้อตกลง
แทนที่จะคิดถึงจำนวนข้อเสนอ ให้นึกถึงจำนวนการนำเสนอ มันไม่สมเหตุสมผลเลยที่จะตื่นเช้าหรือกลับบ้านในตอนเย็นแล้วเริ่มสงสัยว่าใครจะซื้อผลิตภัณฑ์ของคุณ แต่ควรวางแผนในแต่ละวันว่าต้องโทรกี่ครั้ง แล้วไม่ว่าจะเกิดอะไรขึ้น - โทรออกทั้งหมด! วิธีนี้จะทำให้งานของคุณง่ายขึ้น เพราะเป็นเป้าหมายที่ง่ายและเจาะจง หากคุณรู้ว่าคุณมีเป้าหมายที่เจาะจงและสามารถบรรลุผลได้อยู่ตรงหน้า คุณจะกำหนดจำนวนการโทรที่วางแผนไว้ได้ง่ายขึ้น หากคุณได้ยินคำว่า "ใช่" สองสามครั้งในระหว่างขั้นตอนนี้ ยิ่งดี!
และถ้า "ไม่" ในตอนเย็น คุณจะรู้สึกว่าคุณได้ทำทุกอย่างที่ทำได้โดยสุจริต และคุณจะไม่ถูกทรมานด้วยความคิดเกี่ยวกับจำนวนเงินที่คุณได้รับ หรือจำนวนหุ้นส่วนที่คุณได้รับในหนึ่งวัน
สมมติว่าในบริษัทหรือธุรกิจของคุณ พนักงานขายโดยเฉลี่ยจะปิดหนึ่งข้อเสนอทุกๆ สี่การนำเสนอ ลองนึกภาพว่าคุณกำลังจั่วไพ่จากสำรับ การ์ดแต่ละใบที่มีสามชุด - โพดำ เพชร และไม้กอล์ฟ - เป็นงานนำเสนอที่คุณนำเสนอผลิตภัณฑ์ บริการ หรือโอกาสอย่างมืออาชีพ คุณทำดีที่สุดแล้ว แต่คุณยังไม่ปิดดีล และการ์ดหัวใจแต่ละใบเป็นข้อตกลงที่ช่วยให้คุณได้รับเงินหรือหาเพื่อนใหม่
ในสถานการณ์เช่นนี้ คุณไม่ต้องการที่จะจั่วไพ่จากสำรับให้มากที่สุดเท่าที่เป็นไปได้หรือไม่? สมมติว่าคุณได้รับการเสนอให้จั่วไพ่ได้มากเท่าที่คุณต้องการ ในขณะที่จ่ายเงินให้คุณหรือแนะนำเพื่อนใหม่ทุกครั้งที่คุณจั่วการ์ดหัวใจ คุณจะเริ่มจั่วไพ่อย่างกระตือรือร้น โดยแทบจะไม่สังเกตเห็นว่าไพ่ใบไหนถูกดึงออกมา
คุณรู้ไหมว่ามีหัวใจสิบสามดวงในสำรับไพ่ห้าสิบสองใบ และในสองสำรับ - การ์ดหัวใจ 26 ใบและอื่น ๆ คุณจะผิดหวังกับการวาดโพดำ เพชร หรือไม้กอล์ฟไหม? แน่นอนว่าไม่! คุณจะคิดว่า "คิดถึง" แต่ละครั้งจะทำให้คุณใกล้ชิดยิ่งขึ้น - อะไรนะ? ถึงการ์ดหัวใจ!
แต่คุณรู้อะไรไหม? คุณได้รับข้อเสนอนี้แล้ว คุณอยู่ในตำแหน่งที่ไม่เหมือนใครในการหารายได้มากเท่าที่คุณต้องการ และจั่วการ์ดหัวใจได้มากเท่าที่คุณต้องการจะจั่วในชีวิตของคุณ และถ้าคุณเพียงแค่ "จั่วไพ่" อย่างมีสติ พัฒนาทักษะและอดทนกับจอบ เพชร และไม้กระบองเล็กๆ น้อยๆ คุณก็จะกลายเป็นพนักงานขายที่ยอดเยี่ยมและประสบความสำเร็จ
สิ่งหนึ่งที่ทำให้การขายสนุกมากคือทุกครั้งที่คุณสับไพ่ ไพ่จะถูกสับต่างกัน บางครั้งหัวใจทั้งหมดก็จบลงที่จุดเริ่มต้นของเด็คและหลังจากสตรีคที่ประสบความสำเร็จ (เมื่อดูเหมือนว่าเราจะไม่มีวันแพ้!) เรากำลังรอการ์ดแถวยาวของชุดที่แตกต่างกัน และอีกครั้ง ในการที่จะไปถึงหัวใจแรก คุณต้องผ่านจอบ กระบอง และแทมบูรีนจำนวนนับไม่ถ้วน และบางครั้งไพ่ชุดต่าง ๆ ก็หลุดออกมาอย่างเด็ดขาด แต่ไม่ว่าในกรณีใด ในทุกสำรับไพ่ห้าสิบสองใบ ลำดับใด ๆ ก็มีหัวใจสิบสามดวงเสมอ เพียงแค่ดึงการ์ดออกมาจนกว่าคุณจะพบ
From: เลย์ลี่,
กฎของตัวเลขขนาดใหญ่
กฎของตัวเลขจำนวนมากในทฤษฎีความน่าจะเป็นระบุว่าค่าเฉลี่ยเชิงประจักษ์ (ค่าเฉลี่ยเลขคณิต) ของตัวอย่างที่มีขอบเขตจำกัดขนาดใหญ่เพียงพอจากการแจกแจงแบบตายตัวนั้นใกล้เคียงกับค่าเฉลี่ยทางทฤษฎี (ความคาดหวัง) ของการแจกแจงนี้ ขึ้นอยู่กับประเภทของการบรรจบกัน มีกฎที่อ่อนแอของจำนวนมาก เมื่อมีการลู่เข้าในความน่าจะเป็น และกฎที่แข็งแกร่งของจำนวนมาก เมื่อมีการบรรจบกันเกือบทุกที่
จะมีการทดลองจำนวนมากเสมอซึ่งด้วยความน่าจะเป็นที่กำหนดไว้ล่วงหน้า ความถี่สัมพัทธ์ของการเกิดขึ้นของเหตุการณ์บางอย่างจะแตกต่างจากความน่าจะเป็นเพียงเล็กน้อยโดยพลการ
ความหมายทั่วไปของกฎจำนวนมากคือการกระทำร่วมกันของปัจจัยสุ่มจำนวนมากนำไปสู่ผลลัพธ์ที่เกือบจะไม่ขึ้นกับโอกาส
วิธีการประมาณความน่าจะเป็นตามการวิเคราะห์กลุ่มตัวอย่างที่มีขอบเขตจะขึ้นอยู่กับคุณสมบัตินี้ ตัวอย่างที่ดีคือการทำนายผลการเลือกตั้งจากการสำรวจกลุ่มตัวอย่างผู้มีสิทธิเลือกตั้ง
กฎหมายที่อ่อนแอของตัวเลขจำนวนมาก
ให้มีลำดับอนันต์ (การแจงนับติดต่อกัน) ของตัวแปรสุ่มแบบกระจายและไม่สัมพันธ์กันซึ่งกำหนดไว้บนช่องว่างความน่าจะเป็นเดียวกัน นั่นคือความแปรปรวนร่วมของพวกเขา อนุญาต . ให้เราแสดงค่าเฉลี่ยตัวอย่างของเทอมแรก:
กฎที่แข็งแกร่งของตัวเลขจำนวนมาก
ให้มีลำดับอนันต์ของตัวแปรสุ่มแบบกระจายอย่างอิสระเหมือนกัน ซึ่งกำหนดไว้บนช่องว่างความน่าจะเป็นเดียวกัน อนุญาต . ให้เราแสดงค่าเฉลี่ยตัวอย่างของเทอมแรก:
.แล้วเกือบจะแน่นอน
ดูสิ่งนี้ด้วย
วรรณกรรม
- Shiryaev A. N.ความน่าจะเป็น - ม.: วิทยาศาสตร์ 1989.
- Chistyakov V.P.หลักสูตรทฤษฎีความน่าจะเป็น - ม., 1982.
มูลนิธิวิกิมีเดีย 2010 .
- โรงภาพยนตร์ของรัสเซีย
- โกรเมก้า, มิคาอิล สเตฟาโนวิช
ดูว่า "กฎของตัวเลขมาก" ในพจนานุกรมอื่นๆ คืออะไร:
กฎหมายจำนวนมหาศาล- (กฎแห่งตัวเลขมาก) ในกรณีที่พฤติกรรมของสมาชิกแต่ละคนของประชากรมีความโดดเด่นอย่างมาก พฤติกรรมของกลุ่มโดยเฉลี่ยนั้นคาดเดาได้มากกว่าพฤติกรรมของสมาชิกคนใดคนหนึ่ง แนวโน้มที่กลุ่ม ... ... พจนานุกรมเศรษฐกิจ
กฎหมายจำนวนมหาศาล- ดูกฎหมายตัวเลขขนาดใหญ่ อันตินาซี สารานุกรมสังคมวิทยา 2552 ... สารานุกรมสังคมวิทยา
กฎของตัวเลขขนาดใหญ่- หลักการตามแบบแผนเชิงปริมาณที่มีอยู่ในปรากฏการณ์ทางสังคมแบบมวลชนนั้นแสดงออกอย่างชัดเจนที่สุดด้วยการสังเกตจำนวนมากพอสมควร ปรากฏการณ์เดียวมีความอ่อนไหวต่อผลกระทบของการสุ่มและ ... ... อภิธานศัพท์ของเงื่อนไขทางธุรกิจ
กฎหมายจำนวนมหาศาล- อ้างว่าด้วยความน่าจะเป็นที่ใกล้หนึ่ง ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวแปรสุ่มจำนวนมากที่มีลำดับใกล้เคียงกันโดยประมาณจะแตกต่างกันเล็กน้อยจากค่าคงที่ที่เท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรเหล่านี้ ความแตกต่าง… … สารานุกรมธรณีวิทยา
กฎของตัวเลขจำนวนมาก- — [Ya.N. Luginsky, M.S. Fezi Zhilinskaya, Yu.S. Kabirov English Russian Dictionary of Electrical Engineering and Power Industry, มอสโก, 1999] หัวข้อวิศวกรรมไฟฟ้า, แนวคิดพื้นฐาน EN กฎหมายของค่าเฉลี่ยกฎหมายจำนวนมาก ... คู่มือนักแปลทางเทคนิค
กฎของตัวเลขจำนวนมาก- didžiųjų skaičių dėsnis statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. กฎของตัวเลขจำนวนมาก Gesetz der großen Zahlen, n rus. กฎหมายจำนวนมาก, ม. loi des grands nombres, f … Fizikos ปลายทาง žodynas
กฎหมายจำนวนมหาศาล- หลักการทั่วไป เนื่องจากการกระทำร่วมกันของปัจจัยสุ่มนำไปสู่ผลลัพธ์ที่เกือบจะเป็นอิสระจากโอกาสภายใต้เงื่อนไขทั่วไปบางประการ การบรรจบกันของความถี่ของการเกิดเหตุการณ์สุ่มด้วยความน่าจะเป็นด้วยการเพิ่มจำนวน ... ... สารานุกรมสังคมวิทยารัสเซีย
กฎของตัวเลขขนาดใหญ่- กฎหมายที่ระบุว่าการกระทำสะสมของปัจจัยสุ่มจำนวนมากนำไปสู่ผลลัพธ์ที่เกือบจะเป็นอิสระจากโอกาสภายใต้เงื่อนไขทั่วไปบางประการ ... สังคมวิทยา: พจนานุกรม
กฎหมายจำนวนมหาศาล- กฎหมายสถิติแสดงความสัมพันธ์ของตัวบ่งชี้ทางสถิติ (พารามิเตอร์) ของกลุ่มตัวอย่างและประชากรทั่วไป ค่าจริงของตัวบ่งชี้ทางสถิติที่ได้จากตัวอย่างบางตัวจะแตกต่างจากค่าที่เรียกว่าเสมอ ทฤษฎี ...... สังคมวิทยา: สารานุกรม
กฎหมายจำนวนมหาศาล- หลักการที่ว่าความถี่ของการสูญเสียทางการเงินบางประเภทสามารถทำนายได้อย่างแม่นยำสูงเมื่อมีการสูญเสียประเภทที่คล้ายกันจำนวนมาก ... พจนานุกรมสารานุกรมเศรษฐศาสตร์และกฎหมาย
หนังสือ
- ชุดโต๊ะ คณิตศาสตร์. ทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์. 6 ตาราง + วิธีการ, . โต๊ะพิมพ์บนกระดาษแข็งโพลีกราฟิกหนา ขนาด 680 x 980 มม. ชุดนี้ประกอบด้วยโบรชัวร์พร้อมคำแนะนำเกี่ยวกับระเบียบวิธีวิจัยสำหรับครูผู้สอน อัลบั้มการศึกษา 6 แผ่น สุ่ม…
