Naloge: Ponovni in neodvisni testi. Bernoullijev izrek o verjetnostni frekvenci. Predstavitev Bernoullijeve formule Predstavitev Bernoullijeve sheme ponovnega testiranja
https://accounts.google.com
Podnapisi diapozitivov:
Poglavje 9. Elementi matematične statistike, kombinatorike in teorije verjetnosti §54. Naključni dogodki in njihove verjetnosti 3. SAMOSTOJNE PONOVITVE TESTOV. BERNULLIJEV IZREK IN STATISTIČNA STABILNOST.
Vsebina PRIMER 5. Verjetnost zadetka tarče z enim strelom ... Rešitev 5a); Rešitev 5b); Rešitev 5c); Rešitev 5d). Upoštevajte, da ... Pri celotnem nizu ponovitev je pomembno vedeti ... Jacob Bernoulli je združil primere in vprašanja ... IZREK 3 (Bernoullijev izrek). PRIMER 6. V vsakem od odstavkov a) - d) določite vrednosti n, k, p, q in zapišite (brez izračunov) izraz za želeno verjetnost Pn (k). Sklep 6 a); Rešitev 6 b); Rešitev 6 c); Rešitev 6 d). Bernoullijev izrek omogoča ... IZREK 4. Z velikim številom samostojnih ponovitev ... Za učitelja. Viri. 08.02.2014 2
3. SAMOSTOJNE PONOVITVE TESTOV. BERNULLIJEV IZREK IN STATISTIČNA STABILNOST. 3. del. 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike 3
PRIMER 5. Verjetnost zadetka tarče z enim strelom Nekoliko spremenimo prejšnji primer: namesto dveh različnih strelcev bo na tarčo streljal isti strelec. Primer 5. Verjetnost zadetka tarče z enim strelom je 0,8. Izstreljeni so bili 3 neodvisni streli. Poiščite verjetnost, da bo tarča: a) zadeta trikrat; b) ne bo prizadeto; c) bo zadet vsaj enkrat; d) bo zadet natanko enkrat. 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike 4
Rešitev primera 5a) Primer 5. Verjetnost zadetka tarče z enim strelom je 0,8. Izstreljeni so bili 3 neodvisni streli. Poiščite verjetnost, da bo tarča: a) zadeta trikrat; 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike 5
Rešitev primera 5b) Primer 5. Verjetnost zadetka tarče z enim strelom je 0,8. Izstreljeni so bili 3 neodvisni streli. Poiščite verjetnost, da tarča: b) ne bo zadeta; Sklep: 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike 6
Rešitev primera 5c) Primer 5. Verjetnost zadetka tarče z enim strelom je 0,8. Izstreljeni so bili 3 neodvisni streli. Poiščite verjetnost, da bo tarča: c) zadeta vsaj enkrat; Sklep: 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike 7
Rešitev primera 5d) Primer 5. Verjetnost zadetka tarče z enim strelom je 0,8. Izstreljeni so bili 3 neodvisni streli. Poiščite verjetnost, da bo tarča: d) zadeta natanko enkrat. Sklep: 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike 8
Opomba Rešitev, podana v točki d) primera 5, v konkretnem primeru ponavlja dokaz slavnega Bernoullijevega izreka, ki se nanaša na enega najpogostejših verjetnostnih modelov: neodvisne ponovitve istega testa z dvema možnima izidoma. Posebnost Mnogi verjetnostni problemi so sestavljeni iz dejstva, da se lahko test, zaradi katerega se lahko zgodi dogodek, ki nas zanima, večkrat ponovi. 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike 9
Pri celi seriji ponovitev je pomembno vedeti Pri vsaki od teh ponovitev nas zanima vprašanje, ali se bo ta dogodek zgodil ali ne. In v celotnem nizu ponovitev je pomembno, da natančno vemo, kolikokrat se ta dogodek lahko zgodi ali ne. Na primer, kocka se vrže desetkrat zapored. Kakšna je verjetnost, da se bo 4 pojavila natanko 3-krat? 10 izstreljenih strelov; Kolikšna je verjetnost, da bo na tarči točno 8 zadetkov? Ali kolikšna je verjetnost, da se bodo v petih metih kovanca glave pojavile natanko 4-krat? 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike 10
Jacob Bernoulli združil primere in vprašanja Švicarski matematik z začetka 18. stoletja, Jacob Bernoulli, je združil primere in vprašanja te vrste v eno samo verjetnostno shemo. Naj verjetnost naključni dogodek In pri izvajanju nekega testa je enak P (A). Ta test bomo obravnavali kot test z le dvema možnima izidoma: en izid je, da se bo zgodil dogodek A, drugi izid pa je, da se dogodek A ne bo zgodil, tj. zgodil se bo dogodek Ᾱ. Za kratkost poimenujmo prvi izid (pojav dogodka A) »uspeh«, drugi izid (pojav dogodka Ᾱ) pa »neuspeh«. Verjetnost P(A) "uspeha" bo označena s p, verjetnost P(Ᾱ) "neuspeha" pa bo označena s q. Torej q = P(Ᾱ) = 1 - P(A) = 1 - p. 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike 11
IZREK 3 (Bernoullijev izrek) Izrek 3 (Bernoullijev izrek). Naj bo P n (k) verjetnost natanko k "uspehov" v n neodvisnih ponovitvah istega testa. Potem je P n (k)= С n k p k q n- k , kjer je p verjetnost "uspeha" in q=1 - p verjetnost "neuspeha" v ločenem testu. Ta izrek (navajamo ga brez dokaza) je velikega pomena tako za teorijo kot za prakso. 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike 12
PRIMER 6. Primer 6. V vsakem od odstavkov a) - d) določite vrednosti n, k, p, q in zapišite (brez izračunov) izraz za želeno verjetnost P n (k). a) Kakšna je verjetnost, da dobimo točno 7 glav v 10 metih kovanca? b) Vsak od 20 oseb samostojno imenuje enega od dni v tednu. "Nesrečna" dneva sta ponedeljek in petek. Kakšna je verjetnost, da bo "sreče" ravno polovična? c) Metanje kocke je "uspešno", če vrže 5 ali 6. Kakšna je verjetnost, da bo točno 5 metov od 25 "srečnih"? d) Preizkus je sestavljen iz metanja treh različnih kovancev hkrati. "Neuspeh": več "repov" kot "orlov". Kakšna je verjetnost, da bodo med 7 meti ravno tri "sreče"? 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike 13
Rešitev 6a) Primer 6. V vsakem od odstavkov a) - d) določite vrednosti n, k, p, q in zapišite (brez izračunov) izraz za želeno verjetnost P n (k). a) Kakšna je verjetnost, da dobimo točno 7 glav v 10 metih kovanca? Sklep: 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike 14
Rešitev 6b) Primer 6. V vsakem od odstavkov a) - d) določite vrednosti n, k, p, q in zapišite (brez izračunov) izraz za želeno verjetnost P n (k). b) Vsak od 20 oseb samostojno imenuje enega od dni v tednu. "Nesrečna" dneva sta ponedeljek in petek. Kakšna je verjetnost, da bo "sreče" ravno polovična? Sklep: 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike 15
Rešitev 6c) Primer 6. V vsakem od odstavkov a) - d) določite vrednosti n, k, p, q in zapišite (brez izračunov) izraz za želeno verjetnost P n (k). c) Metanje kocke je "uspešno", če vrže 5 ali 6. Kakšna je verjetnost, da bo točno 5 metov od 25 "srečnih"? Sklep: 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike 16
Rešitev 6d) Primer 6. V vsakem od odstavkov a) - d) določite vrednosti n, k, p, q in zapišite (brez izračunov) izraz za želeno verjetnost P n (k). d) Preizkus je sestavljen iz metanja treh različnih kovancev hkrati. "Neuspeh": več "repov" kot "orlov". Kakšna je verjetnost, da bodo med 7 meti ravno tri "sreče"? Rešitev: d) n = 7, k = 3. »Sreča« pri enem metu je, da je manj »repov« kot »orlov«. Skupaj je možnih 8 rezultatov: PPP, PPO, POP, OPP, POO, ORO, OOP, OOO (P - "repi", O - "glave"). Natanko polovica jih ima manj repov kot glav: POO, ORO, OOP, OOO. Torej p = q = 0,5; P 7 (3) \u003d C 7 3 ∙ 0,5 3 ∙ 0,5 4 \u003d C 7 3 ∙ 0,5 7. 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike 17
Bernoullijev izrek omogoča ... Bernoullijev izrek omogoča vzpostavitev povezave med statističnim pristopom k definiciji verjetnosti in klasično definicijo verjetnosti naključnega dogodka. Za opis te povezave se vrnimo k izrazom § 50 o statistični obdelavi informacij. Razmislite o zaporedju n neodvisnih ponovitev istega testa z dvema rezultatoma - "uspeh" in "neuspeh". Rezultati teh testov sestavljajo vrsto podatkov, sestavljenih iz nekega zaporedja dveh možnosti: "uspeh" in "neuspeh". Preprosto povedano, obstaja zaporedje dolžine n, sestavljeno iz dveh črk U ("sreča") in H ("neuspeh"). Na primer U, U, N, N, U, N, N, N, ..., U ali N, U, U, N, U, U, N, N, U, ..., N itd. n. Izračunajmo množico in pogostost možnosti Y, to je, poiščimo ulomek k / n, kjer je k število "sreče", ki se pojavi med vsemi n ponovitvami. Izkazalo se je, da se z neomejenim povečanjem n pogostost k/n pojava "uspehov" praktično ne bo razlikovala od verjetnosti p "uspeha" v enem poskusu. To precej zapleteno matematično dejstvo izhaja prav iz Bernoullijevega izreka. 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike 18
IZREK 4. Pri velikem številu neodvisnih ponovitev IZREK 4. Pri velikem številu neodvisnih ponovitev istega testa je pogostost pojavljanja naključnega dogodka A z naraščajočo natančnostjo približno enaka verjetnosti dogodka A: k/n ≈ P(A). Na primer, ko je n > 2000 z verjetnostjo, večjo od 99 %, lahko trdimo, da je absolutna napaka | k/n - P(A)| približna enakost k/n≈ P(A) bo manjša od 0,03. Zato je v socioloških raziskavah dovolj anketirati približno 2000 naključno izbranih ljudi (anketirancev). Če jih je denimo 520 odgovorilo pozitivno na zastavljeno vprašanje, potem je k/n=520/2000=0,26 in skoraj gotovo je, da za katero koli več anketirancev bo ta frekvenca v območju od 0,23 do 0,29. Ta pojav imenujemo pojav statistične stabilnosti. Torej nam Bernoullijev izrek in njegove posledice omogočajo (približno) najti verjetnost naključnega dogodka v primerih, ko je njegov izrecni izračun nemogoč. 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike 19
Za učitelja 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike 20
08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike 21
08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike 22
Viri Algebra in začetki analize, 10.–11. razred, 1. del. Učbenik, 10. izdaja. (Osnovna raven), A.G. Mordkovich, M., 2009 Algebra in začetek analize, razredi 10-11. (Osnovna raven) Metodološki vodnik za učitelje, A. G. Mordkovich, P. V. Semenov, M., 2010 Tabele so sestavljene v MS Word in MS Excel. Internetni viri Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike 08.02.2014 23
Predogled:
Za uporabo predogleda predstavitev si ustvarite račun ( račun) Google in se prijavite: https://accounts.google.com
Podnapisi diapozitivov:
diapozitiv 1
Poglavje 9. Elementi matematične statistike, kombinatorike in teorije verjetnosti
§54. Naključni dogodki in njihove verjetnosti 3. SAMOSTOJNE PONOVITVE TESTOV. BERNULLIJEV IZREK IN STATISTIČNA STABILNOST.
diapozitiv 2
Vsebina
PRIMER 5. Verjetnost zadetka tarče z enim strelom ... Rešitev 5a); Rešitev 5b); Rešitev 5c); Rešitev 5d) Upoštevajte, da ... V celotni seriji ponovitev je pomembno vedeti ... Jacob Bernoulli je združil primere in vprašanja ... IZREK 3 (Bernoullijev izrek).
PRIMER 6. V vsakem od odstavkov a) - d) določite vrednosti n, k, p, q in izpišite (brez izračunov) izraz za želeno verjetnost Pn(k). Rešitev 6a; Rešitev 6b) ; Rešitev 6c); Rešitev 6d ). Bernoullijev izrek omogoča ... IZREK 4. Z velikim številom neodvisnih ponovitev ... Za učitelja Viri.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike
*
diapozitiv 3
3. SAMOSTOJNE PONOVITVE TESTOV. BERNULLIJEV IZREK IN STATISTIČNA STABILNOST.
3. del
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike
*
diapozitiv 4
PRIMER 5. Verjetnost zadetka tarče z enim strelom
Nekoliko spremenimo prejšnji primer: namesto dveh različnih strelcev bo na tarčo streljal isti strelec Primer 5. Verjetnost zadetka tarče z enim strelom je 0,8. Izstreljeni so bili 3 neodvisni streli. Poiščite verjetnost, da bo tarča: a) zadeta trikrat; b) ne bo zadeta; c) bo zadeta vsaj enkrat; d) bo zadeta natanko enkrat.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike
*
diapozitiv 5
Rešitev primera 5a)
Primer 5. Verjetnost zadetka tarče z enim strelom je 0,8. Izstreljeni so bili 3 neodvisni streli. Poiščite verjetnost, da bo tarča: a) zadeta trikrat;
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike
*
diapozitiv 6
Rešitev primera 5b)
Primer 5. Verjetnost zadetka tarče z enim strelom je 0,8. Izstreljeni so bili 3 neodvisni streli. Poiščite verjetnost, da tarča: b) ne bo zadeta; Rešitev:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike
*
Diapozitiv 7
Rešitev primera 5c)
Primer 5. Verjetnost zadetka tarče z enim strelom je 0,8. Izstreljeni so bili 3 neodvisni streli. Poiščite verjetnost, da bo tarča: c) zadeta vsaj enkrat; Rešitev:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike
*
Diapozitiv 8
Rešitev primera 5d)
Primer 5. Verjetnost zadetka tarče z enim strelom je 0,8. Izstreljeni so bili 3 neodvisni streli. Poiščite verjetnost, da bo tarča: d) zadeta natanko enkrat. Rešitev:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike
*
Diapozitiv 9
Opomba
Rešitev, podana v točki d) primera 5, v konkretnem primeru ponavlja dokaz slavnega Bernoullijevega izreka, ki se nanaša na enega najpogostejših verjetnostnih modelov: neodvisne ponovitve istega testa z dvema možnima izidoma. Posebna značilnost številnih verjetnostnih problemov je, da se lahko test, zaradi katerega se lahko zgodi dogodek, ki nas zanima, večkrat ponovi.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike
*
Diapozitiv 10
V celotni seriji ponovitev je pomembno vedeti
Pri vsaki od teh ponovitev nas zanima, ali se ta dogodek zgodi ali ne. In v celotnem nizu ponovitev je pomembno, da natančno vemo, kolikokrat se ta dogodek lahko zgodi ali ne. Na primer, kocka se vrže desetkrat zapored. Kakšna je verjetnost, da se bo 4 pojavila natanko 3-krat? 10 izstreljenih strelov; Kolikšna je verjetnost, da bo na tarči točno 8 zadetkov? Ali kolikšna je verjetnost, da se bodo v petih metih kovanca glave pojavile natanko 4-krat?
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike
*
diapozitiv 11
Jacob Bernoulli je združil primere in vprašanja
Švicarski matematik iz zgodnjega 18. stoletja, Jacob Bernoulli, je primere in vprašanja te vrste združil v eno samo verjetnostno shemo.Naj je verjetnost naključnega dogodka A med nekim testom enaka P (A). Ta test bomo obravnavali kot test z le dvema možnima izidoma: en izid je, da se bo zgodil dogodek A, drugi izid pa je, da se dogodek A ne bo zgodil, tj. zgodil se bo dogodek Ᾱ. Za kratkost poimenujmo prvi izid (pojav dogodka A) »uspeh«, drugi izid (pojav dogodka Ᾱ) pa »neuspeh«. Verjetnost P(A) "uspeha" bo označena s p, verjetnost P(Ᾱ) "neuspeha" pa bo označena s q. Torej q = P(Ᾱ) = 1 - P(A) = 1 - p.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike
*
diapozitiv 12
IZREK 3 (Bernoullijev izrek)
Izrek 3 (Bernoullijev izrek). Naj bo Pn(k) verjetnost natanko k "uspehov" v n neodvisnih ponovitvah istega testa. Potem je Pn(k)= Сnk pk qn-k, kjer je p verjetnost "uspeha" in q=1-p verjetnost "neuspeha" v ločenem testu. Ta izrek (podajamo ga brez dokaza ) je velikega pomena za teorijo in prakso.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike
*
diapozitiv 13
PRIMER 6.
Primer 6. V vsakem od odstavkov a) - d) določite vrednosti n, k, p, q in izpišite (brez izračunov) izraz za želeno verjetnost Pn(k). kovanci? b) Vsak od 20 ljudi samostojno imenuje enega od dni v tednu. "Nesrečna" dneva sta ponedeljek in petek. Kakšna je verjetnost, da bo "sreče" ravno polovična? Kakšna je verjetnost, da bo natanko 5 metov od 25 »uspešnih«? d) Preizkus je sestavljen iz metanja treh različnih kovancev hkrati. "Neuspeh": več "repov" kot "orlov". Kakšna je verjetnost, da bodo med 7 meti ravno tri "sreče"?
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike
*
Diapozitiv 14
Rešitev 6a)
Primer 6. V vsakem od odstavkov a) - d) določite vrednosti n, k, p, q in zapišite (brez izračunov) izraz za želeno verjetnost Pn(k). kovanci? Rešitev:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike
*
diapozitiv 15
Rešitev 6b)
Primer 6. V vsakem od odstavkov a) - d) določite vrednosti n, k, p, q in izpišite (brez izračunov) izraz za želeno verjetnost Pn(k) b) Vsak od 20 ljudi neodvisno imenuje enega od dni v tednu. "Nesrečna" dneva sta ponedeljek in petek. Kakšna je verjetnost, da bo "sreče" natanko polovica? Rešitev:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike
*
diapozitiv 16
Rešitev 6c)
Primer 6. V vsakem od odstavkov a) - d) določite vrednosti n, k, p, q in zapišite (brez izračunov) izraz za želeno verjetnost Pn(k). . Kakšna je verjetnost, da bo točno 5 metov od 25 "srečnih"? Rešitev:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike
*
Diapozitiv 17
Rešitev 6d)
Primer 6. V vsakem od odstavkov a) - d) določite vrednosti n, k, p, q in izpišite (brez izračunov) izraz za želeno verjetnost Pn(k) d) Test je sestavljen iz hkratni met treh različnih kovancev. "Neuspeh": več "repov" kot "orlov". Kolikšna je verjetnost, da bodo med 7 meti natanko tri »sreče« Rešitev: d) n = 7, k = 3. »Sreča« pri enem metu je, da je manj »repov« kot »orlov«. Skupaj je možnih 8 rezultatov: PPP, PPO, POP, OPP, POO, ORO, OOP, OOO (P - "repi", O - "glave"). Natanko polovica jih ima manj repov kot glav: POO, ORO, OOP, OOO. Torej p = q = 0,5; Р7(3) = С73 ∙ 0,53 ∙ 0,54 = С73 ∙ 0,57.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike
*
Diapozitiv 18
Bernoullijev izrek dovoljuje ...
Bernoullijev izrek omogoča vzpostavitev povezave med statističnim pristopom k definiciji verjetnosti in klasično definicijo verjetnosti naključnega dogodka. Za opis te povezave se vrnimo k izrazom § 50 o statistični obdelavi informacij. Razmislite o zaporedju n neodvisnih ponovitev istega testa z dvema rezultatoma - "uspeh" in "neuspeh". Rezultati teh testov sestavljajo vrsto podatkov, sestavljenih iz nekega zaporedja dveh možnosti: "uspeh" in "neuspeh". Preprosto povedano, obstaja zaporedje dolžine n, sestavljeno iz dveh črk Y ("sreča") in H ("neuspeh"). Na primer U, U, N, N, U, N, N, N, ..., U ali N, U, U, N, U, U, N, N, U, ..., N itd. n. Izračunajmo množico in pogostost možnosti Y, tj. našli bomo ulomek k / n, kjer je k število "sreče", ki se pojavi med vsemi n ponovitvami. Izkazalo se je, da se z neomejenim povečanjem n pogostost k/n pojava "uspehov" praktično ne bo razlikovala od verjetnosti p "uspeha" v enem poskusu. To precej zapleteno matematično dejstvo izhaja prav iz Bernoullijevega izreka.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike
*
Diapozitiv 19
IZREK 4. Za veliko število samostojnih ponovitev
IZREK 4. Z velikim številom neodvisnih ponovitev istega testa je pogostost pojavljanja naključnega dogodka A z naraščajočo natančnostjo približno enaka verjetnosti dogodka A: k / n ≈ P (A). Na primer, z n > 2000 z verjetnostjo večjo od 99 % , lahko trdimo, da je absolutna napaka |k/n- Р(А)| približna enakost k/n≈ P(A) bo manjša od 0,03. Zato je v socioloških raziskavah dovolj anketirati približno 2000 naključno izbranih ljudi (anketirancev). Če jih je recimo 520 na vprašanje odgovorilo pozitivno, potem je k / n = 520 / 2000 = 0,26 in je praktično gotovo, da bo za vsako večje število anketiranih takšna frekvenca v območju od 0,23 do 0,29. Ta pojav imenujemo pojav statistične stabilnosti.Tako Bernoullijev izrek in njegove posledice omogočajo (približno) iskanje verjetnosti naključnega dogodka v primerih, ko je njegov eksplicitni izračun nemogoč.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike
*
Diapozitiv 20
Za učitelja
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike
*
diapozitiv 21
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike
*
diapozitiv 22
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike
*
diapozitiv 23
Viri
Algebra in začetki analize, 10.–11. razred, 1. del. Učbenik, 10. izdaja. (Osnovna raven), A.G. Mordkovich, M., 2009 Algebra in začetek analize, razredi 10-11. (Osnovna raven) Metodološki vodnik za učitelje, A. G. Mordkovich, P. V. Semenov, M., 2010 Tabele so sestavljene v MS Word in MS Excel Internetni viri
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učiteljica matematike
08.02.2014
*
diapozitiv 1
Bernoullijev izrek
17.03.2017
diapozitiv 2
Izvede se serija n neodvisnih poskusov. Vsak test ima 2 rezultata: A - "uspeh" in - "neuspeh". Verjetnost "uspeha" pri vsakem testu je enaka in je enaka P(A) = p Skladno s tem se tudi verjetnost "neuspeha" ne spreminja od izkušnje do izkušnje in je enaka.
Bernoullijeva shema
Kakšna je verjetnost, da bo serija n poskusov uspela k-krat? Poiščite Pn(k) .
diapozitiv 3
Kovanec je vržen n-krat. Iz kompleta je n-krat potegnjena karta in vsakič, ko je karta vrnjena, se krov premeša. Kakovost pregledamo n izdelkov določene proizvodnje, naključno izbranih. Strelec strelja v tarčo n-krat.
Primeri
diapozitiv 4
Pojasnite, zakaj se naslednja vprašanja ujemajo z Bernoullijevo shemo. Navedite, kaj je "uspeh" in kaj sta n in k. a) Kakšna je verjetnost, da dobite 2 trikrat v desetih metih kocke? b) Kakšna je verjetnost, da se bodo v 100 metih kovanca glave pojavile 73-krat? c) Par kock je vržen dvajsetkrat zapored. Kolikšna je verjetnost, da vsota točk nikoli ni bila enaka deset? d) Iz kompleta 36 kart so bile izvlečene tri karte, rezultat je bil zabeležen in vrnjen v komplet, nato pa so bile karte premešane. To se je ponovilo 4-krat. Kolikšna je verjetnost, da je bila pikova dama vsakič med izvlečenimi kartami?
diapozitiv 5
Za število kombinacij od n do k velja formula
Na primer:
diapozitiv 6
Bernoullijev izrek
Verjetnost Pn(k) natanko k uspehov pri n neodvisnih ponovitvah istega testa se ugotovi s formulo, kjer je p verjetnost "uspeha", q = 1- p verjetnost "neuspeha" v ločenem poskusu .
Diapozitiv 7
Kovanec se vrže 6-krat. Kakšna je verjetnost, da se bo grb pojavil 0, 1, ...6-krat? rešitev. Število poskusov n=6. Dogodek A - "uspeh" - izguba grba. Po Bernoullijevi formuli je zahtevana verjetnost
;
;
;
;
;
;
Diapozitiv 8
Kovanec se vrže 6-krat. Kakšna je verjetnost, da se bo grb pojavil 0, 1, ...6-krat? rešitev. Število poskusov n=6. Dogodek A - "uspeh" - izguba grba.
;
;
;
;
;
;
Diapozitiv 9
Kovanec se vrže 10-krat. Kakšna je verjetnost, da se bo grb pojavil dvakrat? rešitev. Število poskusov n=10, m=2. Dogodek A - "uspeh" - izguba grba. Po Bernoullijevi formuli je zahtevana verjetnost
;
;
;
;
;
;
Diapozitiv 10
Žara vsebuje 20 belih in 10 črnih kroglic. Iz žoge se vzamejo 4 kroglice in vsaka izvlečena kroglica se vrne v žaro, preden se izžreba naslednja in se kroglice v žari premešajo. Poiščite verjetnost, da sta 2 od 4 izžrebanih kroglic beli. rešitev. Dogodek A - dobil bela žoga. Potem so verjetnosti Po Bernoullijevi formuli je zahtevana verjetnost
diapozitiv 11
Določite verjetnost, da v družini s 5 otroki ni deklet. Predpostavlja se, da sta verjetnosti, da bosta imela fantka in deklico, enaki. rešitev. Verjetnost rojstva deklice, fantka Po Bernoullijevi formuli je zahtevana verjetnost enaka
diapozitiv 12
Poiščite verjetnost, da bo družina s 5 otroki imela eno dekle. Predpostavlja se, da sta verjetnosti, da bosta imela fantka in deklico, enaki. rešitev. Verjetnost rojstva deklice, fantka Po Bernoullijevi formuli je zahtevana verjetnost enaka
diapozitiv 13
Določite verjetnost, da bo družina s 5 otroki imela dve deklici. rešitev. Verjetnost rojstva deklice, fantka Po Bernoullijevi formuli je zahtevana verjetnost enaka
Diapozitiv 14
Poiščite verjetnost, da bo imela družina s 5 otroki 3 dekleta. rešitev. Verjetnost rojstva deklice, fantka Po Bernoullijevi formuli je zahtevana verjetnost enaka
diapozitiv 15
Določite verjetnost, da družina s 5 otroki ne bo imela več kot 3 dekleta. Predpostavlja se, da sta verjetnosti, da bosta imela fantka in deklico, enaki. rešitev. Verjetnost, da boš imela punčko, fantka Zahtevana verjetnost je enaka
.
diapozitiv 16
Med deli, ki jih obdeluje delavec, je v povprečju 4 % nestandardnih. Poiščite verjetnost, da bosta dva od 30 delov, vzetih za testiranje, nestandardna. rešitev. Tukaj je izkušnja v preverjanju kakovosti vsakega od 30 delov. Dogodek A - "videz nestandardnega dela",
"Elementi matematične statistike" - Interval zaupanja. Znanost. Klasifikacija hipotez. Deli so izdelani na različnih strojih. Preverjanje pravil. korelacijsko odvisnost. Zasvojenost. Nabor vrednosti kriterijev. Poiščite interval zaupanja. Izračun intervalov zaupanja za neznano varianco. Normalna porazdelitev.
"Verjetnostna in matematična statistika" - Natančnost dobljenih vrednosti. Koda za sef. Opisna statistika. Apple. Razmislimo o dogodkih. pravilo množenja. Dva strelca. Primerjava učnih načrtih. karamela. Primeri paličnih grafikonov. Ocene za matematiko. Pravilo množenja za tri. Bele in rdeče vrtnice. 9 različnih knjig. Zimske počitnice.
"Osnove matematične statistike" - pogojna verjetnost. Tabela standardiziranih vrednosti. Lastnosti Studentove porazdelitve. Interval zaupanja matematičnega pričakovanja. Vzorčno povprečje. Distribucija. Eno preizkušnjo lahko obravnavamo kot serijo enega preizkušanja. Kvantil - na levi mora biti število vrednosti, ki ustrezajo kvantilnemu indeksu.
"Teorija verjetnosti in statistika" - Meje intervala. Kritična področja. Teorem o množenju verjetnosti. Porazdelitev normalne naključne spremenljivke. Izpeljava Bernoullijeve formule. Zakoni porazdelitve naključnih spremenljivk. Besedilo ZBC. Pomen in formulacija centralnega mejnega izreka. Razmerje nominalnih značilnosti. Stohastična odvisnost dveh slučajnih spremenljivk.
"Statistične raziskave" - Relevantnost. Statistične značilnosti in raziskave. Načrtujte. Razpon je razlika med največjo in najmanjšo vrednostjo serije podatkov. Vrste statističnega opazovanja. Ali radi študirate matematiko. Razmislite o nizu številk. Kdo vam pomaga razumeti težko temo iz matematike. Ali potrebujete matematiko v svojem bodočem poklicu.
"Basic Statistical Characteristics" - Osnovne statistične značilnosti. Poiščite aritmetično sredino. PETRONIJ. Povlecite. Vrtna moda. Aritmetična sredina niza števil. Razpon vrstic. Mediana serije. Statistika. Mediana. Šolski zvezki.
Skupno je v temi 17 predstavitev
ZVEZNA AGENCIJA ZA IZOBRAŽEVANJE
Državna izobraževalna ustanova
visoka strokovna izobrazba
"MATI" - RUSKA DRŽAVNA TEHNOLOŠKA UNIVERZA IM. K.E. CIOLKOVSKI
Oddelek za modeliranje sistemov in informacijsko tehnologijo
Ponavljanje testov. Bernoullijeva shema
Metodična navodila za praktične vaje
v disciplini "Višja matematika"
Sestavil: Egorova Yu.B.
Mamonov I.M.
Moskva 2006 uvod
Smernice so namenjene študentom dnevnih in večernih oddelkov fakultete št. 14, specialnosti 150601, 160301, 230102. Smernice poudarjajo osnovne pojme teme, določajo zaporedje študija gradiva. Veliko število obravnavanih primerov pomaga pri praktičnem razvoju teme. Smernice služijo kot metodološka podlaga za praktične vaje in izvedbo posameznih nalog.
BERNULLIJEVA SHEMA. BERNULLI FORMULA
Bernoullijeva shema- shema ponavljajočih se neodvisnih testov, v katerih je določen dogodek AMPAK se lahko večkrat ponovi s konstantno verjetnostjo R (AMPAK)= R .
Primeri testov, izvedenih po Bernoullijevi shemi: večkratno metanje kovanca ali kocke, izdelava serije delov, streljanje v tarčo itd.
Izrek.Če je verjetnost nastanka dogodka AMPAK v vsakem testu stalna in enaka R, potem je verjetnost, da dogodek AMPAK bo prišel m enkrat a n testov (ne glede na to, v kakšnem zaporedju), se lahko določi z Bernoullijevo formulo:
kje q = 1 – str.
PRIMER 1. Verjetnost, da poraba električne energije v enem dnevu ne bo presegla uveljavljene norme, je enaka p= 0,75. Poiščite verjetnost, da v naslednjih 6 dneh poraba električne energije za 4 dni ne bo presegla norme.
REŠITEV. Verjetnost normalne porabe energije v vsakem od 6 dni je konstantna in enaka R= 0,75. Zato je tudi verjetnost čezmerne porabe električne energije vsak dan konstantna in enaka q = 1R = 1 0,75 = 0,25.
Želena verjetnost po Bernoullijevi formuli je enaka:
PRIMER 2. Strelec izstreli tri strele v tarčo. Verjetnost, da z vsakim strelom zadenemo tarčo, je p= 0,3. Poiščite verjetnost, da: a) je ena tarča zadeta; b) vse tri tarče; c) ni tarč; d) vsaj en cilj; e) manj kot dve tarči.
REŠITEV. Verjetnost zadetka tarče z vsakim strelom je konstantna in enaka R=0,75. Zato je verjetnost zgrešenega q = 1 R\u003d 1 - 0,3 \u003d 0,7. Skupno število poskusov n=3.
a) Verjetnost, da s tremi streli zadenemo eno tarčo, je enaka:
b) Verjetnost, da bomo s tremi streli zadeli vse tri tarče, je:
c) Verjetnost treh zgrešenih strelov s tremi streli je enaka:
d) Verjetnost, da s tremi streli zadenemo vsaj eno tarčo, je enaka:
e) Verjetnost zadetka manj kot dveh tarč, tj. ena tarča ali nobena:
Moivre-Laplaceov lokalni in integralni izrek
Če se opravi veliko število testov, postane izračun verjetnosti z Bernoullijevo formulo tehnično težaven, saj formula zahteva operacije na ogromnih številih. Zato obstajajo enostavnejše približne formule za izračun verjetnosti za velike n. Te formule imenujemo asimptotične in so definirane s Poissonovim izrekom, Laplaceovim lokalnim in integralnim izrekom.
Lokalni de Moivre-Laplaceov izrek. AMPAK AMPAK zgoditi m enkrat a n n (n →∞ ), je približno enako:
kje je funkcija 
in argument 
Bolj n, bolj natančen je izračun verjetnosti. Zato je priporočljivo uporabiti Moivre-Laplaceov izrek npq 20.
f ( x ) sestavljene so bile posebne tabele (glej prilogo 1). Pri uporabi tabele ne pozabite funkcijske lastnosti f(x) :
funkcija f(x) je celo f( x)= f(x) .
pri X ∞ funkcija f(x) 0. V praksi lahko domnevamo, da že pri X>4 funkcija f(x) ≈0.
PRIMER 3. Poiščite verjetnost, da dogodek AMPAK zgodi 80-krat v 400 poskusih, če je verjetnost pojava dogodka AMPAK v vsakem testu je p= 0,2.
REŠITEV. Po stanju n=400, m=80, str=0,2, q=0,8. Posledično:
Glede na tabelo določimo vrednost funkcije f (0)=0,3989.
Moivre-Laplaceov integralni izrek.Če je verjetnost nastanka dogodka AMPAK v vsakem poskusu konstantna in različna od 0 in 1, potem je verjetnost, da dogodek AMPAK prihajati m 1 prej m 2 enkrat a n testov z dovolj velikim številom n (n →∞ ), je približno enako:
kje 
- integral ali Laplaceova funkcija, 
Za iskanje funkcijskih vrednosti F( x ) sestavljene so bile posebne tabele (na primer glej Dodatek 2). Pri uporabi tabele ne pozabite lastnosti Laplaceove funkcije F(x) :
funkcija F(x) je čudno F( x)= F(x) .
pri X ∞ funkcija F(x) 0,5. V praksi se lahko šteje, da X>5 funkcija F(x) ≈0,5.
F (0)=0.
PRIMER 4. Verjetnost, da del ni prestal preverjanja oddelka za nadzor kakovosti, je 0,2. Poiščite verjetnost, da med 400 postavkami ne bo potrjenih 70 do 100 postavk.
REŠITEV. Po stanju n=400, m 1 =70, m 2 =100, str=0,2, q=0,8. Posledično:
Glede na tabelo, v kateri so podane vrednosti Laplaceove funkcije, določimo:
F(x 1 ) = F( 1,25 )= F( 1,25 )= 0,3944; F(x 2 ) = F( 2,5 )= 0,4938.
Poteka vrsta neodvisnih poskusov,od katerih ima vsak 2 možna rezultata,
ki ju bomo pogojno imenovali Uspeh in Neuspeh.
Na primer, študent opravlja 4 izpite, pri vsakem
od tega sta možna 2 izida Uspeh: učenec
opravil izpit in Padel: ni uspel. Verjetnost uspeha v vsakem poskusu je
str. Verjetnost neuspeha je q=1-p.
Treba je najti verjetnost, da v seriji
od n poskusov bo uspeh prišel m-krat
Pn (m) Bm Ó Ó ... Ó Í ... Í
Í Ó ... Ó Í ... Í ...
Í Í ... Í Ó ... Ó
V vsakem primeru se uspeh zgodi m-krat in
Neuspešno (n-m)-krat.
številka
vse
kombinacije
enako
število
načinov iz n poskusov, da izberete tiste m, v
ki je bil Uspeh, tj. Cm
n Verjetnost vsake takšne kombinacije je
izrek
približno
množenje
verjetnosti
bo Pmqn-m.
Ker so te kombinacije nezdružljive, torej
želena verjetnost dogodka Bm bo
Pn (m) p q
m
nm
... p q
m
nm
skupni zaostanki C s û õ C p q
m
n
m
n
m
nm Pn (m) C p q
m
n
m
nm Znano je, da če kovanec pade na glavo, študent
gre v kino, če kovanec pristane na repu
študenti. Kakšna je verjetnost, da
1) trije bodo na predavanju
2) na predavanju bodo vsaj 3 študenti
2) ali bo vsaj eden od študentov prišel na predavanje? 1) V tem problemu niz n=5
neodvisni testi. Recimo temu Uspeh
gredo na predavanje (padejo repi) in
Neuspeh - odhod v kino (padec iz grba).
p=q=1/2.
Z uporabo Bernoullijeve formule najdemo verjetnost, da
Kaj se bo zgodilo 3-krat po 5 metih kovanca?
uspeh:
3
2
1 1
P5(3)C
2 2
5! 1 1
1
10
0,3125
3!2! 8 4
32
3
5Najti verjetnost, da bo po 5 metih
vsaj enkrat bo kovanec pristal na repu,
preidimo na verjetnost nasprotnega
dogodki - kovanec bo izpadel vseh 5-krat z grbom:
P5 (0).
Potem bo želena verjetnost: P=1-P5(0).
Po Bernoullijevi formuli:
0
5
1 1
P5(0) C
2 2
0
5
5
1
0,03125
2 Potem bo verjetnost želenega dogodka
P1 0,03125 0,96875
Bernoulli
študent gre
v kinu, če kovanec pade rep - študent gre v
predavanje. Kovanec je metalo 5 učencev. Kaj je najbolj
verjetno število študentov, ki bo šlo na predavanje?
Verjetnost
dobitek za 1 vstopnico je 0,2. Kaj je najbolj
verjetno število zmagovalnih listkov? Najverjetnejše število uspehov v shemi
Bernoulli
np q k np str Najverjetnejše število uspehov v shemi
Bernoulli
Formula za najverjetnejše število uspehov
np q k np str
Če je np-q celo število, potem ta interval vsebuje 2
cela števila. Oba sta enako neverjetna.
Če je np-q necelo število, potem ta interval vsebuje 1
celo število Najverjetnejše število uspehov v shemi
Bernoulli
Primer Znano je, da če kovanec pade na glave,
- Študent gre na predavanje. Vržen kovanec 5
študenti bodo predavali?
np q k np str
n 5
1
p q
2Najverjetnejše število uspehov v shemi
Bernoulli
Primer Znano je, da če kovanec pade na glave,
študent gre v kino, če kovanec pristane na repu
- Študent gre na predavanje. Vržen kovanec 5
študenti. Kakšna je najverjetnejša številka
študenti bodo predavali?
np q k np str
n 5
1
p q
2
1 1
np q 5 2
2 2
1 1
np p 5 3
2 2Najverjetnejše število uspehov v shemi
Bernoulli
Primer Znano je, da če kovanec pade na glave,
študent gre v kino, če kovanec pristane na repu
- Študent gre na predavanje. Vržen kovanec 5
študenti. Kakšna je najverjetnejša številka
študenti bodo predavali?
np q k np str
n 5
1
p q
2
1 1
np q 5 2
2 2
1 1
np p 5 3
2 2
2 k 3 k 2, k 3 Najverjetnejše število uspehov v shemi
Bernoulli
Primer Znano je, da če kovanec pade na glave,
študent gre v kino, če kovanec pristane na repu
- Študent gre na predavanje. Vržen kovanec 5
študenti. Kakšna je najverjetnejša številka
študenti bodo predavali?
2
3
3
2
5
1 1
1 10 5
P5 (2) C52 10
32 16
2 2
2
5
1 1
1 10 5
P5 (3) C53 10
32 16
2 2
2 Najverjetnejše število uspehov v shemi
Bernoulli
Primer Znano je, da če kovanec pade na glave,
študent gre v kino, če kovanec pristane na repu
- Študent gre na predavanje. Vržen kovanec 5
študenti. Kakšna je najverjetnejša številka
študenti bodo predavali?
verjetnost, Pn(k)
Verjetnost števila študentov, ki so se udeležili
predavanje
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
število učencev, k
4
5Najverjetnejše število uspehov v shemi
Bernoulli
Primer: kupljenih je 10 srečk.
vstopnice?
np q k np str
n 10
p 0,2 q 0,8 Najverjetnejše število uspehov v shemi
Bernoulli
Primer: kupljenih je 10 srečk.
Verjetnost dobitka na 1 listku je 0,2.
Kakšno je najverjetnejše število zmagovalcev
vstopnice?
np q k np str
n 10
p 0,2 q 0,8
np q 10 0,2 0,8 1,2
np p 10 0,2 0,2 2.2 Najverjetnejše število uspehov v shemi
Bernoulli
Primer: kupljenih je 10 srečk.
Verjetnost dobitka na 1 listku je 0,2.
Kakšno je najverjetnejše število zmagovalcev
vstopnice?
np q k np str
n 10
p 0,2 q 0,8
np q 10 0,2 0,8 1,2
1, 2 proti 2, 2
np p 10 0,2 0,2 2.2
k2 Najverjetnejše število uspehov v shemi
Bernoulli
Primer: kupljenih je 10 srečk.
Verjetnost dobitka na 1 listku je 0,2.
Kakšno je najverjetnejše število zmagovalcev
vstopnice?
P10 (2) C 0,2 0,8
2
10
2
8
45 0, 04 0,16777216=
=0,301989888Najverjetnejše število uspehov v shemi
Bernoulli
Primer: kupljenih je 10 srečk.
Verjetnost dobitka na 1 listku je 0,2.
Kakšno je najverjetnejše število zmagovalcev
vstopnice?
Verjetnost števila zmagovalnih listkov
verjetnost, Pn(k)
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
4
5
6
število vstopnic, k
7
8
9
10Najverjetnejše število uspehov v shemi
Bernoulli
Podpisanih 10 pogodb
izplačati zavarovalno vsoto
ena od pogodb
kot tri pogodbe
d) poiščite najverjetnejše število pogodb glede na
ki bodo morali plačati zavarovalno vsoto Najverjetnejše število uspehov v shemi
Bernoulli
Primer V povprečju za 20 % zavarovalnih pogodb
družba izplača zavarovalno vsoto.
Podpisanih 10 pogodb
a) Poiščite verjetnost, da tri
izplačati zavarovalno vsoto
0,201327Najverjetnejše število uspehov v shemi
Bernoulli
Primer V povprečju za 20 % zavarovalnih pogodb
družba izplača zavarovalno vsoto.
Podpisanih 10 pogodb
b) Zavarovalne vsote ne bo treba izplačati po nobeni
ena od pogodb
0,107374Najverjetnejše število uspehov v shemi
Bernoulli
Primer V povprečju za 20 % zavarovalnih pogodb
družba izplača zavarovalno vsoto.
Podpisanih 10 pogodb
c) zavarovalni znesek ne bo treba plačati več kot,
kot tri pogodbe
0,753297Če je n velik, potem uporabite formulo
Pn (m) C p q
m
n
m
nm
težko
Zato se uporabljajo približne formule Izrek: Če je verjetnost p nastopa dogodka A
v vsakem testu blizu ničle,
in je število neodvisnih poskusov n dovolj veliko,
potem je verjetnost Pn(m), da v n neodvisnih poskusih
dogodek A se bo zgodil m-krat, kar je približno enako:
Pn (m)
m
m!
e
kjer je λ=np
Ta formula se imenuje Poissonova formula (zakon redkih dogodkov) Pn (m)
m
m!
e, np
Običajno se uporablja približna Poissonova formula,
ko p<0,1, а npq<10.
Primer Naj se ve, da pri izdelavi določenega zdravila
poroka (število paketov, ki ne ustrezajo standardu)
je 0,2 %. Ocenite verjetnost, da
po 1000 naključno izbranih paketih bodo trije paketi,
ne izpolnjujejo standarda.
Pn(k)
k
k!
P1000(3) ?
e,
np Primer Naj se ve, da pri izdelavi določenega zdravila
poroka (število paketov, ki ne ustrezajo standardu)
je 0,2 %. Ocenite verjetnost, da
po 1000 naključno izbranih paketih bodo trije paketi,
ne izpolnjujejo standarda.
Pn(k)
k
k!
P1000(3) ?
e, np
np 1000 0,002 2
3
2 2 8
P1000 (3) e 0,135=0,18
3!
6
ni povezanih več kot 5 pogodb. Primer V povprečju za 1 % pogodb zavarovalnica
izplača zavarovalno vsoto. Poiščite verjetnost, da iz
100 pogodb z nastankom zavarovalnega primera bo
ni povezanih več kot 5 pogodb.
