Kursus: Tes berulang dan independen. Teorema Bernoulli tentang frekuensi probabilitas. Presentasi tentang rumus Bernoulli Presentasi tentang skema pengujian ulang Bernoulli
https://accounts.google.com
Teks slide:
Bab 9. Elemen statistik matematika, kombinatorik dan teori probabilitas 54. Kejadian acak dan probabilitasnya 3. PENGULANGAN TES INDEPENDEN. TEOREMA BERNULLI DAN STABILITAS STATISTIK.
CONTOH Isi 5. Peluang mengenai sasaran dengan satu tembakan ... Solusi 5a); Solusi 5b); Solusi 5c); Solusi 5d). Perhatikan bahwa... Dalam seluruh rangkaian pengulangan penting untuk diketahui... Jacob Bernoulli menggabungkan contoh dan pertanyaan... TEOREMA 3 (Teorema Bernoulli). CONTOH 6. Dalam setiap paragraf a) - d) tentukan nilai n, k, p, q dan tulis (tanpa perhitungan) ekspresi untuk probabilitas yang diinginkan Pn (k). Keputusan 6 a); Solusi 6 b); Solusi 6 c); Solusi 6 d). Teorema Bernoulli memungkinkan ... TEOREMA 4. Dengan sejumlah besar pengulangan independen ... Untuk guru. Sumber. 02/08/2014 2
3. PENGULANGAN UJI INDEPENDEN. TEOREMA BERNULLI DAN STABILITAS STATISTIK. Bagian 3. 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, guru matematika 3
CONTOH 5. Peluang mengenai sasaran dengan satu tembakan Mari kita ubah sedikit contoh sebelumnya: alih-alih dua penembak yang berbeda, penembak yang sama akan menembak sasaran. Contoh 5 . Probabilitas mengenai target dengan satu tembakan adalah 0,8. 3 tembakan independen dilepaskan. Temukan probabilitas bahwa target: a) akan terkena tiga kali; b) tidak akan terpengaruh; c) akan dipukul setidaknya sekali; d) akan dipukul tepat satu kali. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, guru matematika 4
Solusi dari contoh 5a) Contoh 5. Probabilitas mengenai target dengan satu tembakan adalah 0,8. 3 tembakan independen dilepaskan. Temukan probabilitas bahwa target: a) akan terkena tiga kali; 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, guru matematika 5
Penyelesaian contoh 5b) Contoh 5. Probabilitas mengenai target dengan satu tembakan adalah 0,8. 3 tembakan independen dilepaskan. Temukan probabilitas bahwa target: b) tidak akan mengenai; Keputusan: 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, guru matematika 6
Solusi dari contoh 5c) Contoh 5. Probabilitas mengenai target dengan satu tembakan adalah 0,8. 3 tembakan independen dilepaskan. Temukan probabilitas bahwa target: c) akan terkena setidaknya satu kali; Keputusan: 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, guru matematika 7
Solusi dari contoh 5d) Contoh 5. Probabilitas mengenai target dengan satu tembakan adalah 0,8. 3 tembakan independen dilepaskan. Temukan probabilitas bahwa target: d) akan mengenai tepat satu kali. Keputusan: 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, guru matematika 8
Catatan Solusi yang diberikan dalam poin d) dari contoh 5, dalam kasus tertentu, mengulangi bukti teorema Bernoulli yang terkenal, yang mengacu pada salah satu model probabilistik yang paling umum: pengulangan independen dari tes yang sama dengan dua kemungkinan hasil. Ciri khas banyak masalah probabilistik terdiri dari kenyataan bahwa tes, sebagai akibatnya peristiwa yang menarik bagi kita dapat terjadi, dapat diulang berkali-kali. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, guru matematika 9
Dalam seluruh rangkaian pengulangan, penting untuk diketahui Dalam setiap pengulangan ini, kita tertarik pada pertanyaan apakah peristiwa ini akan terjadi atau tidak. Dan dalam keseluruhan rangkaian pengulangan, penting bagi kita untuk mengetahui secara pasti berapa kali kejadian ini bisa terjadi atau tidak. Misalnya, sebuah dadu dilempar sepuluh kali berturut-turut. Berapa peluang munculnya angka 4 tepat 3 kali? 10 tembakan dilepaskan; Berapa probabilitas bahwa akan ada tepat 8 hit pada target? Atau berapa peluang bahwa dalam lima kali pelemparan sebuah koin, kepala akan muncul tepat 4 kali? 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, guru matematika 10
Jacob Bernoulli menggabungkan contoh dan pertanyaan Matematikawan Swiss pada awal abad ke-18, Jacob Bernoulli, menggabungkan contoh dan pertanyaan jenis ini ke dalam skema probabilistik tunggal. Biarkan probabilitas peristiwa acak Dan ketika melakukan beberapa tes, itu sama dengan P (A). Kami akan mempertimbangkan tes ini sebagai tes dengan hanya dua hasil yang mungkin: satu hasil adalah bahwa peristiwa A akan terjadi, dan hasil lainnya adalah bahwa peristiwa A tidak akan terjadi, yaitu, peristiwa akan terjadi. Untuk singkatnya, sebut saja hasil pertama (terjadinya peristiwa A) "sukses", dan hasil kedua (terjadinya peristiwa ) "gagal". Probabilitas P(A) dari "sukses" akan dilambangkan dengan p, dan probabilitas P(Ᾱ) dari "gagal" akan dilambangkan dengan q. Jadi q = P(Ᾱ) = 1 - P(A) = 1 - p. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, guru matematika 11
Teorema 3 (Teorema Bernoulli) Teorema 3 (Teorema Bernoulli). Misalkan P n (k) adalah peluang tepat k "berhasil" dalam n pengulangan independen dari tes yang sama. Maka P n (k)= n k p k q n- k , di mana p adalah probabilitas “sukses”, dan q=1 - p adalah probabilitas “gagal” dalam pengujian terpisah. Teorema ini (kami menyajikannya tanpa bukti) sangat penting baik untuk teori maupun praktik. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, guru matematika 12
CONTOH 6. Contoh 6. Di setiap paragraf a) - d) tentukan nilai n, k, p, q dan tulis (tanpa perhitungan) ekspresi untuk probabilitas yang diinginkan P n (k). a) Berapa peluang terambil tepat 7 kepala dalam 10 kali pelemparan sebuah koin? b) Masing-masing dari 20 orang secara mandiri menyebutkan salah satu hari dalam seminggu. Hari "sial" adalah Senin dan Jumat. Berapa probabilitas bahwa "keberuntungan" akan tepat setengah? c) Pelemparan dadu “berhasil” jika pelemparan 5 atau 6. Berapa probabilitas bahwa tepat 5 lemparan dari 25 akan "beruntung"? d) Tes terdiri dari melempar tiga koin yang berbeda secara bersamaan. "Kegagalan": lebih banyak "ekor" daripada "elang". Berapa probabilitas bahwa akan ada tepat tiga "keberuntungan" di antara 7 gulungan? 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, guru matematika 13
Solusi 6a) Contoh 6. Di setiap paragraf a) - d) tentukan nilai n, k, p, q dan tulis (tanpa perhitungan) ekspresi untuk probabilitas yang diinginkan P n (k). a) Berapa peluang terambil tepat 7 kepala dalam 10 kali pelemparan sebuah koin? Keputusan: 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, guru matematika 14
Solusi 6b) Contoh 6. Di setiap paragraf a) - d) tentukan nilai n, k, p, q dan tulis (tanpa perhitungan) ekspresi untuk probabilitas yang diinginkan P n (k). b) Masing-masing dari 20 orang secara mandiri menyebutkan salah satu hari dalam seminggu. Hari "sial" adalah Senin dan Jumat. Berapa probabilitas bahwa "keberuntungan" akan tepat setengah? Keputusan: 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, guru matematika 15
Solusi 6c) Contoh 6. Di setiap paragraf a) - d) tentukan nilai n, k, p, q dan tulis (tanpa perhitungan) ekspresi untuk probabilitas yang diinginkan P n (k). c) Pelemparan dadu “berhasil” jika pelemparan 5 atau 6. Berapa probabilitas bahwa tepat 5 lemparan dari 25 akan "beruntung"? Keputusan: 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, guru matematika 16
Solusi 6d) Contoh 6. Di setiap paragraf a) - d) tentukan nilai n, k, p, q dan tulis (tanpa perhitungan) ekspresi untuk probabilitas yang diinginkan P n (k). d) Tes terdiri dari melempar tiga koin yang berbeda secara bersamaan. "Kegagalan": lebih banyak "ekor" daripada "elang". Berapa probabilitas bahwa akan ada tepat tiga "keberuntungan" di antara 7 gulungan? Solusi: d) n = 7, k = 3. “Keberuntungan” dengan satu lemparan adalah jumlah “ekor” lebih sedikit daripada “elang”. Total 8 hasil yang mungkin: PPP, PPO, POP, OPP, POO, ORO, OOP, OOO (P - "ekor", O - "kepala"). Tepat setengah dari mereka memiliki ekor lebih sedikit daripada kepala: POO, ORO, OOP, OOO. Jadi p = q = 0,5; P 7 (3) \u003d C 7 3 0,5 3 0,5 4 \u003d C 7 3 0,5 7. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, guru matematika 17
Teorema Bernoulli memungkinkan ... Teorema Bernoulli memungkinkan Anda untuk membuat hubungan antara pendekatan statistik untuk definisi probabilitas dan definisi klasik dari probabilitas kejadian acak. Untuk menggambarkan hubungan ini, mari kita kembali ke ketentuan 50 tentang pemrosesan statistik informasi. Pertimbangkan urutan n pengulangan independen dari tes yang sama dengan dua hasil - "berhasil" dan "gagal". Hasil pengujian tersebut merupakan rangkaian data, yang terdiri dari beberapa urutan dua pilihan: "berhasil" dan "gagal". Sederhananya, ada urutan panjang n, terdiri dari dua huruf U ("semoga berhasil") dan H ("gagal"). Misalnya, U, U, N, N, U, N, N, N, ..., U atau N, U, U, N, U, U, N, N, U, ..., N, dll n. Mari kita hitung multiplisitas dan frekuensi opsi Y, yaitu, temukan pecahan k / n, di mana k adalah jumlah "keberuntungan" yang ditemui di antara semua n pengulangan. Ternyata dengan peningkatan n yang tidak terbatas, frekuensi k/n dari kemunculan "sukses" secara praktis tidak dapat dibedakan dari probabilitas p "sukses" dalam satu percobaan. Fakta matematika yang agak rumit ini diturunkan tepatnya dari teorema Bernoulli. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, guru matematika 18
TEOREMA 4. Dengan banyaknya pengulangan bebas Teorema 4. Dengan banyaknya pengulangan bebas dari pengujian yang sama, frekuensi kemunculan peristiwa acak A dengan akurasi yang meningkat kira-kira sama dengan peluang peristiwa A: k/n P(A). Misalnya, ketika n > 2000 dengan probabilitas lebih besar dari 99%, dapat dikatakan bahwa galat mutlak | k/n - P(A)| persamaan perkiraan k/n≈ P(A) akan lebih kecil dari 0,03. Oleh karena itu, dalam survei sosiologis, cukup dengan mewawancarai sekitar 2.000 orang (responden) yang dipilih secara acak. Jika, katakanlah, 520 dari mereka merespons positif pertanyaan yang diajukan, maka k/n=520/2000=0,26 dan hampir dapat dipastikan bahwa untuk sembarang lagi responden, frekuensi ini akan berada di kisaran 0,23 hingga 0,29. Fenomena ini disebut fenomena stabilitas statistik. Jadi, teorema Bernoulli dan konsekuensinya memungkinkan kita untuk (kurang lebih) menemukan probabilitas kejadian acak dalam kasus di mana perhitungan eksplisitnya tidak mungkin. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, guru matematika 19
Untuk guru 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, guru matematika 20
02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, guru matematika 21
02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, guru matematika 22
Sumber Aljabar dan Analisis Awal, Kelas 10-11, Bagian 1. Buku Ajar, ed 10. (Tingkat dasar), A.G. Mordkovich, M., 2009 Aljabar dan analisis awal, kelas 10-11. (Tingkat dasar) Panduan metodologi untuk guru, A.G. Mordkovich, P.V. Semenov, M., 2010 Tabel dikompilasi dalam MS Word dan MS Excel. Sumber daya internet Tsybikova Tamara Radnazhapovna, guru matematika 08.02.2014 23
Pratinjau:
Untuk menggunakan pratinjau presentasi, buat akun untuk Anda sendiri ( Akun) Google dan masuk: https://accounts.google.com
Teks slide:
geser 1
Bab 9. Elemen statistik matematika, kombinatorik dan teori probabilitas
54. Kejadian acak dan probabilitasnya 3. PENGULANGAN TES INDEPENDEN. TEOREMA BERNULLI DAN STABILITAS STATISTIK.
geser 2
Isi
CONTOH 5. Peluang mengenai sasaran dengan satu tembakan ... Solusi 5a); Solusi 5b); Solusi 5c); Solusi 5d). Perhatikan bahwa ... Dalam seluruh rangkaian pengulangan, penting untuk diketahui ... Jacob Bernoulli menggabungkan contoh dan pertanyaan ... TEOREMA 3 (Teorema Bernoulli ).
CONTOH 6. Dalam setiap paragraf a) - d) tentukan nilai n, k, p, q dan tulis (tanpa perhitungan) ekspresi untuk probabilitas yang diinginkan Pn(k).Solusi 6a); Solusi 6b) ; Solusi 6c); Solusi 6d ). Teorema Bernoulli memungkinkan ... TEOREMA 4. Dengan sejumlah besar pengulangan independen ... Untuk guru.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, guru matematika
*
geser 3
3. PENGULANGAN UJI INDEPENDEN. TEOREMA BERNULLI DAN STABILITAS STATISTIK.
Bagian 3
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, guru matematika
*
geser 4
CONTOH 5. Peluang mengenai sasaran dengan satu tembakan
Mari kita ubah sedikit contoh sebelumnya: alih-alih dua penembak yang berbeda, penembak yang sama akan menembak sasaran Contoh 5. Peluang mengenai sasaran dengan satu tembakan adalah 0,8. 3 tembakan independen dilepaskan. Temukan probabilitas bahwa target: a) akan terkena tiga kali; b) tidak akan terkena; c) akan terkena setidaknya sekali; d) akan terkena tepat satu kali.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, guru matematika
*
geser 5
Solusi dari contoh 5a)
Contoh 5. Peluang mengenai sasaran dengan satu tembakan adalah 0,8. 3 tembakan independen dilepaskan. Temukan probabilitas bahwa target: a) akan terkena tiga kali;
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, guru matematika
*
geser 6
Solusi dari contoh 5b)
Contoh 5. Peluang mengenai sasaran dengan satu tembakan adalah 0,8. 3 tembakan independen dilepaskan. Temukan probabilitas bahwa target: b) tidak akan mengenai; Solusi:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, guru matematika
*
Geser 7
Solusi dari contoh 5c)
Contoh 5. Peluang mengenai sasaran dengan satu tembakan adalah 0,8. 3 tembakan independen dilepaskan. Temukan probabilitas bahwa target: c) akan terkena setidaknya satu kali; Solusi:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, guru matematika
*
Geser 8
Solusi dari contoh 5d)
Contoh 5. Peluang mengenai sasaran dengan satu tembakan adalah 0,8. 3 tembakan independen dilepaskan. Temukan peluang bahwa target: d) akan mengenai tepat satu kali Solusi:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, guru matematika
*
Geser 9
Catatan
Solusi yang diberikan dalam poin d) dari contoh 5, dalam kasus tertentu, mengulangi bukti teorema Bernoulli yang terkenal, yang mengacu pada salah satu model probabilistik yang paling umum: pengulangan independen dari tes yang sama dengan dua kemungkinan hasil. Ciri khas dari banyak masalah probabilistik adalah bahwa tes, sebagai akibatnya peristiwa yang menarik bagi kita dapat terjadi, dapat diulang berkali-kali.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, guru matematika
*
Geser 10
Dalam seluruh rangkaian pengulangan, penting untuk diketahui
Dalam setiap pengulangan ini, kami tertarik pada pertanyaan apakah peristiwa ini akan terjadi atau tidak. Dan dalam keseluruhan rangkaian pengulangan, penting bagi kita untuk mengetahui secara pasti berapa kali kejadian ini bisa terjadi atau tidak. Misalnya, sebuah dadu dilempar sepuluh kali berturut-turut. Berapa peluang munculnya angka 4 tepat 3 kali? 10 tembakan dilepaskan; Berapa probabilitas bahwa akan ada tepat 8 hit pada target? Atau berapa peluang bahwa dalam lima kali pelemparan sebuah koin, kepala akan muncul tepat 4 kali?
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, guru matematika
*
geser 11
Jacob Bernoulli menggabungkan contoh dan pertanyaan
Matematikawan Swiss pada awal abad ke-18, Jacob Bernoulli, menggabungkan contoh dan pertanyaan jenis ini ke dalam skema probabilistik tunggal Biarkan peluang kejadian acak A selama beberapa pengujian sama dengan P (A). Kami akan mempertimbangkan tes ini sebagai tes dengan hanya dua hasil yang mungkin: satu hasil adalah bahwa peristiwa A akan terjadi, dan hasil lainnya adalah bahwa peristiwa A tidak akan terjadi, yaitu, peristiwa akan terjadi. Untuk singkatnya, sebut saja hasil pertama (terjadinya peristiwa A) "sukses", dan hasil kedua (terjadinya peristiwa ) "gagal". Probabilitas P(A) dari "sukses" akan dilambangkan dengan p, dan probabilitas P(Ᾱ) dari "gagal" akan dilambangkan dengan q. Jadi q = P(Ᾱ) = 1 - P(A) = 1 - p.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, guru matematika
*
geser 12
TEOREMA 3 (Teorema Bernoulli)
Teorema 3 (Teorema Bernoulli). Misalkan Pn(k) adalah probabilitas tepat k "berhasil" dalam n pengulangan independen dari tes yang sama. Maka Pn(k)= nk pk qn-k, di mana p adalah peluang “berhasil”, dan q=1-p adalah peluang “gagal” dalam pengujian terpisah Teorema ini (diberikan tanpa pembuktian ) sangat penting untuk teori, dan untuk praktik.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, guru matematika
*
geser 13
CONTOH 6.
Contoh 6. Dalam setiap paragraf a) - d) tentukan nilai n, k, p, q dan tulis (tanpa perhitungan) ekspresi untuk probabilitas yang diinginkan Pn(k).koin?b) Masing-masing dari 20 orang secara mandiri menyebutkan salah satu hari dalam seminggu. Hari "sial" adalah Senin dan Jumat. Berapa probabilitas bahwa "keberuntungan" akan tepat setengah? Berapa probabilitas bahwa tepat 5 pelemparan dari 25 akan "berhasil"? d) Tes terdiri dari pelemparan tiga koin yang berbeda pada waktu yang sama. "Kegagalan": lebih banyak "ekor" daripada "elang". Berapa probabilitas bahwa akan ada tepat tiga "keberuntungan" di antara 7 gulungan?
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, guru matematika
*
Geser 14
Solusi 6a)
Contoh 6. Dalam setiap paragraf a) - d) tentukan nilai n, k, p, q dan tulis (tanpa perhitungan) ekspresi untuk probabilitas yang diinginkan Pn(k).coin?
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, guru matematika
*
geser 15
Solusi 6b)
Contoh 6. Dalam setiap paragraf a) - d) tentukan nilai n, k, p, q dan tulis (tanpa perhitungan) ekspresi untuk probabilitas yang diinginkan Pn(k).b) Masing-masing dari 20 orang secara mandiri menyebutkan salah satu hari dalam seminggu. Hari "sial" adalah Senin dan Jumat. Berapa probabilitas bahwa akan ada setengah dari "keberuntungan"? Solusi:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, guru matematika
*
geser 16
Solusi 6c)
Contoh 6. Di setiap paragraf a) - d) tentukan nilai n, k, p, q dan tulis (tanpa perhitungan) ekspresi untuk probabilitas yang diinginkan Pn(k). . Berapa probabilitas bahwa tepat 5 lemparan dari 25 akan menjadi "beruntung"? Solusi:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, guru matematika
*
Geser 17
Solusi 6d)
Contoh 6. Dalam setiap paragraf a) - d) tentukan nilai n, k, p, q dan tulis (tanpa perhitungan) ekspresi untuk probabilitas yang diinginkan Pn(k) d) Tes terdiri dari pelemparan tiga koin yang berbeda secara bersamaan. "Kegagalan": lebih banyak "ekor" daripada "elang". Berapa probabilitas bahwa akan ada tepat tiga "keberuntungan" di antara 7 lemparan Solusi: d) n = 7, k = 3. "Keberuntungan" pada satu lemparan adalah bahwa ada lebih sedikit "ekor" daripada "elang". Total 8 hasil yang mungkin: PPP, PPO, POP, OPP, POO, ORO, OOP, OOO (P - "ekor", O - "kepala"). Tepat setengah dari mereka memiliki ekor lebih sedikit daripada kepala: POO, ORO, OOP, OOO. Jadi p = q = 0,5; 7(3) = 73 0,53 0,54 = 73 0,57.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, guru matematika
*
Geser 18
Teorema Bernoulli memungkinkan...
Teorema Bernoulli memungkinkan untuk membangun hubungan antara pendekatan statistik untuk definisi probabilitas dan definisi klasik dari probabilitas suatu kejadian acak. Untuk menggambarkan hubungan ini, mari kita kembali ke ketentuan 50 tentang pemrosesan statistik informasi. Pertimbangkan urutan n pengulangan independen dari tes yang sama dengan dua hasil - "berhasil" dan "gagal". Hasil pengujian tersebut merupakan rangkaian data, yang terdiri dari beberapa urutan dua pilihan: "berhasil" dan "gagal". Sederhananya, ada urutan panjang n, terdiri dari dua huruf Y ("semoga berhasil") dan H ("gagal"). Misalnya, U, U, N, N, U, N, N, N, ..., U atau N, U, U, N, U, U, N, N, U, ..., N, dll n. Mari kita hitung multiplisitas dan frekuensi opsi Y, yaitu kita akan menemukan pecahan k / n, di mana k adalah jumlah "keberuntungan" yang ditemui di antara semua n pengulangan. Ternyata dengan peningkatan n yang tidak terbatas, frekuensi k/n dari kemunculan "sukses" secara praktis tidak dapat dibedakan dari probabilitas p "sukses" dalam satu percobaan. Fakta matematika yang agak rumit ini diturunkan tepatnya dari teorema Bernoulli.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, guru matematika
*
Geser 19
TEOREMA 4. Untuk sejumlah besar pengulangan independen
TEOREMA 4. Dengan sejumlah besar pengulangan independen dari pengujian yang sama, frekuensi kemunculan kejadian acak A dengan akurasi yang meningkat kira-kira sama dengan probabilitas kejadian A: k / n P (A).Misalnya, dengan n > 2000 dengan probabilitas lebih besar dari 99% , dapat dikatakan bahwa galat mutlak |k/n- (А)| persamaan perkiraan k/n≈ P(A) akan lebih kecil dari 0,03. Oleh karena itu, dalam survei sosiologis, cukup dengan mewawancarai sekitar 2.000 orang (responden) yang dipilih secara acak. Jika, katakanlah, 520 dari mereka memberikan jawaban positif untuk pertanyaan itu, maka k / n = 520 / 2000 = 0,26 dan secara praktis dapat dipastikan bahwa untuk jumlah responden yang lebih besar, frekuensi seperti itu akan berada dalam kisaran 0,23 hingga 0,29. Fenomena ini disebut fenomena stabilitas statistik.Dengan demikian, teorema Bernoulli dan konsekuensinya memungkinkan (kurang-lebih) menemukan probabilitas kejadian acak dalam kasus di mana perhitungan eksplisitnya tidak mungkin dilakukan.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, guru matematika
*
Geser 20
Untuk guru
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, guru matematika
*
geser 21
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, guru matematika
*
geser 22
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, guru matematika
*
geser 23
Sumber
Aljabar dan Analisis Awal, Kelas 10-11, Bagian 1. Buku Teks, ed 10. (Tingkat dasar), A.G. Mordkovich, M., 2009Aljabar dan analisis awal, nilai 10-11. (Tingkat dasar) Panduan metodologis untuk guru, A.G. Mordkovich, P.V. Semenov, M., 2010 Tabel dikompilasi dalam MS Word dan MS Excel Sumber daya internet
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, guru matematika
08.02.2014
*
geser 1
teorema Bernoulli
17.03.2017
geser 2
Serangkaian n percobaan independen dilakukan. Setiap tes memiliki 2 hasil: A - "berhasil" dan - "gagal". Probabilitas "berhasil" dalam setiap tes adalah sama dan sama dengan P(A) = p Dengan demikian, probabilitas "gagal" juga tidak berubah dari pengalaman ke pengalaman dan sama.
Skema Bernoulli
Berapa peluang bahwa serangkaian n percobaan akan berhasil k kali? Temukan Pn(k) .
geser 3
Uang logam dilempar n kali. Sebuah kartu diambil dari dek n kali, dan setiap kali kartu dikembalikan, dek dikocok. Kami memeriksa n produk dari beberapa produksi, dipilih secara acak, untuk kualitas. Penembak menembak sasaran sebanyak n kali.
Contoh
geser 4
Jelaskan mengapa pertanyaan berikut cocok dengan skema Bernoulli. Tunjukkan apa yang terdiri dari "sukses" dan apa itu n dan k. a) Berapa peluang terambilnya 2 tiga kali dalam sepuluh kali pelemparan dadu? b) Berapa peluang bahwa dalam 100 kali pelemparan sebuah mata uang logam akan muncul 73 kali? c. Sepasang dadu dilempar dua puluh kali berturut-turut. Berapa probabilitas bahwa jumlah poin tidak pernah sama dengan sepuluh? d) Diambil tiga kartu dari tumpukan 36 kartu, hasilnya dicatat dan dikembalikan ke tumpukan, kemudian kartu dikocok. Ini diulang 4 kali. Berapa probabilitas bahwa Ratu Sekop ada di antara kartu yang diambil setiap kali?
geser 5
Untuk banyaknya kombinasi dari n sampai k, rumusnya valid
Sebagai contoh:
geser 6
teorema Bernoulli
Probabilitas Pn(k) dari tepat k sukses dalam n pengulangan independen dari tes yang sama ditemukan dengan rumus, di mana p adalah probabilitas "berhasil", q = 1- p adalah probabilitas "gagal" dalam percobaan terpisah .
Geser 7
Uang logam dilempar sebanyak 6 kali. Berapa peluang munculnya lambang 0, 1, ...6 kali? Larutan. Jumlah percobaan n=6. Acara A - "sukses" - hilangnya lambang. Menurut rumus Bernoulli, peluang yang diperlukan adalah
;
;
;
;
;
;
Geser 8
Uang logam dilempar sebanyak 6 kali. Berapa peluang munculnya lambang 0, 1, ...6 kali? Larutan. Jumlah percobaan n=6. Acara A - "sukses" - hilangnya lambang.
;
;
;
;
;
;
Geser 9
Uang logam dilempar sebanyak 10 kali. Berapa probabilitas bahwa lambang akan muncul dua kali? Larutan. Jumlah percobaan n=10, m=2. Acara A - "sukses" - hilangnya lambang. Menurut rumus Bernoulli, peluang yang diperlukan adalah
;
;
;
;
;
;
Geser 10
Sebuah guci berisi 20 bola putih dan 10 bola hitam. 4 bola diambil, dan setiap bola yang dikeluarkan dikembalikan ke guci sebelum yang berikutnya diambil dan bola di guci dicampur. Tentukan peluang terambilnya 2 dari 4 bola berwarna putih. Larutan. Acara A - dapatkan bola putih. Maka peluang Menurut rumus Bernoulli, peluang yang diperlukan adalah
geser 11
Tentukan peluang bahwa tidak ada anak perempuan dalam keluarga dengan 5 anak. Probabilitas memiliki anak laki-laki dan perempuan dianggap sama. Larutan. Peluang lahir anak perempuan dan laki-laki Menurut rumus Bernoulli, peluang yang diperlukan adalah
geser 12
Tentukan peluang sebuah keluarga dengan 5 anak akan memiliki satu anak perempuan. Probabilitas memiliki anak laki-laki dan perempuan dianggap sama. Larutan. Peluang lahir anak perempuan dan laki-laki Menurut rumus Bernoulli, peluang yang diperlukan adalah
geser 13
Tentukan peluang bahwa sebuah keluarga dengan 5 anak akan memiliki dua anak perempuan. Larutan. Peluang lahir anak perempuan dan laki-laki Menurut rumus Bernoulli, peluang yang diperlukan adalah
Geser 14
Tentukan peluang sebuah keluarga dengan 5 anak akan memiliki 3 anak perempuan. Larutan. Peluang lahir anak perempuan dan laki-laki Menurut rumus Bernoulli, peluang yang diperlukan adalah
geser 15
Tentukan peluang bahwa sebuah keluarga dengan 5 anak akan memiliki tidak lebih dari 3 anak perempuan. Probabilitas memiliki anak laki-laki dan perempuan dianggap sama. Larutan. Probabilitas memiliki anak perempuan, anak laki-laki Probabilitas yang dibutuhkan sama dengan
.
geser 16
Di antara suku cadang yang diproses oleh pekerja, rata-rata ada 4% tidak standar. Temukan probabilitas bahwa dua dari 30 bagian yang diambil untuk pengujian tidak standar. Larutan. Di sini pengalaman terletak dalam memeriksa masing-masing dari 30 bagian untuk kualitas. Acara A - "penampilan bagian non-standar",
"Elemen statistik matematika" - Interval kepercayaan. Ilmu. Klasifikasi hipotesis. Bagian dibuat pada mesin yang berbeda. Memeriksa aturan. ketergantungan korelasi. Kecanduan. Himpunan nilai kriteria. Temukan interval kepercayaan. Perhitungan interval kepercayaan untuk varians yang tidak diketahui. Distribusi normal.
"Probabilitas dan statistik matematika" - Keakuratan nilai yang diperoleh. Kode untuk brankas. Statistik deskriptif. Apel. Mari kita pertimbangkan acara. aturan perkalian. Dua penembak. Perbandingan kurikulum. Karamel. Contoh diagram batang. Tanda matematika. Aturan perkalian untuk tiga. Mawar putih dan merah. 9 buku yang berbeda. Libur musim dingin.
"Dasar-Dasar Statistik Matematika" - Probabilitas Bersyarat. Tabel nilai standar. Sifat-sifat distribusi Student. Interval kepercayaan harapan matematis. Sampel berarti. Distribusi. Satu percobaan dapat dianggap sebagai rangkaian dari satu percobaan. Kuantil - ke kiri harus menjadi jumlah nilai yang sesuai dengan indeks kuantil.
"Teori probabilitas dan statistik" - Batas interval. Daerah kritis. Teorema perkalian peluang. Distribusi variabel acak normal. Turunan dari rumus Bernoulli. Hukum distribusi variabel acak. Kata-kata dari ZBC. Pengertian dan rumusan teorema limit pusat. Hubungan fitur nominal. Ketergantungan stokastik dari dua variabel acak.
"Penelitian statistik" - Relevansi. Karakteristik statistik dan penelitian. Rencana. Rentang adalah selisih antara nilai terbesar dan terkecil dari suatu deret data. Jenis observasi statistik. Apakah Anda suka belajar matematika. Pertimbangkan serangkaian angka. Yang membantu Anda untuk memahami topik yang sulit dalam matematika. Apakah Anda membutuhkan matematika dalam profesi masa depan Anda.
"Karakteristik Statistik Dasar" - Karakteristik Statistik Dasar. Temukan mean aritmatika. PETRONIUS. Geser. Mode baris. Rata-rata aritmatika dari serangkaian angka. Rentang baris. Median dari seri. Statistik. Median. Buku catatan sekolah.
Total ada 17 presentasi dalam topik
BADAN FEDERAL UNTUK PENDIDIKAN
Institusi pendidikan negara
pendidikan profesional yang lebih tinggi
"MATI" - UNIVERSITAS TEKNOLOGI NEGARA RUSIA IM. K.E. TSIOLKOVSKY
Departemen Pemodelan Sistem dan Teknologi Informasi
Pengulangan tes. Skema Bernoulli
Instruksi metodis untuk latihan praktis
dalam disiplin "Matematika Tinggi"
Disusun oleh: Egorova Yu.B.
Mamonov I.M.
Pengenalan Moskow 2006
Pedoman tersebut ditujukan bagi mahasiswa jurusan siang dan malam fakultas No 14, Kekhususan 150601, 160301, 230102. Pedoman tersebut menonjolkan konsep dasar topik, menentukan urutan mempelajari materi. Sejumlah besar contoh yang dipertimbangkan membantu dalam pengembangan praktis topik. Pedoman berfungsi sebagai dasar metodologis untuk latihan praktis dan pelaksanaan tugas individu.
SKEMA BERNULI. FORMULA BERNULI
Skema Bernoulli- skema tes independen berulang, di mana beberapa peristiwa TETAPI dapat diulang berkali-kali dengan probabilitas konstan R (TETAPI)= R .
Contoh tes yang dilakukan menurut skema Bernoulli: lemparan koin atau dadu berkali-kali, membuat sekumpulan bagian, menembak sasaran, dll.
Dalil. Jika peluang suatu kejadian terjadi TETAPI dalam setiap tes adalah konstan dan sama R, maka peluang kejadian tersebut TETAPI akan datang m sekali n tes (tidak peduli dalam urutan apa), dapat ditentukan dengan rumus Bernoulli:
di mana q = 1 – p.
CONTOH 1. Probabilitas konsumsi listrik selama satu hari tidak akan melebihi norma yang ditetapkan adalah sama dengan p= 0,75. Tentukan peluang bahwa dalam 6 hari ke depan konsumsi listrik selama 4 hari tidak akan melebihi norma.
LARUTAN. Probabilitas konsumsi daya normal selama masing-masing dari 6 hari adalah konstan dan sama dengan R= 0,75. Oleh karena itu, probabilitas pengeluaran listrik yang berlebihan setiap hari juga konstan dan sama dengan q = 1R = 1 0,75 = 0,25.
Probabilitas yang diinginkan menurut rumus Bernoulli sama dengan:
CONTOH 2. Penembak melepaskan tiga tembakan ke sasaran. Probabilitas mengenai target dengan setiap tembakan adalah p= 0,3. Tentukan peluang bahwa: a) satu sasaran mengenai; b) ketiga target; c) tidak ada target; d) setidaknya satu sasaran; e) kurang dari dua target.
LARUTAN. Probabilitas mengenai target dengan setiap tembakan adalah konstan dan sama dengan R=0,75. Oleh karena itu, peluang salah adalah q = 1 R\u003d 1 - 0,3 \u003d 0,7. Jumlah total eksperimen n=3.
a) Peluang mengenai satu sasaran dengan tiga tembakan sama dengan:
b) Peluang mengenai ketiga sasaran dengan tiga tembakan adalah:
c) Peluang tiga kali meleset dengan tiga tembakan sama dengan:
d) Probabilitas mengenai setidaknya satu target dengan tiga tembakan sama dengan:
e) Probabilitas mengenai kurang dari dua target, yaitu salah satu target atau tidak sama sekali:
Teorema lokal dan integral Moivre-Laplace
Jika sejumlah besar pengujian dilakukan, maka perhitungan probabilitas dengan menggunakan rumus Bernoulli menjadi sulit secara teknis, karena rumus tersebut memerlukan operasi pada bilangan yang sangat besar. Oleh karena itu, ada rumus perkiraan yang lebih sederhana untuk menghitung probabilitas untuk besar n. Rumus ini disebut asimtotik dan didefinisikan oleh teorema Poisson, teorema lokal dan integral Laplace.
Teorema lokal de Moivre-Laplace. TETAPI TETAPI terjadi m sekali n n (n →∞ ), kira-kira sama dengan:
dimana fungsinya 
dan argumen 
Lebih n, semakin akurat perhitungan probabilitas. Oleh karena itu, disarankan untuk menerapkan teorema Moivre-Laplace ketika npq 20.
f ( x ) tabel khusus dikompilasi (lihat Lampiran 1). Saat menggunakan meja, perlu diingat sifat fungsi f(x) :
Fungsi f(x) genap f( x)= f(x) .
Pada X fungsi f(x) 0. Dalam praktiknya, kita dapat mengasumsikan bahwa sudah di X> 4 fungsi f(x) ≈0.
CONTOH 3. Tentukan peluang kejadian tersebut TETAPI terjadi 80 kali dalam 400 percobaan jika peluang terjadinya peristiwa tersebut adalah TETAPI dalam setiap tes adalah p= 0,2.
LARUTAN. Dengan kondisi n=400, m=80, p=0,2, q=0.8. Akibatnya:
Menurut tabel, kami menentukan nilai fungsi f (0)=0,3989.
Teorema integral Moivre-Laplace. Jika peluang suatu kejadian terjadi TETAPI pada setiap percobaan adalah konstan dan berbeda dari 0 dan 1, maka peluang kejadian tersebut TETAPI berasal dari m 1 sebelum m 2 sekali n tes dengan jumlah yang cukup besar n (n →∞ ), kira-kira sama dengan:
di mana 
- fungsi integral atau Laplace, 
Untuk mencari nilai fungsi F( x ) tabel khusus telah dibuat (misalnya, lihat Lampiran 2). Saat menggunakan meja, perlu diingat sifat-sifat fungsi Laplace (x) :
Fungsi (x) aneh F( x)= (x) .
Pada X fungsi (x) 0,5. Dalam praktiknya, dapat dianggap bahwa X>5 fungsi (x) ≈0,5.
F (0)=0.
CONTOH 4. Probabilitas bahwa bagian tersebut tidak lulus pemeriksaan Departemen Kontrol Kualitas adalah 0,2. Temukan probabilitas bahwa 70 hingga 100 item tidak akan dicentang di antara 400 item.
LARUTAN. Dengan kondisi n=400, m 1 =70, m 2 =100, p=0,2, q=0.8. Akibatnya:
Menurut tabel di mana nilai fungsi Laplace diberikan, kami menentukan:
(x 1 ) = F( 1,25 )= F( 1,25 )= 0,3944; (x 2 ) = F( 2,5 )= 0,4938.
Serangkaian uji coba independen sedang berlangsung,masing-masing memiliki 2 kemungkinan hasil,
yang secara kondisional akan kita sebut Sukses dan Gagal.
Misalnya, seorang siswa mengambil 4 ujian, di setiap ujian
di mana 2 hasil yang mungkin Sukses: siswa
lulus ujian dan Gagal: gagal. Peluang berhasil dalam setiap percobaan adalah
p. Probabilitas Kegagalan adalah q=1-p.
Diperlukan untuk menemukan probabilitas bahwa dalam deret
dari n cobaan, kesuksesan akan datang m kali
Pn(m) Bm ... ...
Í Ó ... Ó Í ... Í ...
Í Í ... Í Ó ... Ó
Dalam setiap kasus, Sukses terjadi m kali, dan
Gagal (n-m) kali.
Nomor
semua
kombinasi
sama dengan
nomor
cara dari n percobaan untuk memilih m tersebut, in
yang Sukses, yaitu cm
n Probabilitas setiap kombinasi tersebut adalah
dalil
tentang
perkalian
kemungkinan
akan menjadi Pmqn-m.
Karena kombinasi ini tidak kompatibel, maka
peluang kejadian Bm yang diinginkan adalah
Pn (m) p q
m
n m
... p q
m
n m
total C s tertinggal õ C p q
m
n
m
n
m
n m Pn (m) C p q
m
n
m
n m Diketahui bahwa jika sebuah koin jatuh di atas kepala, seorang siswa
pergi ke bioskop jika koin mendarat di ekor
siswa. Berapakah peluang bahwa
1) tiga dari mereka akan berada di kuliah
2) akan ada setidaknya 3 siswa di kuliah
2) akankah setidaknya salah satu siswa menghadiri kuliah? 1) Dalam soal ini, deret n=5
tes independen. Sebut saja Sukses
pergi ke kuliah (ekor rontok) dan
Kegagalan - pergi ke bioskop (jatuh dari lambang).
p=q=1/2.
Dengan menggunakan rumus Bernoulli, kita cari peluang bahwa
Apa yang akan terjadi 3 kali setelah 5 pelemparan koin?
kesuksesan:
3
2
1 1
P5(3)C
2 2
5! 1 1
1
10
0,3125
3!2! 8 4
32
3
5Untuk mencari peluang bahwa setelah 5 kali pelemparan
setidaknya sekali koin akan mendarat di ekor,
mari kita beralih ke kemungkinan sebaliknya
acara - koin akan keluar semua 5 kali dengan lambang:
P5 (0).
Maka probabilitas yang diinginkan adalah: P=1-P5(0).
Menurut rumus Bernoulli:
0
5
1 1
P5(0)C
2 2
0
5
5
1
0,03125
2 Maka peluang kejadian yang diinginkan adalah
P1 0,03125 0,96875
Bernoulli
siswa pergi
di bioskop, jika koin jatuh - siswa pergi ke
kuliah. Uang logam tersebut dilempar oleh 5 siswa. Apa yang paling
kemungkinan jumlah siswa yang akan menghadiri kuliah?
Kemungkinan
kemenangan untuk 1 tiket adalah 0.2. Apa yang paling
kemungkinan jumlah tiket yang menang? Jumlah keberhasilan yang paling mungkin dalam skema
Bernoulli
np q k np p Jumlah keberhasilan yang paling mungkin dalam skema
Bernoulli
Rumus untuk Jumlah Kemungkinan Sukses
np q k np p
Jika np-q adalah bilangan bulat, maka interval ini berisi 2
bilangan bulat. Keduanya sama-sama luar biasa.
Jika np-q adalah bilangan bukan bilangan bulat, maka interval ini berisi 1
bilangan bulat Jumlah keberhasilan yang paling mungkin dalam skema
Bernoulli
Contoh Diketahui bahwa jika sebuah koin mendarat di atas kepala,
- Siswa pergi ke kuliah. Koin dilempar 5
mahasiswa akan kuliah?
np q k np p
n 5
1
p q
2Jumlah keberhasilan yang paling mungkin dalam skema
Bernoulli
Contoh Diketahui bahwa jika sebuah koin mendarat di atas kepala,
seorang siswa pergi ke bioskop jika koin mendarat di ekor
- Siswa pergi ke kuliah. Koin dilempar 5
siswa. Berapakah angka yang paling mungkin
mahasiswa akan kuliah?
np q k np p
n 5
1
p q
2
1 1
npq 5 2
2 2
1 1
np hal 5 3
2 2Jumlah keberhasilan yang paling mungkin dalam skema
Bernoulli
Contoh Diketahui bahwa jika sebuah koin mendarat di atas kepala,
seorang siswa pergi ke bioskop jika koin mendarat di ekor
- Siswa pergi ke kuliah. Koin dilempar 5
siswa. Berapakah angka yang paling mungkin
mahasiswa akan kuliah?
np q k np p
n 5
1
p q
2
1 1
npq 5 2
2 2
1 1
np hal 5 3
2 2
2 k 3 k 2, k 3 Jumlah keberhasilan yang paling mungkin dalam skema
Bernoulli
Contoh Diketahui bahwa jika sebuah koin mendarat di atas kepala,
seorang siswa pergi ke bioskop jika koin mendarat di ekor
- Siswa pergi ke kuliah. Koin dilempar 5
siswa. Berapakah angka yang paling mungkin
mahasiswa akan kuliah?
2
3
3
2
5
1 1
1 10 5
P5 (2) C52 10
32 16
2 2
2
5
1 1
1 10 5
P5 (3) C53 10
32 16
2 2
2 Jumlah keberhasilan yang paling mungkin dalam skema
Bernoulli
Contoh Diketahui bahwa jika sebuah koin mendarat di atas kepala,
seorang siswa pergi ke bioskop jika koin mendarat di ekor
- Siswa pergi ke kuliah. Koin dilempar 5
siswa. Berapakah angka yang paling mungkin
mahasiswa akan kuliah?
probabilitas, Pn(k)
Peluang banyaknya siswa yang hadir
kuliah
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
jumlah siswa, k
4
5Jumlah keberhasilan yang paling mungkin dalam skema
Bernoulli
Contoh 10 tiket lotere dibeli.
tiket?
np q k np p
n 10
p 0,2 q 0,8 Jumlah keberhasilan yang paling mungkin dalam skema
Bernoulli
Contoh 10 tiket lotere dibeli.
Probabilitas menang pada 1 tiket adalah 0,2.
Berapa jumlah pemenang yang paling mungkin
tiket?
np q k np p
n 10
p 0,2 q 0,8
np q 10 0,2 0,8 1,2
np p 10 0.2 0.2 2.2 Jumlah keberhasilan yang paling mungkin dalam skema
Bernoulli
Contoh 10 tiket lotere dibeli.
Probabilitas menang pada 1 tiket adalah 0,2.
Berapa jumlah pemenang yang paling mungkin
tiket?
np q k np p
n 10
p 0,2 q 0,8
np q 10 0,2 0,8 1,2
1, 2 hingga 2, 2
np p 10 0.2 0.2 2.2
k2 Jumlah keberhasilan yang paling mungkin dalam skema
Bernoulli
Contoh 10 tiket lotere dibeli.
Probabilitas menang pada 1 tiket adalah 0,2.
Berapa jumlah pemenang yang paling mungkin
tiket?
P10 (2) C 0,2 0,8
2
10
2
8
45 0, 04 0,16777216=
=0,301989888Jumlah keberhasilan yang paling mungkin dalam skema
Bernoulli
Contoh 10 tiket lotere dibeli.
Probabilitas menang pada 1 tiket adalah 0,2.
Berapa jumlah pemenang yang paling mungkin
tiket?
Probabilitas jumlah tiket yang menang
probabilitas, Pn(k)
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
4
5
6
jumlah tiket, k
7
8
9
10Jumlah keberhasilan yang paling mungkin dalam skema
Bernoulli
10 kontrak ditandatangani
membayar uang pertanggungan
salah satu kontrak
dari tiga kontrak
d) temukan jumlah kontrak yang paling mungkin, menurut
siapa yang harus membayar uang pertanggungan? Jumlah keberhasilan yang paling mungkin dalam skema
Bernoulli
Contoh Rata-rata, untuk 20% kontrak asuransi
perusahaan membayar uang pertanggungan.
10 kontrak ditandatangani
a) Tentukan peluang bahwa tiga
membayar uang pertanggungan
0,201327Jumlah keberhasilan yang paling mungkin dalam skema
Bernoulli
Contoh Rata-rata, untuk 20% kontrak asuransi
perusahaan membayar uang pertanggungan.
10 kontrak ditandatangani
b) Uang pertanggungan tidak harus dibayarkan berdasarkan
salah satu kontrak
0,107374Jumlah keberhasilan yang paling mungkin dalam skema
Bernoulli
Contoh Rata-rata, untuk 20% kontrak asuransi
perusahaan membayar uang pertanggungan.
10 kontrak ditandatangani
c) jumlah yang diasuransikan harus dibayar tidak lebih dari,
dari tiga kontrak
0,753297Jika n besar, maka gunakan rumus
Pn (m) C p q
m
n
m
n m
sulit
Oleh karena itu, rumus perkiraan digunakan Teorema: Jika peluang p terjadinya kejadian A
di setiap tes mendekati nol,
dan jumlah percobaan independen n cukup besar,
maka peluang Pn(m) bahwa dalam n percobaan bebas
peristiwa A akan terjadi m kali, kira-kira sama dengan:
Pn(m)
m
m!
e
dimana =np
Rumus ini disebut rumus Poisson (hukum kejadian langka) Pn(m)
m
m!
e, np
Biasanya rumus perkiraan Poisson digunakan,
kapan p<0,1, а npq<10.
Contoh Perlu diketahui bahwa dalam pembuatan obat tertentu
pernikahan (jumlah paket yang tidak memenuhi standar)
adalah 0,2%. Perkirakan peluang bahwa
setelah 1000 paket yang dipilih secara acak, akan ada tiga paket,
tidak memenuhi standar.
Pn(k)
k
k!
1000(3) ?
e ,
np Contoh Perlu diketahui bahwa dalam pembuatan obat tertentu
pernikahan (jumlah paket yang tidak memenuhi standar)
adalah 0,2%. Perkirakan peluang bahwa
setelah 1000 paket yang dipilih secara acak, akan ada tiga paket,
tidak memenuhi standar.
Pn(k)
k
k!
1000(3) ?
e, np
np 1000 0,002 2
3
2 2 8
P1000 (3) e 0,135 = 0,18
3!
6
tidak lebih dari 5 kontrak yang terhubung. Contoh Rata-rata, untuk 1% kontrak, perusahaan asuransi
membayar uang pertanggungan. Tentukan peluang dari
100 kontrak dengan terjadinya peristiwa yang diasuransikan akan menjadi
tidak lebih dari 5 kontrak yang terhubung.
