Μαθήματα: Επαναλαμβανόμενα και ανεξάρτητα τεστ. Θεώρημα Bernoulli για τη συχνότητα πιθανότητας. Παρουσίαση για τον τύπο Bernoulli Παρουσίαση για το σχήμα επανεξέτασης Bernoulli
https://accounts.google.com
Λεζάντες διαφανειών:
Κεφάλαιο 9. Στοιχεία μαθηματικής στατιστικής, συνδυαστική και θεωρία πιθανοτήτων §54. Τυχαία γεγονότα και οι πιθανότητες τους 3. ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΤΕΣΤ. ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΠΕΡΝΟΥΛΙ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΤΑΘΕΡΟΤΗΤΑ.
Περιεχόμενο ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5. Πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος με μία βολή ... Λύση 5α); Λύση 5β); Λύση 5γ); Λύση 5δ). Σημειώστε ότι... Σε όλη τη σειρά των επαναλήψεων είναι σημαντικό να γνωρίζετε... Ο Jacob Bernoulli συνδύασε παραδείγματα και ερωτήσεις... ΘΕΩΡΗΜΑ 3 (θεώρημα Bernoulli). ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6. Σε κάθε μία από τις παραγράφους α) - δ) προσδιορίστε τις τιμές n, k, p, q και γράψτε (χωρίς υπολογισμούς) την έκφραση για την επιθυμητή πιθανότητα Pn (k). Απόφαση 6 α). Λύση 6 β); Λύση 6 γ); Λύση 6 δ). Το θεώρημα Bernoulli επιτρέπει ... ΘΕΩΡΗΜΑ 4. Με μεγάλο αριθμό ανεξάρτητων επαναλήψεων ... Για τον δάσκαλο. Πηγές. 02/08/2014 2
3. ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΤΕΣΤ. ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΠΕΡΝΟΥΛΙ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΤΑΘΕΡΟΤΗΤΑ. Μέρος 3. 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών 3
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5. Πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος με μία βολή Ας αλλάξουμε ελαφρώς το προηγούμενο παράδειγμα: αντί για δύο διαφορετικούς σκοπευτές, ο ίδιος σκοπευτής θα πυροβολήσει στον στόχο. Παράδειγμα 5. Η πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος με μία βολή είναι 0,8. Ρίχτηκαν 3 ανεξάρτητες βολές. Βρείτε την πιθανότητα ο στόχος: α) να χτυπηθεί τρεις φορές. β) δεν θα επηρεαστεί. γ) θα χτυπηθεί τουλάχιστον μία φορά. δ) θα χτυπηθεί ακριβώς μία φορά. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, δασκάλα μαθηματικών 4
Λύση του παραδείγματος 5α) Παράδειγμα 5. Η πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος με μία βολή είναι 0,8. Ρίχτηκαν 3 ανεξάρτητες βολές. Βρείτε την πιθανότητα ο στόχος: α) να χτυπηθεί τρεις φορές. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, δασκάλα μαθηματικών 5
Λύση του παραδείγματος 5β) Παράδειγμα 5. Η πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος με μία βολή είναι 0,8. Ρίχτηκαν 3 ανεξάρτητες βολές. Βρείτε την πιθανότητα ο στόχος: β) να μην χτυπηθεί. Απόφαση: 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών 6
Λύση του παραδείγματος 5γ) Παράδειγμα 5. Η πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος με μία βολή είναι 0,8. Ρίχτηκαν 3 ανεξάρτητες βολές. Βρείτε την πιθανότητα ο στόχος: γ) να χτυπηθεί τουλάχιστον μία φορά. Απόφαση: 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών 7
Λύση του παραδείγματος 5δ) Παράδειγμα 5. Η πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος με μία βολή είναι 0,8. Ρίχτηκαν 3 ανεξάρτητες βολές. Βρείτε την πιθανότητα ο στόχος: δ) να χτυπηθεί ακριβώς μία φορά. Απόφαση: 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών 8
Σημείωση Η λύση που δίνεται στο σημείο δ) του παραδείγματος 5, σε μια συγκεκριμένη περίπτωση, επαναλαμβάνει την απόδειξη του περίφημου θεωρήματος Bernoulli, το οποίο αναφέρεται σε ένα από τα πιο κοινά πιθανολογικά μοντέλα: ανεξάρτητες επαναλήψεις του ίδιου τεστ με δύο πιθανά αποτελέσματα. Διακριτικό χαρακτηριστικόπολλά πιθανολογικά προβλήματα συνίσταται στο γεγονός ότι το τεστ, ως αποτέλεσμα του οποίου μπορεί να συμβεί το συμβάν που μας ενδιαφέρει, μπορεί να επαναληφθεί πολλές φορές. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, δασκάλα μαθηματικών 9
Σε όλη τη σειρά των επαναλήψεων, είναι σημαντικό να γνωρίζουμε Σε κάθε μία από αυτές τις επαναλήψεις, μας ενδιαφέρει το ερώτημα εάν αυτό το γεγονός θα συμβεί ή όχι. Και σε ολόκληρη τη σειρά των επαναλήψεων, είναι σημαντικό για εμάς να γνωρίζουμε ακριβώς πόσες φορές μπορεί ή όχι να συμβεί αυτό το γεγονός. Για παράδειγμα, ένα ζάρι ρίχνεται δέκα φορές στη σειρά. Ποια είναι η πιθανότητα ένα 4 να εμφανιστεί ακριβώς 3 φορές; 10 πυροβολισμοί. Ποια είναι η πιθανότητα να υπάρξουν ακριβώς 8 χτυπήματα στον στόχο; Ή ποια είναι η πιθανότητα ότι σε πέντε ρίψεις ενός νομίσματος, τα κεφάλια θα ανέβουν ακριβώς 4 φορές; 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, δασκάλα μαθηματικών 10
Ο Jacob Bernoulli συνδύασε παραδείγματα και ερωτήσεις Ο Ελβετός μαθηματικός των αρχών του 18ου αιώνα, Jacob Bernoulli, συνδύασε παραδείγματα και ερωτήσεις αυτού του τύπου σε ένα ενιαίο πιθανολογικό σχήμα. Αφήστε την πιθανότητα τυχαίο συμβάνΚαι όταν διεξάγετε κάποια δοκιμή, ισούται με P (A). Θα θεωρήσουμε αυτό το τεστ ως μια δοκιμή με μόνο δύο πιθανά αποτελέσματα: το ένα αποτέλεσμα είναι ότι θα συμβεί το συμβάν Α και το άλλο αποτέλεσμα είναι ότι το γεγονός Α δεν θα συμβεί, δηλ. θα συμβεί το γεγονός Ᾱ. Για συντομία, ας ονομάσουμε το πρώτο αποτέλεσμα (την εμφάνιση του συμβάντος Α) "επιτυχία", και το δεύτερο αποτέλεσμα (την εμφάνιση του συμβάντος Ᾱ) "αποτυχία". Η πιθανότητα P(A) "επιτυχίας" θα συμβολίζεται με p και η πιθανότητα P(Ᾱ) "αποτυχίας" θα συμβολίζεται με q. Άρα q = P(Ᾱ) = 1 - P(A) = 1 - p. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, δασκάλα μαθηματικών 11
ΘΕΩΡΗΜΑ 3 (θεώρημα Bernoulli) Θεώρημα 3 (θεώρημα Bernoulli). Έστω P n (k) η πιθανότητα ακριβώς k «επιτυχιών» σε n ανεξάρτητες επαναλήψεις του ίδιου τεστ. Τότε P n (k)= С n k p k q n-k , όπου p είναι η πιθανότητα «επιτυχίας» και q=1 - p είναι η πιθανότητα «αποτυχίας» σε ένα ξεχωριστό τεστ. Αυτό το θεώρημα (το παρουσιάζουμε χωρίς απόδειξη) έχει μεγάλη σημασία τόσο για τη θεωρία όσο και για την πράξη. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, δασκάλα μαθηματικών 12
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6. Παράδειγμα 6. Σε κάθε μία από τις παραγράφους α) - δ) προσδιορίστε τις τιμές των n, k, p, q και γράψτε (χωρίς υπολογισμούς) την έκφραση για την επιθυμητή πιθανότητα P n (k). α) Ποια είναι η πιθανότητα να πάρεις ακριβώς 7 κεφαλές σε 10 ρίψεις ενός νομίσματος; β) Καθένα από τα 20 άτομα ονομάζει ανεξάρτητα μια από τις ημέρες της εβδομάδας. Οι «άτυχες» μέρες είναι η Δευτέρα και η Παρασκευή. Ποια είναι η πιθανότητα η «καλή τύχη» να είναι ακριβώς η μισή; γ) Η κύλιση της μήτρας είναι «επιτυχής» εάν κυλήσει 5 ή 6. Ποια είναι η πιθανότητα ακριβώς 5 ρίψεις από τις 25 να είναι «τυχερές»; δ) Η δοκιμή συνίσταται στην ρίψη τριών διαφορετικών νομισμάτων ταυτόχρονα. «Αποτυχία»: περισσότερες «ουρές» παρά «αετοί». Ποια είναι η πιθανότητα να υπάρξουν ακριβώς τρεις «τυχίες» ανάμεσα σε 7 ρολά; 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, δασκάλα μαθηματικών 13
Λύση 6α) Παράδειγμα 6. Σε κάθε μία από τις παραγράφους α) - δ) προσδιορίστε τις τιμές των n, k, p, q και γράψτε (χωρίς υπολογισμούς) την έκφραση για την επιθυμητή πιθανότητα P n (k). α) Ποια είναι η πιθανότητα να πάρεις ακριβώς 7 κεφαλές σε 10 ρίψεις ενός νομίσματος; Απόφαση: 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών 14
Λύση 6β) Παράδειγμα 6. Σε κάθε μία από τις παραγράφους α) - δ) προσδιορίστε τις τιμές των n, k, p, q και γράψτε (χωρίς υπολογισμούς) την έκφραση για την επιθυμητή πιθανότητα P n (k). β) Καθένα από τα 20 άτομα ονομάζει ανεξάρτητα μια από τις ημέρες της εβδομάδας. Οι «άτυχες» μέρες είναι η Δευτέρα και η Παρασκευή. Ποια είναι η πιθανότητα η «καλή τύχη» να είναι ακριβώς η μισή; Απόφαση: 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, δασκάλα μαθηματικών 15
Λύση 6γ) Παράδειγμα 6. Σε κάθε μία από τις παραγράφους α) - δ) προσδιορίστε τις τιμές των n, k, p, q και γράψτε (χωρίς υπολογισμούς) την έκφραση για την επιθυμητή πιθανότητα P n (k). γ) Η κύλιση της μήτρας είναι «επιτυχής» εάν κυλήσει 5 ή 6. Ποια είναι η πιθανότητα ακριβώς 5 ρίψεις από τις 25 να είναι «τυχερές»; Απόφαση: 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, δασκάλα μαθηματικών 16
Λύση 6δ) Παράδειγμα 6. Σε κάθε μία από τις παραγράφους α) - δ) προσδιορίστε τις τιμές των n, k, p, q και γράψτε (χωρίς υπολογισμούς) την έκφραση για την επιθυμητή πιθανότητα P n (k). δ) Η δοκιμή συνίσταται στην ρίψη τριών διαφορετικών νομισμάτων ταυτόχρονα. «Αποτυχία»: περισσότερες «ουρές» παρά «αετοί». Ποια είναι η πιθανότητα να υπάρξουν ακριβώς τρεις «τυχίες» ανάμεσα σε 7 ρολά; Λύση: δ) n = 7, k = 3. «Τύχη» με μια ρίψη είναι ότι υπάρχουν λιγότερες «ουρές» από «αετοί». Συνολικά είναι δυνατά 8 αποτελέσματα: PPP, PPO, POP, OPP, POO, ORO, OOP, OOO (P - "ουρές", O - "κεφάλια"). Ακριβώς οι μισοί από αυτούς έχουν λιγότερες ουρές από τα κεφάλια: POO, ORO, OOP, OOO. Άρα p = q = 0,5; P 7 (3) \u003d C 7 3 ∙ 0,5 3 ∙ 0,5 4 \u003d C 7 3 ∙ 0,5 7. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, δασκάλα μαθηματικών 17
Το θεώρημα Bernoulli επιτρέπει ... Το θεώρημα Bernoulli σας επιτρέπει να δημιουργήσετε μια σύνδεση μεταξύ της στατιστικής προσέγγισης για τον ορισμό της πιθανότητας και του κλασικού ορισμού της πιθανότητας ενός τυχαίου γεγονότος. Για να περιγράψουμε αυτή τη σύνδεση, ας επιστρέψουμε στους όρους της § 50 για τη στατιστική επεξεργασία πληροφοριών. Εξετάστε μια ακολουθία από n ανεξάρτητες επαναλήψεις του ίδιου τεστ με δύο αποτελέσματα - "επιτυχία" και "αποτυχία". Τα αποτελέσματα αυτών των δοκιμών αποτελούν μια σειρά δεδομένων, που αποτελούνται από κάποια σειρά δύο επιλογών: «επιτυχία» και «αποτυχία». Με απλά λόγια, υπάρχει μια ακολουθία μήκους n, που αποτελείται από δύο γράμματα U ("καλή τύχη") και H ("αποτυχία"). Για παράδειγμα, U, U, N, N, U, N, N, N, ..., U ή N, U, U, N, U, U, N, N, U, ..., N, κ.λπ. Ας υπολογίσουμε την πολλαπλότητα και τη συχνότητα των επιλογών Y, δηλ. να βρούμε το κλάσμα k / n, όπου k είναι ο αριθμός των «τυχών» που συναντώνται μεταξύ και των n επαναλήψεων. Αποδεικνύεται ότι με μια απεριόριστη αύξηση στο n, η συχνότητα k/n της εμφάνισης "επιτυχιών" θα είναι πρακτικά αδιάκριτη από την πιθανότητα p "επιτυχίας" σε μία δοκιμή. Αυτό το αρκετά περίπλοκο μαθηματικό γεγονός προέρχεται ακριβώς από το θεώρημα του Bernoulli. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, δασκάλα μαθηματικών 18
ΘΕΩΡΗΜΑ 4. Με μεγάλο αριθμό ανεξάρτητων επαναλήψεων ΘΕΩΡΗΜΑ 4. Με μεγάλο αριθμό ανεξάρτητων επαναλήψεων του ίδιου τεστ, η συχνότητα εμφάνισης ενός τυχαίου γεγονότος Α με αυξανόμενη ακρίβεια είναι περίπου ίση με την πιθανότητα του γεγονότος Α: k/n ≈ P(A). Για παράδειγμα, όταν n > 2000 με πιθανότητα μεγαλύτερη από 99%, μπορεί να υποστηριχθεί ότι το απόλυτο σφάλμα | k/n - P(A)| κατά προσέγγιση ισότητα k/n≈ P(A) θα είναι μικρότερη από 0,03. Επομένως, σε κοινωνιολογικές έρευνες, αρκεί η συνέντευξη από περίπου 2.000 τυχαία επιλεγμένα άτομα (αποκριθέντες). Αν, ας πούμε, 520 από αυτούς απάντησαν θετικά ερώτηση που τέθηκε, τότε k/n=520/2000=0,26 και είναι σχεδόν βέβαιο ότι για οποιαδήποτε περισσότεροτων ερωτηθέντων, αυτή η συχνότητα θα είναι στην περιοχή από 0,23 έως 0,29. Αυτό το φαινόμενο ονομάζεται φαινόμενο της στατιστικής σταθερότητας. Έτσι, το θεώρημα του Bernoulli και οι συνέπειές του μας επιτρέπουν να βρούμε (περίπου) την πιθανότητα ενός τυχαίου γεγονότος σε περιπτώσεις όπου ο ρητός υπολογισμός του είναι αδύνατος. 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, δασκάλα μαθηματικών 19
Για τη δασκάλα 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, δασκάλα μαθηματικών 20
02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, δασκάλα μαθηματικών 21
02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, καθηγήτρια μαθηματικών 22
Πηγές Algebra and the Beginnings of Analysis, Δημοτικές 10-11, Μέρος 1. Σχολικό βιβλίο, 10η έκδ. (Βασικό επίπεδο), A.G. Mordkovich, M., 2009 Άλγεβρα και αρχή ανάλυσης, τάξεις 10-11. (Βασικό επίπεδο) Μεθοδολογικός οδηγός για δασκάλους, A.G. Mordkovich, P.V. Semenov, M., 2010 Οι πίνακες συντάσσονται σε MS Word και MS Excel. Πηγές Διαδικτύου Tsybikova Tamara Radnazhapovna, δασκάλα μαθηματικών 08.02.2014 23
Προεπισκόπηση:
Για να χρησιμοποιήσετε την προεπισκόπηση των παρουσιάσεων, δημιουργήστε έναν λογαριασμό για τον εαυτό σας ( λογαριασμός) Google και συνδεθείτε: https://accounts.google.com
Λεζάντες διαφανειών:
διαφάνεια 1
Κεφάλαιο 9. Στοιχεία μαθηματικής στατιστικής, συνδυαστική και θεωρία πιθανοτήτων
§54. Τυχαία γεγονότα και οι πιθανότητες τους 3. ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΤΕΣΤ. ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΠΕΡΝΟΥΛΙ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΤΑΘΕΡΟΤΗΤΑ.
διαφάνεια 2
Περιεχόμενο
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5. Πιθανότητα να χτυπηθεί ένας στόχος με μια βολή ... Λύση 5α) Λύση 5β) Λύση 5γ) Λύση 5δ) Σημειώστε ότι ... Σε όλη τη σειρά των επαναλήψεων είναι σημαντικό να γνωρίζετε ... Jacob Ο Bernoulli συνδύασε παραδείγματα και ερωτήσεις ... ΘΕΩΡΗΜΑ 3 (θεώρημα Bernoulli ).
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6. Σε καθεμία από τις παραγράφους α) - δ) προσδιορίστε τις τιμές των n, k, p, q και γράψτε (χωρίς υπολογισμούς) την έκφραση για την επιθυμητή πιθανότητα Pn(k). Λύση 6α· Λύση 6β) Λύση 6γ) Λύση 6δ). Το θεώρημα Bernoulli επιτρέπει ... ΘΕΩΡΗΜΑ 4. Με μεγάλο αριθμό ανεξάρτητων επαναλήψεων ... Για τον δάσκαλο.Πηγές.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, δασκάλα μαθηματικών
*
διαφάνεια 3
3. ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΤΕΣΤ. ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΠΕΡΝΟΥΛΙ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΤΑΘΕΡΟΤΗΤΑ.
Μέρος 3
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, δασκάλα μαθηματικών
*
διαφάνεια 4
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5. Πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος με μία βολή
Ας αλλάξουμε ελαφρώς το προηγούμενο παράδειγμα: αντί για δύο διαφορετικούς σκοπευτές, ο ίδιος σκοπευτής θα πυροβολήσει στον στόχο Παράδειγμα 5. Η πιθανότητα να χτυπήσει το στόχο με μία βολή είναι 0,8. Ρίχτηκαν 3 ανεξάρτητες βολές. Βρείτε την πιθανότητα ότι ο στόχος: α) θα χτυπηθεί τρεις φορές, β) δεν θα χτυπηθεί, γ) θα χτυπηθεί τουλάχιστον μία φορά, δ) θα χτυπηθεί ακριβώς μία φορά.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, δασκάλα μαθηματικών
*
διαφάνεια 5
Λύση του παραδείγματος 5α)
Παράδειγμα 5. Η πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος με μία βολή είναι 0,8. Ρίχτηκαν 3 ανεξάρτητες βολές. Βρείτε την πιθανότητα ο στόχος: α) να χτυπηθεί τρεις φορές.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, δασκάλα μαθηματικών
*
διαφάνεια 6
Λύση του παραδείγματος 5β)
Παράδειγμα 5. Η πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος με μία βολή είναι 0,8. Ρίχτηκαν 3 ανεξάρτητες βολές. Βρείτε την πιθανότητα να μην χτυπηθεί ο στόχος: β) Λύση:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, δασκάλα μαθηματικών
*
Διαφάνεια 7
Λύση του παραδείγματος 5γ)
Παράδειγμα 5. Η πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος με μία βολή είναι 0,8. Ρίχτηκαν 3 ανεξάρτητες βολές. Βρείτε την πιθανότητα ο στόχος: γ) να χτυπηθεί τουλάχιστον μία φορά Λύση:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, δασκάλα μαθηματικών
*
Διαφάνεια 8
Λύση του παραδείγματος 5δ)
Παράδειγμα 5. Η πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος με μία βολή είναι 0,8. Ρίχτηκαν 3 ανεξάρτητες βολές. Βρείτε την πιθανότητα ο στόχος: δ) να χτυπηθεί ακριβώς μία φορά Λύση:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, δασκάλα μαθηματικών
*
Διαφάνεια 9
Σημείωση
Η λύση που δίνεται στο σημείο δ) του παραδείγματος 5, σε μια συγκεκριμένη περίπτωση, επαναλαμβάνει την απόδειξη του περίφημου θεωρήματος Bernoulli, το οποίο αναφέρεται σε ένα από τα πιο κοινά πιθανοτικά μοντέλα: ανεξάρτητες επαναλήψεις του ίδιου τεστ με δύο πιθανά αποτελέσματα. Ένα χαρακτηριστικό γνώρισμα πολλών πιθανολογικών προβλημάτων είναι ότι το τεστ, ως αποτέλεσμα του οποίου μπορεί να συμβεί το συμβάν που μας ενδιαφέρει, μπορεί να επαναληφθεί πολλές φορές.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, δασκάλα μαθηματικών
*
Διαφάνεια 10
Σε όλη τη σειρά των επαναλήψεων, είναι σημαντικό να γνωρίζουμε
Σε κάθε μία από αυτές τις επαναλήψεις, μας ενδιαφέρει το ερώτημα εάν αυτό το γεγονός θα συμβεί ή όχι. Και σε ολόκληρη τη σειρά των επαναλήψεων, είναι σημαντικό για εμάς να γνωρίζουμε ακριβώς πόσες φορές μπορεί ή όχι να συμβεί αυτό το γεγονός. Για παράδειγμα, ένα ζάρι ρίχνεται δέκα φορές στη σειρά. Ποια είναι η πιθανότητα ένα 4 να εμφανιστεί ακριβώς 3 φορές; 10 πυροβολισμοί. Ποια είναι η πιθανότητα να υπάρξουν ακριβώς 8 χτυπήματα στον στόχο; Ή ποια είναι η πιθανότητα ότι σε πέντε ρίψεις ενός νομίσματος, τα κεφάλια θα ανέβουν ακριβώς 4 φορές;
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, δασκάλα μαθηματικών
*
διαφάνεια 11
Ο Jacob Bernoulli συνδύασε παραδείγματα και ερωτήσεις
Ο Ελβετός μαθηματικός των αρχών του 18ου αιώνα, Jacob Bernoulli, συνδύασε παραδείγματα και ερωτήσεις αυτού του τύπου σε ένα ενιαίο πιθανολογικό σχήμα. Έστω ότι η πιθανότητα ενός τυχαίου γεγονότος Α κατά τη διάρκεια κάποιου τεστ είναι ίση με P (A). Θα θεωρήσουμε αυτό το τεστ ως μια δοκιμή με μόνο δύο πιθανά αποτελέσματα: το ένα αποτέλεσμα είναι ότι θα συμβεί το συμβάν Α και το άλλο αποτέλεσμα είναι ότι το γεγονός Α δεν θα συμβεί, δηλ. θα συμβεί το γεγονός Ᾱ. Για συντομία, ας ονομάσουμε το πρώτο αποτέλεσμα (την εμφάνιση του συμβάντος Α) "επιτυχία", και το δεύτερο αποτέλεσμα (την εμφάνιση του συμβάντος Ᾱ) "αποτυχία". Η πιθανότητα P(A) "επιτυχίας" θα συμβολίζεται με p και η πιθανότητα P(Ᾱ) "αποτυχίας" θα συμβολίζεται με q. Άρα q = P(Ᾱ) = 1 - P(A) = 1 - p.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, δασκάλα μαθηματικών
*
διαφάνεια 12
ΘΕΩΡΗΜΑ 3 (θεώρημα Bernoulli)
Θεώρημα 3 (θεώρημα Bernoulli). Έστω Pn(k) η πιθανότητα ακριβώς k «επιτυχιών» σε n ανεξάρτητες επαναλήψεις του ίδιου τεστ. Τότε Pn(k)= Сnk pk qn-k, όπου p είναι η πιθανότητα «επιτυχίας», και q=1-p η πιθανότητα «αποτυχίας» σε ξεχωριστό τεστ. Αυτό το θεώρημα (το δίνουμε χωρίς απόδειξη ) έχει μεγάλη σημασία για τη θεωρία και την πράξη.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, δασκάλα μαθηματικών
*
διαφάνεια 13
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6.
Παράδειγμα 6. Σε καθεμία από τις παραγράφους α) - δ) προσδιορίστε τις τιμές των n, k, p, q και γράψτε (χωρίς υπολογισμούς) την έκφραση για την επιθυμητή πιθανότητα Pn(k). νομίσματα; β) Καθένα από τα 20 άτομα ονομάζουν ανεξάρτητα μια από τις ημέρες της εβδομάδας. Οι «άτυχες» μέρες είναι η Δευτέρα και η Παρασκευή. Ποια είναι η πιθανότητα η «καλή τύχη» να είναι ακριβώς η μισή; Ποια είναι η πιθανότητα ότι ακριβώς 5 ρίψεις από τις 25 θα είναι «επιτυχείς»; δ) Το τεστ αποτελείται από την ταυτόχρονη ρίψη τριών διαφορετικών νομισμάτων. «Αποτυχία»: περισσότερες «ουρές» παρά «αετοί». Ποια είναι η πιθανότητα να υπάρξουν ακριβώς τρεις «τυχίες» ανάμεσα σε 7 ρολά;
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, δασκάλα μαθηματικών
*
Διαφάνεια 14
Λύση 6α)
Παράδειγμα 6. Σε καθεμία από τις παραγράφους α) - δ) προσδιορίστε τις τιμές των n, k, p, q και γράψτε (χωρίς υπολογισμούς) την έκφραση για την επιθυμητή πιθανότητα Pn(k). Νομίσματα; Λύση:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, δασκάλα μαθηματικών
*
διαφάνεια 15
Λύση 6β)
Παράδειγμα 6. Σε καθεμία από τις παραγράφους α) - δ) προσδιορίστε τις τιμές των n, k, p, q και γράψτε (χωρίς υπολογισμούς) μια έκφραση για την επιθυμητή πιθανότητα Pn(k). β) Κάθε ένα από 20 άτομα ανεξάρτητα ονομάζει μια από τις ημέρες της εβδομάδας. Οι «άτυχες» μέρες είναι η Δευτέρα και η Παρασκευή. Ποια είναι η πιθανότητα να υπάρξει ακριβώς η μισή «καλή τύχη»; Λύση:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, δασκάλα μαθηματικών
*
διαφάνεια 16
Λύση 6γ)
Παράδειγμα 6. Σε κάθε μία από τις παραγράφους α) - δ) προσδιορίστε τις τιμές των n, k, p, q και γράψτε (χωρίς υπολογισμούς) την έκφραση για την επιθυμητή πιθανότητα Pn(k). . Ποια είναι η πιθανότητα ακριβώς 5 ρίψεις από τις 25 να είναι «τυχερές»; Λύση:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, δασκάλα μαθηματικών
*
Διαφάνεια 17
Λύση 6δ)
Παράδειγμα 6. Σε καθεμία από τις παραγράφους α) - δ) προσδιορίστε τις τιμές των n, k, p, q και γράψτε (χωρίς υπολογισμούς) την έκφραση για την επιθυμητή πιθανότητα Pn(k). δ) Η δοκιμή συνίσταται στο ταυτόχρονη ρίψη τριών διαφορετικών νομισμάτων. «Αποτυχία»: περισσότερες «ουρές» παρά «αετοί». Ποια είναι η πιθανότητα να υπάρχουν ακριβώς τρεις «τυχίες» ανάμεσα σε 7 πετάγματα; Λύση: δ) n = 7, k = 3. «Τύχη» σε ένα πέταγμα είναι ότι υπάρχουν λιγότερες «ουρές» από «αετοί». Συνολικά είναι δυνατά 8 αποτελέσματα: PPP, PPO, POP, OPP, POO, ORO, OOP, OOO (P - "ουρές", O - "κεφάλια"). Ακριβώς οι μισοί από αυτούς έχουν λιγότερες ουρές από τα κεφάλια: POO, ORO, OOP, OOO. Άρα p = q = 0,5; Р7(3) = С73 ∙ 0,53 ∙ 0,54 = С73 ∙ 0,57.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, δασκάλα μαθηματικών
*
Διαφάνεια 18
Το θεώρημα του Bernoulli επιτρέπει...
Το θεώρημα του Bernoulli καθιστά δυνατή τη δημιουργία μιας σύνδεσης μεταξύ της στατιστικής προσέγγισης για τον ορισμό της πιθανότητας και του κλασικού ορισμού της πιθανότητας ενός τυχαίου γεγονότος. Για να περιγράψουμε αυτή τη σύνδεση, ας επιστρέψουμε στους όρους της § 50 για τη στατιστική επεξεργασία πληροφοριών. Εξετάστε μια ακολουθία από n ανεξάρτητες επαναλήψεις του ίδιου τεστ με δύο αποτελέσματα - "επιτυχία" και "αποτυχία". Τα αποτελέσματα αυτών των δοκιμών αποτελούν μια σειρά δεδομένων, που αποτελούνται από κάποια σειρά δύο επιλογών: «επιτυχία» και «αποτυχία». Με απλά λόγια, υπάρχει μια ακολουθία μήκους n, που αποτελείται από δύο γράμματα Y ("καλή τύχη") και H ("αποτυχία"). Για παράδειγμα, U, U, N, N, U, N, N, N, ..., U ή N, U, U, N, U, U, N, N, U, ..., N, κ.λπ. Ας υπολογίσουμε την πολλαπλότητα και τη συχνότητα των επιλογών Y, δηλαδή θα βρούμε το κλάσμα k / n, όπου k είναι ο αριθμός των «τυχών» που συναντώνται μεταξύ όλων των n επαναλήψεων. Αποδεικνύεται ότι με μια απεριόριστη αύξηση στο n, η συχνότητα k/n της εμφάνισης "επιτυχιών" θα είναι πρακτικά αδιάκριτη από την πιθανότητα p "επιτυχίας" σε μία δοκιμή. Αυτό το αρκετά περίπλοκο μαθηματικό γεγονός προέρχεται ακριβώς από το θεώρημα του Bernoulli.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, δασκάλα μαθηματικών
*
Διαφάνεια 19
ΘΕΩΡΗΜΑ 4. Για μεγάλο αριθμό ανεξάρτητων επαναλήψεων
ΘΕΩΡΗΜΑ 4. Με μεγάλο αριθμό ανεξάρτητων επαναλήψεων του ίδιου τεστ, η συχνότητα εμφάνισης ενός τυχαίου γεγονότος Α με αυξανόμενη ακρίβεια είναι περίπου ίση με την πιθανότητα του γεγονότος Α: k / n ≈ P (A). Για παράδειγμα, με n > 2000 με πιθανότητα μεγαλύτερη από 99% , μπορεί να υποστηριχθεί ότι το απόλυτο σφάλμα |k/n- Р(А)| κατά προσέγγιση ισότητα k/n≈ P(A) θα είναι μικρότερη από 0,03. Επομένως, σε κοινωνιολογικές έρευνες, αρκεί η συνέντευξη από περίπου 2.000 τυχαία επιλεγμένα άτομα (αποκριθέντες). Εάν, ας πούμε, 520 από αυτούς έδωσαν θετική απάντηση στην ερώτηση, τότε k / n = 520 / 2000 = 0,26 και είναι πρακτικά βέβαιο ότι για οποιονδήποτε μεγαλύτερο αριθμό ερωτηθέντων μια τέτοια συχνότητα θα είναι στην περιοχή από 0,23 έως 0,29. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται φαινόμενο της στατιστικής σταθερότητας.Έτσι, το θεώρημα Bernoulli και οι συνέπειές του επιτρέπουν (περίπου) την εύρεση της πιθανότητας ενός τυχαίου γεγονότος σε περιπτώσεις όπου ο ρητός υπολογισμός του είναι αδύνατος.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, δασκάλα μαθηματικών
*
Διαφάνεια 20
Για τον δάσκαλο
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, δασκάλα μαθηματικών
*
διαφάνεια 21
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, δασκάλα μαθηματικών
*
διαφάνεια 22
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, δασκάλα μαθηματικών
*
διαφάνεια 23
Πηγές
Algebra and the Beginnings of Analysis, Δημοτικές 10-11, Μέρος 1. Σχολικό βιβλίο, 10η έκδ. (Βασικό επίπεδο), A.G. Mordkovich, M., 2009Άλγεβρα και αρχή ανάλυσης, βαθμοί 10-11. (Βασικό επίπεδο) Μεθοδολογικός οδηγός για δασκάλους, A.G. Mordkovich, P.V. Semenov, M., 2010 Οι πίνακες συντάσσονται σε MS Word και MS Excel Πηγές Διαδικτύου
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, δασκάλα μαθηματικών
08.02.2014
*
διαφάνεια 1
Θεώρημα Bernoulli
17.03.2017
διαφάνεια 2
Πραγματοποιείται μια σειρά από n ανεξάρτητες δοκιμές. Κάθε δοκιμή έχει 2 αποτελέσματα: Α - "επιτυχία" και - "αποτυχία". Η πιθανότητα «επιτυχίας» σε κάθε δοκιμή είναι η ίδια και ισούται με P(A) = p Αντίστοιχα, η πιθανότητα «αποτυχίας» επίσης δεν αλλάζει από εμπειρία σε εμπειρία και είναι ίση.
Σχέδιο Bernoulli
Ποια είναι η πιθανότητα μια σειρά n δοκιμών να πετύχει k φορές; Βρείτε το Pn(k) .
διαφάνεια 3
Το κέρμα πετιέται n φορές. Ένα φύλλο τραβιέται από την τράπουλα n φορές και κάθε φορά που επιστρέφεται το φύλλο, η τράπουλα ανακατεύεται. Εξετάζουμε n προϊόντα κάποιας παραγωγής, τυχαία επιλεγμένα, για ποιότητα. Ο σκοπευτής πυροβολεί στον στόχο n φορές.
Παραδείγματα
διαφάνεια 4
Εξηγήστε γιατί οι ακόλουθες ερωτήσεις ταιριάζουν στο σχήμα Bernoulli. Υποδείξτε τι αποτελείται η «επιτυχία» και τι είναι τα n και k. α) Ποια είναι η πιθανότητα να πάρεις 2 τρεις φορές σε δέκα ρίψεις ζαριού; β) Ποια είναι η πιθανότητα σε 100 ρίψεις ενός νομίσματος κεφαλές να εμφανιστούν 73 φορές; γ) Ένα ζευγάρι ζάρια ρίχνονται είκοσι φορές στη σειρά. Ποια είναι η πιθανότητα το άθροισμα των βαθμών να μην ήταν ποτέ ίσο με δέκα; δ) Τρία φύλλα τραβήχτηκαν από μια τράπουλα 36 φύλλων, το αποτέλεσμα καταγράφηκε και επέστρεψε στην τράπουλα και στη συνέχεια τα φύλλα ανακατεύτηκαν. Αυτό επαναλήφθηκε 4 φορές. Ποια είναι η πιθανότητα η Βασίλισσα των Μπαστούνι να ήταν ανάμεσα στα χαρτιά που κληρώθηκαν κάθε φορά;
διαφάνεια 5
Για τον αριθμό των συνδυασμών από n έως k, ισχύει ο τύπος
Για παράδειγμα:
διαφάνεια 6
Θεώρημα Bernoulli
Η πιθανότητα Pn(k) ακριβώς k επιτυχιών σε n ανεξάρτητες επαναλήψεις του ίδιου τεστ βρίσκεται από τον τύπο, όπου p είναι η πιθανότητα «επιτυχίας», q = 1- p είναι η πιθανότητα «αποτυχίας» σε ένα ξεχωριστό πείραμα .
Διαφάνεια 7
Το κέρμα πετιέται 6 φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να εμφανιστεί το εθνόσημο 0, 1, ...6 φορές; Λύση. Ο αριθμός των πειραμάτων n=6. Γεγονός Α - "επιτυχία" - η απώλεια του εθνόσημου. Σύμφωνα με τον τύπο Bernoulli, η απαιτούμενη πιθανότητα είναι
;
;
;
;
;
;
Διαφάνεια 8
Το κέρμα πετιέται 6 φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να εμφανιστεί το εθνόσημο 0, 1, ...6 φορές; Λύση. Ο αριθμός των πειραμάτων n=6. Γεγονός Α - "επιτυχία" - η απώλεια του εθνόσημου.
;
;
;
;
;
;
Διαφάνεια 9
Το κέρμα πετιέται 10 φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να εμφανιστεί δύο φορές το εθνόσημο; Λύση. Ο αριθμός των πειραμάτων n=10, m=2. Γεγονός Α - "επιτυχία" - η απώλεια του εθνόσημου. Σύμφωνα με τον τύπο Bernoulli, η απαιτούμενη πιθανότητα είναι
;
;
;
;
;
;
Διαφάνεια 10
Ένα δοχείο περιέχει 20 άσπρες και 10 μαύρες μπάλες. Βγάζονται 4 μπάλες και κάθε μπάλα που βγαίνει επιστρέφεται στη λάρνακα πριν τραβηχτεί η επόμενη και αναμειγνύονται οι μπάλες στη λάρνακα. Βρείτε την πιθανότητα 2 από τις 4 μπάλες που κληρώθηκαν να είναι λευκές. Λύση. Γεγονός Α - πήρε λευκή μπάλα. Τότε οι πιθανότητες Σύμφωνα με τον τύπο Bernoulli, η απαιτούμενη πιθανότητα είναι
διαφάνεια 11
Προσδιορίστε την πιθανότητα να μην υπάρχουν κορίτσια σε μια οικογένεια με 5 παιδιά. Οι πιθανότητες απόκτησης ενός αγοριού και ενός κοριτσιού υποτίθεται ότι είναι ίδιες. Λύση. Η πιθανότητα γέννησης ενός κοριτσιού, ενός αγοριού Σύμφωνα με τον τύπο Bernoulli, η απαιτούμενη πιθανότητα είναι ίση με
διαφάνεια 12
Βρείτε την πιθανότητα μια οικογένεια με 5 παιδιά να έχει ένα κορίτσι. Οι πιθανότητες απόκτησης ενός αγοριού και ενός κοριτσιού υποτίθεται ότι είναι ίδιες. Λύση. Η πιθανότητα γέννησης ενός κοριτσιού, ενός αγοριού Σύμφωνα με τον τύπο Bernoulli, η απαιτούμενη πιθανότητα είναι ίση με
διαφάνεια 13
Προσδιορίστε την πιθανότητα μια οικογένεια με 5 παιδιά να έχει δύο κορίτσια. Λύση. Η πιθανότητα γέννησης ενός κοριτσιού, ενός αγοριού Σύμφωνα με τον τύπο Bernoulli, η απαιτούμενη πιθανότητα είναι ίση με
Διαφάνεια 14
Βρείτε την πιθανότητα μια οικογένεια με 5 παιδιά να έχει 3 κορίτσια. Λύση. Η πιθανότητα γέννησης ενός κοριτσιού, ενός αγοριού Σύμφωνα με τον τύπο Bernoulli, η απαιτούμενη πιθανότητα είναι ίση με
διαφάνεια 15
Προσδιορίστε την πιθανότητα μια οικογένεια με 5 παιδιά να μην έχει περισσότερα από 3 κορίτσια. Οι πιθανότητες απόκτησης ενός αγοριού και ενός κοριτσιού υποτίθεται ότι είναι ίδιες. Λύση. Η πιθανότητα να έχεις ένα κορίτσι, ένα αγόρι Η απαιτούμενη πιθανότητα είναι ίση με
.
διαφάνεια 16
Μεταξύ των εξαρτημάτων που επεξεργάζεται ο εργαζόμενος, υπάρχουν κατά μέσο όρο 4% μη τυποποιημένα. Βρείτε την πιθανότητα δύο από τα 30 εξαρτήματα που λαμβάνονται για δοκιμή να είναι μη τυποποιημένα. Λύση. Εδώ η εμπειρία έγκειται στον έλεγχο ποιότητας καθενός από τα 30 εξαρτήματα. Γεγονός Α - "εμφάνιση μη τυπικού τμήματος",
"Στοιχεία μαθηματικής στατιστικής" - Διάστημα εμπιστοσύνης. Η επιστήμη. Ταξινόμηση υποθέσεων. Τα εξαρτήματα κατασκευάζονται σε διαφορετικά μηχανήματα. Κανόνες ελέγχου. εξάρτηση συσχέτισης. Εθισμός. Το σύνολο των τιμών των κριτηρίων. Βρείτε το διάστημα εμπιστοσύνης. Υπολογισμός διαστημάτων εμπιστοσύνης για άγνωστη διακύμανση. Κανονική κατανομή.
"Πιθανότητες και μαθηματικές στατιστικές" - Η ακρίβεια των λαμβανόμενων τιμών. Κωδικός για το χρηματοκιβώτιο. Περιγραφικά στατιστικά. Μήλο. Ας αναλογιστούμε τα γεγονότα. κανόνας πολλαπλασιασμού. Δύο σουτέρ. Σύγκριση προγράμματα σπουδών. Καραμέλλα. Παραδείγματα ραβδόγραμμα. Μαθηματικά σημάδια. Κανόνας πολλαπλασιασμού για τρία. Λευκά και κόκκινα τριαντάφυλλα. 9 διαφορετικά βιβλία. ΧΕΙΜΕΡΙΝΕΣ ΔΙΑΚΟΠΕΣ.
«Βασικές αρχές της Μαθηματικής Στατιστικής» - Πιθανότητα υπό όρους. Πίνακας τυποποιημένων τιμών. Ιδιότητες κατανομής μαθητή. Διάστημα εμπιστοσύνης μαθηματικής προσδοκίας. Δείγμα μέσου όρου. Διανομή. Μία δοκιμή μπορεί να θεωρηθεί ως μια σειρά από μία δοκιμή. Quantile - στα αριστερά θα πρέπει να είναι ο αριθμός των τιμών που αντιστοιχούν στον δείκτη ποσοστοιχίας.
«Θεωρία πιθανοτήτων και στατιστική» - Όρια του διαστήματος. Κρίσιμες περιοχές. Θεώρημα πολλαπλασιασμού πιθανοτήτων. Κατανομή μιας κανονικής τυχαίας μεταβλητής. Παραγωγή του τύπου Bernoulli. Νόμοι κατανομής τυχαίων μεταβλητών. Η διατύπωση του ZBC. Έννοια και διατύπωση του κεντρικού οριακού θεωρήματος. Σχέση ονομαστικών χαρακτηριστικών. Στοχαστική εξάρτηση δύο τυχαίων μεταβλητών.
«Στατιστική έρευνα» - Συνάφεια. Στατιστικά χαρακτηριστικά και έρευνα. Σχέδιο. Το εύρος είναι η διαφορά μεταξύ της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμής μιας σειράς δεδομένων. Είδη στατιστικής παρατήρησης. Σας αρέσει να σπουδάζετε μαθηματικά. Εξετάστε μια σειρά αριθμών. Ποιος σας βοηθά να κατανοήσετε ένα δύσκολο θέμα στα μαθηματικά. Χρειάζεστε μαθηματικά στο μελλοντικό σας επάγγελμα;
«Βασικά Στατιστικά Χαρακτηριστικά» - Βασικά Στατιστικά Χαρακτηριστικά. Βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο. ΠΕΤΡΩΝΙΟΣ. Σουφρώνω. Μόδα σειρών. Αριθμητικός μέσος όρος μιας σειράς αριθμών. Άνοιγμα σειράς. Ο διάμεσος της σειράς. Στατιστική. Διάμεσος. Σχολικά τετράδια.
Συνολικά υπάρχουν 17 παρουσιάσεις στο θέμα
ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ
Κρατικό εκπαιδευτικό ίδρυμα
ανώτερη επαγγελματική εκπαίδευση
«ΜΑΤΙ» - ΡΩΣΙΚΟ ΚΡΑΤΙΚΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΜ. Κ.Ε. ΤΣΙΟΛΚΟΒΣΚΙ
Τμήμα Μοντελοποίησης Συστημάτων και Πληροφορικής
Επανάληψη δοκιμών. Σχέδιο Bernoulli
Μεθοδικές οδηγίες για πρακτικές ασκήσεις
στο γνωστικό αντικείμενο "Ανώτατα Μαθηματικά"
Συντάχθηκε από: Egorova Yu.B.
Mamonov I.M.
Μόσχα 2006 εισαγωγή
Οι οδηγίες προορίζονται για φοιτητές των ημερήσιων και απογευματινών τμημάτων της σχολής Νο. 14, ειδικοτήτων 150601, 160301, 230102. Οι οδηγίες επισημαίνουν τις βασικές έννοιες του θέματος, καθορίζουν τη σειρά μελέτης της ύλης. Ένας μεγάλος αριθμός εξεταζόμενων παραδειγμάτων βοηθά στην πρακτική ανάπτυξη του θέματος. Οι κατευθυντήριες γραμμές χρησιμεύουν ως μεθοδολογική βάση για πρακτικές ασκήσεις και την υλοποίηση μεμονωμένων εργασιών.
ΣΧΕΔΙΟ BERNULLI. ΦΟΡΜΟΥΛΑ ΜΠΕΡΝΟΥΛΙ
Σχέδιο Bernoulli- ένα σχήμα επαναλαμβανόμενων ανεξάρτητων δοκιμών, στο οποίο κάποιο συμβάν ΑΛΛΑμπορεί να επαναληφθεί πολλές φορές με σταθερή πιθανότητα R (ΑΛΛΑ)= R .
Παραδείγματα δοκιμών που πραγματοποιήθηκαν σύμφωνα με το σχήμα Bernoulli: πολλαπλή ρίψη νομίσματος ή ζαριού, κατασκευή μιας παρτίδας εξαρτημάτων, βολή σε στόχο κ.λπ.
Θεώρημα.Εάν η πιθανότητα να συμβεί ένα γεγονός ΑΛΛΑσε κάθε δοκιμή είναι σταθερή και ίση R, τότε η πιθανότητα ότι το συμβάν ΑΛΛΑθα έρθω Μμιά φορά nΟι δοκιμές (ανεξαρτήτως με ποια σειρά), μπορούν να προσδιοριστούν από τον τύπο Bernoulli:
όπου q = 1 – Π.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1.Η πιθανότητα ότι η κατανάλωση ηλεκτρικής ενέργειας κατά τη διάρκεια μιας ημέρας δεν θα υπερβεί τον καθορισμένο κανόνα είναι ίση με p= 0,75. Βρείτε την πιθανότητα τις επόμενες 6 ημέρες η κατανάλωση ρεύματος για 4 ημέρες να μην ξεπεράσει το κανονικό.
ΛΥΣΗ. Η πιθανότητα κανονικής κατανάλωσης ρεύματος κατά τη διάρκεια καθεμιάς από τις 6 ημέρες είναι σταθερή και ίση με R= 0,75. Επομένως, η πιθανότητα υπερβολικής δαπάνης ηλεκτρικής ενέργειας κάθε μέρα είναι επίσης σταθερή και ίση με q = 1R = 1 0,75 = 0,25.
Η επιθυμητή πιθανότητα σύμφωνα με τον τύπο Bernoulli είναι ίση με:
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2.Ο σκοπευτής εκτοξεύει τρεις βολές στο στόχο. Η πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος με κάθε βολή είναι p= 0,3. Βρείτε την πιθανότητα να: α) χτυπηθεί ένας στόχος. β) και οι τρεις στόχοι. γ) χωρίς στόχους. δ) τουλάχιστον ένας στόχος. ε) λιγότεροι από δύο στόχους.
ΛΥΣΗ. Η πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος με κάθε βολή είναι σταθερή και ίση με R=0,75. Επομένως, η πιθανότητα αστοχίας είναι q = 1 R\u003d 1 - 0,3 \u003d 0,7. Συνολικός αριθμός πειραμάτων n=3.
α) Η πιθανότητα να χτυπηθεί ένας στόχος με τρεις βολές είναι ίση με:
β) Η πιθανότητα να χτυπηθούν και οι τρεις στόχοι με τρεις βολές είναι:
γ) Η πιθανότητα τριών αστοχιών με τρεις βολές ισούται με:
δ) Η πιθανότητα να χτυπηθεί τουλάχιστον ένας στόχος με τρεις βολές είναι ίση με:
ε) Πιθανότητα να χτυπήσει λιγότερους από δύο στόχους, δηλαδή είτε έναν στόχο είτε κανέναν:
Τοπικά και ολοκληρωτικά θεωρήματα Moivre-Laplace
Εάν γίνει ένας μεγάλος αριθμός δοκιμών, τότε ο υπολογισμός των πιθανοτήτων χρησιμοποιώντας τον τύπο Bernoulli γίνεται τεχνικά δύσκολος, αφού ο τύπος απαιτεί πράξεις σε τεράστιους αριθμούς. Επομένως, υπάρχουν απλούστεροι κατά προσέγγιση τύποι για τον υπολογισμό των πιθανοτήτων για μεγάλες n. Αυτοί οι τύποι ονομάζονται ασυμπτωτικοί και ορίζονται από το θεώρημα του Poisson, τα τοπικά και ολοκληρωτικά θεωρήματα του Laplace.
Τοπικό θεώρημα de Moivre-Laplace. ΑΛΛΑ ΑΛΛΑσυμβεί Μμιά φορά n n (n →∞ ), είναι περίπου ίσο με:
πού είναι η συνάρτηση 
και το επιχείρημα 
Περισσότερο n, τόσο πιο ακριβής είναι ο υπολογισμός των πιθανοτήτων. Επομένως, είναι σκόπιμο να εφαρμοστεί το θεώρημα Moivre-Laplace όταν npq 20.
φά ( Χ ) καταρτίστηκαν ειδικοί πίνακες (βλ. Παράρτημα 1). Όταν χρησιμοποιείτε τραπέζι, να έχετε κατά νου ιδιότητες λειτουργίας f(x) :
Λειτουργία f(x)είναι άρτιος φά( x)= f(x) .
Στο Χ ∞ συνάρτηση f(x) 0. Στην πράξη, μπορούμε να υποθέσουμε ότι ήδη στο Χ>4 λειτουργία f(x) ≈0.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3.Βρείτε την πιθανότητα ότι το συμβάν ΑΛΛΑεμφανίζεται 80 φορές σε 400 δοκιμές εάν η πιθανότητα εμφάνισης του συμβάντος είναι ΑΛΛΑσε κάθε δοκιμή είναι p= 0,2.
ΛΥΣΗ. Κατά συνθήκη n=400, Μ=80, Π=0,2, q=0,8. Συνεπώς:
Σύμφωνα με τον πίνακα, προσδιορίζουμε την τιμή της συνάρτησης φά (0)=0,3989.
Ολοκληρωτικό θεώρημα Moivre-Laplace.Εάν η πιθανότητα να συμβεί ένα γεγονός ΑΛΛΑσε κάθε δοκιμή είναι σταθερή και διαφορετική από 0 και 1, τότε η πιθανότητα ότι το συμβάν ΑΛΛΑπροέρχομαι Μ 1 πριν Μ 2 μιά φορά n δοκιμές με αρκετά μεγάλο αριθμό n (n →∞ ), είναι περίπου ίσο με:
όπου 
- ολοκληρωτική ή συνάρτηση Laplace, 
Για να βρείτε τιμές συναρτήσεων ΦΑ( Χ ) έχουν καταρτιστεί ειδικοί πίνακες (για παράδειγμα, βλ. Παράρτημα 2). Όταν χρησιμοποιείτε τραπέζι, να έχετε κατά νου ιδιότητες της συνάρτησης Laplace Ф(x) :
Λειτουργία Ф(x)είναι παράξενο ΦΑ( x)= Ф(x) .
Στο Χ ∞ συνάρτηση Ф(x) 0,5. Στην πράξη, μπορεί να θεωρηθεί ότι Χ>5 λειτουργία Ф(x) ≈0,5.
φά (0)=0.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4.Η πιθανότητα το εξάρτημα να μην έχει περάσει τον έλεγχο του Τμήματος Ποιοτικού Ελέγχου είναι 0,2. Βρείτε την πιθανότητα 70 έως 100 αντικείμενα να μην επιλεγούν μεταξύ 400 στοιχείων.
ΛΥΣΗ. Κατά συνθήκη n=400, Μ 1 =70, Μ 2 =100, Π=0,2, q=0,8. Συνεπώς:
Σύμφωνα με τον πίνακα στον οποίο δίνονται οι τιμές της συνάρτησης Laplace, προσδιορίζουμε:
Ф(x 1 ) = ΦΑ( 1,25 )= ΦΑ( 1,25 )= 0,3944; Ф(x 2 ) = ΦΑ( 2,5 )= 0,4938.
Μια σειρά από ανεξάρτητες δοκιμές βρίσκεται σε εξέλιξη,καθένα από τα οποία έχει 2 πιθανά αποτελέσματα,
που υπό όρους θα ονομάσουμε Επιτυχία και Αποτυχία.
Για παράδειγμα, ένας μαθητής δίνει 4 εξετάσεις, σε καθεμία
από τα οποία είναι πιθανά 2 αποτελέσματα Επιτυχία: μαθητής
πέρασε τις εξετάσεις και απέτυχε: απέτυχε. Η πιθανότητα επιτυχίας σε κάθε δοκιμή είναι
Π. Η Πιθανότητα Αποτυχίας είναι q=1-p.
Απαιτείται να βρεθεί η πιθανότητα ότι στη σειρά
από n δοκιμασίες, η επιτυχία θα έρθει πολλές φορές
Pn(m) Bm Ó Ó ... Ó Í ... Í
Í Ó ... Ó Í ... Í ...
Í Í ... Í Ó ... Ó
Σε κάθε περίπτωση, η Επιτυχία εμφανίζεται m φορές και
Αποτυχία (n-m) φορές.
Αριθμός
όλα
συνδυασμοί
ισοδυναμεί
αριθμός
τρόπους από n δοκιμές για να επιλέξετε αυτά τα m, in
που ήταν Επιτυχία, δηλ. Εκ
n Η πιθανότητα κάθε τέτοιου συνδυασμού είναι
θεώρημα
σχετικά με
πολλαπλασιασμός
πιθανότητες
θα είναι Pmqn-m.
Αφού αυτοί οι συνδυασμοί είναι ασυμβίβαστοι, λοιπόν
η επιθυμητή πιθανότητα του συμβάντος Bm θα είναι
Pn (m) p q
Μ
n m
... p q
Μ
n m
ολικές καθυστερήσεις C s û õ C p q
Μ
n
Μ
n
Μ
n m Pn (m) C p q
Μ
n
Μ
n m Είναι γνωστό ότι αν πέσει ένα νόμισμα στα κεφάλια, ένας μαθητής
πηγαίνει στον κινηματογράφο αν το κέρμα πέσει στην ουρά
Φοιτητές. Ποια είναι η πιθανότητα ότι
1) τρεις από αυτούς θα είναι στη διάλεξη
2) θα υπάρχουν τουλάχιστον 3 μαθητές στη διάλεξη
2) θα πάει τουλάχιστον ένας από τους μαθητές στη διάλεξη; 1) Σε αυτό το πρόβλημα, μια σειρά από n=5
ανεξάρτητα τεστ. Ας το πούμε Επιτυχία
πηγαίνοντας σε μια διάλεξη (οι ουρές πέφτουν έξω) και
Αποτυχία - μετάβαση στον κινηματογράφο (πέσιμο από το εθνόσημο).
p=q=1/2.
Χρησιμοποιώντας τον τύπο Bernoulli, βρίσκουμε την πιθανότητα ότι
Τι θα συμβεί 3 φορές μετά από 5 ρίψεις ενός νομίσματος;
επιτυχία:
3
2
1 1
P5(3)C
2 2
5! 1 1
1
10
0,3125
3!2! 8 4
32
3
5Για να βρείτε την πιθανότητα ότι μετά από 5 ρίψεις
τουλάχιστον μια φορά το νόμισμα θα φτάσει στην ουρά,
ας περάσουμε στην πιθανότητα του αντίθετου
εκδηλώσεις - το κέρμα θα πέσει και τις 5 φορές με το εθνόσημο:
P5 (0).
Τότε η επιθυμητή πιθανότητα θα είναι: P=1-P5(0).
Σύμφωνα με τον τύπο Bernoulli:
0
5
1 1
P5(0)C
2 2
0
5
5
1
0,03125
2 Τότε η πιθανότητα του επιθυμητού συμβάντος θα είναι
P1 0,03125 0,96875
Μπερνούλι
ο μαθητής πηγαίνει
στον κινηματογράφο, αν το κέρμα πέσει ουρές - ο μαθητής πηγαίνει να
διάλεξη. Το φλουρί πέταξαν 5 μαθητές. Τι είναι το πιο
πιθανός αριθμός μαθητών που πηγαίνουν στη διάλεξη;
Πιθανότητα
τα κέρδη για 1 δελτίο είναι 0,2. Τι είναι το πιο
πιθανός αριθμός εισιτηρίων που κερδίζουν; Ο πιο πιθανός αριθμός επιτυχιών στο σχήμα
Μπερνούλι
np q k np p Ο πιο πιθανός αριθμός επιτυχιών στο σχήμα
Μπερνούλι
Φόρμουλα για τον πιο πιθανό αριθμό επιτυχιών
np q k np p
Εάν το np-q είναι ακέραιος, τότε αυτό το διάστημα περιέχει 2
ολόκληροι αριθμοί. Και τα δύο είναι εξίσου απίστευτα.
Εάν ο np-q είναι ένας μη ακέραιος αριθμός, τότε αυτό το διάστημα περιέχει 1
ακέραιος αριθμός Ο πιο πιθανός αριθμός επιτυχιών στο σχήμα
Μπερνούλι
Παράδειγμα Είναι γνωστό ότι εάν ένα νόμισμα προσγειωθεί στα κεφάλια,
- Ο μαθητής πηγαίνει στη διάλεξη. Κέρμα πετάχτηκε 5
φοιτητές θα κάνουν διάλεξη;
np q k np p
ν 5
1
p q
2Ο πιο πιθανός αριθμός επιτυχιών στο σχήμα
Μπερνούλι
Παράδειγμα Είναι γνωστό ότι εάν ένα νόμισμα προσγειωθεί στα κεφάλια,
ένας μαθητής πηγαίνει στον κινηματογράφο αν το κέρμα πέσει στην ουρά
- Ο μαθητής πηγαίνει στη διάλεξη. Κέρμα πετάχτηκε 5
Φοιτητές. Ποιος είναι ο πιο πιθανός αριθμός
φοιτητές θα κάνουν διάλεξη;
np q k np p
ν 5
1
p q
2
1 1
np q 5 2
2 2
1 1
np σελ 5 3
2 2Ο πιο πιθανός αριθμός επιτυχιών στο σχήμα
Μπερνούλι
Παράδειγμα Είναι γνωστό ότι εάν ένα νόμισμα προσγειωθεί στα κεφάλια,
ένας μαθητής πηγαίνει στον κινηματογράφο αν το κέρμα πέσει στην ουρά
- Ο μαθητής πηγαίνει στη διάλεξη. Κέρμα πετάχτηκε 5
Φοιτητές. Ποιος είναι ο πιο πιθανός αριθμός
φοιτητές θα κάνουν διάλεξη;
np q k np p
ν 5
1
p q
2
1 1
np q 5 2
2 2
1 1
np σελ 5 3
2 2
2 k 3 k 2, k 3 Ο πιο πιθανός αριθμός επιτυχιών στο σχήμα
Μπερνούλι
Παράδειγμα Είναι γνωστό ότι εάν ένα νόμισμα προσγειωθεί στα κεφάλια,
ένας μαθητής πηγαίνει στον κινηματογράφο αν το κέρμα πέσει στην ουρά
- Ο μαθητής πηγαίνει στη διάλεξη. Κέρμα πετάχτηκε 5
Φοιτητές. Ποιος είναι ο πιο πιθανός αριθμός
φοιτητές θα κάνουν διάλεξη;
2
3
3
2
5
1 1
1 10 5
P5 (2) C52 10
32 16
2 2
2
5
1 1
1 10 5
P5 (3) C53 10
32 16
2 2
2 Ο πιο πιθανός αριθμός επιτυχιών στο σχήμα
Μπερνούλι
Παράδειγμα Είναι γνωστό ότι εάν ένα νόμισμα προσγειωθεί στα κεφάλια,
ένας μαθητής πηγαίνει στον κινηματογράφο αν το κέρμα πέσει στην ουρά
- Ο μαθητής πηγαίνει στη διάλεξη. Κέρμα πετάχτηκε 5
Φοιτητές. Ποιος είναι ο πιο πιθανός αριθμός
φοιτητές θα κάνουν διάλεξη;
πιθανότητα, Pn(k)
Πιθανότητες του αριθμού των μαθητών που παρακολούθησαν
διάλεξη
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
αριθμός μαθητών, κ
4
5Ο πιο πιθανός αριθμός επιτυχιών στο σχήμα
Μπερνούλι
Παράδειγμα Αγοράζονται 10 λαχεία.
εισιτήρια;
np q k np p
ν 10
p 0,2 q 0,8 Ο πιο πιθανός αριθμός επιτυχιών στο σχήμα
Μπερνούλι
Παράδειγμα Αγοράζονται 10 λαχεία.
Η πιθανότητα να κερδίσετε σε 1 δελτίο είναι 0,2.
Ποιος είναι ο πιθανότερος αριθμός νικητών
εισιτήρια;
np q k np p
ν 10
p 0,2 q 0,8
np q 10 0,2 0,8 1,2
np p 10 0,2 0,2 2,2 Ο πιο πιθανός αριθμός επιτυχιών στο σχήμα
Μπερνούλι
Παράδειγμα Αγοράζονται 10 λαχεία.
Η πιθανότητα να κερδίσετε σε 1 δελτίο είναι 0,2.
Ποιος είναι ο πιθανότερος αριθμός νικητών
εισιτήρια;
np q k np p
ν 10
p 0,2 q 0,8
np q 10 0,2 0,8 1,2
1, 2 έως 2, 2
np p 10 0,2 0,2 2,2
k2 Ο πιο πιθανός αριθμός επιτυχιών στο σχήμα
Μπερνούλι
Παράδειγμα Αγοράζονται 10 λαχεία.
Η πιθανότητα να κερδίσετε σε 1 δελτίο είναι 0,2.
Ποιος είναι ο πιθανότερος αριθμός νικητών
εισιτήρια;
P10 (2) C 0,2 0,8
2
10
2
8
45 0, 04 0,16777216=
=0,301989888Ο πιο πιθανός αριθμός επιτυχιών στο σχήμα
Μπερνούλι
Παράδειγμα Αγοράζονται 10 λαχεία.
Η πιθανότητα να κερδίσετε σε 1 δελτίο είναι 0,2.
Ποιος είναι ο πιθανότερος αριθμός νικητών
εισιτήρια;
Πιθανότητες του αριθμού των κερδισμένων δελτίων
πιθανότητα, Pn(k)
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
4
5
6
αριθμός εισιτηρίων, κ
7
8
9
10Ο πιο πιθανός αριθμός επιτυχιών στο σχήμα
Μπερνούλι
Υπογράφηκαν 10 συμβάσεις
πληρώσει το ασφαλιστικό ποσό
ένα από τα συμβόλαια
από τρεις συμβάσεις
δ) βρείτε τον πιο πιθανό αριθμό συμβάσεων, σύμφωνα με
που θα πρέπει να πληρώσει το ασφαλιστικό ποσό Ο πιο πιθανός αριθμός επιτυχιών στο σχήμα
Μπερνούλι
Παράδειγμα Κατά μέσο όρο, για το 20% των ασφαλιστικών συμβολαίων
η εταιρεία καταβάλλει το ασφαλιστικό ποσό.
Υπογράφηκαν 10 συμβάσεις
α) Να βρείτε την πιθανότητα ότι τρεις
πληρώσει το ασφαλιστικό ποσό
0,201327Ο πιο πιθανός αριθμός επιτυχιών στο σχήμα
Μπερνούλι
Παράδειγμα Κατά μέσο όρο, για το 20% των ασφαλιστικών συμβολαίων
η εταιρεία καταβάλλει το ασφαλιστικό ποσό.
Υπογράφηκαν 10 συμβάσεις
β) Το ασφαλιστικό ποσό δεν θα πρέπει να καταβληθεί σε καμία περίπτωση
ένα από τα συμβόλαια
0,107374Ο πιο πιθανός αριθμός επιτυχιών στο σχήμα
Μπερνούλι
Παράδειγμα Κατά μέσο όρο, για το 20% των ασφαλιστικών συμβολαίων
η εταιρεία καταβάλλει το ασφαλιστικό ποσό.
Υπογράφηκαν 10 συμβάσεις
γ) το ασφαλιζόμενο ποσό θα πρέπει να καταβληθεί όχι περισσότερο από
από τρεις συμβάσεις
0,753297Εάν το n είναι μεγάλο, χρησιμοποιήστε τον τύπο
Pn (m) C p q
Μ
n
Μ
n m
δύσκολος
Επομένως, χρησιμοποιούνται κατά προσέγγιση τύποι Θεώρημα: Αν η πιθανότητα p της εμφάνισης του γεγονότος Α
σε κάθε δοκιμή είναι κοντά στο μηδέν,
και ο αριθμός των ανεξάρτητων δοκιμών n είναι αρκετά μεγάλος,
τότε η πιθανότητα Pn(m) ότι σε n ανεξάρτητες δοκιμές
Το γεγονός Α θα συμβεί m φορές, περίπου ίσο με:
Pn(m)
Μ
Μ!
μι
όπου λ=np
Αυτός ο τύπος ονομάζεται τύπος Poisson (νόμος των σπάνιων γεγονότων) Pn(m)
Μ
Μ!
e, np
Συνήθως χρησιμοποιείται ο κατά προσέγγιση τύπος Poisson,
όταν σ<0,1, а npq<10.
Παράδειγμα Ας είναι γνωστό ότι στην παρασκευή ενός συγκεκριμένου φαρμάκου
γάμος (ο αριθμός των πακέτων που δεν πληρούν το πρότυπο)
είναι 0,2%. Υπολογίστε την πιθανότητα ότι
μετά από 1000 τυχαία επιλεγμένα πακέτα, θα υπάρχουν τρία πακέτα,
δεν πληρούν τα πρότυπα.
Pn(k)
κ
κ!
P1000(3) ?
ε ,
np Παράδειγμα Ας είναι γνωστό ότι στην παρασκευή ενός συγκεκριμένου φαρμάκου
γάμος (ο αριθμός των πακέτων που δεν πληρούν το πρότυπο)
είναι 0,2%. Υπολογίστε την πιθανότητα ότι
μετά από 1000 τυχαία επιλεγμένα πακέτα, θα υπάρχουν τρία πακέτα,
δεν πληρούν τα πρότυπα.
Pn(k)
κ
κ!
P1000(3) ?
e, np
np 1000 0,002 2
3
2 2 8
P1000 (3) e 0,135=0,18
3!
6
δεν συνδέονται περισσότερα από 5 συμβόλαια. Παράδειγμα Κατά μέσο όρο, για το 1% των συμβολαίων, η ασφαλιστική εταιρεία
καταβάλλει το ασφαλιστικό ποσό. Βρείτε την πιθανότητα ότι από
100 συμβόλαια με επέλευση ασφαλιστικού συμβάντος θα είναι
δεν συνδέονται περισσότερα από 5 συμβόλαια.
