Kursarbeit: Wiederholte und unabhängige Tests. Satz von Bernoulli über die Wahrscheinlichkeitshäufigkeit. Präsentation zur Bernoulli-Formel Präsentation zum Bernoulli-Retest-Schema
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Beschriftungen der Folien:
Kapitel 9. Elemente der mathematischen Statistik, Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitstheorie §54. Zufällige Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten 3. UNABHÄNGIGE WIEDERHOLUNGEN VON TESTS. THEOREM VON BERNULLI UND STATISTISCHE STABILITÄT.
Inhalt BEISPIEL 5. Wahrscheinlichkeit, das Ziel mit einem Schuss zu treffen ... Lösung 5a); Lösung 5b); Lösung 5c); Lösung 5d). Beachten Sie, dass ... Bei der ganzen Reihe von Wiederholungen ist es wichtig zu wissen ... Jacob Bernoulli kombinierte Beispiele und Fragen ... THEOREM 3 (Theorem von Bernoulli). BEISPIEL 6. Bestimmen Sie in jedem der Absätze a) - d) die Werte n, k, p, q und schreiben Sie (ohne Berechnungen) den Ausdruck für die gewünschte Wahrscheinlichkeit Pn (k). Entscheidung 6 a); Lösung 6 b); Lösung 6 c); Lösung 6 d). Der Satz von Bernoulli erlaubt ... SATZ 4. Mit einer großen Anzahl unabhängiger Wiederholungen ... Für den Lehrer. Quellen. 08.02.2014 2
3. UNABHÄNGIGE WIEDERHOLUNGEN VON TESTS. THEOREM VON BERNULLI UND STATISTISCHE STABILITÄT. Teil 3. 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, Lehrerin für Mathematik 3
BEISPIEL 5. Wahrscheinlichkeit, das Ziel mit einem Schuss zu treffen Ändern wir das vorherige Beispiel etwas ab: Anstelle von zwei verschiedenen Schützen schießt derselbe Schütze auf das Ziel. Beispiel 5 . Die Wahrscheinlichkeit, das Ziel mit einem Schuss zu treffen, beträgt 0,8. 3 unabhängige Schüsse wurden abgefeuert. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Ziel: a) dreimal getroffen wird; b) nicht betroffen sein; c) wird mindestens einmal getroffen; d) wird genau einmal getroffen. 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, Mathematiklehrerin 4
Lösung von Beispiel 5a) Beispiel 5. Die Wahrscheinlichkeit, das Ziel mit einem Schuss zu treffen, beträgt 0,8. 3 unabhängige Schüsse wurden abgefeuert. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Ziel: a) dreimal getroffen wird; 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, Mathematiklehrerin 5
Lösung von Beispiel 5b) Beispiel 5. Die Wahrscheinlichkeit, das Ziel mit einem Schuss zu treffen, beträgt 0,8. 3 unabhängige Schüsse wurden abgefeuert. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Ziel: b) nicht getroffen wird; Beschluss: 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, Mathematiklehrerin 6
Lösung von Beispiel 5c) Beispiel 5. Die Wahrscheinlichkeit, das Ziel mit einem Schuss zu treffen, beträgt 0,8. 3 unabhängige Schüsse wurden abgefeuert. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Ziel: c) mindestens einmal getroffen wird; Beschluss: 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, Mathematiklehrerin 7
Lösung von Beispiel 5d) Beispiel 5. Die Wahrscheinlichkeit, das Ziel mit einem Schuss zu treffen, beträgt 0,8. 3 unabhängige Schüsse wurden abgefeuert. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Ziel: d) genau einmal getroffen wird. Beschluss: 02.08.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, Lehrerin für Mathematik 8
Anmerkung Die in Punkt d) von Beispiel 5 angegebene Lösung wiederholt in einem bestimmten Fall den Beweis des berühmten Satzes von Bernoulli, der sich auf eines der gebräuchlichsten Wahrscheinlichkeitsmodelle bezieht: unabhängige Wiederholungen desselben Tests mit zwei möglichen Ergebnissen. Unterscheidungsmerkmal Viele Wahrscheinlichkeitsprobleme bestehen darin, dass der Test, in dessen Folge das für uns interessante Ereignis eintreten kann, viele Male wiederholt werden kann. 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, Mathematiklehrerin 9
Bei der ganzen Reihe von Wiederholungen ist es wichtig zu wissen. Bei jeder dieser Wiederholungen interessiert uns die Frage, ob dieses Ereignis eintreten wird oder nicht. Und in der ganzen Reihe von Wiederholungen ist es für uns wichtig, genau zu wissen, wie oft dieses Ereignis auftreten kann oder nicht. Zum Beispiel wird ein Würfel zehnmal hintereinander geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau dreimal eine 4 erscheint? 10 Schüsse abgefeuert; Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es genau 8 Treffer auf dem Ziel gibt? Oder wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei fünf Münzwürfen genau viermal Kopf fällt? 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, Mathematiklehrerin 10
Jacob Bernoulli kombinierte Beispiele und Fragen Der Schweizer Mathematiker des frühen 18. Jahrhunderts, Jacob Bernoulli, kombinierte Beispiele und Fragen dieser Art zu einem einzigen probabilistischen Schema. Lassen Sie die Wahrscheinlichkeit Zufälliges Ereignis Und wenn Sie einen Test durchführen, ist es gleich P (A). Wir betrachten diesen Test als einen Test mit nur zwei möglichen Ergebnissen: Ein Ergebnis ist, dass das Ereignis A eintritt, und das andere Ergebnis ist, dass das Ereignis A nicht eintritt, d. h. das Ereignis Ᾱ wird eintreten. Nennen wir der Kürze halber das erste Ergebnis (das Eintreten des Ereignisses A) „Erfolg“ und das zweite Ergebnis (das Eintreten des Ereignisses Ᾱ) „Fehlschlag“. Die Wahrscheinlichkeit P(A) von „Erfolg“ wird mit p bezeichnet, und die Wahrscheinlichkeit P(Ᾱ) von „Misserfolg“ wird mit q bezeichnet. Also q = P(Ᾱ) = 1 - P(A) = 1 - p. 02.08.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, Lehrerin für Mathematik 11
SATZ 3 (Satz von Bernoulli) Satz 3 (Satz von Bernoulli). Sei P n (k) die Wahrscheinlichkeit von genau k "Erfolgen" bei n unabhängigen Wiederholungen desselben Tests. Dann ist P n (k) = С n k p k q n- k , wobei p die Wahrscheinlichkeit des „Erfolgs“ und q=1 - p die Wahrscheinlichkeit des „Misserfolgs“ in einem separaten Test ist. Dieser Satz (wir stellen ihn ohne Beweis vor) ist sowohl für die Theorie als auch für die Praxis von großer Bedeutung. 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, Mathematiklehrerin 12
BEISPIEL 6. Beispiel 6. Bestimmen Sie in jedem der Absätze a) - d) die Werte von n, k, p, q und schreiben Sie (ohne Berechnungen) den Ausdruck für die gewünschte Wahrscheinlichkeit P n (k). a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 10 Würfen einer Münze genau 7 Kopf zu bekommen? b) Jede der 20 Personen nennt selbstständig einen der Wochentage. "Unglückstage" sind Montag und Freitag. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass „Viel Glück“ genau die Hälfte beträgt? c) Der Würfelwurf ist „erfolgreich“, wenn er eine 5 oder 6 würfelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 5 von 25 Würfen „glücklich“ sind? d) Der Test besteht darin, drei verschiedene Münzen gleichzeitig zu werfen. „Ausfall“: mehr „Schwänze“ als „Adler“. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es unter 7 Würfen genau drei Glückstreffer gibt? 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, Mathematiklehrerin 13
Lösung 6a) Beispiel 6. Bestimmen Sie in jedem der Absätze a) - d) die Werte von n, k, p, q und schreiben Sie (ohne Berechnungen) den Ausdruck für die gewünschte Wahrscheinlichkeit P n (k). a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 10 Würfen einer Münze genau 7 Kopf zu bekommen? Beschluss: 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, Mathematiklehrerin 14
Lösung 6b) Beispiel 6. Bestimmen Sie in jedem der Absätze a) - d) die Werte von n, k, p, q und schreiben Sie (ohne Berechnungen) den Ausdruck für die gewünschte Wahrscheinlichkeit P n (k). b) Jede der 20 Personen nennt selbstständig einen der Wochentage. "Unglückstage" sind Montag und Freitag. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass „Viel Glück“ genau die Hälfte beträgt? Beschluss: 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, Mathematiklehrerin 15
Lösung 6c) Beispiel 6. Bestimmen Sie in jedem der Absätze a) - d) die Werte von n, k, p, q und schreiben Sie (ohne Berechnungen) den Ausdruck für die gewünschte Wahrscheinlichkeit P n (k). c) Der Würfelwurf ist „erfolgreich“, wenn er eine 5 oder 6 würfelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 5 von 25 Würfen „glücklich“ sind? Beschluss: 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, Mathematiklehrerin 16
Lösung 6d) Beispiel 6. Bestimmen Sie in jedem der Absätze a) - d) die Werte von n, k, p, q und schreiben Sie (ohne Berechnungen) den Ausdruck für die gewünschte Wahrscheinlichkeit P n (k). d) Der Test besteht darin, drei verschiedene Münzen gleichzeitig zu werfen. „Ausfall“: mehr „Schwänze“ als „Adler“. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es unter 7 Würfen genau drei Glückstreffer gibt? Lösung: d) n = 7, k = 3. „Glück“ bei einem Wurf ist, dass es weniger „Schwänze“ als „Adler“ gibt. Insgesamt sind 8 Ergebnisse möglich: PPP, PPO, POP, OPP, POO, ORO, OOP, OOO (P - „Zahl“, O - „Kopf“). Genau die Hälfte von ihnen hat weniger Schwänze als Köpfe: POO, ORO, OOP, OOO. Also p = q = 0,5; P 7 (3) \u003d C 7 3 ∙ 0,5 3 ∙ 0,5 4 \u003d C 7 3 ∙ 0,5 7. 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, Mathematiklehrerin 17
Der Satz von Bernoulli ermöglicht ... Mit dem Satz von Bernoulli können Sie eine Verbindung zwischen dem statistischen Ansatz zur Definition der Wahrscheinlichkeit und der klassischen Definition der Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses herstellen. Um diesen Zusammenhang zu beschreiben, kehren wir zu den Begriffen des § 50 zur statistischen Verarbeitung von Informationen zurück. Stellen Sie sich eine Folge von n unabhängigen Wiederholungen desselben Tests mit zwei Ergebnissen vor – „Erfolg“ und „Fehler“. Die Ergebnisse dieser Tests bilden eine Reihe von Daten, die aus einer Abfolge von zwei Optionen bestehen: "Erfolg" und "Fehler". Einfach ausgedrückt gibt es eine Folge der Länge n, die aus zwei Buchstaben U („Viel Glück“) und H („Fehler“) besteht. Zum Beispiel U, U, N, N, U, N, N, N, ..., U oder N, U, U, N, U, U, N, N, U, ..., N usw n. Lassen Sie uns die Vielfachheit und Häufigkeit der Y-Optionen berechnen, d. h. den Bruchteil k / n finden, wobei k die Anzahl der „Glücksfälle“ ist, die bei allen n Wiederholungen aufgetreten sind. Es stellt sich heraus, dass bei einer unbegrenzten Erhöhung von n die Häufigkeit k/n des Auftretens von "Erfolgen" praktisch nicht von der Wahrscheinlichkeit p des "Erfolgs" in einem Versuch zu unterscheiden ist. Diese ziemlich komplizierte mathematische Tatsache wird genau aus dem Satz von Bernoulli abgeleitet. 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, Mathematiklehrerin 18
THEOREM 4. Bei einer großen Anzahl unabhängiger Wiederholungen THEOREM 4. Bei einer großen Anzahl unabhängiger Wiederholungen desselben Tests ist die Häufigkeit des Auftretens eines zufälligen Ereignisses A mit zunehmender Genauigkeit ungefähr gleich der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A: k/n ≈ P(A). Wenn beispielsweise n > 2000 mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % ist, kann argumentiert werden, dass der absolute Fehler | k/n - P(A)| die ungefähre Gleichheit k/n≈ P(A) ist kleiner als 0,03. Daher reicht es bei soziologischen Befragungen aus, etwa 2.000 zufällig ausgewählte Personen (Befragte) zu befragen. Wenn, sagen wir, 520 von ihnen positiv geantwortet haben Frage gestellt, dann k/n=520/2000=0,26 und es ist fast sicher, dass für jeden mehr Befragten liegt diese Häufigkeit im Bereich von 0,23 bis 0,29. Dieses Phänomen wird als Phänomen der statistischen Stabilität bezeichnet. Der Satz von Bernoulli und seine Konsequenzen erlauben es uns also, die Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses (ungefähr) in Fällen zu finden, in denen seine explizite Berechnung unmöglich ist. 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, Mathematiklehrerin 19
Für den Lehrer 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, Lehrerin für Mathematik 20
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Quellen Algebra und die Anfänge der Analysis, Klasse 10-11, Teil 1. Lehrbuch, 10. Aufl. (Grundstufe), A.G. Mordkovich, M., 2009 Algebra und der Beginn der Analysis, Klasse 10-11. (Grundstufe) Methodischer Leitfaden für Lehrer, A. G. Mordkovich, P. V. Semenov, M., 2010 Tabellen sind in MS Word und MS Excel zusammengestellt. Internetquellen Tsybikova Tamara Radnazhapovna, Lehrerin für Mathematik 08.02.2014 23
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Beschriftungen der Folien:
Folie 1
Kapitel 9. Elemente der mathematischen Statistik, Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitstheorie
§54. Zufällige Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten 3. UNABHÄNGIGE WIEDERHOLUNGEN VON TESTS. THEOREM VON BERNULLI UND STATISTISCHE STABILITÄT.
Folie 2
Inhalt
BEISPIEL 5. Wahrscheinlichkeit, ein Ziel mit einem Schuss zu treffen ... Lösung 5a) Lösung 5b) Lösung 5c) Lösung 5d) Beachten Sie, dass ... Bei der ganzen Reihe von Wiederholungen ist es wichtig zu wissen ... Jacob Bernoulli kombiniert Beispiele und Fragen ... SATZ 3 (Satz von Bernoulli).
BEISPIEL 6. Bestimmen Sie in jedem der Absätze a) - d) die Werte von n, k, p, q und schreiben Sie (ohne Berechnungen) den Ausdruck für die gewünschte Wahrscheinlichkeit Pn(k) Lösung 6a); Lösung 6b) ; Lösung 6c); Lösung 6d). Der Satz von Bernoulli erlaubt ... SATZ 4. Mit einer großen Anzahl unabhängiger Wiederholungen ... Für den Lehrer Quellen.
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Folie 3
3. UNABHÄNGIGE WIEDERHOLUNGEN VON TESTS. THEOREM VON BERNULLI UND STATISTISCHE STABILITÄT.
Teil 3
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Folie 4
BEISPIEL 5. Wahrscheinlichkeit, das Ziel mit einem Schuss zu treffen
Ändern wir das vorherige Beispiel etwas ab: Anstelle von zwei verschiedenen Schützen schießt derselbe Schütze auf die Scheibe Beispiel 5. Die Wahrscheinlichkeit, die Scheibe mit einem Schuss zu treffen, beträgt 0,8. 3 unabhängige Schüsse wurden abgefeuert. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Ziel: a) dreimal getroffen wird b) nicht getroffen wird c) mindestens einmal getroffen wird d) genau einmal getroffen wird.
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Folie 5
Lösung von Beispiel 5a)
Beispiel 5. Die Wahrscheinlichkeit, das Ziel mit einem Schuss zu treffen, beträgt 0,8. 3 unabhängige Schüsse wurden abgefeuert. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Ziel: a) dreimal getroffen wird;
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Folie 6
Lösung von Beispiel 5b)
Beispiel 5. Die Wahrscheinlichkeit, das Ziel mit einem Schuss zu treffen, beträgt 0,8. 3 unabhängige Schüsse wurden abgefeuert. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Ziel: b) nicht getroffen wird; Lösung:
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Folie 7
Lösung von Beispiel 5c)
Beispiel 5. Die Wahrscheinlichkeit, das Ziel mit einem Schuss zu treffen, beträgt 0,8. 3 unabhängige Schüsse wurden abgefeuert. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Ziel: c) mindestens einmal getroffen wird; Lösung:
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Folie 8
Lösung von Beispiel 5d)
Beispiel 5. Die Wahrscheinlichkeit, das Ziel mit einem Schuss zu treffen, beträgt 0,8. 3 unabhängige Schüsse wurden abgefeuert. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass das Ziel: d) genau einmal getroffen wird.
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Folie 9
Notiz
Die in Punkt d) von Beispiel 5 angegebene Lösung wiederholt in einem speziellen Fall den Beweis des berühmten Satzes von Bernoulli, der sich auf eines der gebräuchlichsten Wahrscheinlichkeitsmodelle bezieht: unabhängige Wiederholungen desselben Tests mit zwei möglichen Ergebnissen. Eine Besonderheit vieler probabilistischer Probleme ist, dass der Test, als Ergebnis dessen das für uns interessante Ereignis eintreten kann, viele Male wiederholt werden kann.
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Folie 10
Bei der ganzen Reihe von Wiederholungen ist es wichtig zu wissen
Bei jeder dieser Wiederholungen interessiert uns die Frage, ob dieses Ereignis eintreten wird oder nicht. Und in der ganzen Reihe von Wiederholungen ist es für uns wichtig, genau zu wissen, wie oft dieses Ereignis auftreten kann oder nicht. Zum Beispiel wird ein Würfel zehnmal hintereinander geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau dreimal eine 4 erscheint? 10 Schüsse abgefeuert; Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es genau 8 Treffer auf dem Ziel gibt? Oder wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei fünf Münzwürfen genau viermal Kopf fällt?
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Jacob Bernoulli kombinierte Beispiele und Fragen
Der Schweizer Mathematiker des frühen 18. Jahrhunderts, Jacob Bernoulli, kombinierte Beispiele und Fragen dieser Art zu einem einzigen probabilistischen Schema: Die Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses A während eines Tests sei gleich P (A). Wir betrachten diesen Test als einen Test mit nur zwei möglichen Ergebnissen: Ein Ergebnis ist, dass das Ereignis A eintritt, und das andere Ergebnis ist, dass das Ereignis A nicht eintritt, d. h. das Ereignis Ᾱ wird eintreten. Nennen wir der Kürze halber das erste Ergebnis (das Eintreten des Ereignisses A) „Erfolg“ und das zweite Ergebnis (das Eintreten des Ereignisses Ᾱ) „Fehlschlag“. Die Wahrscheinlichkeit P(A) von „Erfolg“ wird mit p bezeichnet, und die Wahrscheinlichkeit P(Ᾱ) von „Misserfolg“ wird mit q bezeichnet. Also q = P(Ᾱ) = 1 - P(A) = 1 - p.
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Folie 12
SATZ 3 (Satz von Bernoulli)
Satz 3 (Satz von Bernoulli). Sei Pn(k) die Wahrscheinlichkeit von genau k "Erfolgen" bei n unabhängigen Wiederholungen desselben Tests. Dann ist Pn(k)= Сnk pk qn-k, wobei p die Wahrscheinlichkeit des „Erfolgs“ und q=1-p die Wahrscheinlichkeit des „Misserfolgs“ in einem separaten Test ist. Dieser Satz (wir geben ihn ohne Beweis ) ist sowohl für die Theorie als auch für die Praxis von großer Bedeutung.
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Folie 13
BEISPIEL 6.
Beispiel 6. Bestimmen Sie in jedem der Absätze a) - d) die Werte von n, k, p, q und schreiben Sie (ohne Berechnungen) den Ausdruck für die gewünschte Wahrscheinlichkeit Pn(k). 20 Personen nennen selbstständig einen der Wochentage. "Unglückstage" sind Montag und Freitag. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass „Viel Glück“ genau die Hälfte beträgt? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 5 von 25 Würfen "erfolgreich" sind? d) Der Test besteht darin, drei verschiedene Münzen gleichzeitig zu werfen. „Ausfall“: mehr „Schwänze“ als „Adler“. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es unter 7 Würfen genau drei Glückstreffer gibt?
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Folie 14
Lösung 6a)
Beispiel 6. Bestimmen Sie in jedem der Absätze a) - d) die Werte von n, k, p, q und schreiben Sie (ohne Berechnungen) den Ausdruck für die gewünschte Wahrscheinlichkeit Pn(k).
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Lösung 6b)
Beispiel 6. Bestimmen Sie in jedem der Absätze a) - d) die Werte von n, k, p, q und schreiben Sie (ohne Berechnungen) einen Ausdruck für die gewünschte Wahrscheinlichkeit Pn(k) b) Jeder von 20 Personen unabhängig voneinander benennt einen der Wochentage. "Unglückstage" sind Montag und Freitag. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es genau die Hälfte von „Glück“ gibt? Lösung:
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Folie 16
Lösung 6c)
Beispiel 6. Bestimmen Sie in jedem der Absätze a) - d) die Werte von n, k, p, q und schreiben Sie (ohne Berechnungen) den Ausdruck für die gewünschte Wahrscheinlichkeit Pn(k). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau 5 von 25 Würfen "Glück" haben? Lösung:
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Folie 17
Lösung 6d)
Beispiel 6. Bestimmen Sie in jedem der Absätze a) - d) die Werte von n, k, p, q und schreiben Sie (ohne Berechnungen) den Ausdruck für die gewünschte Wahrscheinlichkeit Pn(k) d) Der Test besteht in der gleichzeitiges Werfen von drei verschiedenen Münzen. „Ausfall“: mehr „Schwänze“ als „Adler“. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es bei 7 Würfen genau drei „Glück“ gibt Lösung: d) n = 7, k = 3. „Glück“ bei einem Wurf ist, dass es weniger „Zahlen“ als „Adler“ gibt. Insgesamt sind 8 Ergebnisse möglich: PPP, PPO, POP, OPP, POO, ORO, OOP, OOO (P - „Zahl“, O - „Kopf“). Genau die Hälfte von ihnen hat weniger Schwänze als Köpfe: POO, ORO, OOP, OOO. Also p = q = 0,5; Р7(3) = С73 ∙ 0,53 ∙ 0,54 = С73 ∙ 0,57.
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Folie 18
Der Satz von Bernoulli erlaubt ...
Der Satz von Bernoulli ermöglicht es, eine Verbindung zwischen dem statistischen Ansatz zur Definition der Wahrscheinlichkeit und der klassischen Definition der Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses herzustellen. Um diesen Zusammenhang zu beschreiben, kehren wir zu den Begriffen des § 50 zur statistischen Verarbeitung von Informationen zurück. Stellen Sie sich eine Folge von n unabhängigen Wiederholungen desselben Tests mit zwei Ergebnissen vor – „Erfolg“ und „Fehler“. Die Ergebnisse dieser Tests bilden eine Reihe von Daten, die aus einer Abfolge von zwei Optionen bestehen: "Erfolg" und "Fehler". Einfach ausgedrückt gibt es eine Folge der Länge n, die aus zwei Buchstaben Y („Viel Glück“) und H („Fehler“) besteht. Zum Beispiel U, U, N, N, U, N, N, N, ..., U oder N, U, U, N, U, U, N, N, U, ..., N usw n. Berechnen wir die Multiplizität und Häufigkeit der Optionen Y, d.h. wir finden den Bruchteil k / n, wobei k die Anzahl der „Glücksfälle“ ist, die bei allen n Wiederholungen aufgetreten sind. Es stellt sich heraus, dass bei einer unbegrenzten Erhöhung von n die Häufigkeit k/n des Auftretens von "Erfolgen" praktisch nicht von der Wahrscheinlichkeit p des "Erfolgs" in einem Versuch zu unterscheiden ist. Diese ziemlich komplizierte mathematische Tatsache wird genau aus dem Satz von Bernoulli abgeleitet.
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Folie 19
SATZ 4. Für eine große Anzahl unabhängiger Wiederholungen
THEOREM 4. Bei einer großen Anzahl unabhängiger Wiederholungen desselben Tests ist die Häufigkeit des Auftretens eines zufälligen Ereignisses A mit zunehmender Genauigkeit ungefähr gleich der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A: k / n ≈ P (A). n > 2000 mit einer Wahrscheinlichkeit größer als 99 %, kann argumentiert werden, dass der absolute Fehler |k/n- Р(А)| die ungefähre Gleichheit k/n≈ P(A) ist kleiner als 0,03. Daher reicht es bei soziologischen Befragungen aus, etwa 2.000 zufällig ausgewählte Personen (Befragte) zu befragen. Wenn beispielsweise 520 von ihnen die Frage positiv beantwortet haben, dann ist k / n = 520 / 2000 = 0,26 und es ist praktisch sicher, dass für jede größere Anzahl von Befragten eine solche Häufigkeit im Bereich von 0,23 bis 0,29 liegt. Dieses Phänomen wird als Phänomen der statistischen Stabilität bezeichnet, so dass das Bernoulli-Theorem und seine Konsequenzen es ermöglichen, die Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses (näherungsweise) zu bestimmen, wenn eine explizite Berechnung nicht möglich ist.
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Folie 20
Für den Lehrer
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Folie 21
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Folie 23
Quellen
Algebra und die Anfänge der Analysis, Klasse 10-11, Teil 1. Lehrbuch, 10. Aufl. (Grundstufe), A.G. Mordkovich, M., 2009Algebra und der Beginn der Analysis, Klasse 10-11. (Grundstufe) Methodologischer Leitfaden für Lehrer, A. G. Mordkovich, P. V. Semenov, M., 2010 Tabellen sind in MS Word und MS Excel zusammengestellt Internet-Ressourcen
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Folie 1
Satz von Bernoulli
17.03.2017
Folie 2
Eine Reihe von n unabhängigen Versuchen wird durchgeführt. Jeder Test hat 2 Ergebnisse: A – „Erfolg“ und – „Nicht bestanden“. Die „Erfolgswahrscheinlichkeit“ ist bei jedem Test gleich und gleich P(A) = p. Dementsprechend ändert sich auch die „Misserfolgswahrscheinlichkeit“ von Erfahrung zu Erfahrung nicht und ist gleich.
Bernoulli-Schema
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Reihe von n Versuchen k-mal erfolgreich ist? Finde Pn(k) .
Folie 3
Die Münze wird n-mal geworfen. Eine Karte wird n-mal aus dem Stapel gezogen und jedes Mal, wenn die Karte zurückgegeben wird, wird der Stapel gemischt. Wir prüfen n zufällig ausgewählte Produkte einer Produktion auf ihre Qualität. Der Schütze schießt n-mal auf die Zielscheibe.
Beispiele
Folie 4
Erklären Sie, warum die folgenden Fragen in das Bernoulli-Schema passen. Geben Sie an, woraus "Erfolg" besteht und was n und k sind. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei zehn Würfen dreimal eine 2 zu bekommen? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 100 Münzwürfen 73 Mal Kopf erscheint? c) Ein Würfelpaar wird zwanzigmal hintereinander geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Punkte nie gleich zehn war? d) Drei Karten wurden aus einem Kartenspiel mit 36 Karten gezogen, das Ergebnis wurde notiert und in das Kartenspiel zurückgelegt, dann wurden die Karten gemischt. Dies wurde 4 Mal wiederholt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Pik-Dame jedes Mal unter den gezogenen Karten war?
Folie 5
Für die Anzahl der Kombinationen von n bis k gilt die Formel
Zum Beispiel:
Folie 6
Satz von Bernoulli
Die Wahrscheinlichkeit Pn(k) von genau k Erfolgen bei n unabhängigen Wiederholungen des gleichen Tests ergibt sich aus der Formel, wobei p die Wahrscheinlichkeit des „Erfolgs“, q = 1- p die Wahrscheinlichkeit des „Misserfolgs“ in einem separaten Experiment ist .
Folie 7
Die Münze wird 6 Mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Wappen 0, 1, ... 6 Mal vorkommt? Lösung. Die Anzahl der Experimente n=6. Ereignis A - "Erfolg" - der Verlust des Wappens. Nach der Bernoulli-Formel ist die erforderliche Wahrscheinlichkeit
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Folie 8
Die Münze wird 6 Mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Wappen 0, 1, ... 6 Mal vorkommt? Lösung. Die Anzahl der Experimente n=6. Ereignis A - "Erfolg" - der Verlust des Wappens.
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Folie 9
Die Münze wird 10 Mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Wappen zweimal erscheint? Lösung. Die Anzahl der Experimente n=10, m=2. Ereignis A - "Erfolg" - der Verlust des Wappens. Nach der Bernoulli-Formel ist die erforderliche Wahrscheinlichkeit
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Folie 10
Eine Urne enthält 20 weiße und 10 schwarze Kugeln. 4 Kugeln werden herausgenommen, und jede herausgenommene Kugel wird in die Urne zurückgelegt, bevor die nächste gezogen und die Kugeln in der Urne gemischt werden. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass 2 der 4 gezogenen Kugeln weiß sind. Lösung. Ereignis A - erhalten weiße Kugel. Dann sind die Wahrscheinlichkeiten Nach der Bernoulli-Formel die gesuchte Wahrscheinlichkeit
Folie 11
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es in einer Familie mit 5 Kindern keine Mädchen gibt. Die Wahrscheinlichkeit, einen Jungen und ein Mädchen zu bekommen, wird als gleich angenommen. Lösung. Die Wahrscheinlichkeit der Geburt eines Mädchens, eines Jungen Nach der Bernoulli-Formel ist die erforderliche Wahrscheinlichkeit gleich
Folie 12
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine Familie mit 5 Kindern ein Mädchen hat. Die Wahrscheinlichkeit, einen Jungen und ein Mädchen zu bekommen, wird als gleich angenommen. Lösung. Die Wahrscheinlichkeit der Geburt eines Mädchens, eines Jungen Nach der Bernoulli-Formel ist die erforderliche Wahrscheinlichkeit gleich
Folie 13
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Familie mit 5 Kindern zwei Mädchen hat. Lösung. Die Wahrscheinlichkeit der Geburt eines Mädchens, eines Jungen Nach der Bernoulli-Formel ist die erforderliche Wahrscheinlichkeit gleich
Folie 14
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine Familie mit 5 Kindern 3 Mädchen hat. Lösung. Die Wahrscheinlichkeit der Geburt eines Mädchens, eines Jungen Nach der Bernoulli-Formel ist die erforderliche Wahrscheinlichkeit gleich
Folie 15
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Familie mit 5 Kindern nicht mehr als 3 Mädchen hat. Die Wahrscheinlichkeit, einen Jungen und ein Mädchen zu bekommen, wird als gleich angenommen. Lösung. Die Wahrscheinlichkeit, ein Mädchen, einen Jungen zu haben. Die erforderliche Wahrscheinlichkeit ist gleich
.
Folie 16
Unter den vom Werker verarbeiteten Teilen befinden sich durchschnittlich 4 % Nicht-Standard. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass zwei der 30 zum Testen genommenen Teile nicht dem Standard entsprechen. Lösung. Hier liegt die Erfahrung darin, jedes der 30 Teile auf Qualität zu prüfen. Ereignis A - "Erscheinen eines nicht standardmäßigen Teils",
"Elemente der mathematischen Statistik" - Konfidenzintervall. Die Wissenschaft. Klassifizierung von Hypothesen. Teile werden auf verschiedenen Maschinen hergestellt. Regeln prüfen. Korrelationsabhängigkeit. Sucht. Der Satz von Kriterienwerten. Finde das Konfidenzintervall. Berechnung von Konfidenzintervallen für unbekannte Varianz. Normalverteilung.
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"Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik" - Grenzen des Intervalls. Kritische Bereiche. Wahrscheinlichkeitsmultiplikationssatz. Verteilung einer normalen Zufallsvariablen. Herleitung der Bernoulli-Formel. Gesetze der Verteilung von Zufallsvariablen. Der Wortlaut der ZBC. Bedeutung und Formulierung des zentralen Grenzwertsatzes. Beziehung der nominalen Merkmale. Stochastische Abhängigkeit zweier Zufallsvariablen.
"Statistische Forschung" - Relevanz. Statistische Merkmale und Forschung. Planen. Die Spannweite ist die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Wert einer Datenreihe. Arten der statistischen Beobachtung. Du studierst gerne Mathematik. Stellen Sie sich eine Reihe von Zahlen vor. Der Ihnen hilft, ein schwieriges Thema in Mathematik zu verstehen. Brauchen Sie Mathematik in Ihrem zukünftigen Beruf?
"Grundlegende statistische Merkmale" - Grundlegende statistische Merkmale. Finde das arithmetische Mittel. PETRONIUS. Wischen. Reihenmode. Arithmetisches Mittel einer Reihe von Zahlen. Zeilenspanne. Der Median der Reihe. Statistiken. Median. Schulhefte.
Insgesamt gibt es 17 Vorträge zum Thema
BUNDESAGENTUR FÜR BILDUNG
Staatliche Bildungseinrichtung
höhere Berufsausbildung
"MATI" - RUSSISCHE STAATLICHE TECHNOLOGISCHE UNIVERSITÄT IM. K.E. TSIOLKOWSKI
Institut für Systemmodellierung und Informationstechnologie
Wiederholung von Tests. Bernoulli-Schema
Methodische Anleitungen für praktische Übungen
im Fach "Höhere Mathematik"
Zusammengestellt von: Egorova Yu.B.
Mamonov I.M.
Moskau 2006 Einführung
Die Richtlinien richten sich an Studierende der Tages- und Abendabteilungen der Fakultät Nr. 14, Fachgebiete 150601, 160301, 230102. Die Richtlinien heben die Grundkonzepte des Themas hervor und bestimmen die Reihenfolge des Studiums des Materials. Eine Vielzahl an betrachteten Beispielen hilft bei der praxisnahen Erarbeitung des Themas. Ein Leitfaden dient als methodische Grundlage für praktische Übungen und die Umsetzung individueller Aufgabenstellungen.
BERNULLI-SCHEMA. BERNULLI-FORMEL
Bernoulli-Schema- ein Schema wiederholter unabhängiger Tests, bei denen irgendein Ereignis ABER kann mit konstanter Wahrscheinlichkeit viele Male wiederholt werden R (ABER)= R .
Beispiele für Tests, die nach dem Bernoulli-Schema durchgeführt wurden: Mehrfaches Werfen einer Münze oder eines Würfels, Herstellen einer Charge von Teilen, Schießen auf eine Zielscheibe usw.
Satz. Ist die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses ABER in jedem Test ist konstant und gleich R, dann die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis ABER wird kommen m einmal n Tests (egal in welcher Reihenfolge), können durch die Bernoulli-Formel bestimmt werden:
wo q = 1 – p.
BEISPIEL 1. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Stromverbrauch an einem Tag die festgelegte Norm nicht überschreitet, ist gleich p= 0,75. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in den nächsten 6 Tagen der Stromverbrauch für 4 Tage die Norm nicht überschreitet.
LÖSUNG. Die Wahrscheinlichkeit eines normalen Stromverbrauchs während jedes der 6 Tage ist konstant und gleich R= 0,75. Daher ist die Wahrscheinlichkeit eines Mehrverbrauchs an Strom jeden Tag ebenfalls konstant und gleich q = 1R = 1 0,75 = 0,25.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit nach der Bernoulli-Formel ist gleich:
BEISPIEL 2. Der Schütze gibt drei Schüsse auf das Ziel ab. Die Wahrscheinlichkeit, das Ziel mit jedem Schuss zu treffen, ist p= 0,3. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass: a) ein Ziel getroffen wird; b) alle drei Ziele; c) keine Ziele; d) mindestens ein Ziel; e) weniger als zwei Ziele.
LÖSUNG. Die Wahrscheinlichkeit, das Ziel mit jedem Schuss zu treffen, ist konstant und gleich R=0,75. Daher ist die Wahrscheinlichkeit eines Fehlschlags q = 1 R\u003d 1 - 0,3 \u003d 0,7. Gesamtzahl der Experimente n=3.
a) Die Wahrscheinlichkeit, ein Ziel mit drei Schüssen zu treffen, ist gleich:
b) Die Wahrscheinlichkeit, alle drei Ziele mit drei Schüssen zu treffen, ist:
c) Die Wahrscheinlichkeit von drei Fehlschüssen mit drei Schüssen ist gleich:
d) Die Wahrscheinlichkeit, mindestens ein Ziel mit drei Schüssen zu treffen, ist gleich:
e) Wahrscheinlichkeit, weniger als zwei Ziele zu treffen, d. h. entweder ein Ziel oder keins:
Lokale und Integralsätze von Moivre-Laplace
Wenn eine große Anzahl von Tests durchgeführt wird, wird die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten unter Verwendung der Bernoulli-Formel technisch schwierig, da die Formel Operationen mit großen Zahlen erfordert. Daher gibt es einfachere Näherungsformeln zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für große n. Diese Formeln werden als asymptotisch bezeichnet und sind durch den Satz von Poisson, den lokalen Satz und den Integralsatz von Laplace definiert.
Lokaler Satz von Moivre-Laplace. ABER ABER passieren m einmal n n (n →∞ ), ist ungefähr gleich:
wo ist die funktion 
und die Argumentation 
Je mehr n, desto genauer ist die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten. Daher ist es ratsam, das Moivre-Laplace-Theorem anzuwenden, wenn npq 20.
f ( x ) spezielle Tabellen wurden erstellt (siehe Anhang 1). Denken Sie bei der Verwendung einer Tabelle daran Funktionseigenschaften f(x) :
Funktion f(x) ist gerade f( x)= f(x) .
Bei X ∞ Funktion f(x) 0. In der Praxis können wir davon schon bei ausgehen X>4 Funktion f(x) ≈0.
BEISPIEL 3. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis ABER tritt 80 Mal in 400 Versuchen auf, wenn die Eintrittswahrscheinlichkeit des Ereignisses ist ABER in jedem Test ist p= 0,2.
LÖSUNG. Nach Zustand n=400, m=80, p=0,2, q=0,8. Folglich:
Gemäß der Tabelle bestimmen wir den Wert der Funktion f (0)=0,3989.
Integralsatz von Moivre-Laplace. Ist die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses ABER in jedem Versuch konstant und von 0 und 1 verschieden ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt ABER komme aus m 1 Vor m 2 einmal n Tests mit einer ausreichend großen Anzahl n (n →∞ ), ist ungefähr gleich:
wo 
- Integral- oder Laplace-Funktion, 
Funktionswerte finden F( x ) spezielle Tabellen wurden erstellt (zB siehe Anhang 2). Denken Sie bei der Verwendung einer Tabelle daran Eigenschaften der Laplace-Funktion Ф(x) :
Funktion Ф(x) ist ungerade F( x)= Ф(x) .
Bei X ∞ Funktion Ф(x) 0,5. In der Praxis kann man davon ausgehen X>5 Funktion Ф(x) ≈0,5.
F (0)=0.
BEISPIEL 4. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Teil die Prüfung der Qualitätskontrollabteilung nicht bestanden hat, beträgt 0,2. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass 70 bis 100 Elemente unter 400 Elementen deaktiviert werden.
LÖSUNG. Nach Zustand n=400, m 1 =70, m 2 =100, p=0,2, q=0,8. Folglich:
Gemäß der Tabelle, in der die Werte der Laplace-Funktion angegeben sind, bestimmen wir:
Ф(x 1 ) = F( 1,25 )= F( 1,25 )= 0,3944; Ф(x 2 ) = F( 2,5 )= 0,4938.
Eine Reihe unabhängiger Studien ist im Gange,von denen jeder 2 mögliche Ergebnisse hat,
die wir bedingt Erfolg und Misserfolg nennen werden.
Beispiel: Ein Student legt jeweils 4 Prüfungen ab
davon 2 Ergebnisse möglich Erfolg: Student
die Prüfung bestanden und nicht bestanden: nicht bestanden. Die Erfolgswahrscheinlichkeit in jedem Versuch ist
p. Die Ausfallwahrscheinlichkeit ist q=1-p.
Es ist erforderlich, die Wahrscheinlichkeit zu finden, dass in der Reihe
aus n Versuchen wird der Erfolg m mal kommen
Pn(m) Bm Ó Ó ... Ó Í ... Í
Í Ó ... Ó Í ... Í ...
Í Í ... Í Ó ... Ó
In jedem Fall tritt Erfolg m mal auf, und
Fehlgeschlagen (n-m) Mal.
Nummer
alle
Kombinationen
gleich
Nummer
Wege aus n Versuchen, diese m, in auszuwählen
was Erfolg war, d.h. Cm
n Die Wahrscheinlichkeit jeder dieser Kombinationen ist
Satz
um
Multiplikation
Wahrscheinlichkeiten
wird Pmqn-m sein.
Da diese Kombinationen dann nicht kompatibel sind
die gewünschte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses Bm sein wird
Pn(m)pq
m
nm
... p q
m
nm
insgesamt C s verzögert û õ C p q
m
n
m
n
m
nm Pn (m) Cpq
m
n
m
nm Es ist bekannt, dass, wenn eine Münze auf den Kopf fällt, ein Student
geht ins Kino, wenn die Münze auf Zahl landet
Studenten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
1) Drei von ihnen werden in der Vorlesung sein
2) An der Vorlesung nehmen mindestens 3 Studierende teil
2) wird mindestens einer der Studierenden zur Vorlesung kommen? 1) In diesem Problem eine Reihe von n=5
unabhängige Tests. Nennen wir es Erfolg
zu einer Vorlesung gehen (Schwänze fallen aus) und
Scheitern - ins Kino gehen (Herausfallen des Wappens).
p=q=1/2.
Mit der Bernoulli-Formel finden wir die Wahrscheinlichkeit dafür
Was passiert 3 Mal nach 5 Würfen einer Münze?
Erfolg:
3
2
1 1
P5(3)C
2 2
5! 1 1
1
10
0,3125
3!2! 8 4
32
3
5Um die Wahrscheinlichkeit zu finden, dass nach 5 Würfen
mindestens einmal landet die Münze Zahl,
Kommen wir zur Wahrscheinlichkeit des Gegenteils
Ereignisse - die Münze fällt alle 5 Mal mit dem Wappen heraus:
P5 (0).
Dann ist die gewünschte Wahrscheinlichkeit: P=1-P5(0).
Nach der Bernoulli-Formel:
0
5
1 1
P5(0)C
2 2
0
5
5
1
0,03125
2 Dann wird die Wahrscheinlichkeit des gewünschten Ereignisses sein
P1 0,03125 0,96875
Bernoulli
Schüler geht
im Kino, wenn die Münze Zahl fällt - der Student geht zu
Vorlesung. Die Münze wurde von 5 Schülern geworfen. Was ist am meisten
wahrscheinliche Anzahl der Studenten, die zur Vorlesung gehen?
Wahrscheinlichkeit
Der Gewinn für 1 Ticket beträgt 0,2. Was ist am meisten
wahrscheinliche Anzahl der Gewinnlose? Die wahrscheinlichste Anzahl von Erfolgen im Schema
Bernoulli
np q k np p Die wahrscheinlichste Anzahl von Erfolgen im Schema
Bernoulli
Formel für die wahrscheinlichste Anzahl von Erfolgen
np q k np p
Wenn np-q eine ganze Zahl ist, enthält dieses Intervall 2
ganze Zahlen. Beide sind gleichermaßen unglaublich.
Wenn np-q keine ganze Zahl ist, dann enthält dieses Intervall 1
ganze Zahl Die wahrscheinlichste Anzahl von Erfolgen im Schema
Bernoulli
Beispiel Es ist bekannt, dass wenn eine Münze auf Kopf fällt,
- Der Student geht zur Vorlesung. Münzwurf 5
Studenten gehen zur Vorlesung?
np q k np p
n 5
1
p q
2Die wahrscheinlichste Anzahl von Erfolgen im Schema
Bernoulli
Beispiel Es ist bekannt, dass wenn eine Münze auf Kopf fällt,
ein Student geht ins Kino, wenn die Münze auf Zahl fällt
- Der Student geht zur Vorlesung. Münzwurf 5
Studenten. Was ist die wahrscheinlichste Zahl
Studenten gehen zur Vorlesung?
np q k np p
n 5
1
p q
2
1 1
np q 5 2
2 2
1 1
np p 5 3
2 2Die wahrscheinlichste Anzahl von Erfolgen im Schema
Bernoulli
Beispiel Es ist bekannt, dass wenn eine Münze auf Kopf fällt,
ein Student geht ins Kino, wenn die Münze auf Zahl fällt
- Der Student geht zur Vorlesung. Münzwurf 5
Studenten. Was ist die wahrscheinlichste Zahl
Studenten gehen zur Vorlesung?
np q k np p
n 5
1
p q
2
1 1
np q 5 2
2 2
1 1
np p 5 3
2 2
2 k 3 k 2, k 3 Die wahrscheinlichste Anzahl von Erfolgen im Schema
Bernoulli
Beispiel Es ist bekannt, dass wenn eine Münze auf Kopf fällt,
ein Student geht ins Kino, wenn die Münze auf Zahl fällt
- Der Student geht zur Vorlesung. Münzwurf 5
Studenten. Was ist die wahrscheinlichste Zahl
Studenten gehen zur Vorlesung?
2
3
3
2
5
1 1
1 10 5
P5 (2) C52 10
32 16
2 2
2
5
1 1
1 10 5
P5 (3) C53 10
32 16
2 2
2 Die wahrscheinlichste Anzahl von Erfolgen im Schema
Bernoulli
Beispiel Es ist bekannt, dass wenn eine Münze auf Kopf fällt,
ein Student geht ins Kino, wenn die Münze auf Zahl fällt
- Der Student geht zur Vorlesung. Münzwurf 5
Studenten. Was ist die wahrscheinlichste Zahl
Studenten gehen zur Vorlesung?
Wahrscheinlichkeit, Pn(k)
Wahrscheinlichkeiten der Anzahl der teilnehmenden Schüler
Vorlesung
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
Anzahl der Studenten, k
4
5Die wahrscheinlichste Anzahl von Erfolgen im Schema
Bernoulli
Beispiel 10 Lottoscheine werden gekauft.
Eintrittskarten?
np q k np p
n 10
p 0,2 q 0,8 Die wahrscheinlichste Anzahl von Erfolgen im Schema
Bernoulli
Beispiel 10 Lottoscheine werden gekauft.
Die Gewinnwahrscheinlichkeit für 1 Ticket beträgt 0,2.
Was ist die wahrscheinlichste Anzahl von Gewinnern?
Eintrittskarten?
np q k np p
n 10
p 0,2 q 0,8
npq 10 0,2 0,8 1,2
n p p 10 0,2 0,2 2,2 Die wahrscheinlichste Anzahl von Erfolgen im Schema
Bernoulli
Beispiel 10 Lottoscheine werden gekauft.
Die Gewinnwahrscheinlichkeit für 1 Ticket beträgt 0,2.
Was ist die wahrscheinlichste Anzahl von Gewinnern?
Eintrittskarten?
np q k np p
n 10
p 0,2 q 0,8
npq 10 0,2 0,8 1,2
1, 2 bis 2, 2
n p p 10 0,2 0,2 2,2
k2 Die wahrscheinlichste Anzahl von Erfolgen im Schema
Bernoulli
Beispiel 10 Lottoscheine werden gekauft.
Die Gewinnwahrscheinlichkeit für 1 Ticket beträgt 0,2.
Was ist die wahrscheinlichste Anzahl von Gewinnern?
Eintrittskarten?
P10 (2) C 0,2 0,8
2
10
2
8
45 0, 04 0,16777216=
=0,301989888Die wahrscheinlichste Anzahl von Erfolgen im Schema
Bernoulli
Beispiel 10 Lottoscheine werden gekauft.
Die Gewinnwahrscheinlichkeit für 1 Ticket beträgt 0,2.
Was ist die wahrscheinlichste Anzahl von Gewinnern?
Eintrittskarten?
Wahrscheinlichkeiten der Anzahl der gewinnenden Tickets
Wahrscheinlichkeit, Pn(k)
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
4
5
6
Anzahl der Tickets, k
7
8
9
10Die wahrscheinlichste Anzahl von Erfolgen im Schema
Bernoulli
10 Verträge unterschrieben
Versicherungssumme zahlen
einer der Verträge
als drei Verträge
d) Finden Sie die wahrscheinlichste Anzahl von Verträgen, gem
wer muss die versicherungssumme bezahlen Die wahrscheinlichste Anzahl von Erfolgen im Schema
Bernoulli
Beispiel Durchschnittlich bei 20 % der Versicherungsverträge
Die Gesellschaft zahlt die Versicherungssumme.
10 Verträge unterschrieben
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass drei
Versicherungssumme zahlen
0,201327Die wahrscheinlichste Anzahl von Erfolgen im Schema
Bernoulli
Beispiel Durchschnittlich bei 20 % der Versicherungsverträge
Die Gesellschaft zahlt die Versicherungssumme.
10 Verträge unterschrieben
b) Die Versicherungssumme muss nicht ausbezahlt werden
einer der Verträge
0,107374Die wahrscheinlichste Anzahl von Erfolgen im Schema
Bernoulli
Beispiel Durchschnittlich bei 20 % der Versicherungsverträge
Die Gesellschaft zahlt die Versicherungssumme.
10 Verträge unterschrieben
c) die Versicherungssumme ist höchstens zu zahlen,
als drei Verträge
0,753297Wenn n groß ist, dann mit der Formel
Pn (m) Cpq
m
n
m
nm
schwierig
Daher werden Näherungsformeln verwendet Satz: Wenn die Wahrscheinlichkeit p für das Eintreten des Ereignisses A
in jedem Test ist nahe Null,
und die Zahl der unabhängigen Versuche n groß genug ist,
dann die Wahrscheinlichkeit Pn(m), dass in n unabhängigen Versuchen
Ereignis A tritt m mal auf, ungefähr gleich:
Pn(m)
m
m!
e
wobei λ=np
Diese Formel wird als Poisson-Formel (Gesetz der seltenen Ereignisse) bezeichnet. Pn(m)
m
m!
e,np
Normalerweise wird die ungefähre Poisson-Formel verwendet,
wenn p<0,1, а npq<10.
Beispiel Lassen Sie es wissen, dass bei der Herstellung eines bestimmten Arzneimittels
Heirat (Anzahl der Pakete, die nicht dem Standard entsprechen)
beträgt 0,2 %. Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür ab
Nach 1000 zufällig ausgewählten Paketen gibt es drei Pakete,
nicht dem Standard entsprechen.
Pn(k)
k
k!
P1000(3) ?
e,
np Beispiel Lassen Sie es wissen, dass bei der Herstellung eines bestimmten Arzneimittels
Heirat (Anzahl der Pakete, die nicht dem Standard entsprechen)
beträgt 0,2 %. Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür ab
Nach 1000 zufällig ausgewählten Paketen gibt es drei Pakete,
nicht dem Standard entsprechen.
Pn(k)
k
k!
P1000(3) ?
e,np
np 1000 0,002 2
3
2 2 8
P1000 (3) e 0,135=0,18
3!
6
es sind nicht mehr als 5 Verträge verbunden. Beispiel Im Durchschnitt für 1 % der Verträge die Versicherungsgesellschaft
zahlt die Versicherungssumme. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass aus
100 Verträge mit Eintritt eines Versicherungsfalles abgeschlossen werden
es sind nicht mehr als 5 Verträge verbunden.
