Das Gesetz des Durchschnitts oder was das Geheimnis erfolgreicher Verkäufer ist. Mittelwerte Starkes Gesetz der großen Zahlen
Die Wörter über große Zahlen beziehen sich auf die Anzahl der Tests – es werden eine große Anzahl von Werten einer Zufallsvariablen oder die kumulative Wirkung einer großen Anzahl von Zufallsvariablen betrachtet. Der Kern dieses Gesetzes ist folgender: Es ist zwar unmöglich vorherzusagen, welchen Wert eine einzelne Zufallsvariable in einem einzigen Experiment annehmen wird, aber das Gesamtergebnis der Wirkung einer großen Anzahl unabhängiger Zufallsvariablen verliert seinen Zufallscharakter und kann es nahezu zuverlässig (d. h. mit hoher Wahrscheinlichkeit) vorhergesagt werden. Beispielsweise ist es unmöglich vorherzusagen, auf welche Seite eine Münze fallen wird. Wenn Sie jedoch 2 Tonnen Münzen werfen, kann mit großer Sicherheit argumentiert werden, dass das Gewicht der Münzen, die mit dem Wappen nach oben gefallen sind, 1 Tonne beträgt.
Zunächst einmal bezieht sich die sogenannte Tschebyscheff-Ungleichung auf das Gesetz der großen Zahlen, das in einem separaten Test die Wahrscheinlichkeit schätzt, dass eine Zufallsvariable einen Wert annimmt, der um nicht mehr als einen bestimmten Wert vom Mittelwert abweicht.
Chebyshevs Ungleichung. Lassen X ist eine beliebige Zufallsvariable, a=M(X) , a D(X) ist seine Streuung. Dann
Beispiel. Der nominale (d.h. erforderliche) Wert des Durchmessers der auf der Maschine bearbeiteten Hülse ist 5mm, und die Abweichung ist nicht mehr 0.01 (Dies ist die Genauigkeitstoleranz der Maschine). Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Herstellung einer Buchse die Abweichung ihres Durchmessers vom Nennwert geringer ist als 0,5mm .
Lösung. Lassen Sie r.v. X- der Durchmesser der hergestellten Buchse. Unter der Bedingung ist seine mathematische Erwartung gleich dem Nenndurchmesser (wenn es keinen systematischen Fehler beim Einrichten der Maschine gibt): a=M(X)=5 , und die Varianz D(X) ≤ 0,01. Anwendung der Tschebyscheff-Ungleichung für = 0,5, wir bekommen:
Daher ist die Wahrscheinlichkeit einer solchen Abweichung ziemlich hoch, und wir können daraus schließen, dass im Falle einer Einzelproduktion eines Teils es fast sicher ist, dass die Abweichung des Durchmessers vom Nennwert nicht überschritten wird 0,5mm .
Grundsätzlich die Standardabweichung σ charakterisiert Durchschnitt Abweichung einer Zufallsvariablen von ihrem Mittelpunkt (also von ihrem mathematischen Erwartungswert). Weil es Durchschnitt Abweichung, dann sind beim Testen große Abweichungen (Betonung auf o) möglich. Wie große Abweichungen sind praktisch möglich? Bei der Untersuchung normalverteilter Zufallsvariablen haben wir die „Drei-Sigma“-Regel abgeleitet: eine normalverteilte Zufallsvariable X in einem einzigen Test praktisch nicht weiter als von seinem Durchschnitt abweicht 3σ, wo σ= σ(X) ist die Standardabweichung von r.v. X. Wir haben eine solche Regel aus der Tatsache abgeleitet, dass wir die Ungleichung erhalten haben
.
Schätzen wir nun die Wahrscheinlichkeit für ab willkürlich zufällige Variable X Akzeptieren Sie einen Wert, der nicht mehr als das Dreifache der Standardabweichung vom Mittelwert abweicht. Anwendung der Tschebyscheff-Ungleichung für ε = 3σ und das gegeben D(X)=σ 2 , wir bekommen:
.
Auf diese Weise, Im Algemeinen Wir können die Wahrscheinlichkeit schätzen, dass eine Zufallsvariable von ihrem Mittelwert um nicht mehr als drei Standardabweichungen pro Zahl abweicht 0.89 , während sie für eine Normalverteilung mit Wahrscheinlichkeit garantiert werden kann 0.997 .
Chebyshevs Ungleichung kann auf ein System unabhängiger identisch verteilter Zufallsvariablen verallgemeinert werden.
Verallgemeinerte Tschebyscheff-Ungleichung. Wenn unabhängige Zufallsvariablen X 1 , X 2 , … , X n M(X ich )= a und Dispersionen D(X ich )= D, dann
Bei n=1 diese Ungleichung geht in die oben formulierte Tschebyscheff-Ungleichung über.
Die Chebyshev-Ungleichung, die für die Lösung der entsprechenden Probleme eigenständige Bedeutung hat, wird zum Beweis des sogenannten Chebyshev-Theorems herangezogen. Wir beschreiben zunächst das Wesen dieses Theorems und geben dann seine formale Formulierung.
Lassen X 1
, X 2
, … , X n– eine große Anzahl unabhängiger Zufallsvariablen mit mathematischen Erwartungen M(X 1
)=a 1
, … , M(X n )=a n. Obwohl jeder von ihnen als Ergebnis des Experiments einen Wert annehmen kann, der weit von seinem Durchschnitt (d. h. mathematischer Erwartung) entfernt ist, handelt es sich jedoch um eine Zufallsvariable 
, gleich ihrem arithmetischen Mittel, wird mit hoher Wahrscheinlichkeit einen Wert nahe einer festen Zahl annehmen 
(Dies ist der Durchschnitt aller mathematischen Erwartungen). Dies bedeutet Folgendes. Lassen Sie als Ergebnis des Tests unabhängige Zufallsvariablen X 1
, X 2
, … , X n(davon gibt es jede Menge!) haben die Werte entsprechend übernommen X 1
, X 2
, … , X n beziehungsweise. Wenn sich dann diese Werte selbst als weit von den Durchschnittswerten der entsprechenden Zufallsvariablen herausstellen, wird deren Durchschnittswert 
ist wahrscheinlich in der Nähe 
. Damit verliert bereits das arithmetische Mittel einer Vielzahl von Zufallsvariablen seinen Zufallscharakter und kann mit hoher Genauigkeit vorhergesagt werden. Dies lässt sich dadurch erklären, dass zufällige Abweichungen der Werte auftreten X ich aus a ich können unterschiedliche Vorzeichen haben, weshalb sich diese Abweichungen in Summe mit hoher Wahrscheinlichkeit kompensieren.
Terema Tschebyschewa (Gesetz der großen Zahlen in Form von Chebyshev). Lassen X 1 , X 2 , … , X n … ist eine Folge von paarweise unabhängigen Zufallsvariablen, deren Varianzen auf die gleiche Zahl begrenzt sind. Dann, egal wie klein die Zahl ε ist, die wir nehmen, die Wahrscheinlichkeit der Ungleichheit
willkürlich nahe an Eins liegen, wenn die Zahl n Zufallsvariablen groß genug zu nehmen. Formal bedeutet dies, dass unter den Bedingungen des Satzes
Diese Art der Konvergenz wird als Wahrscheinlichkeitskonvergenz bezeichnet und bezeichnet als:
Der Satz von Chebyshev besagt also, dass bei einer ausreichend großen Anzahl unabhängiger Zufallsvariablen ihr arithmetisches Mittel in einem einzigen Test mit ziemlicher Sicherheit einen Wert annehmen wird, der nahe am Mittel ihrer mathematischen Erwartungen liegt.
Am häufigsten wird das Chebyshev-Theorem in einer Situation angewendet, in der Zufallsvariablen auftreten X 1 , X 2 , … , X n … dieselbe Verteilung haben (d. h. dasselbe Verteilungsgesetz oder dieselbe Wahrscheinlichkeitsdichte). Tatsächlich ist dies nur eine große Anzahl von Instanzen derselben Zufallsvariablen.
Folge(der verallgemeinerten Tschebyscheff-Ungleichung). Wenn unabhängige Zufallsvariablen X 1 , X 2 , … , X n … haben die gleiche Verteilung mit mathematischen Erwartungen M(X ich )= a und Dispersionen D(X ich )= D, dann
, d.h. 
.
Der Beweis folgt aus der verallgemeinerten Tschebyscheff-Ungleichung durch Übergang zum Grenzwert as n→∞ .
Wir weisen noch einmal darauf hin, dass die oben geschriebenen Gleichheiten nicht den Wert der Menge garantieren 
neigt dazu a bei n→∞. Dieser Wert ist immer noch eine Zufallsvariable, und seine einzelnen Werte können ziemlich weit davon entfernt sein a. Aber die Wahrscheinlichkeit eines solchen (weit davon entfernt a) Werte mit zunehmender n tendiert gegen 0.
Kommentar. Die Schlussfolgerung des Korollars gilt natürlich auch im allgemeineren Fall der unabhängigen Zufallsvariablen X 1 , X 2 , … , X n … haben eine andere Verteilung, aber die gleichen mathematischen Erwartungen (gleich a) und die Varianzen insgesamt begrenzt. Dadurch ist es möglich, die Genauigkeit der Messung einer bestimmten Größe vorherzusagen, selbst wenn diese Messungen von unterschiedlichen Instrumenten durchgeführt werden.
Betrachten wir die Anwendung dieses Korollars auf die Messung von Größen genauer. Lassen Sie uns ein Gerät verwenden n Messungen der gleichen Menge, deren wahrer Wert ist a und wir wissen es nicht. Die Ergebnisse solcher Messungen X 1
, X 2
, … , X n erheblich voneinander (und vom wahren Wert) abweichen können a) aufgrund verschiedener zufälliger Faktoren (Druckabfälle, Temperaturen, zufällige Vibrationen usw.). Betrachten Sie die r.v. X- Instrumentenablesung für eine einzelne Messung einer Größe sowie eine Reihe von r.v. X 1
, X 2
, … , X n- Geräteablesung bei der ersten, zweiten, ..., letzten Messung. Somit ist jede der Mengen X 1
, X 2
, … , X n
Es gibt nur eine der Instanzen des r.v. X, und daher haben sie alle die gleiche Verteilung wie die r.v. X. Da die Messergebnisse voneinander unabhängig sind, kann der r.v. X 1
, X 2
, … , X n kann als unabhängig betrachtet werden. Wenn das Gerät keinen systematischen Fehler anzeigt (z. B. Null wird auf der Skala nicht „niedergeschlagen“, Feder nicht gedehnt usw.), können wir davon ausgehen, dass die mathematische Erwartung M(X) = a, und deshalb M(X 1
) = ... = M(X n ) = ein. Somit sind die Bedingungen des obigen Korollars erfüllt und daher als ungefährer Wert der Menge a wir können die "Implementierung" einer Zufallsvariablen nehmen 
in unserem Experiment (bestehend aus einer Reihe von n Messungen), d.h.
.
Bei einer großen Anzahl von Messungen ist die gute Genauigkeit der Berechnung mit dieser Formel praktisch zuverlässig. Daraus ergibt sich das praktische Prinzip, dass bei einer großen Anzahl von Messungen ihr arithmetisches Mittel praktisch nicht viel vom wahren Wert der Messgröße abweicht.
Die in der mathematischen Statistik weit verbreitete „selektive“ Methode basiert auf dem Gesetz der großen Zahlen, das es ermöglicht, ihre objektiven Eigenschaften mit akzeptabler Genauigkeit aus einer relativ kleinen Stichprobe von Werten einer Zufallsvariablen zu erhalten. Aber das wird im nächsten Abschnitt besprochen.
Beispiel. Auf einem Messgerät, das keine systematischen Verzerrungen macht, wird eine bestimmte Größe gemessen a einmal (erhaltener Wert X 1
) und dann weitere 99 Mal (erhaltene Werte X 2
, … , X 100
). Für den wahren Messwert a Nehmen Sie zuerst das Ergebnis der ersten Messung 
, und dann das arithmetische Mittel aller Messungen 
. Die Messgenauigkeit des Geräts ist so, dass die Standardabweichung der Messung σ nicht mehr als 1 beträgt (weil die Streuung D=σ
2
überschreitet auch nicht 1). Schätzen Sie für jede der Messmethoden die Wahrscheinlichkeit, dass der Messfehler 2 nicht überschreitet.
Lösung. Lassen Sie r.v. X- Geräteablesung für eine einzelne Messung. Dann nach Bedingung M(X)=a. Zur Beantwortung der gestellten Fragen wenden wir die verallgemeinerte Tschebyscheff-Ungleichung an
für ε =2
zuerst für n=1
und dann für n=100
. Im ersten Fall bekommen wir 
, und im zweiten. Somit garantiert der zweite Fall praktisch die gegebene Messgenauigkeit, während der erste ernsthafte Zweifel in diesem Sinne offen lässt.
Wenden wir obige Aussagen auf die im Bernoulli-Schema auftretenden Zufallsvariablen an. Erinnern wir uns an die Essenz dieses Schemas. Lass es produzieren n unabhängige Tests, in denen jeweils ein Ereignis ABER mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten können R, a q=1–r(sinngemäß ist dies die Wahrscheinlichkeit des gegenteiligen Ereignisses - nicht das Eintreten eines Ereignisses ABER) . Lassen Sie uns eine Nummer ausgeben n solche Prüfungen. Betrachten Sie Zufallsvariablen: X 1 – Häufigkeit des Ereignisses ABER in 1 Prüfung, ..., X n– Häufigkeit des Ereignisses ABER in n te Prüfung. Alle vorgestellten r.v. Werte annehmen kann 0 oder 1 (Veranstaltung ABER kann im Test erscheinen oder nicht) und der Wert 1 in jedem Versuch mit einer Wahrscheinlichkeit bedingt akzeptiert p(Eintrittswahrscheinlichkeit eines Ereignisses ABER in jedem Test) und den Wert 0 mit Wahrscheinlichkeit q= 1 – p. Daher haben diese Größen die gleichen Verteilungsgesetze:
|
X 1 | ||
|
X n | ||
Daher sind auch die Mittelwerte dieser Größen und deren Streuungen gleich: M(X 1 )=0 ∙ q+1 ∙ p= p, …, M(X n )= p ; D(X 1 )=(0 2 ∙ q+1 2 ∙ p)− p 2 = p∙(1− p)= p ∙ q, … , D(X n )= p ∙ q . Setzen wir diese Werte in die verallgemeinerte Tschebyscheff-Ungleichung ein, erhalten wir
.
Es ist klar, dass die r.v. X=X 1 +…+Х n ist die Anzahl der Vorkommen des Ereignisses ABER insgesamt n Versuche (wie sie sagen - "die Anzahl der Erfolge" in n Tests). Lassen Sie die ein n Testveranstaltung ABER erschien in k Aus ihnen. Dann kann die vorherige Ungleichung geschrieben werden als
.
Aber die Größenordnung 
, gleich dem Verhältnis der Anzahl der Vorkommen des Ereignisses ABER in n unabhängiger Studien zur Gesamtzahl der Studien, früher als relative Ereignisrate bezeichnet ABER in n Prüfungen. Daher liegt eine Ungleichheit vor
.
Pass jetzt an die Grenze bei n→∞, erhalten wir 
, d.h. 
(je nach Wahrscheinlichkeit). Das ist der Inhalt des Gesetzes der großen Zahlen in Form von Bernoulli. Daraus folgt, dass für eine ausreichend große Anzahl von Versuchen n beliebig kleine Abweichungen der relativen Frequenz 
Ereignisse aus ihrer Wahrscheinlichkeit R sind fast sichere Ereignisse, und große Abweichungen sind fast unmöglich. Die daraus resultierende Schlussfolgerung über eine solche Stabilität relativer Frequenzen (die wir zuvor als Experimental- Tatsache) rechtfertigt die zuvor eingeführte statistische Definition der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses als Zahl, um die die relative Häufigkeit eines Ereignisses schwankt.
Wenn man bedenkt, dass der Ausdruck p∙
q=
p∙(1−
p)=
p−
p 2
das Wechselintervall nicht überschreitet 
(Es ist leicht, dies zu verifizieren, indem man das Minimum dieser Funktion auf diesem Segment findet), aus der obigen Ungleichung 
leicht das zu bekommen
,
die zur Lösung der entsprechenden Probleme verwendet wird (eines davon wird weiter unten angegeben).
Beispiel. Die Münze wurde 1000 Mal geworfen. Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Abweichung der relativen Häufigkeit des Auftretens des Wappens von seiner Wahrscheinlichkeit kleiner als 0,1 ist.
Lösung. Anwendung der Ungleichung 
bei p=
q=1/2
,
n=1000
,
ε=0,1, wir bekommen .
Beispiel. Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass unter den Bedingungen des vorherigen Beispiels die Zahl k der abgeworfenen Wappen wird im Bereich von liegen 400 Vor 600 .
Lösung. Bedingung 400<
k<600
bedeutet, dass 400/1000<
k/
n<600/1000
, d.h. 0.4<
W n (EIN)<0.6
oder 
. Wie wir gerade aus dem vorherigen Beispiel gesehen haben, ist die Wahrscheinlichkeit eines solchen Ereignisses mindestens 0.975
.
Beispiel. Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu berechnen ABER 1000 Experimente wurden durchgeführt, bei denen das Event ABER 300 mal erschienen. Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die relative Häufigkeit (gleich 300/1000 = 0,3) von der wahren Wahrscheinlichkeit abweicht R nicht mehr als 0,1.
Lösung. Anwendung der obigen Ungleichung 
für n=1000, ε=0.1 erhalten wir .
Vorlesung 8. Sektion 1. Wahrscheinlichkeitstheorie
Berücksichtigte Probleme
1) Das Gesetz der großen Zahlen.
2) Zentraler Grenzwertsatz.
Das Gesetz der großen Zahlen.
Unter dem Gesetz der großen Zahlen im weitesten Sinne wird das allgemeine Prinzip verstanden, wonach bei einer großen Zahl von Zufallsvariablen deren mittleres Ergebnis nicht mehr zufällig ist und mit hoher Sicherheit vorhergesagt werden kann.
Unter dem Gesetz der großen Zahl im engeren Sinne versteht man eine Reihe von mathematischen Theoremen, in denen jeweils unter bestimmten Bedingungen die Möglichkeit der Annäherung an die durchschnittlichen Eigenschaften einer großen Anzahl von Tests festgelegt wird.
zu einigen bestimmten Konstanten. Beim Beweis von Sätzen dieser Art werden die Ungleichungen von Markov und Chebyshev verwendet, die ebenfalls von unabhängigem Interesse sind.
Satz 1 (Markovsche Ungleichung). Wenn eine Zufallsvariable nicht negative Werte annimmt und eine mathematische Erwartung hat, dann gilt für jede positive Zahl die Ungleichung
Nachweisen werden wir für eine diskrete Zufallsvariable durchführen. Wir gehen davon aus, dass es Werte nimmt, von denen die ersten kleiner oder gleich sind und alle anderen größer sind
wo
Beispiel 1 Die durchschnittliche Anzahl der Anrufe, die in einer Stunde bei der Werksvermittlung eingehen, beträgt 300. Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in der nächsten Stunde die Anzahl der Anrufe bei der Vermittlung:
1) wird 400 überschreiten;
2) wird nicht mehr als 500 sein.
Lösung. 1) Die Zufallsvariable sei die Anzahl der Anrufe, die während einer Stunde an der Vermittlung ankommen. Der Mittelwert ist . Also müssen wir evaluieren. Nach der Markov-Ungleichung
2) Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Anrufe nicht mehr als 500 beträgt, mindestens 0,4.
Beispiel 2 Die Summe aller Einzahlungen in einer Bankfiliale beträgt 2 Millionen Rubel, und die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig genommene Einzahlung 10.000 Rubel nicht überschreitet, beträgt 0,6. Was lässt sich über die Zahl der Mitwirkenden sagen?
Lösung. Ein zufällig genommener Wert sei die Größe eines zufällig genommenen Beitrags und die Anzahl aller Beiträge. Dann (tausend). Nach Markovs Ungleichung, woher
Beispiel 3 Sei die Zeit, in der ein Student zu einer Vorlesung zu spät kommt, und es ist bekannt, dass er im Durchschnitt 1 Minute zu spät kommt. Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Schüler mindestens 5 Minuten zu spät kommt.
Lösung. Durch Annahme der Anwendung der Markov-Ungleichung erhalten wir das 
Somit verspätet sich von jeweils 5 Schülern nicht mehr als 1 Schüler um mindestens 5 Minuten.
Satz 2 (Chebyshev-Ungleichung). 
.
Nachweisen. Eine Zufallsvariable X sei durch eine Reihe von Verteilungen gegeben
Gemäß der Definition von Dispersion Lassen Sie uns von dieser Summe diejenigen Begriffe ausschließen, für die 
. Gleichzeitig seit alle Terme sind nichtnegativ, die Summe kann nur abnehmen. Zur Sicherheit nehmen wir das erste an k Bedingungen. Dann
Folglich, 
.
Die Tschebyscheff-Ungleichung ermöglicht es, die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable von ihrer mathematischen Erwartung abweicht, nur auf der Grundlage von Informationen über ihre Varianz von oben abzuschätzen. Sie findet beispielsweise in der Schätztheorie breite Anwendung.
Beispiel 4 Eine Münze wird 10.000 Mal geworfen. Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Häufigkeit des Wappens von 0,01 oder mehr abweicht.
Lösung. Lassen Sie uns unabhängige Zufallsvariablen einführen, wobei eine Zufallsvariable mit der Verteilungsreihe ist
Dann 
da es nach dem Binomialgesetz mit verteilt ist 
Die Häufigkeit des Auftretens des Wappens ist dabei eine Zufallsvariable 
. Daher ist die Streuung der Häufigkeit des Erscheinens des Wappens gemäß der Tschebyscheff-Ungleichung 
.
So wird im Durchschnitt in nicht mehr als einem Viertel der Fälle bei 10.000 Münzwürfen die Häufigkeit des Wappens um ein Hundertstel oder mehr abweichen.
Satz 3 (Chebyshev). Wenn es sich um unabhängige Zufallsvariablen handelt, deren Varianzen gleichmäßig begrenzt sind (), dann
Nachweisen. Als
dann wenden wir die Tschebyscheff-Ungleichung an und erhalten
Da die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses nicht größer als 1 sein kann, bekommen wir, was wir wollen.
Folge 1. Wenn unabhängige Zufallsvariablen mit gleichmäßig begrenzten Varianzen und gleicher mathematischer Erwartung gleich sind a, dann
Gleichheit (1) legt nahe, dass sich zufällige Abweichungen einzelner unabhängiger Zufallsvariablen von ihrem gemeinsamen Mittelwert bei großer Masse gegenseitig aufheben. Daher, obwohl die Mengen selbst zufällig sind, ihr Durchschnitt 
im Großen und Ganzen ist es praktisch nicht mehr zufällig und nahe an . Das bedeutet, wenn er nicht im Voraus bekannt ist, kann er mit dem arithmetischen Mittel berechnet werden. Diese Eigenschaft von Folgen unabhängiger Zufallsvariablen nennt man das Gesetz der statistischen Stabilität. Das Gesetz der statistischen Stabilität begründet die Möglichkeit, die Analyse von Statistiken bei konkreten Managemententscheidungen anzuwenden.
Satz 4 (Bernoulli). Wenn in jedem P Unabhängige Experimente, dann ist die Wahrscheinlichkeit p für das Eintreten des Ereignisses A konstant
,
wo ist die Anzahl der Vorkommen von Ereignis A für diese P Prüfungen.
Nachweisen. Wir führen unabhängige Zufallsvariablen ein, wobei Х ich ist eine Zufallsvariable mit einer Verteilungsreihe
Dann M(X ich)=p, D(X ich)=pq. Seit , dann D(X ich) sind insgesamt begrenzt. Das folgt aus dem Satz von Tschebyscheff
.
Aber X 1 + X 2 + ... + X P ist die Anzahl der Vorkommen von Ereignis A in einer Reihe von P Prüfungen.
Die Bedeutung des Satzes von Bernoulli besteht darin, dass bei einer unbegrenzten Erhöhung der Anzahl identischer unabhängiger Experimente mit praktischer Sicherheit argumentiert werden kann, dass sich die Häufigkeit des Auftretens eines Ereignisses beliebig wenig von der Wahrscheinlichkeit seines Auftretens in einem separaten Experiment unterscheidet ( statistische Stabilität der Ereigniswahrscheinlichkeit). Daher dient der Satz von Bernoulli als Brücke von der Theorie der Anwendungen zu ihren Anwendungen.
Was ist das Geheimnis erfolgreicher Verkäufer? Wenn Sie die besten Verkäufer eines Unternehmens beobachten, werden Sie feststellen, dass sie eines gemeinsam haben. Jeder von ihnen trifft sich mit mehr Menschen und hält mehr Präsentationen als die weniger erfolgreichen Verkäufer. Diese Leute verstehen, dass der Verkauf ein Spiel mit Zahlen ist, und je mehr Leute sie über ihre Produkte oder Dienstleistungen erzählen, desto mehr Geschäfte schließen sie ab, das ist alles. Sie verstehen, dass, wenn sie nicht nur mit den wenigen kommunizieren, die definitiv zu ihnen sagen werden, sondern auch mit denen, deren Interesse an ihrem Vorschlag nicht so groß ist, das Gesetz der Durchschnittswerte zu ihren Gunsten wirken wird.
Ihre Einnahmen hängen von der Anzahl der Verkäufe ab, sind aber gleichzeitig direkt proportional zur Anzahl Ihrer Präsentationen. Sobald Sie das Gesetz des Durchschnitts verstehen und in die Praxis umsetzen, wird die Angst, die mit der Gründung eines neuen Unternehmens oder der Arbeit in einem neuen Bereich verbunden ist, nachlassen. Und als Ergebnis wird ein Gefühl der Kontrolle und des Vertrauens in ihre Fähigkeit, Geld zu verdienen, zu wachsen beginnen. Wenn Sie nur Präsentationen halten und dabei Ihre Fähigkeiten verbessern, werden Sie Geschäfte machen.
Anstatt an die Anzahl der Deals zu denken, denken Sie an die Anzahl der Präsentationen. Es macht keinen Sinn, morgens aufzuwachen oder abends nach Hause zu kommen und sich zu fragen, wer Ihr Produkt kaufen wird. Planen Sie stattdessen am besten jeden Tag ein, wie viele Anrufe Sie tätigen müssen. Und dann, egal was - machen Sie all diese Anrufe! Dieser Ansatz wird Ihre Arbeit erleichtern - weil es ein einfaches und spezifisches Ziel ist. Wenn Sie wissen, dass Sie ein ganz bestimmtes und erreichbares Ziel vor Augen haben, wird es Ihnen leichter fallen, die geplante Anzahl an Anrufen zu tätigen. Wenn Sie während dieses Vorgangs ein paar Mal "Ja" hören, umso besser!
Und wenn "nein", dann werden Sie am Abend das Gefühl haben, dass Sie ehrlich alles getan haben, was Sie konnten, und Sie werden nicht von Gedanken darüber gequält, wie viel Geld Sie verdient haben oder wie viele Partner Sie an einem Tag gewonnen haben.
Nehmen wir an, in Ihrem Unternehmen oder Ihrem Unternehmen schließt der durchschnittliche Verkäufer alle vier Präsentationen ein Geschäft ab. Stellen Sie sich nun vor, Sie ziehen Karten aus einem Deck. Jede Karte mit drei Farben – Pik, Karo und Kreuz – ist eine Präsentation, bei der Sie ein Produkt, eine Dienstleistung oder eine Gelegenheit professionell präsentieren. Sie tun es so gut Sie können, aber Sie schließen das Geschäft immer noch nicht ab. Und jede Herzkarte ist ein Geschäft, mit dem Sie Geld verdienen oder einen neuen Begleiter erwerben können.
Würden Sie in einer solchen Situation nicht so viele Karten wie möglich vom Stapel ziehen wollen? Angenommen, Ihnen wird angeboten, so viele Karten zu ziehen, wie Sie möchten, während Sie jedes Mal, wenn Sie eine Herzkarte ziehen, bezahlen oder einen neuen Begleiter vorschlagen. Sie werden beginnen, enthusiastisch Karten zu ziehen, ohne zu bemerken, in welcher Farbe die Karte gerade gezogen wurde.
Sie wissen, dass es dreizehn Herzen in einem Kartenspiel mit zweiundfünfzig Karten gibt. Und in zwei Decks – sechsundzwanzig Herzkarten und so weiter. Werden Sie enttäuscht sein, wenn Sie Pik, Karo oder Treff ziehen? Nein, natürlich! Sie werden nur denken, dass Sie jeder dieser "Verfehlungen" näher bringt - was? Zur Herzkarte!
Aber weißt du was? Dieses Angebot haben Sie bereits erhalten. Sie sind in der einzigartigen Position, so viel zu verdienen, wie Sie möchten, und so viele Herzkarten zu ziehen, wie Sie in Ihrem Leben ziehen möchten. Und wenn Sie nur gewissenhaft "Karten ziehen", Ihre Fähigkeiten verbessern und ein wenig Pik, Karo und Keule aushalten, dann werden Sie ein ausgezeichneter Verkäufer und haben Erfolg.
Eines der Dinge, die den Verkauf so lustig machen, ist, dass jedes Mal, wenn Sie das Deck mischen, die Karten anders gemischt werden. Manchmal landen alle Herzen am Anfang des Stapels, und nach einer Erfolgsserie (wenn es uns bereits so vorkommt, als würden wir niemals verlieren!) Warten wir auf eine lange Reihe von Karten einer anderen Farbe. Und ein anderes Mal, um zum ersten Herz zu gelangen, müssen Sie durch eine unendliche Anzahl von Pik, Keulen und Tamburinen gehen. Und manchmal fallen Karten verschiedener Farben streng nacheinander heraus. Aber auf jeden Fall gibt es in jedem Stapel von zweiundfünfzig Karten in irgendeiner Reihenfolge immer dreizehn Herzen. Ziehen Sie einfach die Karten heraus, bis Sie sie finden.
Von: Leylya,
Gesetz der großen Zahlen
Gesetz der großen Zahlen in der Wahrscheinlichkeitstheorie besagt, dass der empirische Mittelwert (arithmetisches Mittel) einer ausreichend großen endlichen Stichprobe aus einer festen Verteilung nahe am theoretischen Mittelwert (Erwartung) dieser Verteilung liegt. Je nach Art der Konvergenz gibt es ein schwaches Gesetz der großen Zahlen, wenn Konvergenz in der Wahrscheinlichkeit stattfindet, und ein starkes Gesetz der großen Zahlen, wenn fast überall Konvergenz stattfindet.
Es wird immer eine solche Anzahl von Versuchen geben, dass bei jeder vorgegebenen Wahrscheinlichkeit die relative Häufigkeit des Eintretens eines Ereignisses willkürlich wenig von seiner Wahrscheinlichkeit abweicht.
Die allgemeine Bedeutung des Gesetzes der großen Zahlen ist, dass das Zusammenwirken einer großen Anzahl von Zufallsfaktoren zu einem Ergebnis führt, das nahezu zufallsunabhängig ist.
Auf dieser Eigenschaft basieren Verfahren zur Schätzung der Wahrscheinlichkeit, die auf der Analyse einer endlichen Stichprobe basieren. Ein gutes Beispiel ist die Vorhersage von Wahlergebnissen auf Basis einer Befragung einer Wählerstichprobe.
Schwaches Gesetz der großen Zahlen
Es sei eine unendliche Folge (konsekutive Aufzählung) von identisch verteilten und unkorrelierten Zufallsvariablen , definiert auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum . Das heißt, ihre Kovarianz. Lassen . Lassen Sie uns den Stichprobenmittelwert der ersten Terme bezeichnen:
Starkes Gesetz der großen Zahlen
Es gebe eine unendliche Folge unabhängiger, identisch verteilter Zufallsvariablen, die auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum definiert sind. Lassen . Lassen Sie uns den Stichprobenmittelwert der ersten Terme bezeichnen:
.Dann ziemlich sicher.
siehe auch
Literatur
- Schirjajew A. N. Wahrscheinlichkeit, - M.: Wissenschaft. 1989.
- Tschistjakow V.P. Wahrscheinlichkeitstheoriekurs, - M., 1982.
Wikimedia-Stiftung. 2010 .
- Kino von Russland
- Gromeka, Michail Stepanowitsch
Sehen Sie in anderen Wörterbüchern, was das "Gesetz der großen Zahlen" ist:
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GESETZ DER GROßEN ZAHLEN- siehe Gesetz über große Zahlen. Antinazi. Enzyklopädie der Soziologie, 2009 ... Enzyklopädie der Soziologie
Gesetz der großen Zahlen- das Prinzip, nach dem sich die den sozialen Massenphänomenen innewohnenden quantitativen Muster am deutlichsten mit einer ausreichend großen Anzahl von Beobachtungen manifestieren. Einzelphänomene sind anfälliger für die Auswirkungen zufälliger und ... ... Glossar der Geschäftsbegriffe
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Gesetz der großen Zahlen- — [Ya. N. Luginsky, M. S. Fezi Zhilinskaya, Yu. S. Kabirov. English Russian Dictionary of Electrical Engineering and Power Industry, Moscow, 1999] Themen der Elektrotechnik, Grundbegriffe EN Recht des Durchschnittsgesetzes großer Zahlen ... Handbuch für technische Übersetzer
Gesetz der großen Zahlen- didžiųjų skaičių dėsnis statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. Gesetz der großen Zahlen Gesetz der großen Zahlen, n rus. Gesetz der großen Zahlen, m pranc. loi des grands nombres, f … Fizikos terminų žodynas
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