Nasumično, dva puta se baca simetrični novčić. Matematika i mi. Kombinovana metoda nabrajanja
Formulacija zadatka: U slučajnom eksperimentu, simetrični novčić se baca dvaput. Nađite vjerovatnoću da glave (repovi) neće ispasti ni jednom (ispasti će tačno / najmanje 1, 2 puta).
Zadatak je uvršten u ESU iz matematike osnovnog nivoa za 11. razred pod brojem 10 (Klasična definicija vjerovatnoće).
Pogledajmo kako se takvi problemi rješavaju na primjerima.
Primjer zadatka 1:
U slučajnom eksperimentu, simetrični novčić se baca dvaput. Pronađite vjerovatnoću da se glave nikada ne pojave.
OO OR RO RR
Takve kombinacije ima ukupno 4. Nas zanimaju samo one u kojima nema niti jednog orla. Postoji samo jedna takva kombinacija (PP).
P = 1 / 4 = 0,25
Odgovor: 0,25
Primjer zadatka 2:
U slučajnom eksperimentu, simetrični novčić se baca dvaput. Nađite vjerovatnoću da se pojavi tačno dva puta.
Razmotrite sve moguće kombinacije koje mogu ispasti ako se novčić baci dvaput. Radi praktičnosti, orla ćemo označiti slovom O, a repove slovom P:
OO OR RO RR
Takve kombinacije su ukupno 4. Nas zanimaju samo one kombinacije u kojima se glave pojavljuju tačno 2 puta. Postoji samo jedna takva kombinacija (OO).
P = 1 / 4 = 0,25
Odgovor: 0,25
Primjer zadatka 3:
U slučajnom eksperimentu, simetrični novčić se baca dvaput. Nađite vjerovatnoću da se pojavi tačno jednom.
Razmotrite sve moguće kombinacije koje mogu ispasti ako se novčić baci dvaput. Radi praktičnosti, orla ćemo označiti slovom O, a repove slovom P:
OO OR RO RR
Ukupno ima 4 takve kombinacije. Zanimaju nas samo one u kojima su glave ispale tačno 1 put. Postoje samo dvije takve kombinacije (OP i RO).
Odgovor: 0,5
Primjer zadatka 4:
U slučajnom eksperimentu, simetrični novčić se baca dvaput. Nađite vjerovatnoću da će se glave pojaviti barem jednom.
Razmotrite sve moguće kombinacije koje mogu ispasti ako se novčić baci dvaput. Radi praktičnosti, orla ćemo označiti slovom O, a repove slovom P:
OO OR RO RR
Takve kombinacije su ukupno 4. Nas zanimaju samo one kombinacije kod kojih barem jednom ispadnu glave. Postoje samo tri takve kombinacije (OO, OR i RO).
P = 3 / 4 = 0,75
U slučajnom eksperimentu baca se simetričan novčić...
Kao predgovor.
Svi znaju da novčić ima dvije strane - glavu i rep.
Numizmatičari vjeruju da novčić ima tri strane - avers, revers i rub.
I među njima, i među ostalima, malo ljudi zna šta je simetrični novčić. Ali znaju za to (pa, ili bi trebali znati :), oni koji se spremaju za polaganje.
Općenito, ovaj članak će se fokusirati na neobičnu kovanicu, koja nema nikakve veze s numizmatikom, ali je ujedno i najpopularnija kovanica među školarcima.
Dakle.
Simetričan novčić- ovo je zamišljeni matematički idealan novčić bez veličine, težine, promjera itd. Kao rezultat, takav novčić također nema rub, odnosno ima samo dvije strane. Glavno svojstvo simetričnog novčića je da je u takvim uvjetima vjerovatnoća pada glave ili repa potpuno ista. I smislili su simetrični novčić za misaone eksperimente.
Najpopularniji problem sa simetričnim novčićem zvuči ovako - "U slučajnom eksperimentu, simetrični novčić se baca dva puta (tri puta, četiri puta, itd.). Potrebno je odrediti vjerovatnoću da će jedna od strana ispasti određeni broj puta.
Rješavanje problema sa simetričnim novčićem
Jasno je da će kao rezultat bacanja novčić pasti ili glavom ili repom. Koliko puta - zavisi od toga koliko bacanja napraviti. Vjerovatnoća da se dobije glava ili rep izračunava se tako što se broj ishoda koji zadovoljavaju uvjet podijeli sa ukupnim brojem mogućih ishoda.
Jedno bacanje
Ovdje je sve jednostavno. Iskrsnuće ili glave ili repovi. One. imamo dva moguća ishoda, od kojih nas jedan zadovoljava - 1/2=50%
Dva bacanja
Za dva bacanja mogu pasti:
dva orla
dva repa
glave, pa repove
repove, zatim glave
One. moguće su samo četiri opcije. Probleme sa više bacanja najlakše je riješiti tako što ćete napraviti tabelu mogućih opcija. Radi jednostavnosti, označimo glave kao "0", a repove kao "1". Tada će tabela mogućih ishoda izgledati ovako:
00
01
10
11
Ako, na primjer, trebate pronaći vjerovatnoću da će glave jednom pasti, trebate samo izbrojati broj odgovarajućih opcija u tabeli - tj. one linije u kojima se orao pojavljuje jednom. Postoje dvije takve linije. Dakle, vjerovatnoća da dobijete jednu glavu u dva bacanja simetričnog novčića je 2/4=50%
Verovatnoća da dobijete dva puta glavom u dva bacanja je 1/4=25%
Tri ruže
Pravimo tabelu opcija:
000
001
010
011
100
101
110
111
Oni koji su upoznati sa binarnim računom razumiju do čega smo došli. :) Da, to su binarni brojevi od "0" do "7". Na ovaj način je lakše da se ne zbunite s opcijama.
Rešimo problem iz prethodnog pasusa - izračunavamo verovatnoću da će orao jednom ispasti. Postoje tri reda u kojima se "0" pojavljuje jednom. Dakle, vjerovatnoća da dobijete jednu glavu u tri bacanja simetričnog novčića je 3/8=37,5%
Verovatnoća da će glave u tri bacanja dva puta ispasti je 3/8=37,5%, tj. apsolutno isto.
Vjerovatnoća da će glava u tri bacanja tri puta ispasti je 1/8 = 12,5%.
Četiri bacanja
Pravimo tabelu opcija:
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Vjerovatnoća da će se glave pojaviti jednom. Postoje samo tri reda u kojima se "0" pojavljuje jednom, baš kao i u slučaju tri bacanja. Ali, već postoji šesnaest opcija. Dakle, vjerovatnoća da dobijete jednu glavu u četiri bacanja simetričnog novčića je 3/16=18,75%
Verovatnoća da će orao ispasti dva puta u tri bacanja je 6/8=75%.
Vjerovatnoća da će se glave iskrsnuti tri puta u tri bacanja je 4/8=50%.
Dakle, sa povećanjem broja bacanja, princip rješavanja problema se uopće ne mijenja - samo se, u odgovarajućoj progresiji, povećava broj opcija.
Opis prezentacije na pojedinačnim slajdovima:
1 slajd
Opis slajda:
Rješavanje problema u teoriji vjerovatnoće. Nastavnik matematike MBOU Nivnyanskaya srednja škola, Nechaeva Tamara Ivanovna
2 slajd
Opis slajda:
Ciljevi lekcije: Pregled različite vrste problemi iz teorije vjerovatnoće i metode za njihovo rješavanje. Ciljevi lekcije: naučiti prepoznati različite vrste problema u teoriji vjerovatnoće i poboljšati ih logičko razmišljanješkolska djeca.
3 slajd
Opis slajda:
Zadatak 1. U slučajnom eksperimentu, simetrični novčić se baca 2 puta. Pronađite vjerovatnoću da dobijete isti broj glava i repova.
4 slajd
Opis slajda:
Zadatak 2. Novčić se baca četiri puta. Nađite vjerovatnoću da se nikada ne pojavi rep.
5 slajd
Opis slajda:
Zadatak 3. U slučajnom eksperimentu, simetrični novčić se baca dvaput. Nađite vjerovatnoću da će se glave pojaviti tačno jednom. Rješenje: Da bi se pronašla vjerovatnoća određenog događaja, potrebno je razmotriti sve moguće ishode eksperimenta, a zatim od njih izabrati povoljne ishode (povoljni ishodi su ishodi koji ispunjavaju zahtjeve problema). U našem slučaju će biti povoljni oni ishodi u kojima će, uz dva bacanja simetričnog novčića, glave ispasti samo jednom. Vjerovatnoća događaja se izračunava kao omjer broja povoljnih ishoda i ukupnog broja ishoda. Stoga je vjerovatnoća da kada se simetrični novčić baci dvaput, glave ispadnu samo jednom, jednaka je: P = 2/4 = 0,5 = 50% Odgovor: vjerovatnoća da će kao rezultat gore navedenog eksperimenta glava će ispasti samo jednom je 50 %. Broj eksperimenta 1. bacanje 2. bacanje Broj puta glave 1 glave glave 2 2 repove repove 0 3 glave repove 1 4 repove glave 1
6 slajd
Opis slajda:
Zadatak 4. Jednom je bačena kocka. Kolika je vjerovatnoća da je broj bačenih poena veći od 4. Rješenje: Slučajni eksperiment - bacanje kockice. Elementarni događaj je broj na oborenoj ivici. Odgovor: 1/3 Ukupno lica: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Elementarni događaji: N=6 N(A)=2
7 slajd
Opis slajda:
Zadatak 5. Biatlonac gađa pet puta u mete. Vjerovatnoća da jednim udarcem pogodite metu je 0,8. Pronađite vjerovatnoću da je biatlonac prva tri puta pogodio mete, a posljednja dva promašio. Zaokružite rezultat na najbližu stotu. Rješenje: Vjerovatnoća pogađanja = 0,8 Vjerovatnoća promašaja = 1 - 0,8 = 0,2 A=(pogodan, pogodak, pogodak, promašen, promašen) 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 P (A) \u003d 0,512 ∙ 0,04 = 0.02 An 0.03dwer: 0.02 0.02
8 slajd
Opis slajda:
Zadatak 6. U slučajnom eksperimentu bacaju se dvije kockice. Nađite vjerovatnoću da je zbir dobijenih poena 6. Zaokružite svoj odgovor na najbližu stotinu Rješenje: Elementarni ishod ovog eksperimenta je uređeni par brojeva. Prvi broj će pasti na prvu kockicu, drugi na drugu. Skup elementarnih ishoda je prikladno predstavljen tabelom. Redovi odgovaraju broju bodova na prvom kocku, kolone odgovaraju drugom kocku. Ukupno ima n = 36 elementarnih događaja. Upišimo u svaku ćeliju zbir ispuštenih tačaka i obojimo ćelije u kojima je zbir 6. Takvih ćelija ima 5. Dakle, događaj A = (zbir ispuštenih tačaka je 6) favorizira 5 osnovnih ishoda. Dakle, m = 5. Dakle, P(A) = 5/36 = 0,14. Odgovor: 0,14. 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 11 7 8 9 10 11 12
9 slajd
Opis slajda:
Teorema formule vjerovatnoće Neka se novčić baci n puta. Tada se vjerovatnoća da će glave ispasti tačno k puta može naći po formuli: gdje je Cnk broj kombinacija od n elemenata po k, koji se izračunava po formuli:
10 slajd
Opis slajda:
Zadatak 7. Novčić se baca četiri puta. Nađite vjerovatnoću da će se glave pojaviti tačno tri puta. Rešenje Prema uslovu zadatka bilo je ukupno n =4 bacanja. Potreban broj orlova: k =3. Zamijenite n i k u formulu: Sa istim uspjehom možete izbrojati broj repova: k = 4 − 3 = 1. Odgovor će biti isti. Odgovor: 0,25
11 slajd
Opis slajda:
Zadatak 8. Novčić se baca tri puta. Nađite vjerovatnoću da se nikada ne pojavi rep. Rješenje Ponovo zapisujemo brojeve n i k. Pošto je novčić bačen 3 puta, n = 3. A pošto ne bi trebalo biti repova, k = 0. Ostaje da se brojevi n i k zamijene u formulu: Da vas podsjetim da je 0! = 1 po definiciji. Stoga je C30 = 1. Odgovor: 0,125
12 slajd
Opis slajda:
Zadatak 9. U slučajnom eksperimentu, simetrični novčić se baca 4 puta. Pronađite vjerovatnoću da će se glava više puta pojaviti nego rep. Rješenje: Da bi bilo više glava nego repova, moraju ispasti ili 3 puta (onda će biti 1 rep) ili 4 (tada repova uopće neće biti). Nađimo vjerovatnoću svakog od ovih događaja. Neka je p1 vjerovatnoća dobijanja glave 3 puta. Tada je n = 4, k = 3. Imamo: Sada pronađimo p2 - vjerovatnoću da će glave pasti sva 4 puta. U ovom slučaju, n = 4, k = 4. Imamo: Da bismo dobili odgovor, ostaje da saberemo vjerovatnoće p1 i p2. Zapamtite: možete dodati vjerovatnoće samo za događaje koji se međusobno isključuju. Imamo: p = p1 + p2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125 Odgovor: 0,3125
13 slajd
Opis slajda:
Zadatak 10. Prije početka odbojkaške utakmice, kapiteni ekipa žrijebaju pošteno kako bi odredili koja će ekipa početi utakmicu sa loptom. Tim statora se naizmjenično igra s timovima Rotor, Motor i Starter. Pronađite vjerovatnoću da će Stator pokrenuti samo prvu i posljednju igru. Rješenje. Potrebno je pronaći vjerovatnoću proizvoda tri događaja: "Stator" počinje prvu igru, ne počinje drugu igru, počinje treću igru. Vjerovatnoća nastanka nezavisnih događaja jednaka je proizvodu vjerovatnoća ovih događaja. Vjerovatnoća svakog od njih jednaka je 0,5, odakle nalazimo: 0,5 0,5 0,5 = 0,125. Odgovor: 0,125.
U teoriji vjerovatnoće postoji grupa problema za čije je rješenje dovoljno poznavati klasičnu definiciju vjerovatnoće i vizualizirati predloženu situaciju. Ovi problemi su većina problema sa bacanjem novčića i problemima sa bacanjem kocke. Prisjetimo se klasične definicije vjerovatnoće.
Vjerovatnoća događaja A (objektivna mogućnost da se događaj dogodi u brojčanim terminima) jednaka je omjeru broja ishoda koji su povoljni za ovaj događaj i ukupnog broja svih jednako mogućih nespojivih elementarnih ishoda: P(A)=m/n, gdje:
- m je broj elementarnih ishoda testa koji favorizuju pojavu događaja A;
- n je ukupan broj svih mogućih elementarnih ishoda testa.
Pogodno je odrediti broj mogućih elementarnih ishoda testa i broj povoljnih ishoda u problemima koji se razmatraju nabrajanjem svih mogućih opcija (kombinacija) i direktnim proračunom.
Iz tabele vidimo da je broj mogućih elementarnih ishoda n=4. Povoljni ishodi događaja A = (orao ispadne 1 put) odgovaraju opciji br. 2 i br. 3 eksperimenta, postoje dvije takve opcije m=2.
Naći vjerovatnoću događaja R(A)=m/n=2/4=0,5
Zadatak 2 . U slučajnom eksperimentu, simetrični novčić se baca dvaput. Pronađite vjerovatnoću da se glave nikada neće pojaviti.
Rješenje
. Pošto se novčić baci dva puta, onda je, kao iu zadatku 1, broj mogućih elementarnih ishoda n=4. Povoljni ishodi događaja A = (orao neće ispasti ni jednom) odgovaraju varijanti br. 4 eksperimenta (vidi tabelu u zadatku 1). Postoji samo jedna takva opcija, tako da je m=1.
Naći vjerovatnoću događaja R(A)=m/n=1/4=0,25
Zadatak 3 . U slučajnom eksperimentu, simetrični novčić se baca tri puta. Nađite vjerovatnoću da se pojavi tačno 2 puta.
Rješenje . Moguće opcije za tri bacanja novčića (sve moguće kombinacije glave i repa) predstavljene su u obliku tabele:
Iz tabele vidimo da je broj mogućih elementarnih ishoda n=8. Povoljni ishodi događaja A = (glave 2 puta) odgovaraju opcijama br. 5, 6 i 7 eksperimenta. Postoje tri takve opcije, tako da je m=3.
Naći vjerovatnoću događaja R(A)=m/n=3/8=0,375
Zadatak 4 . U slučajnom eksperimentu, simetrični novčić se baca četiri puta. Nađite vjerovatnoću da se pojavi tačno 3 puta.
Rješenje . Moguće varijante četiri bacanja novčića (sve moguće kombinacije glave i repa) prikazane su u obliku tabele:
| broj opcije | 1. bacanje | 2nd roll | 3rd roll | 4th roll | broj opcije | 1. bacanje | 2nd roll | 3rd roll | 4th roll |
| 1 | orao | orao | orao | orao | 9 | Repovi | orao | Repovi | orao |
| 2 | orao | Repovi | Repovi | Repovi | 10 | orao | Repovi | orao | Repovi |
| 3 | Repovi | orao | Repovi | Repovi | 11 | orao | Repovi | Repovi | orao |
| 4 | Repovi | Repovi | orao | Repovi | 12 | orao | orao | orao | Repovi |
| 5 | Repovi | Repovi | Repovi | orao | 13 | Repovi | orao | orao | orao |
| 6 | orao | orao | Repovi | Repovi | 14 | orao | Repovi | orao | orao |
| 7 | Repovi | orao | orao | Repovi | 15 | orao | orao | Repovi | orao |
| 8 | Repovi | Repovi | orao | orao | 16 | Repovi | Repovi | Repovi | Repovi |
Iz tabele vidimo da je broj mogućih elementarnih ishoda n=16. Povoljni ishodi događaja A = (orao ispada 3 puta) odgovaraju opcijama br. 12, 13, 14 i 15 eksperimenta, što znači m=4.
Naći vjerovatnoću događaja R(A)=m/n=4/16=0,25
 |
Određivanje vjerovatnoće u problemima s kockicama
Zadatak 5 . Odredite vjerovatnoću da će više od 3 boda ispasti kada se baci kocka (tačna kocka).
Rješenje
. Prilikom bacanja kocke (obične kockice) može ispasti bilo koje od njenih šest lica, tj. da se desi bilo koji od elementarnih događaja - gubitak od 1 do 6 poena (poena). Dakle, broj mogućih elementarnih ishoda je n=6.
Događaj A = (ispalo više od 3 boda) znači da je ispalo 4, 5 ili 6 bodova (boda). Dakle, broj povoljnih ishoda m=3.
Vjerovatnoća događaja R(A)=m/n=3/6=0,5
Zadatak 6 . Odredite vjerovatnoću da kada se baci kocka, broj bodova ne prelazi 4. Zaokružite rezultat na najbližu hiljaditu.
Rješenje
. Prilikom bacanja kocke može ispasti bilo koje od njenih šest lica, tj. da se desi bilo koji od elementarnih događaja - gubitak od 1 do 6 poena (poena). Dakle, broj mogućih elementarnih ishoda je n=6.
Događaj A = (ne ispalo više od 4 boda) znači da je ispalo 4, 3, 2 ili 1 bod (bod). Dakle, broj povoljnih ishoda m=4.
Vjerovatnoća događaja R(A)=m/n=4/6=0,6666…≈0,667
Zadatak 7 . Kocka se baca dva puta. Pronađite vjerovatnoću da su oba broja manja od 4.
Rješenje . Pošto se kocka (kocka) baca dva puta, argumentovano ćemo ovako: ako je jedan bod pao na prvu kockicu, onda na drugoj može ispasti 1, 2, 3, 4, 5, 6. Dobijamo parove (1; 1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6) i tako dalje sa svakim licem. Sve slučajeve predstavljamo u obliku tabele od 6 redova i 6 kolona:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
Izračunat će se povoljni ishodi događaja A = (oba puta je ispao broj manji od 4) (podebljani su) i dobićemo m=9.
Naći vjerovatnoću događaja R(A)=m/n=9/36=0,25
Zadatak 8 . Kocka se baca dva puta. Nađite vjerovatnoću da je najveći od dva izvučena broja 5. Zaokružite svoj odgovor na najbližu hiljaditu.
Rješenje . Svi mogući ishodi dva bacanja kockice prisutan u tabeli:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
Iz tabele vidimo da je broj mogućih elementarnih ishoda n=6*6=36.
Izračunavaju se povoljni ishodi događaja A = (najveći od dva izvučena broja je 5) (podebljani su) i dobijamo m=8.
Pronađite vjerovatnoću događaja R(A)=m/n=8/36=0,2222…≈0,222
Zadatak 9 . Kocka se baca dva puta. Nađite vjerovatnoću da se broj manji od 4 baca barem jednom.
Rješenje . Svi mogući ishodi dva bacanja kocke prikazani su u tabeli:
| 1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
| 1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
| 1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
| 1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
| 1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
| 1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
Iz tabele vidimo da je broj mogućih elementarnih ishoda n=6*6=36.
Izraz “barem jednom ispao je broj manji od 4” znači “jedan ili dvaput je ispao broj manji od 4”, zatim broj povoljnih ishoda događaja A = (barem jednom ispao je broj manji od 4 ) (podebljani su) m=27.
Naći vjerovatnoću događaja R(A)=m/n=27/36=0,75
