Zakon prosjeka ili u čemu je tajna uspješnih prodavača. Prosječne vrijednosti Snažni zakon velikih brojeva
Riječi o velikim brojevima odnose se na broj testova - razmatra se veliki broj vrijednosti slučajne varijable ili kumulativno djelovanje velikog broja slučajnih varijabli. Suština ovog zakona je sljedeća: iako je nemoguće predvidjeti koju će vrijednost pojedinačna slučajna varijabla imati u jednom eksperimentu, međutim, ukupni rezultat djelovanja velikog broja nezavisnih slučajnih varijabli gubi svoj slučajni karakter i može biti predvidjeti gotovo pouzdano (tj. sa velikom vjerovatnoćom). Na primjer, nemoguće je predvidjeti na koju će stranu novčić pasti. Međutim, ako bacite 2 tone novčića, onda se sa velikom sigurnošću može tvrditi da je težina novčića koji su pali s grbom gore 1 tona.
Prije svega, takozvana Čebiševljeva nejednakost odnosi se na zakon velikih brojeva, koji u posebnom testu procjenjuje vjerovatnoću da će slučajna varijabla prihvatiti vrijednost koja odstupa od prosječne vrijednosti ne više od date vrijednosti.
Čebiševljeva nejednakost. Neka X je proizvoljna slučajna varijabla, a=M(X) , a D(X) je njegova disperzija. Onda
Primjer. Nominalna (tj. potrebna) vrijednost prečnika čahure obrađene na mašini je 5mm, a varijanse više nema 0.01 (ovo je tolerancija tačnosti mašine). Procijenite vjerovatnoću da će u proizvodnji jedne čaure odstupanje njenog prečnika od nominalnog biti manje od 0.5mm .
Rješenje. Neka r.v. X- prečnik proizvedene čahure. Po uslovu, njegovo matematičko očekivanje je jednako nominalnom prečniku (ako nema sistematskog kvara u postavljanju mašine): a=M(X)=5 , i varijansu D(X)≤0,01. Primjenom Čebiševe nejednakosti za ε = 0,5, dobijamo:
Dakle, vjerovatnoća ovakvog odstupanja je prilično velika, te stoga možemo zaključiti da je u slučaju pojedinačne proizvodnje dijela gotovo sigurno da odstupanje prečnika od nominalnog neće premašiti 0.5mm .
U osnovi, standardna devijacija σ karakteriše prosjek odstupanje slučajne varijable od njenog centra (tj. od njenog matematičkog očekivanja). Jer prosjek odstupanja, tada su moguća velika odstupanja (naglasak na o) tokom testiranja. Koliko su velika odstupanja praktično moguća? Kada smo proučavali normalno raspoređene slučajne varijable, izveli smo pravilo “tri sigma”: normalno raspoređena slučajna varijabla X u jednom testu praktično ne odstupa od svog prosjeka dalje od 3σ, gdje σ= σ(X) je standardna devijacija r.v. X. Takvo pravilo smo izveli iz činjenice da smo dobili nejednakost
.
Procijenimo sada vjerovatnoću za proizvoljno slučajna varijabla X prihvati vrijednost koja se razlikuje od srednje vrijednosti za najviše tri puta standardnu devijaciju. Primjenom Čebiševe nejednakosti za ε = 3σ i s obzirom na to D(X)=σ 2 , dobijamo:
.
Na ovaj način, Uglavnom možemo procijeniti vjerovatnoću slučajne varijable koja odstupa od srednje vrijednosti za najviše tri standardne devijacije po broju 0.89 , dok se za normalnu distribuciju može garantovati sa vjerovatnoćom 0.997 .
Čebiševljeva nejednakost se može generalizirati na sistem nezavisnih identično distribuiranih slučajnih varijabli.
Generalizirana Čebiševljeva nejednakost. Ako su nezavisne slučajne varijable X 1 , X 2 , … , X n M(X i )= a i disperzije D(X i )= D, onda
At n=1 ova nejednakost prelazi u nejednakost Čebiševa formulisanu gore.
Čebiševljeva nejednakost, koja ima nezavisan značaj za rješavanje odgovarajućih problema, koristi se za dokazivanje takozvane Čebiševe teoreme. Prvo ćemo opisati suštinu ove teoreme, a zatim dati njenu formalnu formulaciju.
Neka X 1
, X 2
, … , X n– veliki broj nezavisnih slučajnih varijabli sa matematičkim očekivanjima M(X 1
)=a 1
, … , M(X n )=a n. Iako svaki od njih, kao rezultat eksperimenta, može uzeti vrijednost daleko od svog prosjeka (tj. matematičkog očekivanja), međutim, slučajna varijabla 
, jednak njihovoj aritmetičkoj sredini, sa velikom vjerovatnoćom će poprimiti vrijednost blizu fiksnog broja 
(ovo je prosjek svih matematičkih očekivanja). To znači sljedeće. Neka, kao rezultat testa, nezavisne slučajne varijable X 1
, X 2
, … , X n(ima ih puno!) uzeli su vrijednosti u skladu s tim X 1
, X 2
, … , X n respektivno. Zatim, ako se te vrijednosti mogu pokazati da su daleko od prosječnih vrijednosti odgovarajućih slučajnih varijabli, njihova prosječna vrijednost 
vjerovatno će biti blizu 
. Dakle, aritmetička sredina velikog broja slučajnih varijabli već gubi svoj slučajni karakter i može se predvidjeti s velikom preciznošću. Ovo se može objasniti činjenicom da su slučajna odstupanja vrijednosti X i od a i mogu biti različitih predznaka, pa se stoga ova odstupanja u zbiru nadoknađuju sa velikom vjerovatnoćom.
Terema Chebysheva (zakon velikih brojeva u obliku Čebiševa). Neka X 1 , X 2 , … , X n … je niz poparno nezavisnih slučajnih varijabli čije su varijanse ograničene na isti broj. Tada, bez obzira koliko mali broj ε uzmemo, vjerovatnoća nejednakosti
će biti proizvoljno blizu jedinice ako je broj n slučajne varijable da se uzimaju dovoljno velike. Formalno, to znači da pod uslovima teoreme
Ova vrsta konvergencije naziva se konvergencija u vjerovatnoći i označava se sa:
Dakle, Čebiševljev teorem kaže da ako postoji dovoljno veliki broj nezavisnih slučajnih varijabli, onda će njihova aritmetička sredina u jednom testu gotovo sigurno poprimiti vrijednost blisku srednjoj vrijednosti njihovih matematičkih očekivanja.
Najčešće se Čebiševljeva teorema primjenjuje u situaciji kada su slučajne varijable X 1 , X 2 , … , X n … imaju istu distribuciju (tj. isti zakon raspodjele ili istu gustinu vjerovatnoće). Zapravo, ovo je samo veliki broj instanci iste slučajne varijable.
Posljedica(o generalizovanoj Čebiševljevoj nejednakosti). Ako su nezavisne slučajne varijable X 1 , X 2 , … , X n … imaju istu distribuciju sa matematičkim očekivanjima M(X i )= a i disperzije D(X i )= D, onda
, tj. 
.
Dokaz slijedi iz generalizirane Čebiševe nejednakosti prelaskom na granicu kao n→∞ .
Još jednom napominjemo da gore napisane jednakosti ne garantuju vrijednost količine 
teži da a at n→∞. Ova vrijednost je još uvijek slučajna varijabla, a njene pojedinačne vrijednosti mogu biti prilično udaljene a. Ali vjerovatnoća takvog (daleko od toga a) vrijednosti sa povećanjem n teži 0.
Komentar. Zaključak korolarije očito vrijedi i u opštijem slučaju kada su nezavisne slučajne varijable X 1 , X 2 , … , X n … imaju drugačiju distribuciju, ali ista matematička očekivanja (jednako a) i varijanse ograničene u zbiru. Ovo omogućava da se predvidi tačnost merenja određene veličine, čak i ako se ta merenja vrše različitim instrumentima.
Razmotrimo detaljnije primenu ove posledice na merenje veličina. Hajde da koristimo neki uređaj n mjerenja iste količine, čija je prava vrijednost a a mi ne znamo. Rezultati takvih mjerenja X 1
, X 2
, … , X n mogu se značajno razlikovati jedni od drugih (i od prave vrijednosti a) zbog različitih nasumičnih faktora (pad tlaka, temperature, nasumične vibracije, itd.). Uzmite u obzir r.v. X- očitavanje instrumenta za jedno mjerenje veličine, kao i skup r.v. X 1
, X 2
, … , X n- očitavanje instrumenta pri prvom, drugom, ..., posljednjem mjerenju. Dakle, svaka od veličina X 1
, X 2
, … , X n
postoji samo jedan od primjera r.v. X, te stoga svi imaju istu distribuciju kao r.v. X. Budući da su rezultati mjerenja nezavisni jedan od drugog, r.v. X 1
, X 2
, … , X n može se smatrati nezavisnim. Ako uređaj ne daje sistematsku grešku (na primjer, nula nije "srušena" na skali, opruga nije rastegnuta itd.), onda možemo pretpostaviti da je matematičko očekivanje M(X) = a, i zbog toga M(X 1
) = ... = M(X n ) = a. Dakle, ispunjeni su uslovi gornjeg korolarca, te stoga, kao približna vrijednost količine a možemo uzeti "implementaciju" slučajne varijable 
u našem eksperimentu (koji se sastoji od serije n mjerenja), tj.
.
Uz veliki broj mjerenja, dobra tačnost proračuna pomoću ove formule je praktički pouzdana. Ovo je obrazloženje praktičnog principa da se kod velikog broja merenja njihova aritmetička sredina praktično ne razlikuje mnogo od prave vrednosti merene veličine.
„Selektivna“ metoda, koja se široko koristi u matematičkoj statistici, temelji se na zakonu velikih brojeva, što omogućava dobivanje njegovih objektivnih karakteristika s prihvatljivom točnošću iz relativno malog uzorka vrijednosti slučajne varijable. Ali o tome će biti riječi u sljedećem odjeljku.
Primjer. Na mjernom uređaju koji ne pravi sistematska izobličenja mjeri se određena količina a jednom (primljena vrijednost X 1
), a zatim još 99 puta (dobivene vrijednosti X 2
, … , X 100
). Za pravu vrijednost mjerenja a prvo uzmite rezultat prvog mjerenja 
, a zatim aritmetičku sredinu svih mjerenja 
. Tačnost mjerenja uređaja je takva da standardna devijacija mjerenja σ nije veća od 1 (jer disperzija D=σ
2
takođe ne prelazi 1). Za svaku od metoda mjerenja procijenite vjerovatnoću da greška mjerenja ne prelazi 2.
Rješenje. Neka r.v. X- očitavanje instrumenta za jedno mjerenje. Onda po uslovu M(X)=a. Da bismo odgovorili na postavljena pitanja, primjenjujemo generaliziranu Čebiševljevu nejednakost
za ε =2
prvo za n=1
a zatim za n=100
. U prvom slučaju dobijamo 
, au drugom. Dakle, drugi slučaj praktično garantuje zadatu tačnost merenja, dok prvi ostavlja ozbiljne sumnje u tom smislu.
Primijenimo gornje izjave na slučajne varijable koje nastaju u Bernoullijevoj shemi. Prisjetimo se suštine ove sheme. Neka se proizvede n nezavisni testovi, u svakom od kojih neki događaj ALI mogu se pojaviti sa istom vjerovatnoćom R, a q=1–r(po značenju, ovo je vjerovatnoća suprotnog događaja - a ne pojava događaja ALI) . Hajde da potrošimo neki broj n takvi testovi. Uzmite u obzir slučajne varijable: X 1 – broj pojavljivanja događaja ALI in 1 th test, ..., X n– broj pojavljivanja događaja ALI in n th test. Svi uvedeni r.v. može poprimiti vrijednosti 0 ili 1 (događaj ALI može se pojaviti u testu ili ne) i vrijednost 1 uslovno prihvaćeno u svakom ispitivanju sa verovatnoćom str(vjerovatnoća nastanka događaja ALI u svakom testu) i vrijednost 0 sa vjerovatnoćom q= 1 – str. Dakle, ove veličine imaju iste zakone raspodjele:
|
X 1 | ||
|
X n | ||
Stoga su prosječne vrijednosti ovih količina i njihove disperzije također iste: M(X 1 )=0 ∙ q+1 ∙ p= p, …, M(X n )= str ; D(X 1 )=(0 2 ∙ q+1 2 ∙ str)− str 2 = str∙(1− str)= str ∙ q, … , D(X n )= str ∙ q . Zamjenom ovih vrijednosti u generaliziranu Čebiševljevu nejednakost, dobivamo
.
Jasno je da je r.v. X=X 1 +…+H n je broj pojavljivanja događaja ALI u svemu n suđenja (kako kažu - "broj uspjeha" u n testovi). Pustite u n test događaj ALI pojavio se u k Od njih. Tada se prethodna nejednakost može zapisati kao
.
Ali veličina 
, jednak omjeru broja pojavljivanja događaja ALI in n nezavisnih ispitivanja, na ukupan broj pokušaja, ranije nazvan relativna stopa događaja ALI in n testovi. Dakle, postoji nejednakost
.
Prolaz sada do granice u n→∞, dobijamo 
, tj. 
(prema vjerovatnoći). Ovo je sadržaj zakona velikih brojeva u obliku Bernoullija. Iz ovoga slijedi da za dovoljno veliki broj ispitivanja n proizvoljno mala odstupanja relativne frekvencije 
događaje iz njegove vjerovatnoće R su gotovo sigurni događaji, a velika odstupanja su gotovo nemoguća. Iz toga proizlazi zaključak o takvoj stabilnosti relativnih frekvencija (koju smo ranije nazvali eksperimentalničinjenica) opravdava prethodno uvedenu statističku definiciju vjerovatnoće događaja kao broja oko kojeg relativna učestalost događaja fluktuira.
S obzirom da je izraz str∙
q=
str∙(1−
str)=
str−
str 2
ne prelazi interval izmene 
(ovo je lako provjeriti pronalaženjem minimuma ove funkcije na ovom segmentu), iz gornje nejednakosti 
lako to dobiti
,
koji se koristi za rješavanje odgovarajućih problema (jedan od njih će biti dat u nastavku).
Primjer. Novčić je bačen 1000 puta. Procijenite vjerovatnoću da će odstupanje relativne učestalosti pojavljivanja grba od njegove vjerovatnoće biti manje od 0,1.
Rješenje. Primjena nejednakosti 
at str=
q=1/2
,
n=1000
,
ε=0,1, dobijamo .
Primjer. Procijenite vjerovatnoću da, pod uslovima iz prethodnog primjera, broj k ispuštenih grbova bit će u rasponu od 400 prije 600 .
Rješenje. Stanje 400<
k<600
znači da 400/1000<
k/
n<600/1000
, tj. 0.4<
W n (A)<0.6
ili 
. Kao što smo upravo vidjeli iz prethodnog primjera, vjerovatnoća takvog događaja je najmanje 0.975
.
Primjer. Za izračunavanje vjerovatnoće nekog događaja ALI Izvršeno je 1000 eksperimenata, u kojima je događaj ALI pojavio 300 puta. Procijenite vjerovatnoću da se relativna frekvencija (jednaka 300/1000=0,3) razlikuje od prave vjerovatnoće R ne više od 0,1.
Rješenje. Primjenjujući gornju nejednakost 
za n=1000, ε=0.1, dobijamo .
Predavanje 8. Odjeljak 1. Teorija vjerovatnoće
Pitanja koja se razmatraju
1) Zakon velikih brojeva.
2) Centralna granična teorema.
Zakon velikih brojeva.
Zakon velikih brojeva u širem smislu shvata se kao opšti princip prema kojem, sa velikim brojem slučajnih varijabli, njihov prosečan rezultat prestaje da bude slučajan i može se predvideti sa visokim stepenom sigurnosti.
Zakon velikih brojeva u užem smislu shvata se kao niz matematičkih teorema, u svakoj od kojih se, pod određenim uslovima, uspostavlja mogućnost aproksimacije prosečnih karakteristika velikog broja testova.
na neke određene konstante. U dokazivanju teorema ove vrste koriste se Markovljeve i Čebiševljeve nejednakosti, koje su takođe od nezavisnog interesa.
Teorema 1 (Markovljeva nejednakost). Ako slučajna varijabla uzima nenegativne vrijednosti i ima matematičko očekivanje, tada za bilo koji pozitivan broj vrijedi nejednakost
Dokaz izvršit ćemo za diskretnu slučajnu varijablu. Pretpostavit ćemo da uzima vrijednosti od kojih su prve manje ili jednake, a sve ostale veće
gdje
Primjer 1 Prosječan broj poziva koji stignu na fabrički prekidač u jednom satu je 300. Procijenite vjerovatnoću da će u sljedećem satu broj poziva komutatoru:
1) prelazi 400;
2) neće biti više od 500.
Rješenje. 1) Neka je slučajna varijabla broj poziva koji stižu na prekidač tokom jednog sata. Srednja vrijednost je . Dakle, treba da procenimo. Prema Markovoj nejednakosti
2) Dakle, vjerovatnoća da broj poziva neće biti veći od 500 je najmanje 0,4.
Primjer 2 Zbir svih depozita u filijali banke je 2 miliona rubalja, a verovatnoća da slučajno uzeti depozit ne prelazi 10 hiljada rubalja je 0,6. Šta se može reći o broju saradnika?
Rješenje. Neka je nasumično uzeta vrijednost veličina nasumično uzetog doprinosa i broj svih doprinosa. Zatim (hiljadu). Prema Markovovoj nejednakosti, odakle
Primjer 3 Neka je vrijeme kada student kasni na predavanje, a poznato je da u prosjeku kasni 1 minut. Procijenite vjerovatnoću da će učenik zakasniti najmanje 5 minuta.
Rješenje. Pretpostavkom Primjenom Markove nejednakosti dobijamo to 
Dakle, od svakih 5 učenika, najviše 1 student neće kasniti najmanje 5 minuta.
Teorema 2 (Čebiševljeva nejednakost). 
.
Dokaz. Neka je slučajna varijabla X data nizom distribucija
Prema definiciji disperzije Izuzmimo iz ove sume one članove za koje 
. Istovremeno, pošto svi članovi su nenegativni, zbir se može samo smanjiti. Radi određenosti, pretpostavićemo da je prvi k uslovi. Onda
shodno tome, 
.
Čebiševljeva nejednakost omogućava da se odozgo procijeni vjerovatnoća da će slučajna varijabla odstupiti od svog matematičkog očekivanja na osnovu informacija samo o njenoj varijansi. Široko se koristi, na primjer, u teoriji procjene.
Primjer 4 Novčić se baca 10.000 puta. Procijenite vjerovatnoću da se učestalost grba razlikuje od 0,01 ili više.
Rješenje. Hajde da uvedemo nezavisne slučajne varijable , gde je slučajna varijabla sa serijom distribucije
Onda 
pošto je distribuiran prema binomskom zakonu sa 
Učestalost pojavljivanja grba je slučajna varijabla gdje 
. Dakle, disperzija učestalosti pojavljivanja grba je prema Čebiševskoj nejednakosti, 
.
Tako će se, u prosjeku, u ne više od četvrtine slučajeva pri 10.000 bacanja novčića, učestalost grba razlikovati od stotinke ili više.
Teorema 3 (Čebišev). Ako su nezavisne slučajne varijable čije su varijanse uniformno ograničene (), onda
Dokaz. Jer
onda primenom Čebiševe nejednakosti dobijamo
Budući da vjerovatnoća događaja ne može biti veća od 1, dobijamo ono što želimo.
Posljedica 1. Ako su nezavisne slučajne varijable s ravnomjerno ograničenim varijacijama i istim matematičkim očekivanjem jednakim a, onda
Jednakost (1) sugerira da se slučajna odstupanja pojedinačnih nezavisnih slučajnih varijabli od njihove zajedničke prosječne vrijednosti, kada su velike u svojoj masi, međusobno poništavaju. Dakle, iako su same količine nasumične, njihov prosjek 
općenito, praktično više nije slučajan i blizu . To znači da ako nije poznato unaprijed, onda se može izračunati pomoću aritmetičke sredine. Ovo svojstvo nizova nezavisnih slučajnih varijabli naziva se zakon statističke stabilnosti. Zakon statističke stabilnosti obrazlaže mogućnost primjene analize statistike u donošenju konkretnih upravljačkih odluka.
Teorema 4 (Bernoulli). Ako u svakom od P nezavisnih eksperimenata, vjerovatnoća p pojave događaja A je konstantna, dakle
,
gdje je broj pojavljivanja događaja A za njih P testovi.
Dokaz. Uvodimo nezavisne slučajne varijable , gdje je H i je slučajna varijabla sa nizom distribucije
Tada je M(X i)=p, D(X i)=pq. Pošto je , tada D(X i) su ograničeni u zbiru. Iz Čebiševljeve teoreme slijedi da
.
Ali X 1 + X 2 + ... + X P je broj pojavljivanja događaja A u nizu P testovi.
Smisao Bernoullijeve teoreme je da se uz neograničeno povećanje broja identičnih nezavisnih eksperimenata, s praktičnom sigurnošću, može tvrditi da će se učestalost pojave nekog događaja proizvoljno malo razlikovati od vjerovatnoće njegovog pojavljivanja u zasebnom eksperimentu. ( statistička stabilnost vjerovatnoće događaja). Stoga Bernulijeva teorema služi kao most od teorije aplikacija do njenih primjena.
Koja je tajna uspješnih prodavača? Ako posmatrate najbolje prodavače bilo koje kompanije, primijetit ćete da imaju jednu zajedničku stvar. Svaki od njih se susreće s više ljudi i pravi više prezentacija od manje uspješnih prodavača. Ovi ljudi razumiju da je prodaja igra brojeva, i što više ljudi pričaju o svojim proizvodima ili uslugama, više poslova sklapaju, to je sve. Oni razumiju da ako komuniciraju ne samo s onim nekolicinom koji će im sigurno reći da, već i sa onima čiji interes za njihov prijedlog nije toliko veliki, onda će im zakon prosjeka ići u prilog.
Vaša zarada će ovisiti o broju prodaja, ali će u isto vrijeme biti direktno proporcionalna broju prezentacija koje napravite. Jednom kada shvatite i počnete primjenjivati zakon prosjeka, anksioznost povezana s pokretanjem novog posla ili radom u novoj oblasti će početi da se smanjuje. I kao rezultat toga, osjećaj kontrole i povjerenja u njihovu sposobnost da zarade će početi rasti. Ako samo pravite prezentacije i usavršavate svoje vještine u procesu, doći će do dogovora.
Umjesto da razmišljate o broju ponuda, razmislite o broju prezentacija. Nema smisla probuditi se ujutro ili doći kući navečer i početi se pitati ko će kupiti vaš proizvod. Umjesto toga, najbolje je planirati svaki dan koliko poziva trebate obaviti. I onda, bez obzira na sve - obavite sve te pozive! Ovaj pristup će vam olakšati posao – jer je to jednostavan i specifičan cilj. Ako znate da je pred vama vrlo konkretan i ostvariv cilj, lakše ćete obaviti planirani broj poziva. Ako čujete "da" nekoliko puta tokom ovog procesa, tim bolje!
A ako "ne", onda ćete uveče osetiti da ste pošteno uradili sve što ste mogli, i neće vas mučiti misli o tome koliko ste novca zaradili, ili koliko ste partnera stekli u danu.
Recimo u vašoj kompaniji ili vašem poslovanju, prosječan prodavač zaključi jedan posao na svake četiri prezentacije. Sada zamislite da izvlačite karte iz špila. Svaka karta od tri boje - pik, karo i tref - predstavlja prezentaciju u kojoj profesionalno predstavljate proizvod, uslugu ili priliku. Radite to najbolje što možete, ali i dalje ne zaključujete posao. A svaka kartica srca je dogovor koji vam omogućava da dobijete novac ili steknete novog pratioca.
U takvoj situaciji, zar ne biste željeli da izvučete što više karata iz špila? Pretpostavimo da vam se nudi da izvučete onoliko karata koliko želite, dok vam plaćate ili predlažete novog pratioca svaki put kada izvučete kartu srca. Počet ćete entuzijastično izvlačiti karte, jedva primjećujući koja boja je karta upravo izvučena.
Znate da postoji trinaest srca u špilu od pedeset i dve karte. I u dva špila - dvadeset šest karata srca, i tako dalje. Hoćete li biti razočarani izvlačenjem pika, dijamanata ili trepavica? Naravno da ne! Samo ćete pomisliti da vas svaki takav "promašaj" približava - čemu? Na kartu srca!
Ali znaš šta? Već ste dobili ovu ponudu. Vi ste u jedinstvenoj poziciji da zaradite koliko želite i izvučete onoliko karata srca koliko želite da izvučete u svom životu. A ako samo savjesno "izvučete karte", poboljšate svoje vještine i izdržite malo pika, romba i trepavice, onda ćete postati odličan prodavač i uspjeti.
Jedna od stvari koje prodaju čine toliko zabavnom je to što se svaki put kada promiješate špil, karte miješaju drugačije. Ponekad sva srca završe na početku špila, a nakon uspješnog niza (kada nam se već čini da nikada nećemo izgubiti!) čeka nas dugačak red karata druge boje. A drugi put, da biste došli do prvog srca, morate proći kroz beskonačan broj pikova, trefova i tambura. A ponekad karte različitih boja ispadaju strogo redom. Ali u svakom slučaju, u svakom špilu od pedeset i dve karte, nekim redom, uvek se nalazi trinaest srca. Samo vadite karte dok ih ne pronađete.
Od: Leylya,
Zakon velikih brojeva
Zakon velikih brojeva u teoriji vjerovatnoće navodi da je empirijska sredina (aritmetička sredina) dovoljno velikog konačnog uzorka iz fiksne distribucije blizu teorijske sredine (očekivanja) ove distribucije. U zavisnosti od vrste konvergencije, postoji slab zakon velikih brojeva, kada se dešava konvergencija u verovatnoći, i jak zakon velikih brojeva, kada se konvergencija odvija skoro svuda.
Uvijek će postojati toliki broj pokušaja da će se, sa bilo kojom unaprijed određenom vjerovatnoćom, relativna učestalost pojave nekog događaja proizvoljno malo razlikovati od njegove vjerovatnoće.
Opšte značenje zakona velikih brojeva je da zajedničko djelovanje velikog broja slučajnih faktora dovodi do rezultata koji je gotovo nezavisan od slučajnosti.
Metode za procjenu vjerovatnoće zasnovane na analizi konačnog uzorka zasnivaju se na ovoj osobini. Dobar primjer je predviđanje izbornih rezultata na osnovu ankete uzorka birača.
Slab zakon velikih brojeva
Neka postoji beskonačan niz (uzastopno nabrajanje) identično raspoređenih i nekoreliranih slučajnih varijabli , definisanih na istom prostoru vjerovatnoće . To jest, njihova kovarijansa. Neka . Označimo uzorak srednje vrijednosti prvih pojmova:
Jaki zakon velikih brojeva
Neka postoji beskonačan niz nezavisnih identično raspoređenih slučajnih varijabli, definisanih na istom prostoru vjerovatnoće. Neka . Označimo uzorak srednje vrijednosti prvih pojmova:
.Onda gotovo sigurno.
vidi takođe
Književnost
- Shiryaev A. N. Vjerovatnoća, - M.: Nauka. 1989.
- Čistjakov V.P. Teorija vjerovatnoće, - M., 1982.
Wikimedia fondacija. 2010 .
- Kino Rusije
- Gromeka, Mihail Stepanovič
Pogledajte šta je "Zakon velikih brojeva" u drugim rječnicima:
ZAKON VELIKIH BROJEVA- (zakon velikih brojeva) U slučaju kada je ponašanje pojedinih članova populacije izrazito distinktivno, ponašanje grupe je u prosjeku predvidljivije od ponašanja bilo kojeg njenog člana. Trend u kojem grupe ... ... Ekonomski rječnik
ZAKON VELIKIH BROJEVA- vidi ZAKON O VELIKIM BROJEVIMA. Antinazi. Enciklopedija sociologije, 2009 ... Enciklopedija sociologije
Zakon velikih brojeva- princip prema kojem se kvantitativni obrasci svojstveni masovnim društvenim pojavama najjasnije manifestuju uz dovoljno veliki broj zapažanja. Pojedinačne pojave su podložnije učincima nasumičnih i ... ... Pojmovnik poslovnih pojmova
ZAKON VELIKIH BROJEVA- tvrdi da će se sa vjerovatnoćom bliskom jedinici, aritmetička sredina velikog broja slučajnih varijabli približno istog reda malo razlikovati od konstante jednake aritmetičkoj sredini matematičkih očekivanja ovih varijabli. Razlika… … Geološka enciklopedija
zakon velikih brojeva- — [Ya.N. Luginsky, M.S. Fezi Zhilinskaya, Yu.S. Kabirov. Engleski ruski rečnik elektrotehnike i elektroprivrede, Moskva, 1999] Teme iz elektrotehnike, osnovni pojmovi EN zakon prosječne vrijednosti velikih brojeva... Priručnik tehničkog prevodioca
zakon velikih brojeva- didžiųjų skaičių dėsnis statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. zakon velikih brojeva vok. Gesetz der großen Zahlen, n rus. zakon velikih brojeva, m pranc. loi des grands nombres, f … Fizikos terminų žodynas
ZAKON VELIKIH BROJEVA- opšti princip, zbog kojeg kombinovano delovanje slučajnih faktora dovodi, pod određenim vrlo opštim uslovima, do rezultata koji je skoro nezavisan od slučajnosti. Konvergencija učestalosti pojave slučajnog događaja sa njegovom vjerovatnoćom s povećanjem broja ... ... Ruska sociološka enciklopedija
Zakon velikih brojeva- zakon koji kaže da kumulativno djelovanje velikog broja slučajnih faktora dovodi, pod određenim vrlo općim uslovima, do rezultata gotovo neovisnog o slučaju... Sociologija: rječnik
ZAKON VELIKIH BROJEVA- statistički zakon koji izražava odnos statističkih pokazatelja (parametara) uzorka i opšte populacije. Stvarne vrijednosti statističkih pokazatelja dobijenih iz određenog uzorka uvijek se razlikuju od tzv. teoretski ...... Sociologija: Enciklopedija
ZAKON VELIKIH BROJEVA- princip da se učestalost finansijskih gubitaka određene vrste može predvidjeti sa velikom preciznošću kada postoji veliki broj gubitaka sličnih vrsta... Enciklopedijski rečnik ekonomije i prava
Knjige
- Set stolova. Matematika. Teorija vjerojatnosti i matematička statistika. 6 tabela + metodologija, . Tabele su štampane na debelom poligrafskom kartonu dimenzija 680 x 980 mm. Komplet sadrži brošuru sa metodološkim preporukama za nastavnike. Edukativni album od 6 listova. Slučajno…
