Курсова работа: Повторни и самостоятелни тестове. Теорема на Бернули за вероятностната честота. Презентация на формулата на Бернули. Презентация на схемата за повторен тест на Бернули
https://accounts.google.com
Надписи на слайдове:
Глава 9. Елементи на математическата статистика, комбинаториката и теорията на вероятностите §54. Случайни събития и техните вероятности 3. САМОСТОЯТЕЛНИ ПОВТОРЕНИЯ НА ТЕСТОВЕ. ТЕОРЕМА НА БЕРНУЛИ И СТАТИСТИЧЕСКА СТАБИЛНОСТ.
Съдържание ПРИМЕР 5. Вероятност за попадение в целта с един изстрел ... Решение 5a); Разтвор 5b); Решение 5c); Решение 5d). Забележете, че... В цялата поредица от повторения е важно да знаете... Якоб Бернули комбинира примери и въпроси... ТЕОРЕМА 3 (теорема на Бернули). ПРИМЕР 6. Във всеки от параграфи а) - г) определете стойностите n, k, p, q и изпишете (без изчисления) израза за желаната вероятност Pn (k). Решение 6 а); Решение 6 b); Решение 6 c); Решение 6 d). Теоремата на Бернули позволява ... ТЕОРЕМА 4. С голям брой независими повторения ... За учителя. Източници. 08.02.2014 г. 2
3. САМОСТОЯТЕЛНИ ПОВТОРЕНИЯ НА ТЕСТОВЕ. ТЕОРЕМА НА БЕРНУЛИ И СТАТИСТИЧЕСКА СТАБИЛНОСТ. Част 3. 08.02.2014 г. Цибикова Тамара Раднажаповна, учител по математика 3
ПРИМЕР 5. Вероятност за попадение в целта с един изстрел Нека леко променим предишния пример: вместо двама различни стрелци, един и същи стрелец ще стреля по целта. Пример 5 . Вероятността за попадение в целта с един изстрел е 0,8. Произведени са 3 независими изстрела. Намерете вероятността целта: а) да бъде ударена три пъти; б) няма да бъдат засегнати; в) ще бъде ударен поне веднъж; г) ще бъде ударен точно веднъж. 08.02.2014 г. Цибикова Тамара Раднажаповна, учител по математика 4
Решение на пример 5а) Пример 5. Вероятността за попадение в целта с един изстрел е 0,8. Произведени са 3 независими изстрела. Намерете вероятността целта: а) да бъде ударена три пъти; 08.02.2014 г. Цибикова Тамара Раднажаповна, учител по математика 5
Решение на пример 5b) Пример 5. Вероятността за попадение в целта с един изстрел е 0,8. Произведени са 3 независими изстрела. Намерете вероятността целта: б) да не бъде улучена; Решение: 08.02.2014 г. Цибикова Тамара Раднажаповна, учител по математика 6
Решение на пример 5c) Пример 5. Вероятността за попадение в целта с един изстрел е 0,8. Произведени са 3 независими изстрела. Намерете вероятността целта: в) да бъде улучена поне веднъж; Решение: 08.02.2014 г. Цибикова Тамара Раднажаповна, учител по математика 7
Решение на пример 5d) Пример 5. Вероятността за попадение в целта с един изстрел е 0,8. Произведени са 3 независими изстрела. Намерете вероятността целта: d) да бъде ударена точно веднъж. Решение: 08.02.2014 г. Цибикова Тамара Раднажаповна, учител по математика 8
Забележка Решението, дадено в точка d) от пример 5, в конкретен случай повтаря доказателството на известната теорема на Бернули, която се отнася до един от най-разпространените вероятностни модели: независими повторения на един и същ тест с два възможни изхода. Отличителна чертамного вероятностни проблеми се състои в това, че тестът, в резултат на който може да се случи събитието, което ни интересува, може да се повтори многократно. 08.02.2014 г. Цибикова Тамара Раднажаповна, учител по математика 9
В цялата поредица от повторения е важно да се знае. При всяко от тези повторения ние се интересуваме от въпроса дали това събитие ще се случи или не. И в цялата поредица от повторения за нас е важно да знаем точно колко пъти това събитие може или не може да се случи. Например зарът се хвърля десет пъти подред. Каква е вероятността 4 да се появи точно 3 пъти? 10 изстрела; Каква е вероятността да има точно 8 попадения в целта? Или каква е вероятността при пет хвърляния на монета глави да излязат точно 4 пъти? 08.02.2014 г. Цибикова Тамара Раднажаповна, учител по математика 10
Якоб Бернули комбинира примери и въпроси Швейцарският математик от началото на 18 век, Якоб Бернули, комбинира примери и въпроси от този тип в една вероятностна схема. Нека вероятността случайно събитиеИ когато провеждате някакъв тест, той е равен на P (A). Ще разглеждаме този тест като тест само с два възможни резултата: единият резултат е, че събитието A ще се случи, а другият резултат е, че събитието A няма да се случи, т.е. събитието Ᾱ ще се случи. За краткост нека наречем първия резултат (настъпването на събитието A) „успех“, а вторият резултат (настъпването на събитието Ᾱ) „провал“. Вероятността P(A) за "успех" ще бъде означена с p, а вероятността P(Ᾱ) за "провал" ще бъде означена с q. Така че q = P(Ᾱ) = 1 - P(A) = 1 - p. 08.02.2014 г. Цибикова Тамара Раднажаповна, учител по математика 11
ТЕОРЕМА 3 (теорема на Бернули) Теорема 3 (теорема на Бернули). Нека P n (k) е вероятността точно k "успеха" в n независими повторения на същия тест. Тогава P n (k)= С n k p k q n- k , където p е вероятността за „успех”, а q=1 - p е вероятността за „неуспех” в отделен опит. Тази теорема (представяме я без доказателство) е от голямо значение както за теорията, така и за практиката. 08.02.2014 г. Цибикова Тамара Раднажаповна, учител по математика 12
ПРИМЕР 6. Пример 6. Във всеки от параграфи a) - d) определете стойностите на n, k, p, q и изпишете (без изчисления) израза за желаната вероятност P n (k). а) Каква е вероятността да получите точно 7 глави при 10 хвърляния на монета? б) Всеки от 20-те души самостоятелно назовава един от дните от седмицата. „Нещастни“ дни са понеделник и петък. Каква е вероятността "късмет" да е точно половината? в) Хвърлянето на зара е „успешно“, ако се хвърлят 5 или 6. Каква е вероятността точно 5 хвърляния от 25 да бъдат "късметлийски"? г) Тестът се състои от хвърляне на три различни монети едновременно. „Провал“: повече „опашки“, отколкото „орли“. Каква е вероятността да има точно три "късмета" сред 7 хвърляния? 08.02.2014 г. Цибикова Тамара Раднажаповна, учител по математика 13
Решение 6а) Пример 6. Във всеки от параграфи a) - d) определете стойностите на n, k, p, q и изпишете (без изчисления) израза за желаната вероятност P n (k). а) Каква е вероятността да получите точно 7 глави при 10 хвърляния на монета? Решение: 08.02.2014 г. Цибикова Тамара Раднажаповна, учител по математика 14
Решение 6b) Пример 6. Във всеки от параграфи a) - d) определете стойностите на n, k, p, q и изпишете (без изчисления) израза за желаната вероятност P n (k). б) Всеки от 20-те души самостоятелно назовава един от дните от седмицата. „Нещастни“ дни са понеделник и петък. Каква е вероятността "късмет" да е точно половината? Решение: 08.02.2014 г. Цибикова Тамара Раднажаповна, учител по математика 15
Решение 6c) Пример 6. Във всеки от параграфи a) - d) определете стойностите на n, k, p, q и изпишете (без изчисления) израза за желаната вероятност P n (k). в) Хвърлянето на зара е „успешно“, ако се хвърлят 5 или 6. Каква е вероятността точно 5 хвърляния от 25 да бъдат "късметлийски"? Решение: 08.02.2014 г. Цибикова Тамара Раднажаповна, учител по математика 16
Решение 6d) Пример 6. Във всеки от параграфи a) - d) определете стойностите на n, k, p, q и изпишете (без изчисления) израза за желаната вероятност P n (k). г) Тестът се състои от хвърляне на три различни монети едновременно. „Провал“: повече „опашки“, отколкото „орли“. Каква е вероятността да има точно три "късмета" сред 7 хвърляния? Решение: г) n = 7, k = 3. „Късметът“ при едно хвърляне е, че има по-малко „опашки“ от „орли“. Възможни са общо 8 резултата: PPP, PPO, POP, OPP, POO, ORO, OOP, OOO (P - „опашки“, O - „глави“). Точно половината от тях имат по-малко опашки, отколкото глави: POO, ORO, OOP, OOO. Така че p = q = 0,5; P 7 (3) \u003d C 7 3 ∙ 0,5 3 ∙ 0,5 4 \u003d C 7 3 ∙ 0,5 7. 08.02.2014 г. Цибикова Тамара Раднажаповна, учител по математика 17
Теоремата на Бернули позволява ... Теоремата на Бернули ви позволява да установите връзка между статистическия подход към дефиницията на вероятността и класическата дефиниция на вероятността от случайно събитие. За да опишем тази връзка, нека се върнем към условията на § 50 относно статистическата обработка на информация. Да разгледаме поредица от n независими повторения на един и същ тест с два изхода - "успех" и "неуспех". Резултатите от тези тестове представляват поредица от данни, състояща се от някаква последователност от две опции: "успех" и "неуспех". Просто казано, има последователност с дължина n, съставена от две букви U („късмет“) и H („провал“). Например U, U, N, N, U, N, N, N, ..., U или N, U, U, N, U, U, N, N, U, ..., N и т.н. n. Нека изчислим множествеността и честотата на Y опциите, т.е., намерете частта k / n, където k е броят на „късметите“, срещани сред всички n повторения. Оказва се, че при неограничено увеличение на n, честотата k/n на поява на "успехи" ще бъде практически неразличима от вероятността p за "успех" в едно изпитание. Този доста сложен математически факт се извежда именно от теоремата на Бернули. 08.02.2014 г. Цибикова Тамара Раднажаповна, учител по математика 18
ТЕОРЕМА 4. При голям брой независими повторения ТЕОРЕМА 4. При голям брой независими повторения на един и същ тест честотата на поява на случайно събитие А с нарастваща точност е приблизително равна на вероятността на събитие А: k/n ≈ P(A). Например, когато n > 2000 с вероятност по-голяма от 99%, може да се твърди, че абсолютната грешка | k/n - P(A)| приблизителното равенство k/n≈ P(A) ще бъде по-малко от 0,03. Затова при социологически проучвания е достатъчно да се интервюират около 2000 произволно избрани лица (респонденти). Ако, да речем, 520 от тях са отговорили положително на зададен въпрос, тогава k/n=520/2000=0,26 и е почти сигурно, че за всеки Повече ▼респондентите тази честота ще бъде в диапазона от 0,23 до 0,29. Това явление се нарича феномен на статистическа стабилност. И така, теоремата на Бернули и нейните последствия ни позволяват (приблизително) да намерим вероятността за случайно събитие в случаите, когато изричното му изчисление е невъзможно. 08.02.2014 г. Цибикова Тамара Раднажаповна, учител по математика 19
За учителя 08.02.2014 г. Цибикова Тамара Раднажаповна, учител по математика 20
08.02.2014 г. Цибикова Тамара Раднажаповна, учител по математика 21
08.02.2014 г. Цибикова Тамара Раднажаповна, учител по математика 22
Извори Алгебра и началото на анализа, 10-11 клас, част 1. Учебник, 10 изд. (Основно ниво), A.G. Mordkovich, M., 2009 Алгебра и началото на анализа, 10-11 клас. (Основно ниво) Методическо ръководство за учители, А. Г. Мордкович, П. В. Семенов, М., 2010 г. Таблиците са съставени в MS Word и MS Excel. Интернет ресурси Цибикова Тамара Раднажаповна, учител по математика 08.02.2014 23
Преглед:
За да използвате визуализацията на презентации, създайте акаунт за себе си ( сметка) Google и влезте: https://accounts.google.com
Надписи на слайдове:
слайд 1
Глава 9. Елементи на математическата статистика, комбинаториката и теорията на вероятностите
§54. Случайни събития и техните вероятности 3. САМОСТОЯТЕЛНИ ПОВТОРЕНИЯ НА ТЕСТОВЕ. ТЕОРЕМА НА БЕРНУЛИ И СТАТИСТИЧЕСКА СТАБИЛНОСТ.
слайд 2
Съдържание
ПРИМЕР 5. Вероятност за попадение в цел с един изстрел ... Решение 5a); Решение 5b); Решение 5c); Решение 5d). Имайте предвид, че ... В цялата поредица от повторения е важно да знаете ... Джейкъб Бернули комбинира примери и въпроси ... ТЕОРЕМА 3 (теорема на Бернули).
ПРИМЕР 6. Във всеки от параграфи a) - d) определете стойностите на n, k, p, q и изпишете (без изчисления) израза за желаната вероятност Pn(k). Решение 6a); Решение 6b) ; Решение 6c); Решение 6d ). Теоремата на Бернули позволява ... ТЕОРЕМА 4. С голям брой независими повторения ... За учителя.Извори.
08.02.2014
Цибикова Тамара Раднажаповна, учител по математика
*
слайд 3
3. САМОСТОЯТЕЛНИ ПОВТОРЕНИЯ НА ТЕСТОВЕ. ТЕОРЕМА НА БЕРНУЛИ И СТАТИСТИЧЕСКА СТАБИЛНОСТ.
Част 3
08.02.2014
Цибикова Тамара Раднажаповна, учител по математика
*
слайд 4
ПРИМЕР 5. Вероятност за попадение в целта с един изстрел
Нека леко променим предишния пример: вместо двама различни стрелци, един и същ стрелец ще стреля по мишената Пример 5. Вероятността за попадение в мишената с един изстрел е 0,8. Произведени са 3 независими изстрела. Намерете вероятността целта: а) да бъде уцелена три пъти; б) да не бъде уцелена; в) да бъде уцелена поне веднъж; г) да бъде уцелена точно веднъж.
08.02.2014
Цибикова Тамара Раднажаповна, учител по математика
*
слайд 5
Решение на пример 5а)
Пример 5. Вероятността за попадение в целта с един изстрел е 0,8. Произведени са 3 независими изстрела. Намерете вероятността целта: а) да бъде ударена три пъти;
08.02.2014
Цибикова Тамара Раднажаповна, учител по математика
*
слайд 6
Решение на пример 5b)
Пример 5. Вероятността за попадение в целта с един изстрел е 0,8. Произведени са 3 независими изстрела. Намерете вероятността целта: b) да не бъде ударена; Решение:
08.02.2014
Цибикова Тамара Раднажаповна, учител по математика
*
Слайд 7
Решение на пример 5c)
Пример 5. Вероятността за попадение в целта с един изстрел е 0,8. Произведени са 3 независими изстрела. Намерете вероятността целта: c) да бъде ударена поне веднъж; Решение:
08.02.2014
Цибикова Тамара Раднажаповна, учител по математика
*
Слайд 8
Решение на пример 5d)
Пример 5. Вероятността за попадение в целта с един изстрел е 0,8. Произведени са 3 независими изстрела. Намерете вероятността целта: d) да бъде ударена точно веднъж. Решение:
08.02.2014
Цибикова Тамара Раднажаповна, учител по математика
*
Слайд 9
Забележка
Решението, дадено в точка d) на пример 5, в конкретен случай повтаря доказателството на известната теорема на Бернули, която се отнася до един от най-разпространените вероятностни модели: независими повторения на един и същ тест с два възможни изхода. Отличителна черта на много вероятностни проблеми е, че тестът, в резултат на който може да се случи събитието, което ни интересува, може да се повтори многократно.
08.02.2014
Цибикова Тамара Раднажаповна, учител по математика
*
Слайд 10
В цялата поредица от повторения е важно да се знае
Във всяко от тези повторения ние се интересуваме от въпроса дали това събитие ще се случи или няма да се случи. И в цялата поредица от повторения за нас е важно да знаем точно колко пъти това събитие може или не може да се случи. Например зарът се хвърля десет пъти подред. Каква е вероятността 4 да се появи точно 3 пъти? 10 изстрела; Каква е вероятността да има точно 8 попадения в целта? Или каква е вероятността при пет хвърляния на монета глави да излязат точно 4 пъти?
08.02.2014
Цибикова Тамара Раднажаповна, учител по математика
*
слайд 11
Якоб Бернули комбинира примери и въпроси
Швейцарският математик от началото на 18 век Якоб Бернули комбинира примери и въпроси от този тип в една вероятностна схема.Нека вероятността за случайно събитие А по време на някакъв тест е равна на P (A). Ще разглеждаме този тест като тест само с два възможни резултата: единият резултат е, че събитието A ще се случи, а другият резултат е, че събитието A няма да се случи, т.е. събитието Ᾱ ще се случи. За краткост нека наречем първия резултат (настъпването на събитието A) „успех“, а вторият резултат (настъпването на събитието Ᾱ) „провал“. Вероятността P(A) за "успех" ще бъде означена с p, а вероятността P(Ᾱ) за "провал" ще бъде означена с q. Така че q = P(Ᾱ) = 1 - P(A) = 1 - p.
08.02.2014
Цибикова Тамара Раднажаповна, учител по математика
*
слайд 12
ТЕОРЕМА 3 (теорема на Бернули)
Теорема 3 (теорема на Бернули). Нека Pn(k) е вероятността точно k "успеха" в n независими повторения на един и същ тест. Тогава Pn(k)= Сnk pk qn-k, където p е вероятността за "успех", а q=1-p е вероятността за "провал" в отделен тест.Тази теорема (даваме я без доказателство ) е от голямо значение както за теорията, така и за практиката.
08.02.2014
Цибикова Тамара Раднажаповна, учител по математика
*
слайд 13
ПРИМЕР 6.
Пример 6. Във всеки от параграфите a) - d) определете стойностите на n, k, p, q и изпишете (без изчисления) израза за желаната вероятност Pn (k). монети? b) Всеки от 20 души независимо назовават един от дните от седмицата. „Нещастни“ дни са понеделник и петък. Каква е вероятността "късмет" да е точно половината? Каква е вероятността точно 5 хвърляния от 25 да са "успешни"? d) Тестът се състои от хвърляне на три различни монети едновременно. „Провал“: повече „опашки“, отколкото „орли“. Каква е вероятността да има точно три "късмета" сред 7 хвърляния?
08.02.2014
Цибикова Тамара Раднажаповна, учител по математика
*
Слайд 14
Решение 6а)
Пример 6. Във всеки от параграфите a) - d) определете стойностите на n, k, p, q и изпишете (без изчисления) израза за желаната вероятност Pn (k). монети? Решение:
08.02.2014
Цибикова Тамара Раднажаповна, учител по математика
*
слайд 15
Решение 6b)
Пример 6. Във всеки от параграфите a) - d) определете стойностите на n, k, p, q и напишете (без изчисления) израз за желаната вероятност Pn (k). б) Всеки от 20 души независимо назовава един от дните от седмицата. „Нещастни“ дни са понеделник и петък. Каква е вероятността да има точно половината "късмет"? Решение:
08.02.2014
Цибикова Тамара Раднажаповна, учител по математика
*
слайд 16
Решение 6c)
Пример 6. Във всеки от параграфи a) - d) определете стойностите на n, k, p, q и изпишете (без изчисления) израза за желаната вероятност Pn(k). , Каква е вероятността точно 5 хвърляния от 25 да бъдат „щастливи“? Решение:
08.02.2014
Цибикова Тамара Раднажаповна, учител по математика
*
Слайд 17
Решение 6d)
Пример 6. Във всеки от параграфите a) - d) определете стойностите на n, k, p, q и изпишете (без изчисления) израза за желаната вероятност Pn(k). d) Тестът се състои в едновременно хвърляне на три различни монети. „Провал“: повече „опашки“, отколкото „орли“. Каква е вероятността сред 7 хвърляния да има точно три „късмета"? Решение: г) n = 7, k = 3. „Късметът" при едно хвърляне е, че има по-малко „опашки” от „орли”. Възможни са общо 8 резултата: PPP, PPO, POP, OPP, POO, ORO, OOP, OOO (P - „опашки“, O - „глави“). Точно половината от тях имат по-малко опашки, отколкото глави: POO, ORO, OOP, OOO. Така че p = q = 0,5; Р7(3) = С73 ∙ 0,53 ∙ 0,54 = С73 ∙ 0,57.
08.02.2014
Цибикова Тамара Раднажаповна, учител по математика
*
Слайд 18
Теоремата на Бернули позволява...
Теоремата на Бернули дава възможност да се установи връзка между статистическия подход към дефиницията на вероятността и класическата дефиниция на вероятността за случайно събитие. За да опишем тази връзка, нека се върнем към условията на § 50 относно статистическата обработка на информация. Да разгледаме поредица от n независими повторения на един и същ тест с два изхода - "успех" и "неуспех". Резултатите от тези тестове представляват поредица от данни, състояща се от някаква последователност от две опции: "успех" и "неуспех". Просто казано, има последователност с дължина n, съставена от две букви Y („късмет“) и H („провал“). Например U, U, N, N, U, N, N, N, ..., U или N, U, U, N, U, U, N, N, U, ..., N и т.н. , n. Нека изчислим множествеността и честотата на опциите Y, т.е. ще намерим частта k / n, където k е броят на „късметите“, срещани сред всички n повторения. Оказва се, че при неограничено увеличение на n, честотата k/n на поява на "успехи" ще бъде практически неразличима от вероятността p за "успех" в едно изпитание. Този доста сложен математически факт се извежда именно от теоремата на Бернули.
08.02.2014
Цибикова Тамара Раднажаповна, учител по математика
*
Слайд 19
ТЕОРЕМА 4. При голям брой независими повторения
ТЕОРЕМА 4. При голям брой независими повторения на един и същ тест честотата на възникване на случайно събитие А с нарастваща точност е приблизително равна на вероятността на събитие А: k / n ≈ P (A).Например, с n > 2000 с вероятност по-голяма от 99%, може да се твърди, че абсолютната грешка |k/n- Р(А)| приблизителното равенство k/n≈ P(A) ще бъде по-малко от 0,03. Затова при социологически проучвания е достатъчно да се интервюират около 2000 произволно избрани лица (респонденти). Ако, да речем, 520 от тях са дали положителен отговор на въпроса, тогава k / n = 520 / 2000 = 0,26 и практически е сигурно, че за всеки по-голям брой респонденти такава честота ще бъде в диапазона от 0,23 до 0,29. Това явление се нарича феномен на статистическа стабилност.По този начин теоремата на Бернули и нейните следствия позволяват (приблизително) да се намери вероятността за случайно събитие в случаите, когато изричното му изчисляване е невъзможно.
08.02.2014
Цибикова Тамара Раднажаповна, учител по математика
*
Слайд 20
За учителя
08.02.2014
Цибикова Тамара Раднажаповна, учител по математика
*
слайд 21
08.02.2014
Цибикова Тамара Раднажаповна, учител по математика
*
слайд 22
08.02.2014
Цибикова Тамара Раднажаповна, учител по математика
*
слайд 23
Източници
Алгебра и началото на анализа, 10-11 клас, част 1. Учебник, 10 изд. (Основно ниво), A.G. Mordkovich, M., 2009 Алгебра и началото на анализа, 10-11 клас. (Основно ниво) Методическо ръководство за учители, А. Г. Мордкович, П. В. Семенов, М., 2010 Таблиците са съставени в MS Word и MS Excel Интернет ресурси
Цибикова Тамара Раднажаповна, учител по математика
08.02.2014
*
слайд 1
Теорема на Бернули
17.03.2017
слайд 2
Извършва се поредица от n независими опита. Всеки тест има 2 изхода: А - "успех" и - "неуспех". Вероятността за "успех" във всеки тест е една и съща и е равна на P(A) = p Съответно, вероятността за "провал" също не се променя от опит на опит и е еднаква.
Схема на Бернули
Каква е вероятността серия от n опита да успее k пъти? Намерете Pn(k) .
слайд 3
Монетата се хвърля n пъти. Една карта се тегли от тестето n пъти и при всяко връщане на картата тестето се разбърква. Проверяваме n продукта от дадено производство, избрани на случаен принцип, за качество. Стрелецът стреля по мишената n пъти.
Примери
слайд 4
Обяснете защо следните въпроси се вписват в схемата на Бернули. Посочете в какво се състои "успехът" и какви са n и k. а) Каква е вероятността да получите 2 три пъти за десет хвърляния на зара? б) Каква е вероятността при 100 хвърляния на монета глави да се появят 73 пъти? в) Двойка зарове се хвърля двадесет пъти подред. Каква е вероятността сборът от точките никога да не е бил равен на десет? г) Бяха изтеглени три карти от тесте от 36 карти, резултатът беше записан и върнат в тестето, след което картите бяха разбъркани. Това се повтори 4 пъти. Каква е вероятността Пиковата дама да е сред изтеглените карти всеки път?
слайд 5
За броя на комбинациите от n до k формулата е валидна
Например:
слайд 6
Теорема на Бернули
Вероятността Pn(k) за точно k успеха при n независими повторения на един и същи тест се намира по формулата, където p е вероятността за „успех“, q = 1- p е вероятността за „неуспех“ в отделен експеримент .
Слайд 7
Монетата се хвърля 6 пъти. Каква е вероятността гербът да се появи 0, 1, ...6 пъти? Решение. Броят на експериментите n=6. Събитие А - "успех" - загубата на герба. Според формулата на Бернули търсената вероятност е
;
;
;
;
;
;
Слайд 8
Монетата се хвърля 6 пъти. Каква е вероятността гербът да се появи 0, 1, ...6 пъти? Решение. Броят на експериментите n=6. Събитие А - "успех" - загубата на герба.
;
;
;
;
;
;
Слайд 9
Монетата се хвърля 10 пъти. Каква е вероятността гербът да се появи два пъти? Решение. Броят на експериментите n=10, m=2. Събитие А - "успех" - загубата на герба. Според формулата на Бернули търсената вероятност е
;
;
;
;
;
;
Слайд 10
Една урна съдържа 20 бели и 10 черни топки. Изваждат се 4 топки и всяка извадена топка се връща в урната, преди да бъде изтеглена следващата и топките в урната да се смесят. Намерете вероятността 2 от 4-те изтеглени топки да са бели. Решение. Събитие А - получено бяла топка. Тогава вероятностите. Според формулата на Бернули търсената вероятност е
слайд 11
Определете вероятността в семейство с 5 деца да няма момичета. Предполага се, че вероятността да имате момче и момиче е еднаква. Решение. Вероятността за раждане на момиче, момче Според формулата на Бернули търсената вероятност е равна на
слайд 12
Намерете вероятността семейство с 5 деца да има едно момиче. Предполага се, че вероятността да имате момче и момиче е еднаква. Решение. Вероятността за раждане на момиче, момче Според формулата на Бернули търсената вероятност е равна на
слайд 13
Определете вероятността едно семейство с 5 деца да има две момичета. Решение. Вероятността за раждане на момиче, момче Според формулата на Бернули търсената вероятност е равна на
Слайд 14
Намерете вероятността семейство с 5 деца да има 3 момичета. Решение. Вероятността за раждане на момиче, момче Според формулата на Бернули търсената вероятност е равна на
слайд 15
Определете вероятността едно семейство с 5 деца да има не повече от 3 момичета. Предполага се, че вероятността да имате момче и момиче е еднаква. Решение. Вероятността да имате момиче, момче Търсената вероятност е равна на
.
слайд 16
Сред детайлите, обработвани от работника, има средно 4% нестандартни. Намерете вероятността две от 30-те части, взети за тестване, да бъдат нестандартни. Решение. Тук опитът се крие в проверката на качеството на всяка от 30-те части. Събитие А - "поява на нестандартна част",
„Елементи на математическата статистика” – Доверителен интервал. Науката. Класификация на хипотезите. Частите се изработват на различни машини. Правила за проверка. корелационна зависимост. Пристрастяване. Наборът от стойности на критериите. Намерете доверителния интервал. Изчисляване на доверителни интервали за неизвестна дисперсия. Нормална дистрибуция.
„Вероятностна и математическа статистика” – Точността на получените стойности. Код за сейфа. Описателна статистика. Ябълка. Да разгледаме събитията. правило за умножение. Двама стрелци. Сравнение учебни програми. Карамел. Примери за лентови диаграми. Оценки по математика. Правило за умножение за три. Бели и червени рози. 9 различни книги. Зимна ваканция.
"Основи на математическата статистика" - условна вероятност. Таблица със стандартизирани стойности. Свойства на разпределението на Стюдънт. Доверителен интервал на математическото очакване. Примерна средна стойност. Разпределение. Едно изпитание може да се разглежда като поредица от едно изпитание. Квантил - вляво трябва да бъде броят на стойностите, съответстващи на индекса на квантила.
"Теория на вероятностите и статистика" - Граници на интервала. Критични зони. Теорема за умножение на вероятностите. Разпределение на нормална случайна променлива. Извеждане на формулата на Бернули. Закони за разпределение на случайни величини. Формулировката на ZBC. Значение и формулировка на централната пределна теорема. Връзка на номиналните характеристики. Стохастична зависимост на две случайни величини.
„Статистически изследвания” – Уместност. Статистически характеристики и изследвания. Планирайте. Диапазонът е разликата между най-голямата и най-малката стойност на серия от данни. Видове статистическо наблюдение. Обичаш ли да учиш математика. Помислете за поредица от числа. Който ви помага да разберете трудна тема по математика. Имате ли нужда от математика в бъдещата си професия.
"Основни статистически характеристики" - Основни статистически характеристики. Намерете средното аритметично. ПЕТРОНИЙ. Плъзнете. Редова мода. Средно аритметично на поредица от числа. Обхват на реда. Медианата на серията. Статистика. Медиана. Ученически тетрадки.
Общо в темата има 17 презентации
ФЕДЕРАЛНА АГЕНЦИЯ ЗА ОБРАЗОВАНИЕ
Държавно учебно заведение
висше професионално образование
"МАТИ" - РУСКИ ДЪРЖАВЕН ТЕХНОЛОГИЧЕН УНИВЕРСИТЕТ ИМ. К.Е. ЦИОЛКОВСКИ
Катедра "Системно моделиране и информационни технологии".
Повторение на тестове. Схема на Бернули
Методически указания за практически упражнения
по дисциплина "Висша математика"
Съставител: Егорова Ю.Б.
Мамонов И.М.
Москва 2006 въведение
Указанията са предназначени за студенти от дневните и вечерните отделения на факултет № 14, специалности 150601, 160301, 230102. Указанията подчертават основните понятия на темата, определят последователността на изучаване на материала. Голям брой разгледани примери помагат за практическото развитие на темата. Насоките служат като методическа основа за практически упражнения и изпълнение на индивидуални задачи.
СХЕМА НА БЕРНУЛИ. ФОРМУЛА НА БЕРНУЛИ
Схема на Бернули- схема на повтарящи се независими тестове, в които някакво събитие НОможе да се повтори много пъти с постоянна вероятност Р (НО)= Р .
Примери за тестове, проведени по схемата на Бернули: многократно хвърляне на монета или зар, изработване на партида от части, стрелба по мишена и др.
Теорема.Ако вероятността за настъпване на събитие НОвъв всеки тест е постоянен и равен Р, тогава вероятността събитието НОще дойде мведнъж нтестове (без значение в каква последователност), може да се определи по формулата на Бернули:
където р = 1 – стр.
ПРИМЕР 1.Вероятността потреблението на електроенергия за един ден да не надвишава установената норма е равна на p= 0,75. Намерете вероятността през следващите 6 дни консумацията на електроенергия за 4 дни да не надвишава нормата.
РЕШЕНИЕ. Вероятността за нормална консумация на енергия през всеки от 6-те дни е постоянна и равна на Р= 0,75. Следователно вероятността от преразход на електроенергия всеки ден също е постоянна и равна на р = 1Р = 1 0,75 = 0,25.
Желаната вероятност според формулата на Бернули е равна на:
ПРИМЕР 2.Стрелецът стреля три пъти по целта. Вероятността за попадение в целта с всеки изстрел е p= 0,3. Намерете вероятността: а) да бъде улучена една цел; б) и трите цели; в) няма цели; г) поне една цел; д) по-малко от две цели.
РЕШЕНИЕ. Вероятността за попадение в целта с всеки изстрел е постоянна и равна на Р=0,75. Следователно вероятността за пропуск е р = 1 Р\u003d 1 - 0,3 \u003d 0,7. Общ брой експерименти н=3.
а) Вероятността за поразяване на една цел с три изстрела е равна на:
b) Вероятността за поразяване на трите цели с три изстрела е:
в) Вероятността от три пропуска с три изстрела е равна на:
г) Вероятността за поразяване на поне една цел с три изстрела е равна на:
д) Вероятност за поразяване на по-малко от две цели, т.е. или една цел, или нито една:
Локални и интегрални теореми на Моавр-Лаплас
Ако се направят голям брой тестове, тогава изчисляването на вероятностите с помощта на формулата на Бернули става технически трудно, тъй като формулата изисква операции с огромни числа. Следователно има по-прости приблизителни формули за изчисляване на вероятностите за големи н. Тези формули се наричат асимптотични и се определят от теоремата на Поасон, локалната и интегралната теореми на Лаплас.
Локална теорема на Моавър-Лаплас. НО НОслучи се мведнъж н н (н →∞ ), е приблизително равно на:
къде е функцията 
и аргументът 
Колкото повече н, толкова по-точно е изчисляването на вероятностите. Поради това е препоръчително да се прилага теоремата на Moivre-Laplace, когато npq 20.
f ( х ) бяха съставени специални таблици (виж Приложение 1). Когато използвате маса, имайте предвид функционални свойства f(x) :
функция f(x)е дори е( x)= f(x) .
При х ∞ функция f(x) 0. На практика можем да приемем, че вече при х>4 функция f(x) ≈0.
ПРИМЕР 3.Намерете вероятността събитието НОсе случва 80 пъти в 400 опита, ако вероятността за възникване на събитието е НОвъв всеки тест е p= 0,2.
РЕШЕНИЕ. По условие н=400, м=80, стр=0,2, р=0,8. Следователно:
Според таблицата определяме стойността на функцията f (0)=0,3989.
Интегрална теорема на Моавр-Лаплас.Ако вероятността за настъпване на събитие НОвъв всеки опит е постоянна и различна от 0 и 1, тогава вероятността събитието НОидвам от м 1 преди м 2 веднъж н тестове с достатъчно голям брой н (н →∞ ), е приблизително равно на:
където 
- интегрална или функция на Лаплас, 
За намиране на стойностите на функцията F( х ) са изготвени специални таблици (например, вижте Приложение 2). Когато използвате маса, имайте предвид свойства на функцията на Лаплас Ф(х) :
функция Ф(х)е странно F( x)= Ф(х) .
При х ∞ функция Ф(х) 0,5. На практика може да се счита, че х>5 функция Ф(х) ≈0,5.
Е (0)=0.
ПРИМЕР 4.Вероятността частта да не е преминала проверката на отдела за контрол на качеството е 0,2. Намерете вероятността от 70 до 100 елемента да не бъдат отметнати сред 400 елемента.
РЕШЕНИЕ. По условие н=400, м 1 =70, м 2 =100, стр=0,2, р=0,8. Следователно:
Според таблицата, в която са дадени стойностите на функцията на Лаплас, определяме:
Ф(х 1 ) = F( 1,25 )= F( 1,25 )= 0,3944; Ф(х 2 ) = F( 2,5 )= 0,4938.
В ход са серия от независими изпитания,всеки от които има 2 възможни резултата,
които условно ще наречем Успех и Провал.
Например един студент се явява на 4 изпита, на всеки
от които са възможни 2 резултата Успех: ученик
издържал изпита и неуспешно: неуспешно. Вероятността за успех във всеки опит е
стр. Вероятността за неуспех е q=1-p.
Изисква се да се намери вероятността, че в серията
от n изпитания успехът ще дойде m пъти
Pn(m) Bm Ó Ó ... Ó Í ... Í
Í Ó ... Ó Í ... Í ...
Í Í ... Í Ó ... Ó
Във всеки случай успехът се появява m пъти и
Неуспешни (n-m) пъти.
Номер
всичко
комбинации
се равнява
номер
начини от n опита да изберете тези m, в
което беше Успех, т.е. См
н Вероятността за всяка такава комбинация е
теорема
относно
умножение
вероятности
ще бъде Pmqn-m.
Тъй като тези комбинации са несъвместими, тогава
желаната вероятност за събитието Bm ще бъде
Pn (m) p q
м
nm
... p q
м
nm
общо C s закъснения û õ C p q
м
н
м
н
м
nm Pn (m) C p q
м
н
м
nm Известно е, че ако монета падне върху главите, ученик
отива на кино, ако монетата падне на опашка
студенти. Каква е вероятността, че
1) трима от тях ще бъдат на лекцията
2) на лекцията ще присъстват поне 3-ма студенти
2) поне един от студентите ще стигне ли до лекцията? 1) В този проблем серия от n=5
независими тестове. Нека го наречем Успех
отиване на лекция (падащи опашки) и
Провал - ходене на кино (изпадане от герба).
p=q=1/2.
Използвайки формулата на Бернули, намираме вероятността, че
Какво ще се случи 3 пъти след 5 хвърляния на монета?
успех:
3
2
1 1
P5(3)C
2 2
5! 1 1
1
10
0,3125
3!2! 8 4
32
3
5За да намерите вероятността след 5 хвърляния
поне веднъж монетата ще кацне на опашка,
нека да преминем към вероятността за обратното
събития - монетата ще изпадне всичките 5 пъти с герба:
P5 (0).
Тогава желаната вероятност ще бъде: P=1-P5(0).
Според формулата на Бернули:
0
5
1 1
P5(0)C
2 2
0
5
5
1
0,03125
2 Тогава вероятността за желаното събитие ще бъде
P1 0,03125 0,96875
Бернули
студент отива
в киното, ако монетата падне опашки - студентът отива в
лекция. Монетата беше хвърлена от 5 ученици. Какво е най
вероятен брой студенти, които ще отидат на лекцията?
Вероятност
печалбата за 1 билет е 0,2. Какво е най
вероятен брой печеливши билети? Най-вероятният брой успехи в схемата
Бернули
np q k np p Най-вероятният брой успехи в схемата
Бернули
Формула за най-вероятния брой успехи
np q k np p
Ако np-q е цяло число, тогава този интервал съдържа 2
цели числа. И двете са еднакво невероятни.
Ако np-q е нецяло число, тогава този интервал съдържа 1
цяло число Най-вероятният брой успехи в схемата
Бернули
Пример Известно е, че ако монета падне върху глави,
- Студентът отива на лекция. Хвърлена монета 5
студенти ще четат?
np q k np p
n 5
1
p q
2Най-вероятният брой успехи в схемата
Бернули
Пример Известно е, че ако монета падне върху глави,
ученик отива на кино, ако монетата падне на опашка
- Студентът отива на лекция. Хвърлена монета 5
студенти. Кое е най-вероятното число
студенти ще четат?
np q k np p
n 5
1
p q
2
1 1
np q 5 2
2 2
1 1
np p 5 3
2 2Най-вероятният брой успехи в схемата
Бернули
Пример Известно е, че ако монета падне върху глави,
ученик отива на кино, ако монетата падне на опашка
- Студентът отива на лекция. Хвърлена монета 5
студенти. Кое е най-вероятното число
студенти ще четат?
np q k np p
n 5
1
p q
2
1 1
np q 5 2
2 2
1 1
np p 5 3
2 2
2 k 3 k 2, k 3 Най-вероятният брой успехи в схемата
Бернули
Пример Известно е, че ако монета падне върху глави,
ученик отива на кино, ако монетата падне на опашка
- Студентът отива на лекция. Хвърлена монета 5
студенти. Кое е най-вероятното число
студенти ще четат?
2
3
3
2
5
1 1
1 10 5
P5 (2) C52 10
32 16
2 2
2
5
1 1
1 10 5
P5 (3) C53 10
32 16
2 2
2 Най-вероятният брой успехи в схемата
Бернули
Пример Известно е, че ако монета падне върху глави,
ученик отива на кино, ако монетата падне на опашка
- Студентът отива на лекция. Хвърлена монета 5
студенти. Кое е най-вероятното число
студенти ще четат?
вероятност, Pn(k)
Вероятности за броя на учениците, които са присъствали
лекция
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
брой ученици, к
4
5Най-вероятният брой успехи в схемата
Бернули
Пример Закупени са 10 лотарийни билета.
билети?
np q k np p
n 10
p 0,2 q 0,8 Най-вероятният брой успехи в схемата
Бернули
Пример Закупени са 10 лотарийни билета.
Вероятността за печалба от 1 билет е 0,2.
Какъв е най-вероятният брой победители
билети?
np q k np p
n 10
p 0,2 q 0,8
np q 10 0,2 0,8 1,2
np p 10 0,2 0,2 2.2 Най-вероятният брой успехи в схемата
Бернули
Пример Закупени са 10 лотарийни билета.
Вероятността за печалба от 1 билет е 0,2.
Какъв е най-вероятният брой победители
билети?
np q k np p
n 10
p 0,2 q 0,8
np q 10 0,2 0,8 1,2
1, 2 до 2, 2
np p 10 0,2 0,2 2.2
k2 Най-вероятният брой успехи в схемата
Бернули
Пример Закупени са 10 лотарийни билета.
Вероятността за печалба от 1 билет е 0,2.
Какъв е най-вероятният брой победители
билети?
P10 (2) C 0,2 0,8
2
10
2
8
45 0, 04 0,16777216=
=0,301989888Най-вероятният брой успехи в схемата
Бернули
Пример Закупени са 10 лотарийни билета.
Вероятността за печалба от 1 билет е 0,2.
Какъв е най-вероятният брой победители
билети?
Вероятности за броя на печелившите билети
вероятност, Pn(k)
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
4
5
6
брой билети, к
7
8
9
10Най-вероятният брой успехи в схемата
Бернули
Сключени са 10 договора
заплати застрахователната сума
един от договорите
повече от три договора
г) намерете най-вероятния брой договори, според
които ще трябва да платят застрахователната сума Най-вероятният брой успехи в схемата
Бернули
Пример Средно за 20% от застрахователните договори
дружеството изплаща застрахователната сума.
Сключени са 10 договора
а) Намерете вероятността три
заплати застрахователната сума
0,201327Най-вероятният брой успехи в схемата
Бернули
Пример Средно за 20% от застрахователните договори
дружеството изплаща застрахователната сума.
Сключени са 10 договора
б) Застрахователната сума не трябва да бъде изплащана по никакъв начин
един от договорите
0,107374Най-вероятният брой успехи в схемата
Бернули
Пример Средно за 20% от застрахователните договори
дружеството изплаща застрахователната сума.
Сключени са 10 договора
в) застрахователната сума ще трябва да бъде платена не повече от,
повече от три договора
0,753297Ако n е голямо, тогава използвайте формулата
Pn (m) C p q
м
н
м
nm
труден
Затова се използват приблизителни формули Теорема: Ако вероятността p за настъпване на събитието A
във всеки тест е близо до нула,
и броят на независимите опити n е достатъчно голям,
тогава вероятността Pn(m), че в n независими опита
събитие А ще се случи m пъти, приблизително равно на:
Pn(m)
м
м!
д
където λ=np
Тази формула се нарича формула на Поасон (закон за редките събития) Pn(m)
м
м!
e, np
Обикновено се използва приблизителната формула на Поасон,
когато p<0,1, а npq<10.
Пример Нека да се знае, че при производството на определено лекарство
брак (броят пакети, които не отговарят на стандарта)
е 0,2%. Оценете вероятността, че
след 1000 произволно избрани пакета ще има три пакета,
не отговаря на стандарта.
Pn(k)
к
к!
P1000(3) ?
д,
np Пример Нека да се знае, че при производството на определено лекарство
брак (броят пакети, които не отговарят на стандарта)
е 0,2%. Оценете вероятността, че
след 1000 произволно избрани пакета ще има три пакета,
не отговаря на стандарта.
Pn(k)
к
к!
P1000(3) ?
e, np
np 1000 0,002 2
3
2 2 8
P1000 (3) e 0,135=0,18
3!
6
не са свързани повече от 5 договора. Пример Средно за 1% от договорите застрахователната компания
изплаща застрахователната сума. Намерете вероятността, че от
100 договора с настъпване на застрахователно събитие ще бъдат
не са свързани повече от 5 договора.
