≡×เมนู

• โผล่
• Windows
• แอนติไวรัส
• แอนติไวรัส
• กราฟฟิคอาร์ต

รายวิชา: การทดสอบซ้ำและอิสระ ทฤษฎีบทของเบอร์นูลลีเกี่ยวกับความถี่ของความน่าจะเป็น การนำเสนอเกี่ยวกับสูตร Bernoulli การนำเสนอเกี่ยวกับโครงการทดสอบ Bernoulli ซ้ำ

https://accounts.google.com

คำบรรยายสไลด์:

บทที่ 9 องค์ประกอบของสถิติทางคณิตศาสตร์ วิทยาการเชิงผสม และทฤษฎีความน่าจะเป็น §54 เหตุการณ์สุ่มและความน่าจะเป็น 3. การทดสอบซ้ำโดยอิสระ ทฤษฎีบทของเบอร์นูลลีและความเสถียรทางสถิติ

ตัวอย่างเนื้อหา 5. ความน่าจะเป็นที่จะตีเป้าหมายด้วยการยิงครั้งเดียว ... โซลูชัน 5a); โซลูชัน 5b); โซลูชัน 5c); โซลูชัน 5d) โปรดทราบว่า... ในการทำซ้ำทั้งหมดเป็นสิ่งสำคัญที่ต้องรู้... เจคอบ เบอร์นูลลีรวมตัวอย่างและคำถาม... THEOREM 3 (ทฤษฎีบทของเบอร์นูลลี) ตัวอย่าง 6. ในแต่ละย่อหน้า a) - d) กำหนดค่า n, k, p, q และเขียน (โดยไม่ต้องคำนวณ) นิพจน์สำหรับความน่าจะเป็นที่ต้องการ Pn (k) การตัดสินใจ 6 ก); โซลูชัน 6 b); โซลูชัน 6 ค); แนวทางที่ 6 ง) ทฤษฎีบทของเบอร์นูลลีอนุญาตให้ ... THEOREM 4. มีการทำซ้ำอิสระจำนวนมาก ... สำหรับอาจารย์ แหล่งที่มา 02/08/2014 2

3. การทดสอบซ้ำโดยอิสระ ทฤษฎีบทของเบอร์นูลลีและความเสถียรทางสถิติ ตอนที่ 3 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna ครูคณิตศาสตร์ 3

ตัวอย่าง 5. ความน่าจะเป็นที่จะยิงโดนเป้าหมายด้วยการยิงครั้งเดียว ลองเปลี่ยนตัวอย่างก่อนหน้านี้เล็กน้อย: แทนที่จะใช้มือปืนต่างกันสองคน มือปืนคนเดียวกันจะยิงไปที่เป้าหมาย ตัวอย่างที่ 5 ความน่าจะเป็นที่จะตีเป้าหมายด้วยการยิงครั้งเดียวคือ 0.8 3 นัดอิสระถูกไล่ออก ค้นหาความน่าจะเป็นที่เป้าหมาย: a) จะถูกโจมตีสามครั้ง; b) จะไม่ได้รับผลกระทบ c) จะถูกโจมตีอย่างน้อยหนึ่งครั้ง d) จะถูกตีเพียงครั้งเดียว 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna ครูสอนคณิตศาสตร์ 4

คำตอบของตัวอย่างที่ 5a) ตัวอย่างที่ 5 ความน่าจะเป็นที่จะตีเป้าหมายด้วยการยิงครั้งเดียวคือ 0.8 3 นัดอิสระถูกไล่ออก ค้นหาความน่าจะเป็นที่เป้าหมาย: a) จะถูกโจมตีสามครั้ง; 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna ครูสอนคณิตศาสตร์ 5

คำตอบของตัวอย่างที่ 5b) ตัวอย่างที่ 5 ความน่าจะเป็นที่จะโดนเป้าหมายด้วยการยิงครั้งเดียวคือ 0.8 3 นัดอิสระถูกไล่ออก ค้นหาความน่าจะเป็นที่เป้าหมาย: b) จะไม่ถูกโจมตี; คำตัดสิน: 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna ครูสอนคณิตศาสตร์ 6

คำตอบของตัวอย่างที่ 5c) ตัวอย่างที่ 5 ความน่าจะเป็นที่จะโดนเป้าหมายด้วยการยิงครั้งเดียวคือ 0.8 3 นัดอิสระถูกไล่ออก ค้นหาความน่าจะเป็นที่เป้าหมาย: c) จะถูกโจมตีอย่างน้อยหนึ่งครั้ง คำตัดสิน: 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna ครูสอนคณิตศาสตร์ 7

คำตอบของตัวอย่างที่ 5d) ตัวอย่างที่ 5 ความน่าจะเป็นที่จะโดนเป้าหมายด้วยการยิงครั้งเดียวคือ 0.8 3 นัดอิสระถูกไล่ออก ค้นหาความน่าจะเป็นที่เป้าหมาย: d) จะถูกโจมตีเพียงครั้งเดียว คำตัดสิน: 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna ครูสอนคณิตศาสตร์ 8

หมายเหตุ วิธีแก้ปัญหาที่ให้ไว้ในจุด d) ของตัวอย่างที่ 5 ในบางกรณี เป็นการทำซ้ำการพิสูจน์ทฤษฎีบทเบอร์นูลลีที่มีชื่อเสียง ซึ่งอ้างถึงหนึ่งในแบบจำลองความน่าจะเป็นที่พบบ่อยที่สุด: การทำซ้ำแบบอิสระของการทดสอบเดียวกันโดยมีสองผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ คุณสมบัติที่โดดเด่นปัญหาความน่าจะเป็นหลายอย่างประกอบด้วยความจริงที่ว่าการทดสอบอันเป็นผลมาจากเหตุการณ์ที่เราสนใจอาจเกิดขึ้นสามารถทำซ้ำได้หลายครั้ง 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna ครูสอนคณิตศาสตร์ 9

ในการทำซ้ำทั้งหมดเป็นสิ่งสำคัญที่ต้องรู้ ในการทำซ้ำแต่ละครั้งเราสนใจคำถามที่ว่าเหตุการณ์นี้จะเกิดขึ้นหรือไม่ และในการทำซ้ำทั้งหมด เป็นสิ่งสำคัญสำหรับเราที่จะรู้ว่าเหตุการณ์นี้อาจเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นกี่ครั้ง ตัวอย่างเช่น ลูกเต๋าถูกโยนสิบครั้งติดต่อกัน ความน่าจะเป็นที่ 4 จะเกิดขึ้น 3 เท่าพอดีเป็นเท่าไหร่? ยิง 10 นัด; ความน่าจะเป็นที่จะโจมตีเป้าหมายได้ 8 ครั้งเป็นเท่าไหร่? หรือความน่าจะเป็นที่ในการโยนเหรียญ 5 ครั้ง หัวจะขึ้น 4 ครั้งเป็นเท่าไหร่? 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna ครูสอนคณิตศาสตร์ 10

Jacob Bernoulli รวมตัวอย่างและคำถาม Jacob Bernoulli นักคณิตศาสตร์ชาวสวิสในช่วงต้นศตวรรษที่ 18 ได้รวมตัวอย่างและคำถามประเภทนี้ไว้ในรูปแบบความน่าจะเป็นเดียว ให้ความน่าจะเป็น เหตุการณ์สุ่มและเมื่อทำการทดสอบบางอย่างก็เท่ากับ P (A) เราจะพิจารณาการทดสอบนี้เป็นการทดสอบโดยมีเพียงสองผลลัพธ์ที่เป็นไปได้: ผลลัพธ์หนึ่งคือเหตุการณ์ A จะเกิดขึ้น และผลลัพธ์อื่น ๆ คือเหตุการณ์ A จะไม่เกิดขึ้น นั่นคือ เหตุการณ์ Ᾱ จะเกิดขึ้น เพื่อความกระชับ ให้เรียกผลลัพธ์แรก (การเกิดขึ้นของเหตุการณ์ A) ว่า "ความสำเร็จ" และผลลัพธ์ที่สอง (การเกิดขึ้นของเหตุการณ์ Ᾱ) "ความล้มเหลว" ความน่าจะเป็น P(A) ของ "ความสำเร็จ" จะแสดงด้วย p และความน่าจะเป็น P(Ᾱ) ของ "ความล้มเหลว" จะแสดงด้วย q ดังนั้น q = P(Ᾱ) = 1 - P(A) = 1 - p 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna ครูคณิตศาสตร์ 11

THEOREM 3 (ทฤษฎีบทของ Bernoulli) ทฤษฎีบท 3 (ทฤษฎีบทของ Bernoulli) ให้ P n (k) เป็นความน่าจะเป็นของ k "สำเร็จ" อย่างแน่นอน ในการทำซ้ำ n ครั้งอิสระของการทดสอบเดียวกัน จากนั้น P n (k)= С n k  p k  q n- k โดยที่ p คือความน่าจะเป็นของ "ความสำเร็จ" และ q=1 - p คือความน่าจะเป็นของ "ความล้มเหลว" ในการทดลองแยกต่างหาก ทฤษฎีบทนี้ (เรานำเสนอโดยไม่มีการพิสูจน์) มีความสำคัญอย่างยิ่งต่อทั้งทฤษฎีและการปฏิบัติ 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna ครูสอนคณิตศาสตร์ 12

ตัวอย่างที่ 6 ตัวอย่างที่ 6 ในแต่ละย่อหน้า a) - d) กำหนดค่าของ n, k, p, q และเขียน (ไม่มีการคำนวณ) นิพจน์สำหรับความน่าจะเป็นที่ต้องการ P n (k) ก) ความน่าจะเป็นที่จะได้หัว 7 ครั้งใน 10 ครั้งของเหรียญเป็นเท่าใด b) แต่ละคนจาก 20 คนตั้งชื่อวันใดวันหนึ่งในสัปดาห์แยกกัน วันที่ "โชคร้าย" คือวันจันทร์และวันศุกร์ ความน่าจะเป็นที่ "โชคดี" จะมีเพียงครึ่งเดียวเท่านั้น? c) การกลิ้งลูกเต๋าจะ "สำเร็จ" ถ้ามันหมุน 5 หรือ 6 ความน่าจะเป็นที่ 5 จาก 25 จะ "โชคดี" คืออะไร? d) การทดสอบประกอบด้วยการโยนเหรียญที่แตกต่างกันสามเหรียญในเวลาเดียวกัน "ความล้มเหลว": "หาง" มากกว่า "อินทรี" ความน่าจะเป็นที่จะมี "โชค" สามตัวใน 7 ม้วนเป็นเท่าใด 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna ครูสอนคณิตศาสตร์ 13

แนวทางที่ 6a) ตัวอย่างที่ 6 ในแต่ละย่อหน้า a) - d) กำหนดค่าของ n, k, p, q และเขียน (ไม่มีการคำนวณ) นิพจน์สำหรับความน่าจะเป็นที่ต้องการ P n (k) ก) ความน่าจะเป็นที่จะได้หัว 7 ครั้งใน 10 ครั้งของเหรียญเป็นเท่าใด คำตัดสิน: 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna ครูสอนคณิตศาสตร์ 14

แนวทางที่ 6b) ตัวอย่างที่ 6 ในแต่ละย่อหน้า a) - d) กำหนดค่าของ n, k, p, q และเขียน (ไม่มีการคำนวณ) นิพจน์สำหรับความน่าจะเป็นที่ต้องการ P n (k) b) แต่ละคนจาก 20 คนตั้งชื่อวันใดวันหนึ่งในสัปดาห์แยกกัน วันที่ "โชคร้าย" คือวันจันทร์และวันศุกร์ ความน่าจะเป็นที่ "โชคดี" จะมีเพียงครึ่งเดียวเท่านั้น? คำตัดสิน: 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna ครูสอนคณิตศาสตร์ 15

แนวทางที่ 6c) ตัวอย่างที่ 6 ในแต่ละย่อหน้า a) - d) กำหนดค่าของ n, k, p, q และเขียน (ไม่มีการคำนวณ) นิพจน์สำหรับความน่าจะเป็นที่ต้องการ P n (k) c) การกลิ้งลูกเต๋าจะ "สำเร็จ" ถ้ามันหมุน 5 หรือ 6 ความน่าจะเป็นที่ 5 จาก 25 จะ "โชคดี" คืออะไร? คำตัดสิน: 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna ครูสอนคณิตศาสตร์ 16

แนวทางที่ 6d) ตัวอย่างที่ 6 ในแต่ละย่อหน้า a) - d) กำหนดค่าของ n, k, p, q และเขียน (ไม่มีการคำนวณ) นิพจน์สำหรับความน่าจะเป็นที่ต้องการ P n (k) d) การทดสอบประกอบด้วยการโยนเหรียญที่แตกต่างกันสามเหรียญในเวลาเดียวกัน "ความล้มเหลว": "หาง" มากกว่า "อินทรี" ความน่าจะเป็นที่จะมี "โชค" สามตัวใน 7 ม้วนเป็นเท่าใด วิธีแก้ปัญหา: d) n = 7, k = 3 "โชค" ในการโยนครั้งเดียวคือมี "ก้อย" น้อยกว่า "อินทรี" เป็นไปได้ทั้งหมด 8 ผลลัพธ์: PPP, PPO, POP, OPP, POO, ORO, OOP, OOO (P - "ก้อย", O - "หัว") ครึ่งหนึ่งมีหางน้อยกว่าหัว: POO, ORO, OOP, OOO ดังนั้น p = q = 0.5; P 7 (3) \u003d C 7 3 ∙ 0.5 3 ∙ 0.5 4 \u003d C 7 3 ∙ 0.5 7 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna ครูสอนคณิตศาสตร์ 17

ทฤษฎีบทของ Bernoulli ช่วยให้ ... ทฤษฎีบทของ Bernoulli ช่วยให้คุณสร้างความสัมพันธ์ระหว่างวิธีการทางสถิติกับคำจำกัดความของความน่าจะเป็นและคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่ม เพื่ออธิบายการเชื่อมต่อนี้ ให้เรากลับไปที่เงื่อนไขของ § 50 เกี่ยวกับการประมวลผลข้อมูลทางสถิติ พิจารณาลำดับของการทำซ้ำแบบอิสระ n ครั้งของการทดสอบเดียวกันโดยมีสองผลลัพธ์ - "สำเร็จ" และ "ล้มเหลว" ผลลัพธ์ของการทดสอบเหล่านี้ประกอบขึ้นเป็นชุดข้อมูล ซึ่งประกอบด้วยลำดับของสองตัวเลือก ได้แก่ "ความสำเร็จ" และ "ความล้มเหลว" พูดง่ายๆ คือ มีลำดับความยาว n ซึ่งประกอบด้วยตัวอักษร U ("โชคดี") และ H ("ล้มเหลว") สองตัว ตัวอย่างเช่น U, U, N, N, U, N, N, N, ..., U หรือ N, U, U, N, U, U, N, N, U, ..., N, ฯลฯ . n. ลองคำนวณความหลายหลากและความถี่ของตัวเลือก Y นั่นคือ หาเศษส่วน k / n โดยที่ k คือจำนวน "โชค" ที่พบในการทำซ้ำ n ทั้งหมด ปรากฎว่าด้วยการเพิ่มขึ้นอย่างไม่จำกัดใน n ความถี่ k/n ของการเกิด "ความสำเร็จ" แทบจะแยกไม่ออกจากความน่าจะเป็น p ของ "ความสำเร็จ" ในการทดลองหนึ่งครั้ง ข้อเท็จจริงทางคณิตศาสตร์ที่ค่อนข้างซับซ้อนนี้ได้มาจากทฤษฎีบทของเบอร์นูลลีอย่างแม่นยำ 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna ครูคณิตศาสตร์ 18

ทฤษฎีบท 4 ด้วยการทำซ้ำอิสระจำนวนมาก THEOREM 4 ด้วยการทดสอบเดียวกันซ้ำๆ กันจำนวนมาก ความถี่ของการเกิดเหตุการณ์สุ่ม A ที่มีความแม่นยำเพิ่มขึ้นจะเท่ากับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A โดยประมาณ: k/n ≈ พี(เอ). ตัวอย่างเช่น เมื่อ n > 2000 ที่มีความน่าจะเป็นมากกว่า 99% สามารถโต้แย้งได้ว่าข้อผิดพลาดแบบสัมบูรณ์ | k/n - P(A)| ความเท่าเทียมกันโดยประมาณ k/n≈ P(A) จะน้อยกว่า 0.03 ดังนั้นในการสำรวจทางสังคมวิทยา การสัมภาษณ์ประมาณ 2,000 คน (ผู้ตอบแบบสอบถาม) ก็เพียงพอแล้ว ถ้าบอกว่า 520 คนตอบรับเชิงบวกต่อ คำถามที่ถาม, จากนั้น k/n=520/2000=0.26 และเกือบจะแน่ใจว่าสำหรับ any มากกว่าผู้ตอบแบบสอบถาม ความถี่นี้จะอยู่ในช่วงตั้งแต่ 0.23 ถึง 0.29 ปรากฏการณ์นี้เรียกว่า ปรากฏการณ์เสถียรภาพทางสถิติ ดังนั้น ทฤษฎีบทของเบอร์นูลลีและผลที่ตามมาทำให้เราสามารถ (โดยประมาณ) หาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่มในกรณีที่การคำนวณอย่างชัดเจนเป็นไปไม่ได้ 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna ครูคณิตศาสตร์ 19

สำหรับอาจารย์ 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna ครูคณิตศาสตร์ 20

02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna ครูคณิตศาสตร์ 21

02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna ครูสอนคณิตศาสตร์ 22

Sources Algebra and the beginnings of Analysis เกรด 10-11 ตอนที่ 1 หนังสือเรียน ฉบับที่ 10 (ระดับพื้นฐาน), A.G. Mordkovich, M., 2009 พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ เกรด 10-11 (ระดับพื้นฐาน) คู่มือระเบียบวิธีสำหรับครู A.G. Mordkovich, P.V. Semenov, M. , 2010 ตารางถูกรวบรวมใน MS Word และ MS Excel แหล่งข้อมูลทางอินเทอร์เน็ต Tsybikova Tamara Radnazhapovna ครูสอนคณิตศาสตร์ 08.02.2014 23

ดูตัวอย่าง:

หากต้องการใช้ตัวอย่างการนำเสนอ ให้สร้างบัญชีสำหรับตัวคุณเอง ( บัญชีผู้ใช้) Google และลงชื่อเข้าใช้: https://accounts.google.com

คำบรรยายสไลด์:

สไลด์ 1
บทที่ 9 องค์ประกอบของสถิติทางคณิตศาสตร์ เชิงผสม และทฤษฎีความน่าจะเป็น
§54. เหตุการณ์สุ่มและความน่าจะเป็น 3. การทดสอบซ้ำโดยอิสระ ทฤษฎีบทของเบอร์นูลลีและความเสถียรทางสถิติ

สไลด์2
เนื้อหา
ตัวอย่าง 5. ความน่าจะเป็นที่จะชนเป้าหมายด้วยการยิงครั้งเดียว ... โซลูชัน 5a); โซลูชัน 5b); โซลูชัน 5c); โซลูชัน 5d) โปรดทราบว่า ... ในการทำซ้ำทั้งหมดเป็นสิ่งสำคัญที่ต้องรู้ ... Jacob Bernoulli รวมตัวอย่างและคำถาม ... THEOREM 3 (ทฤษฎีบทของ Bernoulli ).
ตัวอย่างที่ 6 ในแต่ละย่อหน้า a) - d) กำหนดค่าของ n, k, p, q และเขียน (ไม่มีการคำนวณ) นิพจน์สำหรับความน่าจะเป็นที่ต้องการ Pn(k) โซลูชัน 6a); โซลูชัน 6b) ; โซลูชัน 6c); โซลูชัน 6d ) ทฤษฎีบทของ Bernoulli ช่วยให้ ... THEOREM 4. มีการทำซ้ำอิสระจำนวนมาก ... สำหรับครู แหล่งที่มา
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna ครูสอนคณิตศาสตร์
*

สไลด์ 3
3. การทดสอบซ้ำโดยอิสระ ทฤษฎีบทของเบอร์นูลลีและความเสถียรทางสถิติ
ตอนที่ 3
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna ครูสอนคณิตศาสตร์
*

สไลด์ 4
ตัวอย่าง 5. ความน่าจะเป็นที่จะยิงโดนเป้าหมายด้วยนัดเดียว
ลองเปลี่ยนตัวอย่างก่อนหน้านี้เล็กน้อย: แทนที่จะใช้มือปืนต่างกันสองคน คนยิงคนเดียวกันจะยิงไปที่เป้าหมาย ตัวอย่างที่ 5 ความน่าจะเป็นที่จะยิงโดนเป้าหมายด้วยการยิงครั้งเดียวคือ 0.8 3 นัดอิสระถูกไล่ออก ค้นหาความน่าจะเป็นที่เป้าหมาย: a) จะถูกโจมตีสามครั้ง b) จะไม่ถูกโจมตี c) จะถูกโจมตีอย่างน้อยหนึ่งครั้ง d) จะถูกโจมตีเพียงครั้งเดียว
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna ครูสอนคณิตศาสตร์
*

สไลด์ 5
คำตอบของตัวอย่างที่ 5a)
ตัวอย่างที่ 5 ความน่าจะเป็นที่จะตีเป้าหมายด้วยการยิงครั้งเดียวคือ 0.8 3 นัดอิสระถูกไล่ออก ค้นหาความน่าจะเป็นที่เป้าหมาย: a) จะถูกโจมตีสามครั้ง;
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna ครูสอนคณิตศาสตร์
*

สไลด์ 6
วิธีแก้ปัญหาของตัวอย่าง 5b)
ตัวอย่างที่ 5 ความน่าจะเป็นที่จะตีเป้าหมายด้วยการยิงครั้งเดียวคือ 0.8 3 นัดอิสระถูกไล่ออก ค้นหาความน่าจะเป็นที่เป้าหมาย: b) จะไม่ถูกโจมตี วิธีแก้ไข:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna ครูสอนคณิตศาสตร์
*

สไลด์ 7
วิธีแก้ปัญหาของตัวอย่าง 5c)
ตัวอย่างที่ 5 ความน่าจะเป็นที่จะตีเป้าหมายด้วยการยิงครั้งเดียวคือ 0.8 3 นัดอิสระถูกไล่ออก หาความน่าจะเป็นที่เป้าหมาย: c) จะถูกโจมตีอย่างน้อยหนึ่งครั้ง วิธีแก้ไข:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna ครูสอนคณิตศาสตร์
*

สไลด์ 8
วิธีแก้ปัญหาของตัวอย่าง 5d)
ตัวอย่างที่ 5 ความน่าจะเป็นที่จะตีเป้าหมายด้วยการยิงครั้งเดียวคือ 0.8 3 นัดอิสระถูกไล่ออก ค้นหาความน่าจะเป็นที่เป้าหมาย: d) จะถูกโจมตีเพียงครั้งเดียว วิธีแก้ไข:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna ครูสอนคณิตศาสตร์
*

สไลด์ 9
บันทึก
วิธีแก้ปัญหาที่ให้ไว้ในจุด d) ของตัวอย่างที่ 5 ในบางกรณี เป็นการทำซ้ำการพิสูจน์ทฤษฎีบท Bernoulli ที่มีชื่อเสียง ซึ่งอ้างถึงหนึ่งในแบบจำลองความน่าจะเป็นที่พบบ่อยที่สุด: การทำซ้ำแบบอิสระของการทดสอบเดียวกันโดยมีสองผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ ลักษณะเด่นของปัญหาความน่าจะเป็นหลายประการคือ การทดสอบซึ่งอาจเป็นผลจากเหตุการณ์ที่เราสนใจ อาจเกิดขึ้นซ้ำได้หลายครั้ง
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna ครูสอนคณิตศาสตร์
*

สไลด์ 10
ในการทำซ้ำทั้งหมดเป็นสิ่งสำคัญที่ต้องรู้
ในการทำซ้ำแต่ละครั้ง เราสนใจคำถามที่ว่าเหตุการณ์นี้จะเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้น และในการทำซ้ำทั้งหมด เป็นสิ่งสำคัญสำหรับเราที่จะรู้ว่าเหตุการณ์นี้อาจเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นกี่ครั้ง ตัวอย่างเช่น ลูกเต๋าถูกโยนสิบครั้งติดต่อกัน ความน่าจะเป็นที่ 4 จะเกิดขึ้น 3 เท่าพอดีเป็นเท่าไหร่? ยิง 10 นัด; ความน่าจะเป็นที่จะโจมตีเป้าหมายได้ 8 ครั้งเป็นเท่าไหร่? หรือความน่าจะเป็นที่ในการโยนเหรียญ 5 ครั้ง หัวจะขึ้น 4 ครั้งเป็นเท่าไหร่?
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna ครูสอนคณิตศาสตร์
*

สไลด์ 11
Jacob Bernoulli รวมตัวอย่างและคำถาม
Jacob Bernoulli นักคณิตศาสตร์ชาวสวิสในช่วงต้นศตวรรษที่ 18 ได้รวมตัวอย่างและคำถามประเภทนี้ไว้ในแผนภาพความน่าจะเป็นเดียว ให้ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่ม A ระหว่างการทดสอบบางรายการมีค่าเท่ากับ P (A) เราจะพิจารณาการทดสอบนี้เป็นการทดสอบโดยมีเพียงสองผลลัพธ์ที่เป็นไปได้: ผลลัพธ์หนึ่งคือเหตุการณ์ A จะเกิดขึ้น และผลลัพธ์อื่น ๆ คือเหตุการณ์ A จะไม่เกิดขึ้น นั่นคือ เหตุการณ์ Ᾱ จะเกิดขึ้น เพื่อความกระชับ ให้เรียกผลลัพธ์แรก (การเกิดขึ้นของเหตุการณ์ A) ว่า "ความสำเร็จ" และผลลัพธ์ที่สอง (การเกิดขึ้นของเหตุการณ์ Ᾱ) "ความล้มเหลว" ความน่าจะเป็น P(A) ของ "ความสำเร็จ" จะแสดงด้วย p และความน่าจะเป็น P(Ᾱ) ของ "ความล้มเหลว" จะแสดงด้วย q ดังนั้น q = P(Ᾱ) = 1 - P(A) = 1 - p
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna ครูสอนคณิตศาสตร์
*

สไลด์ 12
THEOREM 3 (ทฤษฎีบทของ Bernoulli)
ทฤษฎีบทที่ 3 (ทฤษฎีบทของเบอร์นูลลี) ให้ Pn(k) เป็นความน่าจะเป็นของ k "สำเร็จ" อย่างแน่นอน ในการทำซ้ำ n ครั้งอิสระของการทดสอบเดียวกัน จากนั้น Pn(k)= Сnk pk qn-k โดยที่ p คือความน่าจะเป็นของ "ความสำเร็จ" และ q=1-p คือความน่าจะเป็นของ "ความล้มเหลว" ในการทดสอบแยกต่างหาก ทฤษฎีบทนี้ (เราให้โดยไม่มีการพิสูจน์ ) มีความสำคัญอย่างยิ่งต่อทฤษฎีและการปฏิบัติ
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna ครูสอนคณิตศาสตร์
*

สไลด์ 13
ตัวอย่างที่ 6
ตัวอย่างที่ 6 ในแต่ละย่อหน้า a) - d) กำหนดค่าของ n, k, p, q และเขียน (โดยไม่ต้องคำนวณ) นิพจน์สำหรับความน่าจะเป็นที่ต้องการ Pn(k) เหรียญ b) แต่ละรายการ 20 คนแยกชื่อวันใดวันหนึ่งในสัปดาห์ วันที่ "โชคร้าย" คือวันจันทร์และวันศุกร์ ความน่าจะเป็นที่ "โชคดี" จะมีเพียงครึ่งเดียวเท่านั้น? ความน่าจะเป็นที่การโยน 5 ครั้งจากทั้งหมด 25 ครั้งจะ "สำเร็จ" เป็นเท่าใด d) การทดสอบประกอบด้วยการโยนเหรียญที่แตกต่างกันสามเหรียญพร้อมกัน "ความล้มเหลว": "หาง" มากกว่า "อินทรี" ความน่าจะเป็นที่จะมี "โชค" สามตัวใน 7 ม้วนเป็นเท่าใด
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna ครูสอนคณิตศาสตร์
*

สไลด์ 14
โซลูชัน 6a)
ตัวอย่างที่ 6 ในแต่ละย่อหน้า a) - d) กำหนดค่าของ n, k, p, q และเขียน (โดยไม่ต้องคำนวณ) นิพจน์สำหรับความน่าจะเป็นที่ต้องการ Pn(k) เหรียญ วิธีแก้ปัญหา:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna ครูสอนคณิตศาสตร์
*

สไลด์ 15
โซลูชัน 6b)
ตัวอย่างที่ 6 ในแต่ละย่อหน้า a) - d) กำหนดค่าของ n, k, p, q และเขียน (ไม่มีการคำนวณ) นิพจน์สำหรับความน่าจะเป็นที่ต้องการ Pn(k) b) แต่ละ 20 คนอย่างอิสระ ชื่อวันใดวันหนึ่งในสัปดาห์ วันที่ "โชคร้าย" คือวันจันทร์และวันศุกร์ ความน่าจะเป็นที่จะมี "โชคดี" ครึ่งหนึ่งเป็นเท่าใด
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna ครูสอนคณิตศาสตร์
*

สไลด์ 16
โซลูชัน 6c)
ตัวอย่างที่ 6 ในแต่ละย่อหน้า a) - d) กำหนดค่าของ n, k, p, q และเขียน (โดยไม่ต้องคำนวณ) นิพจน์สำหรับความน่าจะเป็นที่ต้องการ Pn(k) . ความน่าจะเป็นที่ 5 จาก 25 จะ "โชคดี" เป็นเท่าใด
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna ครูสอนคณิตศาสตร์
*

สไลด์ 17
โซลูชัน 6d)
ตัวอย่างที่ 6 ในแต่ละย่อหน้า a) - d) กำหนดค่าของ n, k, p, q และเขียน (โดยไม่ต้องคำนวณ) นิพจน์สำหรับความน่าจะเป็นที่ต้องการ Pn(k) d) การทดสอบประกอบด้วย การขว้างเหรียญที่แตกต่างกันสามเหรียญพร้อมกัน "ความล้มเหลว": "หาง" มากกว่า "อินทรี" ความน่าจะเป็นที่จะมี "โชค" สามครั้งจากการโยน 7 ครั้งเป็นเท่าใด วิธีแก้ปัญหา: d) n = 7, k = 3 "โชค" ในการโยนครั้งเดียวคือมี "ก้อย" น้อยกว่า "อินทรี" เป็นไปได้ทั้งหมด 8 ผลลัพธ์: PPP, PPO, POP, OPP, POO, ORO, OOP, OOO (P - "ก้อย", O - "หัว") ครึ่งหนึ่งมีหางน้อยกว่าหัว: POO, ORO, OOP, OOO ดังนั้น p = q = 0.5; Р7(3) = С73 ∙ 0.53 ∙ 0.54 = С73 ∙ 0.57
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna ครูสอนคณิตศาสตร์
*

สไลด์ 18
ทฤษฎีบทของเบอร์นูลลีช่วยให้...
ทฤษฎีบทของเบอร์นูลลีทำให้สามารถสร้างความเชื่อมโยงระหว่างวิธีการทางสถิติกับคำจำกัดความของความน่าจะเป็นและคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่ม เพื่ออธิบายการเชื่อมต่อนี้ ให้เรากลับไปที่เงื่อนไขของ § 50 เกี่ยวกับการประมวลผลข้อมูลทางสถิติ พิจารณาลำดับของการทำซ้ำแบบอิสระ n ครั้งของการทดสอบเดียวกันโดยมีสองผลลัพธ์ - "สำเร็จ" และ "ล้มเหลว" ผลลัพธ์ของการทดสอบเหล่านี้ประกอบขึ้นเป็นชุดข้อมูล ซึ่งประกอบด้วยลำดับของสองตัวเลือก ได้แก่ "ความสำเร็จ" และ "ความล้มเหลว" พูดง่ายๆ คือ มีลำดับของความยาว n ประกอบด้วยตัวอักษรสองตัว Y ("โชคดี") และ H ("ล้มเหลว") ตัวอย่างเช่น U, U, N, N, U, N, N, N, ..., U หรือ N, U, U, N, U, U, N, N, U, ..., N, ฯลฯ . n. ลองคำนวณหลายหลากและความถี่ของตัวเลือก Y นั่นคือ เราจะหาเศษส่วน k / n โดยที่ k คือจำนวน "โชค" ที่พบในการทำซ้ำ n ทั้งหมด ปรากฎว่าด้วยการเพิ่มขึ้นอย่างไม่จำกัดใน n ความถี่ k/n ของการเกิด "ความสำเร็จ" แทบจะแยกไม่ออกจากความน่าจะเป็น p ของ "ความสำเร็จ" ในการทดลองหนึ่งครั้ง ข้อเท็จจริงทางคณิตศาสตร์ที่ค่อนข้างซับซ้อนนี้ได้มาจากทฤษฎีบทของเบอร์นูลลีอย่างแม่นยำ
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna ครูสอนคณิตศาสตร์
*

สไลด์ 19
ทฤษฎีบท 4. สำหรับการทำซ้ำอิสระจำนวนมาก
ทฤษฎีบท 4 ด้วยการทดสอบเดียวกันซ้ำๆ กันจำนวนมาก ความถี่ของการเกิดเหตุการณ์สุ่ม A ที่มีความแม่นยำเพิ่มขึ้นจะเท่ากับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A โดยประมาณ: k / n ≈ P (A) ตัวอย่างเช่น n > 2000 ที่มีความน่าจะเป็นมากกว่า 99% สามารถโต้แย้งได้ว่าข้อผิดพลาดแบบสัมบูรณ์ |k/n- Р(А)| ความเท่าเทียมกันโดยประมาณ k/n≈ P(A) จะน้อยกว่า 0.03 ดังนั้นในการสำรวจทางสังคมวิทยา การสัมภาษณ์ประมาณ 2,000 คน (ผู้ตอบแบบสอบถาม) ก็เพียงพอแล้ว ถ้าพูด 520 คนให้คำตอบที่เป็นบวกสำหรับคำถาม k / n = 520/2000 = 0.26 และในทางปฏิบัติแน่นอนว่าสำหรับผู้ตอบแบบสอบถามจำนวนมากขึ้นความถี่ดังกล่าวจะอยู่ในช่วงตั้งแต่ 0.23 ถึง 0.29 ปรากฏการณ์นี้เรียกว่าปรากฏการณ์ความเสถียรทางสถิติ ดังนั้น ทฤษฎีบทเบอร์นูลลีและผลที่ตามมาทำให้ (โดยประมาณ) หาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่มในกรณีที่ไม่สามารถคำนวณอย่างชัดเจนได้
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna ครูสอนคณิตศาสตร์
*

สไลด์ 20
สำหรับครู
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna ครูสอนคณิตศาสตร์
*

สไลด์ 21
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna ครูสอนคณิตศาสตร์
*

สไลด์ 22
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna ครูสอนคณิตศาสตร์
*

สไลด์ 23
แหล่งที่มา
พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ เกรด 10-11 ตอนที่ 1 หนังสือเรียน ครั้งที่ 10 (ระดับพื้นฐาน), A.G. Mordkovich, M., 2009 พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ เกรด 10-11 (ระดับพื้นฐาน) คู่มือระเบียบวิธีสำหรับครู A.G. Mordkovich, P.V. Semenov, M. , 2010 ตารางถูกรวบรวมใน MS Word และ MS Excel แหล่งข้อมูลทางอินเทอร์เน็ต
Tsybikova Tamara Radnazhapovna ครูสอนคณิตศาสตร์
08.02.2014
*

สไลด์ 1

ทฤษฎีบทเบอร์นูลลี
17.03.2017

สไลด์2

มีการดำเนินการทดลองอิสระ n ชุด การทดสอบแต่ละครั้งมี 2 ผลลัพธ์: A - "ความสำเร็จ" และ - "ความล้มเหลว" ความน่าจะเป็นของ "ความสำเร็จ" ในการทดสอบแต่ละครั้งจะเท่ากันและเท่ากับ P(A) = p ดังนั้นความน่าจะเป็นของ "ความล้มเหลว" จึงไม่เปลี่ยนจากประสบการณ์เป็นประสบการณ์และเท่ากัน
โครงการเบอร์นูลลี
ความน่าจะเป็นที่การทดลอง n ชุดจะสำเร็จ k ครั้งเป็นเท่าใด หา Pn(k) .

สไลด์ 3

เหรียญถูกโยน n ครั้ง จั่วไพ่ออกจากสำรับ n ครั้ง และทุกครั้งที่มีการคืนไพ่ สำรับจะถูกสับเปลี่ยน เราตรวจสอบผลิตภัณฑ์ n รายการของการผลิตบางส่วน สุ่มเลือกเพื่อคุณภาพ มือปืนยิงไปที่เป้าหมาย n ครั้ง
ตัวอย่าง

สไลด์ 4

อธิบายว่าเหตุใดคำถามต่อไปนี้จึงสอดคล้องกับแผนงานของเบอร์นูลลี ระบุว่า "ความสำเร็จ" ประกอบด้วยอะไร และ n และ k คืออะไร ก) ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกเต๋า 2 ครั้ง สามครั้งในสิบครั้งเป็นเท่าใด b) ความน่าจะเป็นที่ในการโยนหัวเหรียญ 100 ครั้งจะปรากฏ 73 ครั้งเป็นเท่าใด c) ทอยลูกเต๋าหนึ่งคู่ยี่สิบครั้งติดต่อกัน ความน่าจะเป็นที่ผลรวมของคะแนนไม่เคยเท่ากับสิบเป็นเท่าใด d) จั่วไพ่สามใบจากสำรับไพ่ 36 ใบ ผลที่ได้จะถูกบันทึกและกลับไปที่สำรับ จากนั้นจึงสับไพ่ สิ่งนี้ซ้ำแล้วซ้ำอีก 4 ครั้ง ความน่าจะเป็นที่ Queen of Spades เป็นหนึ่งในไพ่ที่สุ่มออกมาในแต่ละครั้งเป็นเท่าใด

สไลด์ 5

สำหรับจำนวนชุดค่าผสมตั้งแต่ n ถึง k สูตรนี้ถูกต้อง
ตัวอย่างเช่น:

สไลด์ 6

ทฤษฎีบทเบอร์นูลลี
ความน่าจะเป็น Pn(k) ของความสำเร็จ k ที่แน่นอน n การทำซ้ำอิสระของการทดสอบเดียวกันนั้นพบโดยสูตร โดยที่ p คือความน่าจะเป็นของ "ความสำเร็จ" q = 1- p คือความน่าจะเป็นของ "ความล้มเหลว" ในการทดสอบที่แยกจากกัน .

สไลด์ 7

เหรียญถูกโยน 6 ครั้ง ความน่าจะเป็นของเสื้อแขนที่ปรากฏ 0, 1, ...6 ครั้งเป็นเท่าไหร่? วิธีการแก้. จำนวนการทดลอง n=6 เหตุการณ์ A - "ความสำเร็จ" - การสูญเสียแขนเสื้อ ตามสูตรเบอร์นูลลี ความน่าจะเป็นที่ต้องการคือ
;
;
;
;
;
;

สไลด์ 8

เหรียญถูกโยน 6 ครั้ง ความน่าจะเป็นของเสื้อแขนที่ปรากฏ 0, 1, ...6 ครั้งเป็นเท่าไหร่? วิธีการแก้. จำนวนการทดลอง n=6 เหตุการณ์ A - "ความสำเร็จ" - การสูญเสียแขนเสื้อ
;
;
;
;
;
;

สไลด์ 9

เหรียญถูกโยน 10 ครั้ง ความน่าจะเป็นที่เสื้อคลุมแขนจะปรากฏสองครั้งคืออะไร? วิธีการแก้. จำนวนการทดลอง n=10, m=2 เหตุการณ์ A - "ความสำเร็จ" - การสูญเสียแขนเสื้อ ตามสูตรเบอร์นูลลี ความน่าจะเป็นที่ต้องการคือ
;
;
;
;
;
;

สไลด์ 10

โกศประกอบด้วยลูกบอลสีขาว 20 ลูกและลูกบอลสีดำ 10 ลูก นำลูกบอลออกมา 4 ลูก และนำลูกบอลแต่ละลูกที่นำออกมาส่งกลับโกศก่อนที่จะจับลูกถัดไป และลูกในโกศจะถูกผสมกัน จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอล 2 ใน 4 ลูกที่สุ่มออกมาเป็นสีขาว วิธีการแก้. กิจกรรม A - got ลูกบอลสีขาว. จากนั้นความน่าจะเป็น ตามสูตรเบอร์นูลลี ความน่าจะเป็นที่ต้องการคือ

สไลด์ 11

กำหนดความน่าจะเป็นที่จะไม่มีผู้หญิงในครอบครัวที่มีลูก 5 คน ความน่าจะเป็นที่จะมีเด็กชายและเด็กหญิงจะถือว่าเท่ากัน วิธีการแก้. ความน่าจะเป็นที่จะเกิดของเด็กผู้หญิง เด็กผู้ชาย ตามสูตรเบอร์นูลลี ความน่าจะเป็นที่ต้องการจะเท่ากับ

สไลด์ 12

หาความน่าจะเป็นที่ครอบครัวที่มีลูก 5 คนจะมีผู้หญิง 1 คน ความน่าจะเป็นที่จะมีเด็กชายและเด็กหญิงจะถือว่าเท่ากัน วิธีการแก้. ความน่าจะเป็นที่จะเกิดของเด็กผู้หญิง เด็กผู้ชาย ตามสูตรเบอร์นูลลี ความน่าจะเป็นที่ต้องการจะเท่ากับ

สไลด์ 13

กำหนดความน่าจะเป็นที่ครอบครัวที่มีลูก 5 คนจะมีผู้หญิงสองคน วิธีการแก้. ความน่าจะเป็นที่จะเกิดของเด็กผู้หญิง เด็กผู้ชาย ตามสูตรเบอร์นูลลี ความน่าจะเป็นที่ต้องการจะเท่ากับ

สไลด์ 14

จงหาความน่าจะเป็นที่ครอบครัวที่มีลูก 5 คน จะมีผู้หญิง 3 คน วิธีการแก้. ความน่าจะเป็นที่จะเกิดของเด็กผู้หญิง เด็กผู้ชาย ตามสูตรเบอร์นูลลี ความน่าจะเป็นที่ต้องการจะเท่ากับ

สไลด์ 15

กำหนดความน่าจะเป็นที่ครอบครัวที่มีลูก 5 คนจะมีผู้หญิงไม่เกิน 3 คน ความน่าจะเป็นที่จะมีเด็กชายและเด็กหญิงจะถือว่าเท่ากัน วิธีการแก้. ความน่าจะเป็นที่จะมีผู้หญิงเป็นผู้ชาย ความน่าจะเป็นที่ต้องการเท่ากับ
.

สไลด์ 16

ในบรรดาชิ้นส่วนที่ผู้ปฏิบัติงานประมวลผล มีค่าเฉลี่ย 4% ที่ไม่ได้มาตรฐาน ค้นหาความน่าจะเป็นที่สองใน 30 ส่วนที่ทำการทดสอบจะไม่เป็นไปตามมาตรฐาน วิธีการแก้. ประสบการณ์นี้อยู่ที่การตรวจสอบคุณภาพแต่ละส่วนจาก 30 ส่วน เหตุการณ์ A - "การปรากฏตัวของชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐาน"

"องค์ประกอบของสถิติทางคณิตศาสตร์" - ช่วงความเชื่อมั่น วิทยาศาสตร์. การจำแนกประเภทของสมมติฐาน ชิ้นส่วนทำขึ้นในเครื่องต่างๆ กำลังตรวจสอบกฎ การพึ่งพาอาศัยกัน ติดยาเสพติด ชุดของค่าเกณฑ์ หาช่วงความมั่นใจ. การคำนวณช่วงความเชื่อมั่นสำหรับความแปรปรวนที่ไม่รู้จัก การกระจายแบบปกติ

"ความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์" - ความถูกต้องของค่าที่ได้รับ รหัสเพื่อความปลอดภัย สถิติเชิงพรรณนา แอปเปิล. ลองพิจารณาเหตุการณ์ กฎการคูณ สองมือปืน. การเปรียบเทียบ หลักสูตร. คาราเมล. ตัวอย่างแผนภูมิแท่ง เครื่องหมายทางคณิตศาสตร์ กฎการคูณสำหรับสาม กุหลาบขาวและแดง. 9 หนังสือที่แตกต่างกัน วันหยุดฤดูหนาว

"พื้นฐานของสถิติทางคณิตศาสตร์" - ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข ตารางค่ามาตรฐาน คุณสมบัติการกระจายของนักเรียน ช่วงความเชื่อมั่นของการคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง การกระจาย. หนึ่งการทดลองถือได้ว่าเป็นชุดของการทดลองหนึ่งครั้ง Quantile - ทางด้านซ้ายควรเป็นจำนวนค่าที่สอดคล้องกับดัชนีควอนไทล์

"ทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติ" - ขีดจำกัดของช่วงเวลา พื้นที่วิกฤต ทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็น การกระจายตัวของตัวแปรสุ่มปกติ ที่มาของสูตรเบอร์นูลลี กฎการกระจายตัวของตัวแปรสุ่ม ถ้อยคำของ ZBC ความหมายและการกำหนดทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง ความสัมพันธ์ของคุณสมบัติเล็กน้อย การพึ่งพาแบบสุ่มของสองตัวแปรสุ่ม

"การวิจัยทางสถิติ" - ความเกี่ยวข้อง ลักษณะทางสถิติและการวิจัย วางแผน. พิสัยคือความแตกต่างระหว่างค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของชุดข้อมูล ประเภทของการสังเกตทางสถิติ คุณชอบเรียนคณิตศาสตร์ พิจารณาชุดของตัวเลข ใครช่วยให้คุณเข้าใจหัวข้อที่ยากในวิชาคณิตศาสตร์ คุณต้องการคณิตศาสตร์ในอาชีพในอนาคตของคุณหรือไม่

"ลักษณะทางสถิติพื้นฐาน" - ลักษณะทางสถิติพื้นฐาน หาค่าเฉลี่ยเลขคณิต. ปิโตรเนียส รูด แฟชั่นแถว. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของชุดตัวเลข ช่วงแถว ค่ามัธยฐานของซีรีส์ สถิติ. ค่ามัธยฐาน โน๊ตบุ๊คโรงเรียน

มีการนำเสนอทั้งหมด 17 เรื่องในหัวข้อ

หน่วยงานของรัฐบาลกลางเพื่อการศึกษา

สถาบันการศึกษาของรัฐ

การศึกษาระดับมืออาชีพที่สูงขึ้น

"มาติ" - IM มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีแห่งรัฐรัสเซีย เค.อี. TSIOLKOVSKY

ภาควิชาแบบจำลองระบบและเทคโนโลยีสารสนเทศ

การทำซ้ำของการทดสอบ โครงการเบอร์นูลลี

คำแนะนำที่เป็นระเบียบสำหรับการฝึกปฏิบัติ

ในสาขาวิชา "คณิตศาสตร์ชั้นสูง"

เรียบเรียงโดย: Egorova Yu.B.

มาโมนอฟ I.M.

มอสโก 2006 บทนำ

แนวทางนี้มีไว้สำหรับนักศึกษาภาคกลางวันและภาคค่ำของคณะหมายเลข 14 สาขาวิชาพิเศษ 150601, 160301, 230102 แนวทางดังกล่าวเน้นที่แนวคิดพื้นฐานของหัวข้อ กำหนดลำดับของการศึกษาเนื้อหา ตัวอย่างที่พิจารณาจำนวนมากช่วยในการพัฒนาหัวข้อในทางปฏิบัติ แนวทางปฏิบัติเป็นพื้นฐานเกี่ยวกับระเบียบวิธีปฏิบัติสำหรับการฝึกปฏิบัติและการดำเนินภารกิจส่วนบุคคล

โครงการเบอร์นูลลี สูตรเบอร์นูลลี

โครงการเบอร์นูลลี- แบบแผนของการทดสอบอิสระซ้ำ ๆ ซึ่งในบางกรณี แต่สามารถทำซ้ำได้หลายครั้งด้วยความน่าจะเป็นคงที่ R (แต่)= R .

ตัวอย่างการทดสอบที่ดำเนินการตามแผนของเบอร์นูลลี: การโยนเหรียญหรือลูกเต๋าหลายครั้ง, การทำชิ้นส่วนเป็นชุด, การยิงไปที่เป้าหมาย ฯลฯ

ทฤษฎีบท.ถ้าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น แต่ในการทดสอบแต่ละครั้งมีค่าคงที่และเท่ากัน Rแล้วความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ แต่จะมา มครั้งหนึ่ง นการทดสอบ (ไม่ว่าจะเรียงลำดับอย่างไร) สามารถกำหนดได้โดยสูตรเบอร์นูลลี:

ที่ไหน q = 1 – พี.

ตัวอย่างที่ 1ความน่าจะเป็นที่ปริมาณการใช้ไฟฟ้าในหนึ่งวันไม่เกินเกณฑ์ปกติเท่ากับ p= 0,75. จงหาความน่าจะเป็นที่ในอีก 6 วันข้างหน้า ปริมาณการใช้ไฟฟ้าเป็นเวลา 4 วันจะไม่เกินค่าปกติ

วิธีการแก้. ความน่าจะเป็นของการใช้พลังงานปกติในแต่ละ 6 วันจะคงที่และเท่ากับ R= 0.75. ดังนั้นความน่าจะเป็นของการใช้ไฟฟ้าเกินทุกวันจึงคงที่และเท่ากับ q = 1R = 1  0,75 = 0,25.

ความน่าจะเป็นที่ต้องการตามสูตรเบอร์นูลลีเท่ากับ:

ตัวอย่างที่ 2มือปืนยิงสามนัดไปที่เป้าหมาย ความน่าจะเป็นที่จะตีเป้าหมายในแต่ละครั้งคือ p= 0,3. ค้นหาความน่าจะเป็นที่: ก) หนึ่งเป้าหมายถูกโจมตี; b) เป้าหมายทั้งสาม; c) ไม่มีเป้าหมาย; d) อย่างน้อยหนึ่งเป้าหมาย จ) น้อยกว่าสองเป้าหมาย

วิธีการแก้. ความน่าจะเป็นที่จะโดนเป้าหมายในการยิงแต่ละครั้งจะคงที่และเท่ากับ R=0.75. ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่จะพลาดคือ q = 1 R\u003d 1 - 0.3 \u003d 0.7 จำนวนการทดลองทั้งหมด น=3.

ก) ความน่าจะเป็นที่จะตีหนึ่งเป้าหมายด้วยสามนัดเท่ากับ:

b) ความน่าจะเป็นที่จะตีทั้งสามเป้าหมายด้วยการยิงสามนัดคือ:

c) ความน่าจะเป็นของการพลาดสามครั้งด้วยการยิงสามนัด เท่ากับ:

d) ความน่าจะเป็นที่จะตีอย่างน้อยหนึ่งเป้าหมายด้วยการยิงสามนัด เท่ากับ:

จ) ความน่าจะเป็นที่จะโจมตีเป้าหมายน้อยกว่าสองเป้าหมาย นั่นคือ เป้าหมายเดียวหรือไม่มีเลย:

1. Moivre-Laplace ทฤษฎีบทท้องถิ่นและปริพันธ์

หากมีการทดสอบจำนวนมาก การคำนวณความน่าจะเป็นโดยใช้สูตรเบอร์นูลลีจะกลายเป็นเรื่องยากในทางเทคนิค เนื่องจากสูตรต้องใช้การดำเนินการเป็นจำนวนมาก ดังนั้นจึงมีสูตรโดยประมาณที่ง่ายกว่าสำหรับการคำนวณความน่าจะเป็นสำหรับขนาดใหญ่ น. สูตรเหล่านี้เรียกว่า asymptotic และถูกกำหนดโดยทฤษฎีบทของปัวซอง ทฤษฎีบทท้องถิ่นและปริพันธ์ของลาปลาซ

ทฤษฎีบท Local de Moivre-Laplace แต่ แต่เกิดขึ้น มครั้งหนึ่ง น น (น →∞ ) มีค่าประมาณเท่ากับ:

ฟังก์ชั่นอยู่ที่ไหน
และข้อโต้แย้ง

ยิ่ง นการคำนวณความน่าจะเป็นที่แม่นยำยิ่งขึ้น ดังนั้นจึงแนะนำให้ใช้ทฤษฎีบทมอยฟร์-ลาปลาซ เมื่อ npq  20.

ฉ ( x ) รวบรวมตารางพิเศษ (ดูภาคผนวก 1) เมื่อใช้โต๊ะ อย่าลืม คุณสมบัติของฟังก์ชัน เอฟ(x) :

การทำงาน เอฟ(x)เท่ากัน ฉ(  x)= ฉ(x) .

ที่ X ∞ ฟังก์ชัน เอฟ(x) 0. ในทางปฏิบัติ เราสามารถสันนิษฐานได้ว่าแล้วที่ X>4 ฟังก์ชั่น เอฟ(x) ≈0.

ตัวอย่างที่ 3หาความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ แต่เกิดขึ้น 80 ครั้งในการทดลอง 400 ครั้งถ้าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์คือ แต่ในการทดสอบแต่ละครั้งคือ p= 0,2.

วิธีการแก้. ตามเงื่อนไข น=400, ม=80, พี=0,2, q=0.8. เพราะเหตุนี้:

ตามตารางเรากำหนดค่าของฟังก์ชัน ฉ (0)=0,3989.

ทฤษฎีบทอินทิกรัล Moivre-Laplaceถ้าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น แต่ในการทดลองแต่ละครั้งมีค่าคงที่และแตกต่างจาก 0 และ 1 ดังนั้นความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ แต่มาจาก ม 1 ก่อน ม 2 ครั้งหนึ่ง น ทดสอบด้วยจำนวนที่มากพอ น (น →∞ ) มีค่าประมาณเท่ากับ:

ที่ไหน
- ฟังก์ชันอินทิกรัลหรือ Laplace

เพื่อหาค่าฟังก์ชัน เอฟ( x ) ตารางพิเศษถูกวาดขึ้น (เช่น ดูภาคผนวก 2) เมื่อใช้โต๊ะ อย่าลืม คุณสมบัติของฟังก์ชันลาปลาซ เอฟ(x) :

การทำงาน เอฟ(x)แปลก เอฟ(  x)=  เอฟ(x) .

ที่ X ∞ ฟังก์ชัน เอฟ(x) 0.5. ในทางปฏิบัติถือได้ว่า X>5 ฟังก์ชั่น เอฟ(x) ≈0,5.

F (0)=0.

ตัวอย่างที่ 4ความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนไม่ผ่านการตรวจสอบของแผนกควบคุมคุณภาพคือ 0.2 ค้นหาความน่าจะเป็นที่จะยกเลิกการเลือก 70 ถึง 100 รายการจาก 400 รายการ

วิธีการแก้. ตามเงื่อนไข น=400, ม 1 =70, ม 2 =100, พี=0,2, q=0.8. เพราะเหตุนี้:

ตามตารางที่ให้ค่าของฟังก์ชัน Laplace เรากำหนด:

เอฟ(x 1 ) = เอฟ(  1,25 )=  เอฟ( 1,25 )=  0,3944; เอฟ(x 2 ) = เอฟ( 2,5 )= 0,4938.

การทดลองอิสระหลายชุดกำลังดำเนินการอยู่
ซึ่งแต่ละอย่างมี 2 ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้
ซึ่งเราจะเรียกแบบมีเงื่อนไขว่า Success and Failure
ตัวอย่างเช่น นักเรียนทำข้อสอบ 4 ครั้งในแต่ละวิชา
ซึ่ง 2 ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ Success: student
ผ่านการสอบและล้มเหลว: ล้มเหลว

ความน่าจะเป็นของความสำเร็จในการทดลองแต่ละครั้งคือ
หน้า ความน่าจะเป็นของความล้มเหลวคือ q=1-p
จะต้องหาความน่าจะเป็นที่ในอนุกรมนั้น
จากการทดลอง n ครั้ง ความสำเร็จจะมา m ครั้ง
พีน(ม.)

Bm Ó Ó ... Ó Í ... Í
Í Ó ... Ó Í ... Í ...
Í Í ... Í Ó ... Ó
ในแต่ละกรณี ความสำเร็จเกิดขึ้น m ครั้ง และ
ล้มเหลว (n-m) ครั้ง
ตัวเลข
ทั้งหมด
ชุดค่าผสม
เท่ากับ
ตัวเลข
วิธีจาก n การทดลองเพื่อเลือก m เหล่านั้นใน
ซึ่งเป็นความสำเร็จ กล่าวคือ C m
น

ความน่าจะเป็นของแต่ละชุดค่าผสมดังกล่าวคือ
ทฤษฎีบท
เกี่ยวกับ
การคูณ
ความน่าจะเป็น
จะเป็น Pmqn-m
เนื่องจากชุดค่าผสมเหล่านี้เข้ากันไม่ได้ ดังนั้น
ความน่าจะเป็นที่ต้องการของเหตุการณ์ Bm จะเป็น
Pn (m) p q
ม
นาโนเมตร
... p q
ม
นาโนเมตร
รวม C ล่าช้า û õ C p q
ม
น
ม
น
ม
นาโนเมตร

Pn (m) C p q
ม
น
ม
นาโนเมตร

เป็นที่ทราบกันดีว่าถ้าเหรียญตกหัวนักเรียน
ไปดูหนังถ้าเหรียญตกที่หาง

นักเรียน. ความน่าจะเป็นที่
1) สามคนจะอยู่ที่การบรรยาย
2) ในการบรรยายจะมีนักเรียนอย่างน้อย 3 คน
2) นักเรียนอย่างน้อยหนึ่งคนจะได้ไปบรรยายหรือไม่?

1) ในปัญหานี้ ชุดของ n=5
การทดสอบอิสระ เรียกมันว่าความสำเร็จ
ไปเรียน (หางหลุด) และ
ความล้มเหลว - ไปโรงหนัง (หลุดออกมาจากเสื้อคลุมแขน)
p=q=1/2.
โดยใช้สูตรเบอร์นูลลี เราพบความน่าจะเป็นที่
จะเกิดอะไรขึ้น 3 ครั้งหลังจากการโยนเหรียญ 5 ครั้ง?
ความสำเร็จ:
3
2
1 1
P5(3)C
2 2
5! 1 1
1
10
0,3125
3!2! 8 4
32
3
5

เพื่อหาความน่าจะเป็นที่หลังจาก 5 ครั้ง
อย่างน้อยหนึ่งครั้งเหรียญจะลงก้อย
มาดูความน่าจะเป็นของฝ่ายตรงข้ามกัน
เหตุการณ์ - เหรียญจะดรอปออกทั้ง 5 ครั้งพร้อมเสื้อแขน:
ป5 (0).
จากนั้นความน่าจะเป็นที่ต้องการจะเป็น: P=1-P5(0)
ตามสูตรเบอร์นูลลี:
0
5
1 1
P5(0)C
2 2
0
5
5
1
0,03125
2

จากนั้นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ต้องการจะเป็น
P1 0.03125 0.96875

เบอร์นูลลี
นักเรียนไป
ในโรงหนังถ้าเหรียญตกก้อย - นักเรียนไป
การบรรยาย เหรียญถูกโยนโดยนักเรียน 5 คน อะไรมากที่สุด
จำนวนนักเรียนที่ไปเรียนที่น่าจะเป็นไปได้?
ความน่าจะเป็น
การชนะสำหรับตั๋ว 1 ใบคือ 0.2 อะไรมากที่สุด
จำนวนที่น่าจะเป็นของตั๋วที่ชนะ?

จำนวนความสำเร็จที่เป็นไปได้มากที่สุดในโครงการ
เบอร์นูลลี

np q k np p

จำนวนความสำเร็จที่เป็นไปได้มากที่สุดในโครงการ
เบอร์นูลลี
สูตรสำเร็จจำนวนที่น่าจะเป็นไปได้มากที่สุด
np q k np p
หาก np-q เป็นจำนวนเต็ม ช่วงเวลานี้จะมี 2
จำนวนทั้งหมด. ทั้งสองมีความน่าเหลือเชื่อไม่แพ้กัน
หาก np-q เป็นจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม ช่วงเวลานี้จะมี 1
จำนวนเต็ม

จำนวนความสำเร็จที่เป็นไปได้มากที่สุดในโครงการ
เบอร์นูลลี
ตัวอย่าง เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าถ้าเหรียญตกที่หัว

- นักเรียนไปบรรยาย โยนเหรียญ5

นักเรียนไปบรรยาย?
np q k np p
น 5
1
p q
2

จำนวนความสำเร็จที่เป็นไปได้มากที่สุดในโครงการ
เบอร์นูลลี
ตัวอย่าง เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าถ้าเหรียญตกที่หัว
นักเรียนไปโรงหนังถ้าเหรียญตกที่หาง
- นักเรียนไปบรรยาย โยนเหรียญ5
นักเรียน. เลขไหนมีโอกาสมากที่สุด
นักเรียนไปบรรยาย?
np q k np p
น 5
1
p q
2
1 1
np q 5 2
2 2
1 1
หน้า 5 3
2 2

จำนวนความสำเร็จที่เป็นไปได้มากที่สุดในโครงการ
เบอร์นูลลี
ตัวอย่าง เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าถ้าเหรียญตกที่หัว
นักเรียนไปโรงหนังถ้าเหรียญตกที่หาง
- นักเรียนไปบรรยาย โยนเหรียญ5
นักเรียน. เลขไหนมีโอกาสมากที่สุด
นักเรียนไปบรรยาย?
np q k np p
น 5
1
p q
2
1 1
np q 5 2
2 2
1 1
หน้า 5 3
2 2
2 k 3 k 2, k 3

จำนวนความสำเร็จที่เป็นไปได้มากที่สุดในโครงการ
เบอร์นูลลี
ตัวอย่าง เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าถ้าเหรียญตกที่หัว
นักเรียนไปโรงหนังถ้าเหรียญตกที่หาง
- นักเรียนไปบรรยาย โยนเหรียญ5
นักเรียน. เลขไหนมีโอกาสมากที่สุด
นักเรียนไปบรรยาย?
2
3
3
2
5
1 1
1 10 5
P5 (2) C52 10
32 16
2 2
2
5
1 1
1 10 5
P5 (3) C53 10
32 16
2 2
2

จำนวนความสำเร็จที่เป็นไปได้มากที่สุดในโครงการ
เบอร์นูลลี
ตัวอย่าง เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าถ้าเหรียญตกที่หัว
นักเรียนไปโรงหนังถ้าเหรียญตกที่หาง
- นักเรียนไปบรรยาย โยนเหรียญ5
นักเรียน. เลขไหนมีโอกาสมากที่สุด
นักเรียนไปบรรยาย?
ความน่าจะเป็น Pn(k)
ความน่าจะเป็นของจำนวนนักศึกษาที่เข้าเรียน
บรรยาย
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
จำนวนนักเรียน k
4
5

จำนวนความสำเร็จที่เป็นไปได้มากที่สุดในโครงการ
เบอร์นูลลี
ตัวอย่างการซื้อลอตเตอรี 10 ใบ


ตั๋ว?
np q k np p
n 10
หน้า 0.2 คิว 0.8

จำนวนความสำเร็จที่เป็นไปได้มากที่สุดในโครงการ
เบอร์นูลลี
ตัวอย่างการซื้อลอตเตอรี 10 ใบ
ความน่าจะเป็นที่จะชนะในตั๋ว 1 ใบคือ 0.2
จำนวนผู้ชนะที่มีแนวโน้มมากที่สุดคือเท่าใด
ตั๋ว?
np q k np p
n 10
หน้า 0.2 คิว 0.8
np q 10 0.2 0.8 1.2
หน้า 10 0.2 0.2 2.2

จำนวนความสำเร็จที่เป็นไปได้มากที่สุดในโครงการ
เบอร์นูลลี
ตัวอย่างการซื้อลอตเตอรี 10 ใบ
ความน่าจะเป็นที่จะชนะในตั๋ว 1 ใบคือ 0.2
จำนวนผู้ชนะที่มีแนวโน้มมากที่สุดคือเท่าใด
ตั๋ว?
np q k np p
n 10
หน้า 0.2 คิว 0.8
np q 10 0.2 0.8 1.2
1, 2 ถึง 2, 2
หน้า 10 0.2 0.2 2.2
k2

จำนวนความสำเร็จที่เป็นไปได้มากที่สุดในโครงการ
เบอร์นูลลี
ตัวอย่างการซื้อลอตเตอรี 10 ใบ
ความน่าจะเป็นที่จะชนะในตั๋ว 1 ใบคือ 0.2
จำนวนผู้ชนะที่มีแนวโน้มมากที่สุดคือเท่าใด
ตั๋ว?
P10 (2) C 0.2 0.8
2
10
2
8
45 0, 04 0,16777216=
=0,301989888

จำนวนความสำเร็จที่เป็นไปได้มากที่สุดในโครงการ
เบอร์นูลลี
ตัวอย่างการซื้อลอตเตอรี 10 ใบ
ความน่าจะเป็นที่จะชนะในตั๋ว 1 ใบคือ 0.2
จำนวนผู้ชนะที่มีแนวโน้มมากที่สุดคือเท่าใด
ตั๋ว?
ความน่าจะเป็นของจำนวนตั๋วที่ชนะ
ความน่าจะเป็น Pn(k)
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
4
5
6
จำนวนตั๋ว k
7
8
9
10

จำนวนความสำเร็จที่เป็นไปได้มากที่สุดในโครงการ
เบอร์นูลลี


เซ็นสัญญา 10 ฉบับ

ชำระจำนวนเงินเอาประกันภัย

สัญญาข้อหนึ่ง

กว่าสามสัญญา
ง) ค้นหาจำนวนสัญญาที่เป็นไปได้มากที่สุดตาม
ที่จะต้องจ่ายจำนวนเงินเอาประกันภัย

จำนวนความสำเร็จที่เป็นไปได้มากที่สุดในโครงการ
เบอร์นูลลี
ตัวอย่าง โดยเฉลี่ย 20% ของสัญญาประกันภัย
บริษัทจ่ายเงินประกัน
เซ็นสัญญา 10 ฉบับ
ก) จงหาความน่าจะเป็นที่ 3
ชำระจำนวนเงินเอาประกันภัย
0,201327

จำนวนความสำเร็จที่เป็นไปได้มากที่สุดในโครงการ
เบอร์นูลลี
ตัวอย่าง โดยเฉลี่ย 20% ของสัญญาประกันภัย
บริษัทจ่ายเงินประกัน
เซ็นสัญญา 10 ฉบับ
ข) จำนวนเงินเอาประกันภัยจะไม่ต้องจ่ายออกตามใด ๆ
สัญญาข้อหนึ่ง
0,107374

จำนวนความสำเร็จที่เป็นไปได้มากที่สุดในโครงการ
เบอร์นูลลี
ตัวอย่าง โดยเฉลี่ย 20% ของสัญญาประกันภัย
บริษัทจ่ายเงินประกัน
เซ็นสัญญา 10 ฉบับ
ค) จำนวนเงินเอาประกันภัยจะต้องชำระไม่เกิน
กว่าสามสัญญา
0,753297

ถ้า n มาก ให้ใช้สูตร
Pn (m) C p q
ม
น
ม
นาโนเมตร
ยาก
ดังนั้นจึงใช้สูตรโดยประมาณ

ทฤษฎีบท: ถ้าความน่าจะเป็น p ของการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ A
ในการทดสอบแต่ละครั้งใกล้กับศูนย์
และจำนวนการทดลองอิสระ n ก็เพียงพอแล้ว
แล้วความน่าจะเป็น Pn(m) ที่ในการทดลองอิสระ n ครั้ง
เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้น m ครั้ง ประมาณเท่ากับ:
พีน(ม.)
ม
ม!
อี
โดยที่ λ=np
สูตรนี้เรียกว่าสูตรปัวซอง (กฎของเหตุการณ์ที่หายาก)

พีน(ม.)
ม
ม!
e, np
โดยปกติจะใช้สูตรปัวซองโดยประมาณ
เมื่อ p<0,1, а npq<10.

ตัวอย่าง ให้รู้ว่าในการผลิตยาบางชนิด
การแต่งงาน (จำนวนแพ็คเกจที่ไม่เป็นไปตามมาตรฐาน)
คือ 0.2% ประมาณความน่าจะเป็นที่
หลังจากสุ่มเลือก 1,000 แพ็คเกจ จะมีสามแพ็คเกจ
ไม่เป็นไปตามมาตรฐาน
น.(k)
k
เค!
P1000(3) ?
อี ,
np

ตัวอย่าง ให้รู้ว่าในการผลิตยาบางชนิด
การแต่งงาน (จำนวนแพ็คเกจที่ไม่เป็นไปตามมาตรฐาน)
คือ 0.2% ประมาณความน่าจะเป็นที่
หลังจากสุ่มเลือก 1,000 แพ็คเกจ จะมีสามแพ็คเกจ
ไม่เป็นไปตามมาตรฐาน
น.(k)
k
เค!
P1000(3) ?
e, np
np 1000 0.002 2
3
2 2 8
P1000 (3) จ 0.135=0.18
3!
6

ผูกพันกันไม่เกิน 5 สัญญา

ตัวอย่าง โดยเฉลี่ยแล้ว 1% ของสัญญา บริษัทประกันภัย
จ่ายเงินประกัน หาความน่าจะเป็นจาก
100 สัญญาที่มีเหตุการณ์ผู้เอาประกันภัยจะเป็น
ผูกพันกันไม่เกิน 5 สัญญา