Курсын ажил: Давтан болон бие даасан тестүүд. Магадлалын давтамжийн тухай Бернулли теорем. Бернуллигийн томъёоны танилцуулга. Бернуллигийн дахин туршилтын схемийн талаархи танилцуулга
https://accounts.google.com
Слайдын тайлбар:
Бүлэг 9. Математик статистикийн элементүүд, комбинаторик ба магадлалын онол §54. Санамсаргүй тохиолдлууд ба тэдгээрийн магадлал 3. ТЕСТИЙН БИЕ ДААГҮЙ ДАВТАЛТ. БЕРНУЛЛИЙН ТЕОРЕМ, СТАТИСТИКИЙН ТОГТВОРТОЙ БАЙДАЛ.
Агуулга ЖИШЭЭ 5. Байгаа нэг сумаар онох магадлал ... Шийдэл 5a); Шийдэл 5б); Шийдэл 5c); Шийдэл 5d). Анхаарна уу... Бүхэл бүтэн цуврал давталтуудад үүнийг мэдэх нь чухал ... Жейкоб Бернулли жишээ ба асуултуудыг хослуулсан ... ТЕОРЕМ 3 (Бернуллийн теорем). ЖИШЭЭ 6. a) - d) хэсэг бүрт n, k, p, q утгуудыг тодорхойлж, хүссэн Pn (k) магадлалын илэрхийлэлийг (тооцоололгүйгээр) бичнэ үү. Шийдвэр 6 a); Шийдэл 6 b); Шийдэл 6 c); Шийдэл 6 d). Бернуллигийн теорем нь ... ТЕОРЕМ 4. Олон тооны бие даасан давталттай ... Багшийн хувьд. Эх сурвалжууд. 2014.02.08 2
3. ШАЛГАЛТЫН БИЕ ДААН ДАВТАЛТ. БЕРНУЛЛИЙН ТЕОРЕМ, СТАТИСТИКИЙН ТОГТВОРТОЙ БАЙДАЛ. 3-р хэсэг. 2014.02.08 Цыбикова Тамара Раднажаповна, математикийн багш 3
ЖИШЭЭ 5. Байгаа нэг сумаар онох магадлал Өмнөх жишээг бага зэрэг өөрчилье: хоёр өөр харвагчийн оронд нэг буудагч бай руу буудна. Жишээ 5. Байгаа нэг сумаар онох магадлал 0.8 байна. 3 бие даасан буудлага хийсэн. Зорилтот оногдох магадлалыг ол: a) гурван удаа онох; б) нөлөөлөхгүй; в) дор хаяж нэг удаа цохих болно; г) яг нэг удаа цохих болно. 02/08/2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, математикийн багш 4
Жишээ 5а) Жишээ 5-ын шийдэл. Байгаа нэг сумаар онох магадлал 0.8 байна. 3 бие даасан буудлага хийсэн. Зорилтот оногдох магадлалыг ол: a) гурван удаа онох; 02/08/2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, математикийн багш 5
Жишээ 5б) Жишээ 5-ын шийдэл. Байгаа нэг сумаар онох магадлал 0.8 байна. 3 бие даасан буудлага хийсэн. Байгааг онох магадлалыг ол: б) онохгүй байх; Шийдвэр: 02/08/2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, математикийн багш 6
5-р жишээний шийдэлc) Жишээ 5. Байгаа нэг сумаар онох магадлал 0.8 байна. 3 бие даасан буудлага хийсэн. Зорилтот оногдох магадлалыг ол: в) дор хаяж нэг удаа онох; Шийдвэр: 02/08/2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, математикийн багш 7
5d жишээний шийдэл) Жишээ 5. Байгаа нэг сумаар онох магадлал 0.8 байна. 3 бие даасан буудлага хийсэн. Байгааг яг нэг удаа онох магадлалыг ол: d). Шийдвэр: 02/08/2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, математикийн багш 8
Тэмдэглэл 5-р жишээний d)-д өгөгдсөн шийдэл нь тодорхой тохиолдолд Бернуллигийн алдартай теоремын нотолгоог давтаж байгаа бөгөөд энэ нь хамгийн түгээмэл магадлалын загваруудын нэгийг хэлнэ: хоёр боломжит үр дүн бүхий ижил туршилтын бие даасан давталт. Онцлог шинж чанарМагадлалын олон асуудал нь бидний сонирхсон үйл явдал тохиолдож болох туршилтыг олон удаа давтаж болох явдал юм. 02/08/2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, математикийн багш 9
Бүхэл бүтэн цуврал давталтуудад үүнийг мэдэх нь чухал Эдгээр давталт бүрт бид энэ үйл явдал тохиолдох уу, үгүй юу гэсэн асуултыг сонирхож байна. Мөн бүх цуврал давталтуудад энэ үйл явдал яг хэдэн удаа тохиолдож болохыг мэдэх нь бидний хувьд чухал юм. Жишээлбэл, шоо арван удаа дараалан шиддэг. 4 яг 3 удаа гарах магадлал хэд вэ? 10 удаа буудсан; Байгаа яг 8 удаа цохих магадлал хэд вэ? Эсвэл зоосыг таван шидэхэд толгой яг 4 удаа гарч ирэх магадлал хэд вэ? 02/08/2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, математикийн багш 10
Жэйкоб Бернулли жишээ ба асуултуудыг нэгтгэсэн 18-р зууны эхэн үеийн Швейцарийн математикч Якоб Бернулли энэ төрлийн жишээ, асуултуудыг нэг магадлалын схемд нэгтгэсэн. Магадлалыг нь үзье санамсаргүй үйл явдалМөн зарим туршилтыг явуулахад энэ нь P (A) -тай тэнцүү байна. Бид энэ тестийг зөвхөн хоёр боломжит үр дүн бүхий тест гэж үзэх болно: нэг үр дүн нь А үйл явдал тохиолдох, нөгөө үр дүн нь А үйл явдал тохиолдохгүй, өөрөөр хэлбэл Ᾱ үйл явдал тохиолдох болно. Товчхондоо эхний үр дүнг (А үйл явдал болсон) "амжилт", хоёр дахь үр дүнг (үйл явдал болсон Ᾱ) "бүтэлгүйтэл" гэж нэрлэе. "Амжилт"-ын магадлалын P(A)-ыг p-ээр, "бүтэлгүйтлийн" магадлалын P(Ᾱ)-ийг q-аар тэмдэглэнэ. Тэгэхээр q = P(Ᾱ) = 1 - P(A) = 1 - p. 02/08/2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, математикийн багш 11
ТЕОРЕМ 3 (Бернуллийн теорем) Теорем 3 (Бернуллийн теорем). Нэг тестийн бие даасан n давталт дахь яг k "амжилт"-ын магадлалыг P n (k) гэж үзье. Тэгвэл P n (k)= С n k p k q n- k , энд p нь “амжилт”-ын магадлал, q=1 - p нь тусдаа туршилтын “бүтэлгүйтлийн” магадлал юм. Энэ теорем (бид үүнийг нотлох баримтгүйгээр танилцуулж байна) онол практикийн аль алинд нь маш чухал ач холбогдолтой юм. 02/08/2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, математикийн багш 12
ЖИШЭЭ 6. Жишээ 6. a) - d) догол мөр бүрт n, k, p, q утгуудыг тодорхойлж, хүссэн P n (k) магадлалын илэрхийлэлийг (тооцоололгүйгээр) бичнэ үү. a) Зоосыг 10 шидэх үед яг 7 толгой гарах магадлал хэд вэ? б) 20 хүн бүр долоо хоногийн аль нэг өдрийг бие даан нэрлэнэ. "Азгүй" өдрүүд нь Даваа, Баасан гараг юм. "Амжилт хүсье" яг хагас байх магадлал хэд вэ? в) 5 эсвэл 6 өнхрүүлбэл үхрийг өнхрүүлэх нь "амжилттай" болно. 25 шидэхээс яг 5 шидэх нь "азтай" байх магадлал хэд вэ? d) Туршилт нь гурван өөр зоосыг нэгэн зэрэг шидэхээс бүрдэнэ. "Бүтэлгүйтэл": "бүргэд" гэхээсээ илүү "сүүл". 7 өнхрөх дунд яг гурван "аз" ирэх магадлал хэд вэ? 02/08/2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, математикийн багш 13
Шийдэл 6a) Жишээ 6. a) - d) догол мөр бүрт n, k, p, q утгуудыг тодорхойлж, хүссэн P n (k) магадлалын илэрхийлэлийг (тооцоололгүйгээр) бичнэ үү. a) Зоосыг 10 шидэх үед яг 7 толгой гарах магадлал хэд вэ? Шийдвэр: 02/08/2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, математикийн багш 14
Шийдэл 6b) Жишээ 6. a) - d) догол мөр бүрт n, k, p, q утгуудыг тодорхойлж, хүссэн P n (k) магадлалын илэрхийлэлийг (тооцоололгүйгээр) бичнэ үү. б) 20 хүн бүр долоо хоногийн аль нэг өдрийг бие даан нэрлэнэ. "Азгүй" өдрүүд нь Даваа, Баасан гараг юм. "Амжилт хүсье" яг хагас байх магадлал хэд вэ? Шийдвэр: 02/08/2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, математикийн багш 15
Шийдэл 6c) Жишээ 6. a) - d) догол мөр бүрт n, k, p, q утгуудыг тодорхойлж, хүссэн P n (k) магадлалын илэрхийлэлийг (тооцоололгүйгээр) бичнэ үү. в) 5 эсвэл 6 өнхрүүлбэл үхрийг өнхрүүлэх нь "амжилттай" болно. 25 шидэхээс яг 5 шидэх нь "азтай" байх магадлал хэд вэ? Шийдвэр: 02/08/2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, математикийн багш 16
Шийдэл 6d) Жишээ 6. a) - d) догол мөр бүрт n, k, p, q утгуудыг тодорхойлж, хүссэн P n (k) магадлалын илэрхийлэлийг (тооцоололгүйгээр) бичнэ үү. d) Туршилт нь гурван өөр зоосыг нэгэн зэрэг шидэхээс бүрдэнэ. "Бүтэлгүйтэл": "бүргэд" гэхээсээ илүү "сүүл". 7 өнхрөх дунд яг гурван "аз" ирэх магадлал хэд вэ? Шийдэл: d) n = 7, k = 3. Нэг шидэлтээр "аз" нь "бүргэд" -ээс цөөн "сүүл" байдаг. Нийт 8 үр дүн гарах боломжтой: PPP, PPO, POP, OPP, POO, ORO, OOP, OOO (P - "сүүл", O - "толгой"). Тэдний яг тал хувь нь толгойноосоо цөөн сүүлтэй: POO, ORO, OOP, OOO. Тэгэхээр p = q = 0.5; P 7 (3) \u003d C 7 3 ∙ 0.5 3 ∙ 0.5 4 \u003d C 7 3 ∙ 0.5 7. 02/08/2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, математикийн багш 17
Бернуллигийн теорем нь ... Бернуллигийн теорем нь магадлалыг тодорхойлох статистик хандлага болон санамсаргүй үйл явдлын магадлалын сонгодог тодорхойлолтын хооронд холбоо тогтоох боломжийг олгодог. Энэ холболтыг тайлбарлахын тулд мэдээллийн статистик боловсруулалтын тухай § 50-ийн нөхцөл рүү буцъя. "Амжилт" ба "бүтэлгүйтэл" гэсэн хоёр үр дүн бүхий ижил тестийн бие даасан n давталтын дарааллыг авч үзье. Эдгээр туршилтын үр дүн нь "амжилт" ба "бүтэлгүйтэл" гэсэн хоёр сонголтын дарааллаас бүрдсэн цуврал өгөгдлийг бүрдүүлдэг. Энгийнээр хэлэхэд U ("амжилт хүсье") ба H ("бүтэлгүйт") гэсэн хоёр үсгээс бүрдэх n урттай дараалал байдаг. Жишээлбэл, U, U, N, N, U, N, N, N, ..., U эсвэл N, U, U, N, U, U, N, N, U, ..., N гэх мэт. Y хувилбаруудын үржвэр, давтамжийг тооцоолъё, өөрөөр хэлбэл k / n бутархайг олъё, энд k нь бүх n давталтын дунд тааралдсан "азын" тоо юм. Эндээс харахад n-ийг хязгааргүй өсгөхөд "амжилт" үүсэх давтамж k/n нь нэг туршилтын "амжилт"-ын p магадлалаас бараг ялгагдахгүй байх болно. Энэхүү нэлээд төвөгтэй математик баримтыг Бернуллигийн теоремоос гаргаж авсан. 02/08/2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, математикийн багш 18
ТЕОРЕМ 4. Олон тооны бие даасан давталттай ТЕОРЕМ 4. Ижил туршилтын олон тооны бие даасан давталттай үед нарийвчлал нэмэгдэж буй санамсаргүй А үйл явдлын давтамж нь А үйл явдлын магадлалтай ойролцоогоор тэнцүү байна: k/n ≈ P(A). Жишээ нь: n > 2000 байх үед 99%-иас их магадлалтай байх үед үнэмлэхүй алдаа | k/n - P(A)| ойролцоо тэгш байдал k/n≈ P(A) 0.03-аас бага байна. Тиймээс социологийн судалгаанд санамсаргүй түүврийн аргаар сонгогдсон 2000 орчим хүнээс (харилцагч) ярилцлага авахад хангалттай. Тэдний 520 нь эерэгээр хариулсан гэж хэлж болно асуулт асуусан, тэгвэл k/n=520/2000=0.26 бөгөөд аль ч илүүсудалгаанд оролцогчдын хувьд энэ давтамж 0.23-0.29 хооронд байх болно. Энэ үзэгдлийг статистикийн тогтвортой байдлын үзэгдэл гэж нэрлэдэг. Тиймээс Бернуллигийн теорем ба түүний үр дагавар нь санамсаргүй үйл явдлын магадлалыг (ойролцоогоор) олох боломжийг бидэнд олгодог бөгөөд үүнийг тодорхой тооцоолох боломжгүй тохиолдолд. 02/08/2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, математикийн багш 19
Багшид 2014.02.08 Цыбикова Тамара Раднажаповна, математикийн багш 20
02/08/2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, математикийн багш 21
02/08/2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, математикийн багш 22
Эх сурвалж Алгебр ба анализын эхлэл, 10-11-р анги, 1-р хэсэг. Сурах бичиг, 10-р хэвлэл. (Үндсэн түвшин), А.Г.Мордкович, М., 2009 Алгебр ба анализын эхлэл, 10-11-р анги. (Үндсэн түвшин) Багш нарт зориулсан арга зүйн гарын авлага, А.Г.Мордкович, П.В.Семенов, М., 2010 Хүснэгтүүдийг MS Word, MS Excel программ дээр эмхэтгэсэн. Интернет эх сурвалж Цыбикова Тамара Раднажаповна, математикийн багш 2014.02.08 23
Урьдчилан үзэх:
Үзүүлэнг урьдчилан үзэхийн тулд өөртөө бүртгэл үүсгэнэ үү ( данс) Google болон нэвтэрнэ үү: https://accounts.google.com
Слайдын тайлбар:
слайд 1
Бүлэг 9. Математик статистикийн элементүүд, комбинаторик ба магадлалын онол
§54. Санамсаргүй тохиолдлууд ба тэдгээрийн магадлал 3. ТЕСТИЙН БИЕ ДААГҮЙ ДАВТАЛТ. БЕРНУЛЛИЙН ТЕОРЕМ, СТАТИСТИКИЙН ТОГТВОРТОЙ БАЙДАЛ.
слайд 2
Агуулга
ЖИШЭЭ 5. Нэг сумаар байг онох магадлал ... Шийдэл 5a); Шийдэл 5б); Шийдэл 5в); Шийдэл 5d) гэдгийг анхаарна уу ... Бүх цуврал давталтуудад үүнийг мэдэх нь чухал ... Жейкоб Бернулли жишээ болон асуултуудыг хослуулсан ... ТЕОРЕМ 3 (Бернуллийн теорем).
ЖИШЭЭ 6. a) - d) догол мөр бүрт n, k, p, q утгуудыг тодорхойлж, хүссэн Pn(k) магадлалын илэрхийллийг (тооцоололгүйгээр) бичнэ үү. Шийдэл 6a); Шийдэл 6б) ; Шийдэл 6c); Шийдэл 6d ). Бернуллигийн теорем нь ... ТЕОРЕМ 4. Олон тооны бие даасан давталттай ... Багшийн хувьд.Эх сурвалж.
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, математикийн багш
*
слайд 3
3. ШАЛГАЛТЫН БИЕ ДААН ДАВТАЛТ. БЕРНУЛЛИЙН ТЕОРЕМ, СТАТИСТИКИЙН ТОГТВОРТОЙ БАЙДАЛ.
3-р хэсэг
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, математикийн багш
*
слайд 4
ЖИШЭЭ 5. Байгаа нэг сумаар онох магадлал
Өмнөх жишээг бага зэрэг өөрчилье: 2 өөр харвагчийн оронд нэг харвасан хүн бай руу буудна.Жишээ 5. Байгаа нэг сумаар онох магадлал 0.8. 3 бие даасан буудлага хийсэн. Байгаа: а) гурван удаа онох; б) онохгүй байх; в) дор хаяж нэг удаа онох; г) яг нэг удаа онох магадлалыг ол.
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, математикийн багш
*
слайд 5
5a жишээний шийдэл)
Жишээ 5. Байгаа нэг сумаар онох магадлал 0.8. 3 бие даасан буудлага хийсэн. Зорилтот оногдох магадлалыг ол: a) гурван удаа онох;
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, математикийн багш
*
слайд 6
Жишээ 5б-ийн шийдэл)
Жишээ 5. Байгаа нэг сумаар онох магадлал 0.8. 3 бие даасан буудлага хийсэн. Зорилтот оногдохгүй байх магадлалыг ол: б) Шийдэл:
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, математикийн багш
*
Слайд 7
Жишээ 5c-ийн шийдэл)
Жишээ 5. Байгаа нэг сумаар онох магадлал 0.8. 3 бие даасан буудлага хийсэн. Байгааг дор хаяж нэг удаа онох магадлалыг ол: Шийдэл:
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, математикийн багш
*
Слайд 8
5d жишээний шийдэл)
Жишээ 5. Байгаа нэг сумаар онох магадлал 0.8. 3 бие даасан буудлага хийсэн. Байгааг яг нэг удаа онох магадлалыг ол: d) Шийдэл:
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, математикийн багш
*
Слайд 9
Анхаарна уу
Жишээ 5-ын d) хэсэгт өгөгдсөн шийдэл нь хамгийн түгээмэл магадлалын загваруудын нэг болох алдарт Бернулли теоремын нотолгоог давтдаг бөгөөд энэ нь хоёр боломжит үр дүнтэй ижил туршилтын бие даасан давталт юм. Магадлалын олон асуудлуудын нэг онцлог шинж чанар нь бидний сонирхсон үйл явдал тохиолдож болох тестийг олон удаа давтах боломжтой байдаг.
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, математикийн багш
*
Слайд 10
Бүхэл бүтэн цуврал давталтуудад үүнийг мэдэх нь чухал юм
Эдгээр давталт бүрт бид энэ үйл явдал болох уу, үгүй юу гэсэн асуултыг сонирхож байна. Мөн бүх цуврал давталтуудад энэ үйл явдал яг хэдэн удаа тохиолдож болохыг мэдэх нь бидний хувьд чухал юм. Жишээлбэл, шоо арван удаа дараалан шиддэг. 4 яг 3 удаа гарах магадлал хэд вэ? 10 удаа буудсан; Байгаа яг 8 удаа цохих магадлал хэд вэ? Эсвэл зоосыг таван шидэхэд толгой яг 4 удаа гарч ирэх магадлал хэд вэ?
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, математикийн багш
*
слайд 11
Жэйкоб Бернулли жишээ болон асуултуудыг хослуулсан
18-р зууны эхэн үеийн Швейцарийн математикч Якоб Бернулли энэ төрлийн жишээ, асуултуудыг нэгтгэн нэг магадлалын схемд оруулав.Зарим тестийн үед санамсаргүй тохиолдох А үйл явдлын магадлалыг P (A) -тай тэнцүү болго. Бид энэ тестийг зөвхөн хоёр боломжит үр дүн бүхий тест гэж үзэх болно: нэг үр дүн нь А үйл явдал тохиолдох, нөгөө үр дүн нь А үйл явдал тохиолдохгүй, өөрөөр хэлбэл Ᾱ үйл явдал тохиолдох болно. Товчхондоо эхний үр дүнг (А үйл явдал болсон) "амжилт", хоёр дахь үр дүнг (үйл явдал болсон Ᾱ) "бүтэлгүйтэл" гэж нэрлэе. "Амжилт"-ын магадлалын P(A)-ыг p-ээр, "бүтэлгүйтлийн" магадлалын P(Ᾱ)-ийг q-аар тэмдэглэнэ. Тэгэхээр q = P(Ᾱ) = 1 - P(A) = 1 - p.
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, математикийн багш
*
слайд 12
ТЕОРЕМ 3 (Бернуллийн теорем)
Теорем 3 (Бернуллигийн теорем). Нэг тестийн бие даасан n давталт дахь яг k "амжилт"-ын магадлалыг Pn(k) гэж үзье. Дараа нь Pn(k)= Сnk pk qn-k, энд p нь “амжилт”-ын магадлал, q=1-p нь тусдаа тестээр “бүтэлгүйтэх” магадлал юм.Энэ теорем (бид үүнийг нотлох баримтгүйгээр өгдөг. ) онол, практикийн хувьд маш чухал юм.
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, математикийн багш
*
слайд 13
ЖИШЭЭ 6.
Жишээ 6. a) - d) догол мөр бүрт n, k, p, q-ийн утгыг тодорхойлж, хүссэн Pn(k) магадлалын илэрхийлэлийг (тооцоололгүйгээр) бичнэ үү? б) Долоо хоногийн аль нэг өдрийг 20 хүн бие даан нэрлэдэг. "Азгүй" өдрүүд нь Даваа, Баасан гараг юм. "Амжилт хүсье" яг хагас байх магадлал хэд вэ? 25 шидсэнээс яг 5 шидэх нь "амжилттай" байх магадлал хэд вэ? d) Туршилт нь гурван өөр зоос зэрэг шидэхээс бүрдэнэ. "Бүтэлгүйтэл": "бүргэд" гэхээсээ илүү "сүүл". 7 өнхрөх дунд яг гурван "аз" ирэх магадлал хэд вэ?
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, математикийн багш
*
Слайд 14
Шийдэл 6a)
Жишээ 6. a) - d) догол мөр бүрт n, k, p, q-ийн утгыг тодорхойлж, хүссэн Pn(k) зоосны магадлалын илэрхийлэлийг (тооцоололгүйгээр) бичнэ үү? Шийдэл:
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, математикийн багш
*
слайд 15
Шийдэл 6б)
Жишээ 6. a) - d) догол мөр бүрт n, k, p, q утгуудыг тодорхойлж, хүссэн Pn(k) магадлалын илэрхийлэл (тооцоололгүйгээр) бичнэ. b) 20 хүн тус бүрийг тус тусад нь бичнэ үү. долоо хоногийн нэг өдрийг нэрлэнэ. "Азгүй" өдрүүд нь Даваа, Баасан гараг юм. "Амжилт"-ын яг тал хувь нь байх магадлал хэд вэ? Шийдэл:
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, математикийн багш
*
слайд 16
Шийдэл 6c)
Жишээ 6. a) - d) зүйл бүрийн n, k, p, q утгуудыг тодорхойлж, хүссэн Pn(k) магадлалын илэрхийлэлийг (тооцоололгүйгээр) бичнэ үү. 25-аас яг 5 шидэх нь "азтай" байх магадлал хэд вэ? Шийдэл:
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, математикийн багш
*
Слайд 17
Шийдэл 6d)
Жишээ 6. a) - d) догол мөр бүрт n, k, p, q утгуудыг тодорхойлж, хүссэн Pn(k) магадлалын илэрхийлэлийг (тооцоололгүйгээр) бичнэ. d) Туршилт нь дараахь зүйлээс бүрдэнэ. гурван өөр зоосыг нэгэн зэрэг шидэх. "Бүтэлгүйтэл": "бүргэд" гэхээсээ илүү "сүүл". 7 шидэлтийн дунд яг гурван “аз” ирэх магадлал хэд вэ? Шийдэл: d) n = 7, k = 3. Нэг шидэхэд “аз” гэвэл “бүргэд”-ээс цөөн “сүүл” байна. Нийт 8 үр дүн гарах боломжтой: PPP, PPO, POP, OPP, POO, ORO, OOP, OOO (P - "сүүл", O - "толгой"). Тэдний яг тал хувь нь толгойноосоо цөөн сүүлтэй: POO, ORO, OOP, OOO. Тэгэхээр p = q = 0.5; Р7(3) = С73 ∙ 0.53 ∙ 0.54 = С73 ∙ 0.57.
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, математикийн багш
*
Слайд 18
Бернуллигийн теорем нь...
Бернуллигийн теорем нь магадлалыг тодорхойлох статистик хандлага болон санамсаргүй үйл явдлын магадлалын сонгодог тодорхойлолтын хооронд холбоо тогтоох боломжийг олгодог. Энэ холболтыг тайлбарлахын тулд мэдээллийн статистик боловсруулалтын тухай § 50-ийн нөхцөл рүү буцъя. "Амжилт" ба "бүтэлгүйтэл" гэсэн хоёр үр дүн бүхий ижил тестийн бие даасан n давталтын дарааллыг авч үзье. Эдгээр туршилтын үр дүн нь "амжилт" ба "бүтэлгүйтэл" гэсэн хоёр сонголтын дарааллаас бүрдсэн цуврал өгөгдлийг бүрдүүлдэг. Энгийнээр хэлэхэд Y ("амжилт хүсье") ба H ("бүтэлгүйт") гэсэн хоёр үсгээс бүрдэх n урттай дараалал байдаг. Жишээлбэл, U, U, N, N, U, N, N, N, ..., U эсвэл N, U, U, N, U, U, N, N, U, ..., N гэх мэт. Y хувилбаруудын үржвэр, давтамжийг тооцоолъё, өөрөөр хэлбэл бид k / n бутархайг олох болно, энд k нь бүх n давталтын дунд тохиолдсон "аз"-ын тоо юм. Эндээс харахад n-ийг хязгааргүй өсгөхөд "амжилт" үүсэх давтамж k/n нь нэг туршилтын "амжилт"-ын p магадлалаас бараг ялгагдахгүй байх болно. Энэхүү нэлээд төвөгтэй математик баримтыг Бернуллигийн теоремоос гаргаж авсан.
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, математикийн багш
*
Слайд 19
ТЕОРЕМ 4. Олон тооны бие даасан давталтын хувьд
ТЕОРЕМ 4. Ижил туршилтын бие даасан олон тооны давталттай үед өсөн нэмэгдэж буй нарийвчлалтай санамсаргүй А үйл явдлын давтамж нь А үйл явдлын магадлалтай ойролцоогоор тэнцүү байна: k / n ≈ P (A).Жишээ нь: n > 2000 бол 99%-иас их магадлалтай , үнэмлэхүй алдаа |k/n- Р(А)| ойролцоо тэгш байдал k/n≈ P(A) 0.03-аас бага байна. Тиймээс социологийн судалгаанд санамсаргүй түүврийн аргаар сонгогдсон 2000 орчим хүнээс (харилцагч) ярилцлага авахад хангалттай. Хэрэв тэдний 520 нь асуултанд эерэг хариулт өгсөн бол k / n = 520 / 2000 = 0.26 бөгөөд илүү олон тооны судалгаанд оролцогчдын хувьд ийм давтамж 0.23-аас 0.29 хооронд байх нь бараг тодорхой юм. Энэ үзэгдлийг статистикийн тогтвортой байдлын үзэгдэл гэж нэрлэдэг.Иймээс Бернулли теорем ба түүний үр дагавар нь санамсаргүй үйл явдлын магадлалыг (ойролцоогоор) олох боломжийг олгодог бөгөөд үүнийг тодорхой тооцоолох боломжгүй тохиолдолд.
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, математикийн багш
*
Слайд 20
Багшийн хувьд
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, математикийн багш
*
слайд 21
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, математикийн багш
*
слайд 22
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, математикийн багш
*
слайд 23
Эх сурвалжууд
Алгебр ба анализын эхлэл, 10-11-р анги, 1-р хэсэг. Сурах бичиг, 10-р хэвлэл. (Үндсэн түвшин), А.Г.Мордкович, М., 2009 Алгебр ба анализын эхлэл, 10-11-р анги. (Үндсэн түвшин) Багш нарт зориулсан арга зүйн гарын авлага, А.Г.Мордкович, П.В.Семенов, М., 2010 Хүснэгтүүдийг MS Word, MS Excel программ дээр эмхэтгэсэн.Интернетийн нөөц
Цыбикова Тамара Раднажаповна, математикийн багш
08.02.2014
*
слайд 1
Бернуллигийн теорем
17.03.2017
слайд 2
Цуврал n бие даасан туршилтыг явуулдаг. Туршилт бүр 2 үр дүнтэй байдаг: A - "амжилт" ба - "амжилтгүй". Туршилт бүрийн "амжилт"-ын магадлал нь ижил бөгөөд P(A) = p-тэй тэнцүү Үүний дагуу "бүтэлгүйтлийн" магадлал нь туршлагаас туршлагаасаа өөрчлөгддөггүй бөгөөд тэнцүү байна.
Бернулли схем
n цуврал туршилтыг k удаа амжилттай хийх магадлал хэд вэ? Pn(k) ийг ол.
слайд 3
Зоосыг n удаа шиддэг. Хөзрийг тавцангаас n удаа татаж авах ба картыг буцааж өгөх болгонд тавцанг хольж хутгана. Бид санамсаргүй байдлаар сонгосон зарим үйлдвэрлэлийн n бүтээгдэхүүнийг чанарын хувьд шалгадаг. Буудагч нь бай руу n удаа бууддаг.
Жишээ
слайд 4
Дараах асуултууд яагаад Бернулли схемд тохирохыг тайлбарла. "Амжилт" нь юунаас бүрдэх, n ба k гэж юу болохыг заа. a) Үхлийн арван шидэлтэнд 2 гурван удаа авах магадлал хэд вэ? б) Зоосыг 100 шидэхэд толгой 73 удаа гарч ирэх магадлал хэд вэ? в) Хос шоо дараалан хорин удаа шидэв. Онооны нийлбэр хэзээ ч аравтай тэнцэж байгаагүй байх магадлал хэд вэ? г) 36 картын тавцангаас гурван картыг сугалж, үр дүнг тэмдэглэж, тавцан руу буцааж, дараа нь картуудыг хольсон. Энэ нь 4 удаа давтагдсан. Хүрзний хатан хаан сугалах бүрдээ хөзрийн дунд байсан байх магадлал хэд вэ?
слайд 5
N-ээс k хүртэлх тооны хослолын хувьд томъёо хүчинтэй байна
Жишээлбэл:
слайд 6
Бернуллигийн теорем
Нэг туршилтын бие даасан n давталт дахь яг k амжилтын магадлалыг Pn(k) томъёогоор олно. p нь “амжилтанд хүрэх магадлал”, q = 1- p нь тусдаа туршилтын “бүтэлгүйтлийн” магадлал юм. .
Слайд 7
Зоосыг 6 удаа шиддэг. Төрийн сүлд 0, 1, ...6 удаа гарч ирэх магадлал хэд вэ? Шийдэл. Туршилтын тоо n=6. А үйл явдал - "амжилт" - төрийн сүлд алга болно. Бернулли томьёоны дагуу шаардлагатай магадлал нь байна
;
;
;
;
;
;
Слайд 8
Зоосыг 6 удаа шиддэг. Төрийн сүлд 0, 1, ...6 удаа гарч ирэх магадлал хэд вэ? Шийдэл. Туршилтын тоо n=6. А үйл явдал - "амжилт" - төрийн сүлд алга болно.
;
;
;
;
;
;
Слайд 9
Зоосыг 10 удаа шиддэг. Төрийн сүлд хоёр удаа гарч ирэх магадлал хэд вэ? Шийдэл. Туршилтын тоо n=10, m=2. А үйл явдал - "амжилт" - төрийн сүлд алга болно. Бернулли томьёоны дагуу шаардлагатай магадлал нь байна
;
;
;
;
;
;
Слайд 10
Нэг саванд 20 цагаан, 10 хар бөмбөлөг байдаг. 4 бөмбөгийг гаргаж, дараагийн бөмбөгийг сугалж, саванд байгаа бөмбөгийг холихын өмнө гаргасан бөмбөг бүрийг саванд буцааж өгнө. Сугалсан 4 бөмбөгний 2 нь цагаан байх магадлалыг ол. Шийдэл. А үйл явдал - авсан цагаан бөмбөг. Дараа нь магадлалууд Бернулли томьёоны дагуу шаардлагатай магадлал нь байна
слайд 11
5 хүүхэдтэй айлд охин байхгүй байх магадлалыг тодорхойл. Хүү, охинтой болох магадлалыг ижил гэж үздэг. Шийдэл. Охин, хөвгүүн төрөх магадлал Бернуллигийн томъёогоор шаардлагатай магадлал нь тэнцүү байна.
слайд 12
5 хүүхэдтэй айл нэг охинтой болох магадлалыг ол. Хүү, охинтой болох магадлалыг ижил гэж үздэг. Шийдэл. Охин, хөвгүүн төрөх магадлал Бернуллигийн томъёогоор шаардлагатай магадлал нь тэнцүү байна.
слайд 13
5 хүүхэдтэй гэр бүл хоёр охинтой болох магадлалыг тодорхойл. Шийдэл. Охин, хөвгүүн төрөх магадлал Бернуллигийн томъёогоор шаардлагатай магадлал нь тэнцүү байна.
Слайд 14
5 хүүхэдтэй гэр бүл 3 охинтой болох магадлалыг ол. Шийдэл. Охин, хөвгүүн төрөх магадлал Бернуллигийн томъёогоор шаардлагатай магадлал нь тэнцүү байна.
слайд 15
5 хүүхэдтэй гэр бүл 3-аас илүүгүй охинтой болох магадлалыг тодорхойл. Хүү, охинтой болох магадлалыг ижил гэж үздэг. Шийдэл. Охин, хүүтэй болох магадлал Шаардлагатай магадлал нь тэнцүү байна
.
слайд 16
Ажилчдын боловсруулсан эд ангиудын дунд дунджаар 4% нь стандартын бус байдаг. Туршилтанд авсан 30 хэсгээс хоёр нь стандарт бус байх магадлалыг ол. Шийдэл. 30 хэсэг тус бүрийг чанарын хувьд шалгах туршлага энд оршдог. А үйл явдал - "стандарт бус хэсгийн харагдах байдал",
"Математик статистикийн элементүүд" - Итгэлийн интервал. Шинжлэх ухаан. Таамаглалын ангилал. Эд ангиудыг өөр өөр машин дээр хийдэг. Дүрмүүдийг шалгаж байна. корреляцийн хамаарал. Донтолт. Шалгуур үзүүлэлтүүдийн багц. Итгэлийн интервалыг ол. Үл мэдэгдэх дисперсийн итгэлцлийн интервалын тооцоо. Хэвийн тархалт.
"Магадлал ба математикийн статистик" - Хүлээн авсан утгуудын нарийвчлал. Сейфийн код. Дүрслэх статистик. Алим. Үйл явдлыг авч үзье. үржүүлэх дүрэм. Хоёр буудагч. Харьцуулалт сургалтын хөтөлбөр. Карамель. Баганан диаграмын жишээ. Математикийн оноо. Гуравыг үржүүлэх дүрэм. Цагаан ба улаан сарнай. 9 өөр ном. Өвлийн амралт.
"Математик статистикийн үндэс" - Нөхцөлт магадлал. Стандартчилагдсан утгуудын хүснэгт. Оюутны хуваарилалтын шинж чанарууд. Математикийн хүлээлтийн итгэлийн интервал. Жишээ дундаж. Хуваарилалт. Нэг шүүх хурлыг нэг удаагийн шүүх хурал гэж үзэж болно. Квантиль - зүүн талд квантил индекстэй харгалзах утгуудын тоо байх ёстой.
"Магадлалын онол ба статистик" - Интервалын хязгаар. Чухал бүсүүд. Магадлалын үржүүлэх теорем. Ердийн санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт. Бернулли томъёоны гарал үүсэл. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулиуд. ZBC-ийн үг хэллэг. Төвийн хязгаарын теоремын утга, томъёолол. Нэрлэсэн шинж чанаруудын хамаарал. Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний стохастик хамаарал.
"Статистикийн судалгаа" - Хамааралтай байдал. Статистикийн шинж чанар, судалгаа. Төлөвлөгөө. Хүрээ нь өгөгдлийн цувралын хамгийн том ба хамгийн бага утгуудын хоорондох зөрүү юм. Статистикийн ажиглалтын төрлүүд. Та математик сурах дуртай юу? Цуврал тоонуудыг авч үзье. Математикийн хэцүү сэдвийг ойлгоход хэн тусалдаг вэ? Таны ирээдүйн мэргэжилд математик хэрэгтэй юу?
"Статистикийн үндсэн үзүүлэлтүүд" - Статистикийн үндсэн үзүүлэлтүүд. Арифметик дундажийг ол. ПЕТРОНИУС. шудар. Эгнээний загвар. Цуврал тоонуудын арифметик дундаж. Мөр хоорондын зай. Цувралын медиан. Статистик. Медиан. Сургуулийн дэвтэр.
Энэ сэдвээр нийт 17 илтгэл тавигдсан
ХОЛБООНЫ БОЛОВСРОЛЫН ГАЗАР
Төрийн боловсролын байгууллага
дээд мэргэжлийн боловсрол
"МАТИ" - ОРОСЫН УЛСЫН ТЕХНОЛОГИЙН ИХ СУРГУУЛЬ ИМ. К.Э. ЦИОЛКОВСКИЙ
Системийн загварчлал, мэдээллийн технологийн тэнхим
Туршилтын давталт. Бернулли схем
Практик дасгал хийх арга зүйн заавар
"Дээд математик" чиглэлээр
Эмхэтгэсэн: Егорова Ю.Б.
Мамонов I.M.
Москва 2006 танилцуулга
Удирдамж нь 150601, 160301, 230102 мэргэжлээр 14-р факультетийн өдөр, оройн тэнхимийн оюутнуудад зориулагдсан болно. Удирдамж нь сэдвийн үндсэн ойлголтыг онцолж, материалыг судлах дарааллыг тодорхойлдог. Олон тооны авч үзсэн жишээнүүд нь сэдвийг практик боловсруулахад тусалдаг. Удирдамж нь практик дасгал хийх, бие даасан даалгавруудыг хэрэгжүүлэх арга зүйн үндэс болдог.
БЕРНУЛЛИ СХЕМ. БЕРНУЛЛИ ТОМЪЁО
Бернулли схем- давтан бие даасан туршилтын схем, ямар нэг үйл явдал ГЭХДЭЭтогтмол магадлалтайгаар олон удаа давтаж болно Р (ГЭХДЭЭ)= Р .
Бернулли схемийн дагуу хийсэн туршилтуудын жишээ: зоос эсвэл шоо олон удаа шидэх, хэсэг хэсгүүдийг хийх, бай руу буудах гэх мэт.
Теорем.Хэрэв ямар нэгэн үйл явдал болох магадлал ГЭХДЭЭтест бүрт тогтмол бөгөөд тэнцүү байна Р, дараа нь үйл явдал болох магадлал ГЭХДЭЭирнэ мнэг удаа nТуршилтыг (ямар дарааллаас үл хамааран) Бернулли томъёогоор тодорхойлж болно.
хаана q = 1 – х.
ЖИШЭЭ 1.Нэг өдрийн турш цахилгаан эрчим хүчний хэрэглээ тогтоосон нормоос хэтрэхгүй байх магадлал тэнцүү байна p= 0,75. Дараагийн 6 хоногт 4 хоногийн цахилгааны хэрэглээ нормоос хэтрэхгүй байх магадлалыг ол.
ШИЙДЭЛ. 6 хоног бүрийн хэвийн эрчим хүчний хэрэглээний магадлал тогтмол ба тэнцүү байна Р= 0.75. Тиймээс өдөр бүр цахилгаан эрчим хүчийг хэт их зарцуулах магадлал тогтмол бөгөөд тэнцүү байна q = 1Р = 1 0,75 = 0,25.
Бернулли томъёоны дагуу хүссэн магадлал нь дараахтай тэнцүү байна.
ЖИШЭЭ 2.Буудагч бай руу гурван удаа бууддаг. Буудсан болгондоо бай онох магадлал p= 0,3. Магадлалыг ол: a) нэг бай оногдох; б) бүх гурван зорилт; в) зорилго байхгүй; г) дор хаяж нэг зорилтот; д) хоёроос бага зорилт.
ШИЙДЭЛ. Буудсан тус бүрээр бай онох магадлал тогтмол бөгөөд тэнцүү байна Р=0.75. Тиймээс алдах магадлал өндөр байна q = 1 Р\u003d 1 - 0,3 \u003d 0,7. Туршилтын нийт тоо n=3.
a) Гурван сумаар нэг байг онох магадлал дараахтай тэнцүү байна.
б) Гурван байг гурван сумаар онох магадлал:
в) Гурван цохилтоор гурван удаа алдах магадлал нь дараахтай тэнцүү байна.
г) Гурван сумаар дор хаяж нэг байг онох магадлал дараахтай тэнцүү байна.
e) Хоёроос бага байг онох магадлал, тухайлбал нэг бай, аль нь ч биш:
Мойвр-Лапласын орон нутгийн ба интеграл теоремууд
Хэрэв олон тооны туршилт хийвэл Бернулли томъёог ашиглан магадлалыг тооцоолох нь техникийн хувьд хэцүү болно, учир нь томьёо нь асар их тооны үйлдлийг шаарддаг. Тиймээс их хэмжээний магадлалыг тооцоолох илүү энгийн ойролцоо томъёонууд байдаг n. Эдгээр томъёог асимптотик гэж нэрлэдэг бөгөөд Пуассоны теорем, Лапласын локал ба интеграл теоремуудаар тодорхойлогддог.
Локал де Мойвр-Лаплас теорем. ГЭХДЭЭ ГЭХДЭЭтохиолдох мнэг удаа n n (n →∞ ), ойролцоогоор тэнцүү байна:
функц хаана байна 
болон аргумент 
Илүү их n, магадлалыг илүү нарийвчлалтай тооцоолох. Иймд Мойвр-Лапласын теоремыг хэрэглэх нь зүйтэй npq 20.
е ( x ) тусгай хүснэгтүүдийг эмхэтгэсэн (Хавсралт 1-ийг үзнэ үү). Хүснэгтийг ашиглахдаа санаарай функцийн шинж чанарууд f(x) :
Чиг үүрэг f(x)тэгш байна f( x)= f(x) .
At X ∞ функц f(x) 0. Практикт бид аль хэдийн үед гэж үзэж болно X>4 функц f(x) ≈0.
ЖИШЭЭ 3.Үйл явдал болох магадлалыг ол ГЭХДЭЭүйл явдал тохиолдох магадлал бол 400 туршилтанд 80 удаа тохиолддог ГЭХДЭЭшалгалт бүрт байдаг p= 0,2.
ШИЙДЭЛ. Нөхцөлөөр n=400, м=80, х=0,2, q=0.8. Үүний үр дүнд:
Хүснэгтийн дагуу бид функцийн утгыг тодорхойлно е (0)=0,3989.
Мойвр-Лапласын интеграл теорем.Хэрэв ямар нэгэн үйл явдал болох магадлал ГЭХДЭЭТуршилт бүрт тогтмол бөгөөд 0 ба 1-ээс ялгаатай, дараа нь үйл явдлын магадлал ГЭХДЭЭээс ирэх м 1 өмнө м 2 нэг удаа n хангалттай олон тооны туршилтууд n (n →∞ ), ойролцоогоор тэнцүү байна:
хаана 
- интеграл эсвэл Лаплас функц, 
Функцийн утгыг олохын тулд F( x ) тусгай хүснэгтүүдийг боловсруулсан (жишээлбэл, Хавсралт 2-ыг үзнэ үү). Хүснэгтийг ашиглахдаа санаарай Лаплас функцийн шинж чанарууд Ф(x) :
Чиг үүрэг Ф(x)хачирхалтай F( x)= Ф(x) .
At X ∞ функц Ф(x) 0.5. Практик дээр үүнийг ингэж үзэж болно X>5 функц Ф(x) ≈0,5.
Ф (0)=0.
ЖИШЭЭ 4.Чанарын хяналтын хэлтсийн шалгалтанд тэнцээгүй байх магадлал 0.2 байна. 400 зүйлийн дундаас 70-100 зүйл сонгогдоогүй байх магадлалыг ол.
ШИЙДЭЛ. Нөхцөлөөр n=400, м 1 =70, м 2 =100, х=0,2, q=0.8. Үүний үр дүнд:
Лаплас функцийн утгуудыг өгсөн хүснэгтийн дагуу бид дараахь зүйлийг тодорхойлно.
Ф(x 1 ) = F( 1,25 )= F( 1,25 )= 0,3944; Ф(x 2 ) = F( 2,5 )= 0,4938.
Хэд хэдэн бие даасан шүүх хурал үргэлжилж байна.тус бүр нь 2 боломжит үр дагавартай,
Үүнийг бид болзолт амжилт ба бүтэлгүйтэл гэж нэрлэх болно.
Жишээлбэл, нэг оюутан тус бүрдээ 4 шалгалт өгдөг
үүнээс 2 үр дүн гарах боломжтой Амжилт: оюутан
шалгалтанд тэнцсэн ба амжилтгүй болсон: амжилтгүй болсон. Туршилт бүрт амжилтанд хүрэх магадлал
х. Амжилтгүй болох магадлал нь q=1-p.
Цувралд байх магадлалыг олох шаардлагатай
n сорилтоос хэдэн удаа амжилт ирнэ
Pn(м) Bm Ó Ó ... Ó Í ... Í
Í Ó ... Ó Í ... Í ...
Í Í ... Í Ó ... Ó
Тохиолдол бүрт Амжилт m удаа тохиолддог ба
Амжилтгүй болсон (n-m) удаа.
Тоо
бүгд
хослолууд
тэнцүү байна
тоо
n туршилтаас тэдгээр m-ийг сонгох арга замууд, in
Энэ нь Амжилт байсан, өөрөөр хэлбэл. C м
n Ийм хослол бүрийн магадлал нь
теорем
тухай
үржүүлэх
магадлал
Pmqn-m байх болно.
Эдгээр хослолууд нь хоорондоо нийцэхгүй байгаа тул
үйл явдлын хүссэн магадлал Bm байх болно
Pn (m) p q
м
н м
... p q
м
н м
нийт C s хоцрогдол û õ C p q
м
n
м
n
м
н м Pn (m) C p q
м
n
м
н м Толгой дээр зоос унавал оюутан гэдэг нь мэдэгдэж байна
Хэрэв зоос сүүл рүүгээ буувал кинонд орно
оюутнууд. Ийм магадлал хэд вэ
1) тэдний гурав нь лекцэнд орно
2) лекцэнд 3-аас доошгүй оюутан оролцоно
2) оюутнуудын ядаж нэг нь лекцэнд орох уу? 1) Энэ бодлогод n=5-ын цуваа
бие даасан туршилтууд. Үүнийг Амжилт гэж нэрлэе
лекцэнд явах (сүүл унах) ба
Бүтэлгүйтэл - кино театрт явах (сүлднээс унах).
p=q=1/2.
Бернулли томъёог ашиглан бид магадлалыг олно
Зоос 5 удаа шидсэний дараа 3 удаа юу болох вэ?
амжилт:
3
2
1 1
P5(3)C
2 2
5! 1 1
1
10
0,3125
3!2! 8 4
32
3
55 шидэлтийн дараа гарах магадлалыг олох
наад зах нь нэг удаа зоос сүүлээ буулгах болно,
эсрэгээр байх магадлал руу шилжье
үйл явдлууд - зоос нь төрийн сүлдний хамт 5 удаа унах болно:
P5 (0).
Тэгвэл хүссэн магадлал нь: P=1-P5(0) болно.
Бернулли томъёоны дагуу:
0
5
1 1
P5(0)C
2 2
0
5
5
1
0,03125
2 Дараа нь хүссэн үйл явдлын магадлал байх болно
P1 0.03125 0.96875
Бернулли
оюутан явдаг
кино театрт, хэрэв зоос унавал оюутан очдог
лекц. Зоосыг 5 оюутан шидсэн. Хамгийн их нь юу вэ
лекцэнд орох оюутнуудын тоо байх уу?
Магадлал
1 тасалбарын ялалт 0.2 байна. Хамгийн их нь юу вэ
хожих тасалбарын боломжит тоо? Схем дэх амжилтын хамгийн их магадлалтай тоо
Бернулли
np q k np p Схем дэх амжилтын хамгийн их магадлалтай тоо
Бернулли
Амжилтын хамгийн их магадлалтай тооны томъёо
np q k np p
Хэрэв np-q бүхэл тоо бол энэ интервал нь 2-ыг агуулна
бүхэл тоо. Аль аль нь адилхан гайхалтай.
Хэрэв np-q нь бүхэл бус тоо бол энэ интервал нь 1-ийг агуулна
бүхэл тоо Схем дэх амжилтын хамгийн их магадлалтай тоо
Бернулли
Жишээ: Хэрэв зоос толгой дээр буувал,
- Оюутан лекцэнд явдаг. Зоос шидсэн 5
оюутнууд лекц унших гэж байна уу?
np q k np p
n 5
1
p q
2Схем дэх амжилтын хамгийн их магадлалтай тоо
Бернулли
Жишээ: Хэрэв зоос толгой дээр буувал,
Хэрэв зоос сүүл рүүгээ унавал оюутан кино театрт очдог
- Оюутан лекцэнд явдаг. Зоос шидсэн 5
оюутнууд. Хамгийн их магадлалтай тоо хэд вэ
оюутнууд лекц унших гэж байна уу?
np q k np p
n 5
1
p q
2
1 1
np q 5 2
2 2
1 1
np p 5 3
2 2Схем дэх амжилтын хамгийн их магадлалтай тоо
Бернулли
Жишээ: Хэрэв зоос толгой дээр буувал,
Хэрэв зоос сүүл рүүгээ унавал оюутан кино театрт очдог
- Оюутан лекцэнд явдаг. Зоос шидсэн 5
оюутнууд. Хамгийн их магадлалтай тоо хэд вэ
оюутнууд лекц унших гэж байна уу?
np q k np p
n 5
1
p q
2
1 1
np q 5 2
2 2
1 1
np p 5 3
2 2
2 к 3 к 2, к 3 Схем дэх амжилтын хамгийн их магадлалтай тоо
Бернулли
Жишээ: Хэрэв зоос толгой дээр буувал,
Хэрэв зоос сүүл рүүгээ унавал оюутан кино театрт очдог
- Оюутан лекцэнд явдаг. Зоос шидсэн 5
оюутнууд. Хамгийн их магадлалтай тоо хэд вэ
оюутнууд лекц унших гэж байна уу?
2
3
3
2
5
1 1
1 10 5
P5 (2) C52 10
32 16
2 2
2
5
1 1
1 10 5
P5 (3) C53 10
32 16
2 2
2 Схем дэх амжилтын хамгийн их магадлалтай тоо
Бернулли
Жишээ: Хэрэв зоос толгой дээр буувал,
Хэрэв зоос сүүл рүүгээ унавал оюутан кино театрт очдог
- Оюутан лекцэнд явдаг. Зоос шидсэн 5
оюутнууд. Хамгийн их магадлалтай тоо хэд вэ
оюутнууд лекц унших гэж байна уу?
магадлал, Pn(k)
Оролцсон оюутны тооны магадлал
лекц
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
оюутны тоо, к
4
5Схем дэх амжилтын хамгийн их магадлалтай тоо
Бернулли
Жишээ нь 10 сугалааны тасалбар худалдаж авсан.
тасалбар?
np q k np p
n 10
p 0.2 q 0.8 Схем дэх амжилтын хамгийн их магадлалтай тоо
Бернулли
Жишээ нь 10 сугалааны тасалбар худалдаж авсан.
1 тасалбар дээр хожих магадлал 0.2 байна.
Ялагчдын хамгийн их магадлалтай тоо хэд вэ
тасалбар?
np q k np p
n 10
p 0.2 q 0.8
np q 10 0.2 0.8 1.2
np p 10 0.2 0.2 2.2 Схем дэх амжилтын хамгийн их магадлалтай тоо
Бернулли
Жишээ нь 10 сугалааны тасалбар худалдаж авсан.
1 тасалбар дээр хожих магадлал 0.2 байна.
Ялагчдын хамгийн их магадлалтай тоо хэд вэ
тасалбар?
np q k np p
n 10
p 0.2 q 0.8
np q 10 0.2 0.8 1.2
1, 2-оос 2, 2 хүртэл
np p 10 0.2 0.2 2.2
k2 Схем дэх амжилтын хамгийн их магадлалтай тоо
Бернулли
Жишээ нь 10 сугалааны тасалбар худалдаж авсан.
1 тасалбар дээр хожих магадлал 0.2 байна.
Ялагчдын хамгийн их магадлалтай тоо хэд вэ
тасалбар?
P10 (2) C 0.2 0.8
2
10
2
8
45 0, 04 0,16777216=
=0,301989888Схем дэх амжилтын хамгийн их магадлалтай тоо
Бернулли
Жишээ нь 10 сугалааны тасалбар худалдаж авсан.
1 тасалбар дээр хожих магадлал 0.2 байна.
Ялагчдын хамгийн их магадлалтай тоо хэд вэ
тасалбар?
Ялагч тасалбарын тооны магадлал
магадлал, Pn(k)
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
4
5
6
тасалбарын тоо, k
7
8
9
10Схем дэх амжилтын хамгийн их магадлалтай тоо
Бернулли
10 гэрээ байгуулсан
даатгуулсан мөнгийг төлнө
гэрээний нэг
гурван гэрээнээс илүү
г) дагуу гэрээний хамгийн их магадлалтай тоог олох
даатгуулсан мөнгийг хэн төлөх вэ Схем дэх амжилтын хамгийн их магадлалтай тоо
Бернулли
Жишээ: Даатгалын гэрээний 20%-д дунджаар
Даатгалын төлбөрийг компани төлдөг.
10 гэрээ байгуулсан
a) Гурав байх магадлалыг ол
даатгуулсан мөнгийг төлнө
0,201327Схем дэх амжилтын хамгийн их магадлалтай тоо
Бернулли
Жишээ: Даатгалын гэрээний 20%-д дунджаар
Даатгалын төлбөрийг компани төлдөг.
10 гэрээ байгуулсан
б) Даатгалын төлбөрийг ямар ч нөхцөлд төлөх шаардлагагүй
гэрээний нэг
0,107374Схем дэх амжилтын хамгийн их магадлалтай тоо
Бернулли
Жишээ: Даатгалын гэрээний 20%-д дунджаар
Даатгалын төлбөрийг компани төлдөг.
10 гэрээ байгуулсан
в) даатгуулсан дүнгээс илүүгүй төлөх ёстой.
гурван гэрээнээс илүү
0,753297Хэрэв n нь том бол томъёог ашиглана
Pn (m) C p q
м
n
м
н м
хэцүү
Тиймээс ойролцоо томъёог ашигладаг Теорем: Хэрэв А үйл явдал тохиолдох магадлал p
тест бүрт тэгтэй ойролцоо байна,
бие даасан туршилтын тоо n хангалттай их,
дараа нь n бие даасан туршилтын магадлал Pn(m).
А үйл явдал m удаа тохиолдох бөгөөд ойролцоогоор тэнцүү:
Pn(м)
м
м!
д
Энд λ=np
Энэ томьёог Пуассоны томьёо (ховор үйл явдлын хууль) гэж нэрлэдэг. Pn(м)
м
м!
e, np
Ихэвчлэн Пуассоны ойролцоо томъёог ашигладаг.
хэзээ p<0,1, а npq<10.
Жишээ нь тодорхой эм үйлдвэрлэхэд гэдгийг мэдэгдье
гэрлэлт (стандарт хангаагүй багцын тоо)
0.2% байна. Ийм магадлалыг тооцоол
санамсаргүй байдлаар сонгосон 1000 багцын дараа гурван багц байх болно,
стандартад нийцэхгүй байна.
Pn(k)
к
к!
P1000(3) ?
э,
np Жишээ нь тодорхой эм үйлдвэрлэхэд гэдгийг мэдэгдье
гэрлэлт (стандарт хангаагүй багцын тоо)
0.2% байна. Ийм магадлалыг тооцоол
санамсаргүй байдлаар сонгосон 1000 багцын дараа гурван багц байх болно,
стандартад нийцэхгүй байна.
Pn(k)
к
к!
P1000(3) ?
e, np
np 1000 0.002 2
3
2 2 8
P1000 (3) e 0.135=0.18
3!
6
5-аас илүүгүй гэрээ холбогдсон байна. Жишээ: Дунджаар гэрээний 1% нь даатгалын компани
даатгалын мөнгийг төлдөг. Үүнээс гарах магадлалыг ол
Даатгалын тохиолдол гарсан тохиолдолд 100 гэрээ болно
5-аас илүүгүй гэрээ холбогдсон байна.
