Дундажуудын хууль эсвэл амжилттай борлуулагчдын нууц юу вэ? Дундаж утгууд Олон тооны хүчтэй хууль
Олон тооны тухай үгс нь тестийн тоог хэлдэг - санамсаргүй хэмжигдэхүүний олон тооны утгууд эсвэл олон тооны санамсаргүй хэмжигдэхүүний хуримтлагдсан үйлдлийг харгалзан үздэг. Энэ хуулийн мөн чанар нь дараах байдалтай байна: нэг туршилтанд нэг санамсаргүй хэмжигдэхүүн ямар утгыг авахыг урьдчилан таамаглах боломжгүй боловч олон тооны бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний үйл ажиллагааны нийт үр дүн санамсаргүй шинж чанараа алдаж, бараг найдвартай урьдчилан таамаглах (өөрөөр хэлбэл өндөр магадлалтай). Жишээлбэл, зоос аль тал дээр унахыг таамаглах боломжгүй юм. Гэсэн хэдий ч, хэрэв та 2 тонн зоос шидвэл төрийн сүлд унасан зоосны жин 1 тонн байна гэж маш итгэлтэйгээр маргаж болно.
Юуны өмнө, Чебышевын тэгш бус байдал гэж нэрлэгддэг том тооны хуулийг хэлдэг бөгөөд энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь дундаж утгаас өгөгдсөн утгаас илүүгүй зөрүүтэй утгыг хүлээн авах магадлалыг тусдаа тестээр тооцдог.
Чебышевын тэгш бус байдал. Болъё Xдурын санамсаргүй хэмжигдэхүүн, a=M(X) , a Д(X) түүний тархалт юм. Дараа нь
Жишээ. Машин дээр боловсруулсан ханцуйны диаметрийн нэрлэсэн (жишээ нь шаардлагатай) утга нь 5мм, мөн ялгаа байхгүй болсон 0.01 (энэ нь машины нарийвчлалын хүлцэл юм). Нэг бутыг үйлдвэрлэхэд түүний диаметр нь нэрлэсэн хэмжээнээс бага байх магадлалыг тооцоол. 0.5 мм .
Шийдэл. r.v. X- үйлдвэрлэсэн бутны диаметр. Нөхцөлөөр түүний математикийн хүлээлт нь нэрлэсэн диаметртэй тэнцүү байна (хэрэв машиныг суурилуулахад системчилсэн алдаа гараагүй бол): a=M(X)=5 , мөн ялгаа Д(X)≤0.01. Чебышевын тэгш бус байдлыг ашиглах ε = 0.5, бид авах:
Тиймээс ийм хазайлтын магадлал нэлээд өндөр байгаа тул нэг хэсгийг үйлдвэрлэх тохиолдолд диаметрийн нэрлэсэн хэмжээнээс хазайх нь бараг тодорхой байна гэж бид дүгнэж болно. 0.5 мм .
Үндсэндээ стандарт хазайлт σ онцлогтой дундажсанамсаргүй хэмжигдэхүүний төвөөс хазайх (өөрөөр хэлбэл математикийн хүлээлтээс). Учир нь тэр дундажхазайлт, дараа нь туршилтын явцад их хэмжээний хазайлт (о-г онцолсон) боломжтой. Практикт хэр их хазайлт хийх боломжтой вэ? Хэвийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг судлахдаа бид "гурван сигма" дүрмийг гаргасан: хэвийн тархалттай санамсаргүй хэмжигдэхүүн. X нэг тестээр-аас бараг дунджаас хазайдаггүй 3σ, хаана σ= σ(X)нь r.v-ийн стандарт хазайлт юм. X. Бид тэгш бус байдлыг олж авсан баримтаас ийм дүрмийг гаргасан
.
Одоо гарах магадлалыг тооцоолъё дур зоргоороосанамсаргүй хувьсагч Xдундаж утгаас стандарт хазайлтаас гурав дахин ихгүй зөрүүтэй утгыг хүлээн авна. Чебышевын тэгш бус байдлыг ашиглах ε = 3σмөн үүнийг өгсөн Д(X)=σ 2 , бид авах:
.
Энэ замаар, ерөнхийдөөБид санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундажаас гурван стандарт хазайлтаас илүүгүй хазайх магадлалыг тоогоор нь тооцоолж болно. 0.89 , харин хэвийн тархалтын хувьд үүнийг магадлалаар баталгаажуулж болно 0.997 .
Чебышевын тэгш бус байдлыг бие даасан адил тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн системд нэгтгэж болно.
Чебышевын ерөнхий тэгш бус байдал. Хэрэв бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн X 1 , X 2 , … , X n М(X би )= аболон тархалт Д(X би )= Д, дараа нь
At n=1 Энэ тэгш бус байдал нь дээр дурдсан Чебышевын тэгш бус байдал руу шилждэг.
Харгалзах асуудлыг шийдвэрлэхэд бие даасан ач холбогдолтой Чебышевын тэгш бус байдал нь Чебышевын теоремыг батлахад ашиглагддаг. Бид эхлээд энэ теоремын мөн чанарыг тайлбарлаж, дараа нь түүний албан ёсны томъёоллыг өгдөг.
Болъё X 1
, X 2
, … , X n– математикийн хүлээлт бүхий олон тооны бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн М(X 1
)=а 1
, … , М(X n )=а n. Туршилтын үр дүнд тус бүр нь дунджаас хол утгыг (өөрөөр хэлбэл математикийн хүлээлт) авч чаддаг боловч санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм. 
, тэдгээрийн арифметик дундажтай тэнцүү, өндөр магадлалтай нь тогтмол тоотой ойролцоо утгыг авна. 
(энэ нь бүх математикийн хүлээлтийн дундаж юм). Энэ нь дараах гэсэн үг юм. Туршилтын үр дүнд бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийг авч үзье X 1
, X 2
, … , X n(тэдгээрийн олон байна!) үүний дагуу утгыг авсан X 1
, X 2
, … , X nтус тус. Дараа нь эдгээр утгууд нь харгалзах санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утгуудаас хол байж болох юм бол тэдгээрийн дундаж утга 
ойр байх магадлалтай 
. Тиймээс олон тооны санамсаргүй хэмжигдэхүүний арифметик дундаж нь санамсаргүй шинж чанараа аль хэдийн алдаж, маш нарийвчлалтай урьдчилан таамаглах боломжтой байдаг. Үүнийг утгуудын санамсаргүй хазайлтаар тайлбарлаж болно X би-аас а биөөр өөр шинж тэмдэгтэй байж болох тул нийтдээ эдгээр хазайлтыг өндөр магадлалтайгаар нөхдөг.
Терема Чебышева (их тооны хуульЧебышев хэлбэрээр). Болъё X 1 , X 2 , … , X n … ялгаа нь ижил тоогоор хязгаарлагдах хос бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн дараалал юм. Тэгвэл ε тоог хичнээн бага авсан ч тэгш бус байх магадлал
тоо бол дур зоргоороо нэгдмэл ойр байх болно nхангалттай том хэмжээтэй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд. Албан ёсоор энэ нь теоремийн нөхцөлд гэсэн үг юм
Энэ төрлийн нэгдлийг магадлалын нэгдэл гэж нэрлэдэг бөгөөд дараах байдлаар тэмдэглэнэ.
Тиймээс Чебышевын теоремд хэрэв хангалттай олон тооны бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн байгаа бол нэг тестийн арифметик дундаж нь тэдний математикийн хүлээлтийн дундажтай ойролцоо утгыг авах нь гарцаагүй гэж хэлдэг.
Ихэнх тохиолдолд Чебышевын теоремыг санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй нөхцөлд ашигладаг X 1 , X 2 , … , X n … ижил тархалттай (өөрөөр хэлбэл ижил тархалтын хууль эсвэл ижил магадлалын нягт). Үнэн хэрэгтээ энэ нь ижил санамсаргүй хэмжигдэхүүний олон тооны жишээ юм.
Үр дагавар(Ерөнхий Чебышевын тэгш бус байдлын тухай). Хэрэв бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн X 1 , X 2 , … , X n … Математикийн хүлээлттэй ижил тархалттай байна М(X би )= аболон тархалт Д(X би )= Д, дараа нь
, өөрөөр хэлбэл 
.
Нотлох баримт нь Чебышевын ерөнхий тэгш бус байдлын хязгаарт шилжих замаар гарч ирдэг n→∞ .
Дээр бичсэн тэгшитгэл нь хэмжигдэхүүний үнэ цэнийг баталгаажуулахгүй гэдгийг бид дахин тэмдэглэж байна 
хандлагатай байдаг ацагт n→∞. Энэ утга нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн хэвээр байгаа бөгөөд түүний бие даасан утга нь үүнээс нэлээд хол байж болно а. Гэхдээ ийм магадлал (хол а) нэмэгдэж буй үнэ цэнэ n 0 байх хандлагатай байна.
Сэтгэгдэл. Үр дүнгийн дүгнэлт нь бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй харьцуулахад илүү ерөнхий тохиолдолд хүчинтэй байх нь ойлгомжтой. X 1 , X 2 , … , X n … өөр тархалттай боловч математикийн хүлээлт ижил байна (тэнцүү а) болон нийлбэрт хязгаарлагдмал хэлбэлзэл. Энэ нь эдгээр хэмжилтийг өөр өөр хэрэглүүрээр хийсэн ч тодорхой хэмжигдэхүүнийг хэмжих нарийвчлалыг урьдчилан таамаглах боломжтой болгодог.
Хэмжигдэхүүнийг хэмжихэд энэхүү үр дүнгийн хэрэглээг илүү нарийвчлан авч үзье. Зарим төхөөрөмж ашиглацгаая nжинхэнэ утга нь ижил хэмжигдэхүүнтэй хэмжилт амөн бид мэдэхгүй. Ийм хэмжилтийн үр дүн X 1
, X 2
, … , X nбие биенээсээ эрс ялгаатай байж болно (мөн жинхэнэ утгаас а) янз бүрийн санамсаргүй хүчин зүйлээс (даралтын уналт, температур, санамсаргүй чичиргээ гэх мэт). R.v-г авч үзье. X- хэмжигдэхүүнийг нэг удаа хэмжих хэрэгслийн уншилт, түүнчлэн r.v-ийн багц. X 1
, X 2
, … , X n- эхний, хоёр дахь, ..., сүүлчийн хэмжилтийн үед багажийн уншилт. Тиймээс тоо хэмжээ тус бүр X 1
, X 2
, … , X n
r.v-ийн тохиолдлуудын зөвхөн нэг нь байдаг. X, тиймээс тэд бүгд r.v-тэй ижил тархалттай байна. X. Хэмжилтийн үр дүн нь бие биенээсээ хамааралгүй тул r.v. X 1
, X 2
, … , X nбие даасан гэж үзэж болно. Хэрэв төхөөрөмж системчилсэн алдаа гаргаагүй бол (жишээлбэл, тэг нь масштаб дээр "унаагүй", пүрш нь сунадаггүй гэх мэт) математикийн хүлээлт гэж бид үзэж болно. M(X) = a, Тиймээс М(X 1
) = ... = M(X n ) = a. Тиймээс дээрх үр дүнгийн нөхцөлүүд хангагдсан тул тоо хэмжээний ойролцоо утгатай болно. абид санамсаргүй хэмжигдэхүүний "хэрэгжилт"-ийг авч болно 
бидний туршилтанд (цувралаас бүрдсэн nхэмжилт), өөрөөр хэлбэл.
.
Олон тооны хэмжилт хийснээр энэ томъёог ашиглан тооцооллын сайн нарийвчлал нь бараг найдвартай байдаг. Энэ нь олон тооны хэмжилтийн үед тэдгээрийн арифметик дундаж нь хэмжсэн хэмжигдэхүүний жинхэнэ утгаас бараг ялгаагүй гэсэн практик зарчмын үндэслэл юм.
Математикийн статистикт өргөн хэрэглэгддэг "сонгомол" арга нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний харьцангуй бага түүврээс объектив шинж чанарыг хүлээн зөвшөөрөгдөх нарийвчлалтайгаар олж авах боломжийг олгодог олон тооны хууль дээр суурилдаг. Гэхдээ энэ талаар дараагийн хэсэгт хэлэлцэх болно.
Жишээ. Системчилсэн гажуудал үүсгэдэггүй хэмжих төхөөрөмж дээр тодорхой хэмжигдэхүүнийг хэмждэг анэг удаа (хүлээн авсан үнэ цэнэ X 1
), дараа нь өөр 99 удаа (авсан утгууд X 2
, … , X 100
). Хэмжилтийн жинхэнэ утгын хувьд аэхлээд эхний хэмжилтийн үр дүнг авна 
, дараа нь бүх хэмжилтийн арифметик дундаж 
. Төхөөрөмжийн хэмжилтийн нарийвчлал нь хэмжилтийн стандарт хазайлт σ нь 1-ээс ихгүй байна (учир нь тархалт Д=σ
2
мөн 1-ээс хэтрэхгүй). Хэмжилтийн аргууд тус бүрийн хувьд хэмжилтийн алдаа 2-оос хэтрэхгүй байх магадлалыг тооцоол.
Шийдэл. r.v. X- нэг хэмжилтийн багажийн уншилт. Дараа нь нөхцөлөөр M(X)=a. Асуултанд хариулахын тулд бид Чебышевын ерөнхий тэгш бус байдлыг ашигладаг
ε хувьд =2
эхлээд n=1
тэгээд дараа нь n=100
. Эхний тохиолдолд бид авдаг 
, хоёрдугаарт. Тиймээс, хоёр дахь тохиолдол нь өгөгдсөн хэмжилтийн нарийвчлалыг бараг баталгаажуулдаг бол эхнийх нь энэ утгаараа ноцтой эргэлзээ төрүүлдэг.
Дээрх мэдэгдлүүдийг Бернулли схемд үүссэн санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдэд хэрэглэцгээе. Энэ схемийн мөн чанарыг эргэн санацгаая. Үүнийг үйлдвэрлэе n бие даасан туршилтууд, тус бүрдээ зарим үйл явдал ГЭХДЭЭижил магадлалтай гарч ирж болно Р, a q=1–r(энэ нь эсрэг үйл явдлын магадлал юм - үйл явдал тохиолдох биш ГЭХДЭЭ) . Хэдэн тоо гаргая nийм туршилтууд. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үзье: X 1 - үйл явдлын тохиолдлын тоо ГЭХДЭЭ in 1 тест, ..., X n- үйл явдлын тохиолдлын тоо ГЭХДЭЭ in nр тест. Бүгдийг танилцуулсан r.v. утгыг авч болно 0 эсвэл 1 (үйл явдал ГЭХДЭЭтуршилтанд гарч ирж болно, эсвэл байхгүй), мөн утга 1 магадлал бүхий туршилт бүрт нөхцөлтэйгээр хүлээн зөвшөөрсөн х(үйл явдал болох магадлал ГЭХДЭЭтуршилт бүрт), мөн утга 0 магадлалаар q= 1 – х. Тиймээс эдгээр хэмжигдэхүүнүүд ижил хуваарилалтын хуультай байна:
|
X 1 | ||
|
X n | ||
Тиймээс эдгээр хэмжигдэхүүнүүдийн дундаж утга ба тэдгээрийн тархалт нь ижил байна: М(X 1 )=0 ∙ q+1 ∙ p= p, …, M(X n )= х ; Д(X 1 )=(0 2 ∙ q+1 2 ∙ х)− х 2 = х∙(1− х)= х ∙ q, … , Д(X n )= х ∙ q . Эдгээр утгыг Чебышевын ерөнхий тэгш бус байдалд орлуулснаар бид олж авна
.
r.v гэдэг нь тодорхой байна. X=X 1 +…+Х nнь үйл явдлын тохиолдлын тоо юм ГЭХДЭЭбүгдээрээ nсорилтууд (тэдний хэлснээр - "амжилтын тоо" nтуршилтууд). Оруул nтуршилтын үйл явдал ГЭХДЭЭ-д гарч ирэв к тэднээс. Дараа нь өмнөх тэгш бус байдлыг дараах байдлаар бичиж болно
.
Гэхдээ хэмжээ 
, үйл явдлын тохиолдлын тооны харьцаатай тэнцүү байна ГЭХДЭЭ in nбие даасан туршилт, туршилтын нийт тоо, өмнө нь харьцангуй үйл явдлын хувь гэж нэрлэдэг ГЭХДЭЭ in nтуршилтууд. Тиймээс тэгш бус байдал бий
.
Одоо хязгаарт хүрч байна n→∞, бид олж авна 
, өөрөөр хэлбэл 
(магадлалын дагуу). Энэ бол Бернулли хэлбэрийн их тооны хуулийн агуулга юм. Үүнээс үзэхэд хангалттай олон тооны туршилт хийх боломжтой nхарьцангуй давтамжийн дур мэдэн жижиг хазайлт 
түүний магадлалаас үйл явдал Рбараг тодорхой үйл явдлууд бөгөөд том хазайлт нь бараг боломжгүй юм. Харьцангуй давтамжийн ийм тогтвортой байдлын талаархи дүгнэлт (бид үүнийг өмнө нь гэж нэрлэдэг байсан туршилтынбаримт) нь үйл явдлын магадлалын тухай өмнө нь танилцуулсан статистик тодорхойлолтыг эргэн тойронд нь үйл явдлын харьцангуй давтамж хэлбэлздэг тоо гэж зөвтгөдөг.
Үүнийг харгалзан үзвэл илэрхийлэл х∙
q=
х∙(1−
х)=
х−
х 2
өөрчлөлтийн интервалаас хэтрэхгүй 
(энэ сегмент дээрх энэ функцийн хамгийн бага утгыг олох замаар үүнийг шалгахад хялбар байдаг), дээрх тэгш бус байдлаас 
үүнийг авахад амархан
,
харгалзах асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг (тэдгээрийн аль нэгийг доор өгөх болно).
Жишээ. Зоосыг 1000 удаа эргүүлэв. Сүлд харагдах харьцангуй давтамжийн магадлалаас хазайх нь 0.1-ээс бага байх магадлалыг тооцоол.
Шийдэл. Тэгш бус байдлыг хэрэглэх 
цагт х=
q=1/2
,
n=1000
,
ε=0.1, бид авдаг.
Жишээ. Өмнөх жишээний нөхцөлд тоо гарах магадлалыг тооцоол кунасан төрийн сүлдний хүрээнд байх болно 400 өмнө 600 .
Шийдэл. Нөхцөл байдал 400<
к<600
гэсэн үг 400/1000<
к/
n<600/1000
, өөрөөр хэлбэл 0.4<
В n (А)<0.6
эсвэл 
. Өмнөх жишээнээс харахад ийм үйл явдлын магадлал хамгийн багадаа байна 0.975
.
Жишээ. Зарим үйл явдлын магадлалыг тооцоолох ГЭХДЭЭ 1000 туршилт явуулсан бөгөөд үүнд үйл явдал болсон ГЭХДЭЭ 300 удаа гарч ирэв. Харьцангуй давтамж (300/1000=0.3-тай тэнцүү) бодит магадлалаас өөр байх магадлалыг тооцоол. Р 0.1-ээс ихгүй байна.
Шийдэл. Дээрх тэгш бус байдлыг ашиглах 
n=1000, ε=0.1-ийн хувьд бид .
Лекц 8. Бүлэг 1. Магадлалын онол
Хэлэлцэж буй асуудлууд
1) Их тооны хууль.
2) Төвийн хязгаарын теорем.
Их тооны хууль.
Өргөн утгаараа их тооны хууль гэдэг нь олон тооны санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн дундаж үр дүн нь санамсаргүй байхаа больж, өндөр итгэлтэйгээр урьдчилан таамаглах ерөнхий зарчим гэж ойлгогддог.
Нарийн утгаараа их тооны хуулийг олон тооны математик теоремууд гэж ойлгодог бөгөөд тэдгээр нь тус бүрт тодорхой нөхцөлд олон тооны туршилтын дундаж шинж чанарыг ойртуулах боломжийг бий болгодог.
зарим тодорхой тогтмолуудад. Энэ төрлийн теоремуудыг нотлохдоо Марков ба Чебышевын тэгш бус байдлыг ашигладаг бөгөөд энэ нь бас бие даасан ашиг сонирхол юм.
Теорем 1 (Марковын тэгш бус байдал). Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь сөрөг бус утгыг авч, математикийн хүлээлттэй бол аливаа эерэг тооны хувьд тэгш бус байдал байна.
Баталгаабид салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүнээр гүйцэтгэнэ. Эхнийх нь бага эсвэл тэнцүү, бусад нь илүү их утгыг авна гэж бид таамаглах болно.
хаана
Жишээ 1Үйлдвэрийн сэлгэн залгагч руу нэг цагийн дотор ирэх дуудлагын дундаж тоо 300 байна. Дараагийн нэг цагт шилжүүлэгч рүү ирэх дуудлагын тоог тооцоол.
1) 400-аас дээш байх болно;
2) 500-аас ихгүй байна.
Шийдэл. 1) Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг нэг цагийн турш шилжүүлэгч дээр ирсэн дуудлагын тоо гэж үзье. Дундаж утга нь . Тиймээс бид дүгнэлт хийх хэрэгтэй. Марковын тэгш бус байдлын дагуу
2) Тиймээс дуудлагын тоо 500-аас ихгүй байх магадлал дор хаяж 0.4 байна.
Жишээ 2Банкны салбар дахь бүх хадгаламжийн нийлбэр нь 2 сая рубль бөгөөд санамсаргүй байдлаар авсан хадгаламж 10 мянган рублиас хэтрэхгүй байх магадлал 0.6 байна. Оролцогчдын тооны талаар юу хэлэх вэ?
Шийдэл.Санамсаргүй байдлаар авсан утгыг санамсаргүй байдлаар авсан хувь нэмрийн хэмжээ, бүх хувь нэмэрийн тоо гэж үзье. Дараа нь (мянга). Марковын тэгш бус байдлын дагуу хаанаас
Жишээ 3Оюутны лекцээс хоцорсон цаг гэж үзье, тэр дунджаар 1 минут хоцордог нь мэдэгдэж байна. Оюутан дор хаяж 5 минут хоцрох магадлалыг тооцоол.
Шийдэл.Марковын тэгш бус байдлыг ашигласнаар бид үүнийг олж авна 
Ингээд 5 оюутан тутмын 1-ээс илүүгүй оюутан 5 минутаас багагүй хоцорно.
Теорем 2 (Чебышевын тэгш бус байдал). 
.
Баталгаа.Х санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тархалтын цуваагаар өгье
Тархалтын тодорхойлолтын дагуу энэ нийлбэрээс хамаарах нэр томъёог хасъя 
. Үүний зэрэгцээ, тэр цагаас хойш бүх нөхцөл нь сөрөг биш, нийлбэр нь зөвхөн буурч болно. Тодорхой байхын тулд бид эхнийх нь гэж таамаглах болно кнөхцөл. Дараа нь
Үүний үр дүнд, 
.
Чебышевын тэгш бус байдал нь санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг зөвхөн дисперсийн талаархи мэдээлэлд үндэслэн математикийн хүлээлтээс хазайх магадлалыг дээрээс тооцоолох боломжийг олгодог. Энэ нь жишээлбэл, үнэлгээний онолд өргөн хэрэглэгддэг.
Жишээ 4Зоосыг 10,000 удаа шиддэг. Төрийн сүлдний давтамж 0.01 ба түүнээс дээш зөрүүтэй байх магадлалыг тооцоол.
Шийдэл.Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийг танилцуулъя, энд тархалтын цуваатай санамсаргүй хэмжигдэхүүн байна
Дараа нь 
-тэй бином хуулийн дагуу тархсан тул 
Төрийн сүлдний харагдах давтамж нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм 
. Тиймээс төрийн сүлдний харагдах давтамжийн тархалт нь Чебышевын тэгш бус байдлын дагуу, 
.
Тиймээс дунджаар 10,000 зоос шидсэн тохиолдлын дөрөвний нэгээс илүүгүй тохиолдолд төрийн сүлдний давтамж зуу ба түүнээс дээш хувиар ялгаатай байх болно.
Теорем 3 (Чебышев).Хэрэв дисперс нь жигд хязгаарлагдсан бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн бол (), дараа нь
Баталгаа.Учир нь
Дараа нь Чебышевын тэгш бус байдлыг ашиглан бид олж авна
Үйл явдлын магадлал 1-ээс их байж болохгүй тул бид хүссэн зүйлээ авдаг.
Үр дагавар 1.Хэрэв энэ нь тэгш хязгаарлагдмал дисперстэй бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд ижил математикийн хүлээлттэй тэнцүү бол а, дараа нь
Тэгш байдал (1) нь бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн нийтлэг дундаж утгаасаа санамсаргүй хазайлт нь массаараа их байх үед бие биенээ үгүйсгэдэг болохыг харуулж байна. Тиймээс хэмжигдэхүүн нь өөрөө санамсаргүй боловч тэдгээрийн дундаж 
ерөнхийдөө энэ нь бараг санамсаргүй байхаа больсон бөгөөд -тэй ойрхон байна. Энэ нь хэрэв энэ нь урьдчилан мэдэгдээгүй бол арифметик дундажийг ашиглан тооцоолж болно гэсэн үг юм. Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний дарааллын энэ шинж чанарыг гэж нэрлэдэг статистикийн тогтвортой байдлын хууль.Статистикийн тогтвортой байдлын тухай хууль нь удирдлагын тодорхой шийдвэр гаргахдаа статистикийн дүн шинжилгээг ашиглах боломжийг баталгаажуулдаг.
Теорем 4 (Бернулли).Хэрэв тус бүрд нь Пбие даасан туршилтууд, А үйл явдал тохиолдох магадлал p тогтмол, тэгвэл
,
Эдгээрийн хувьд А үйл явдлын тохиолдлын тоо хаана байна Птуршилтууд.
Баталгаа.Бид бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийг нэвтрүүлж, Х битархалтын цуваатай санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм
Дараа нь M(X би)=p, D(X би)=pq. -ээс хойш D(X би) нийтдээ хязгаарлагдмал байна. Энэ нь Чебышевын теоремоос гардаг
.
Гэхдээ X 1 + X 2 + ... + X Пнь цувралд А үйл явдлын тохиолдлын тоо юм Птуршилтууд.
Бернуллигийн теоремын утга нь ижил бие даасан туршилтуудын тоог хязгааргүй нэмэгдүүлэх замаар практик тодорхой байдлаар үйл явдлын давтамж нь тусдаа туршилтаар тохиолдох магадлалаас дур зоргоороо бага зэрэг ялгаатай байх болно гэж үзэж болно. ( үйл явдлын магадлалын статистик тогтвортой байдал).Иймээс Бернуллигийн теорем нь хэрэглээний онолоос түүнийг хэрэглэх гүүр болж өгдөг.
Амжилттай борлуулагчдын нууц юу вэ? Хэрэв та аль ч компанийн шилдэг борлуулагчдыг ажиглавал тэдэнтэй ижил төстэй зүйл байгааг анзаарах болно. Тэд тус бүр нь амжилт муутай борлуулагчдаас илүү олон хүнтэй уулзаж, олон илтгэл тавьдаг. Эдгээр хүмүүс борлуулалт бол тооны тоглоом гэдгийг ойлгодог бөгөөд олон хүнд бүтээгдэхүүн, үйлчилгээнийхээ талаар ярих тусам тэд илүү олон хэлэлцээрийг хаадаг. Зөвхөн өөрт нь гарцаагүй тийм гэж хэлэх цөөн хэдэн хүмүүстэй төдийгүй тэдний саналыг сонирхох сонирхол нь тийм ч их биш хүмүүстэй харилцах юм бол дундажийн хууль тэдний талд үйлчилнэ гэдгийг тэд ойлгож байна.
Таны орлого борлуулалтын тооноос хамаарна, гэхдээ тэр үед таны хийсэн илтгэлийн тоотой шууд пропорциональ байх болно. Дундаж хэмжигдэхүүний хуулийг ойлгож, хэрэгжүүлж эхэлмэгц шинэ бизнес эхлүүлэх, шинэ салбарт ажиллахтай холбоотой түгшүүр багасаж эхэлнэ. Үүний үр дүнд хяналт, орлого олох чадварт итгэх итгэл нэмэгдэж эхэлнэ. Хэрэв та зүгээр л танилцуулга хийж, энэ явцад ур чадвараа дээшлүүлбэл тохиролцоо хийх болно.
Хэлэлцээрийн тоог бодохын оронд илтгэлийн тоог бодоорой. Өглөө босоод эсвэл орой гэртээ ирээд хэн таны бүтээгдэхүүнийг авах бол гэж бодож эхлэх нь утгагүй юм. Үүний оронд өдөр бүр хэдэн дуудлага хийхээ төлөвлөх нь дээр. Тэгээд дараа нь юу ч байсан хамаагүй - эдгээр бүх дуудлагыг хий! Энэ арга нь таны ажлыг хөнгөвчлөх болно - учир нь энэ нь энгийн бөгөөд тодорхой зорилго юм. Хэрэв таны өмнө маш тодорхой, биелэх боломжтой зорилго байгаа гэдгээ мэдэж байвал төлөвлөсөн тооны дуудлага хийх нь танд илүү хялбар байх болно. Хэрэв та энэ үйл явцын туршид "тийм" гэж хэд хэдэн удаа сонсвол хамаагүй дээр!
Хэрэв "үгүй" гэвэл үдэш та чадах бүхнээ шударгаар хийсэн гэдгээ мэдэрч, хичнээн их мөнгө олсон, эсвэл өдөрт хэдэн хамтрагчтай болсон тухай бодолд шаналахгүй.
Танай компани эсвэл бизнест дунджаар нэг худалдагч дөрвөн танилцуулга тутамд нэг хэлцлийг хаадаг гэж бодъё. Одоо та тавцангаас карт зурж байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Хүрз, очир алмааз, дугуй гэсэн гурван хослол бүхий карт бүр нь бүтээгдэхүүн, үйлчилгээ, боломжоо мэргэжлийн түвшинд танилцуулдаг танилцуулга юм. Та үүнийг чадах чинээгээрээ хийдэг ч гэрээгээ хаадаггүй. Зүрхний карт бүр нь мөнгө авах эсвэл шинэ хамтрагч олж авах боломжийг олгодог хэлцэл юм.
Ийм нөхцөлд та тавцангаас аль болох олон карт зурахыг хүсэхгүй байна уу? Зүрхний карт сугалах бүртээ мөнгө төлөх эсвэл шинэ хамтрагч санал болгохын зэрэгцээ хүссэн хэмжээгээрээ карт зурахыг санал болгож байна гэж бодъё. Та картыг урам зоригтойгоор зурж эхлэх бөгөөд картаа ямар костюм сугалж авсныг анзаарахгүй байх болно.
Тавин хоёр картын тавцанд арван гурван зүрх байдаг гэдгийг та мэднэ. Мөн хоёр тавцан дээр - хорин зургаан зүрхний карт гэх мэт. Хүз, очир алмааз, дугуй зураад урам хугарах болов уу? Мэдээж үгүй! Ийм "мисс" бүр таныг юунд ойртуулдаг гэж та бодох болно? Зүрхний карт руу!
Гэхдээ та юу мэдэх вэ? Танд энэ саналыг аль хэдийн өгсөн байна. Та хүссэн хэмжээгээрээ орлого олж, амьдралдаа зурахыг хүссэн олон зүрхний карт зурах онцгой байр суурьтай байна. Хэрэв та зүгээр л ухамсартайгаар "хөзөр зурж", ур чадвараа дээшлүүлж, бага зэрэг хүрз, алмаз, дугуйг тэвчиж чадвал та маш сайн худалдагч болж, амжилтанд хүрэх болно.
Борлуулалтыг маш хөгжилтэй болгодог нэг зүйл бол тавцангаа холих болгонд картууд өөр өөр холилдсон байдаг. Заримдаа бүх зүрх сэтгэл нь тавцангийн эхэнд дуусдаг бөгөөд амжилттай дараалсан дараа (бид хэзээ ч алдахгүй юм шиг санагдаж байна!) Бид өөр костюмтай урт эгнээний картуудыг хүлээж байна. Өөр нэг удаа, эхний зүрхэнд хүрэхийн тулд та хязгааргүй олон тооны хүрз, цохиур, хэнгэрэгийг туулах хэрэгтэй. Заримдаа янз бүрийн костюмны картууд ээлжлэн унадаг. Гэхдээ ямар ч тохиолдолд тавин хоёр картын тавцан бүрт ямар нэгэн дарааллаар үргэлж арван гурван зүрх байдаг. Картуудыг олох хүртлээ зүгээр л сугалж ав.
Хэнээс: Лейля,
Их тооны хууль
Их тооны хуульМагадлалын онолд тогтмол тархалтаас хангалттай том хязгаарлагдмал түүврийн эмпирик дундаж (арифметик дундаж) нь энэ тархалтын онолын дундаж (хүлээлт) ойролцоо байна гэж заасан. Конвергенцийн төрлөөс хамааран магадлалын нэгдэл явагдах үед их тооны сул хууль, бараг хаа сайгүй нийлэх үед их тооны хүчтэй хууль байдаг.
Урьдчилан тогтоосон магадлалын хувьд аливаа үйл явдлын харьцангуй давтамж нь түүний магадлалаас бага зэрэг ялгаатай байх тул ийм олон тооны туршилтууд үргэлж байх болно.
Олон тооны санамсаргүй хүчин зүйлсийн хамтарсан үйл ажиллагаа нь тохиолдлоос бараг хамааралгүй үр дүнд хүргэдэг гэсэн үг юм.
Хязгаарлагдмал түүврийн шинжилгээнд үндэслэн магадлалыг тооцоолох аргууд нь энэ шинж чанарт суурилдаг. Сонгогчдын дунд явуулсан санал асуулгад үндэслэн сонгуулийн үр дүнг урьдчилан таамагласан нь сайн жишээ юм.
Их тооны сул хууль
Ижил магадлалын орон зайд тодорхойлогдсон, ижил тархсан ба хамааралгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хязгааргүй дараалал (дараалсан тоолол) байг. Энэ нь тэдний ковариац юм. Let . Эхний нэр томъёоны түүврийн дундаж утгыг тэмдэглэе.
Их тооны хүчтэй хууль
Ижил магадлалын орон зайд тодорхойлогдсон бие даасан адил тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хязгааргүй дараалал байг. Let . Эхний нэр томъёоны түүврийн дундаж утгыг тэмдэглэе.
.Дараа нь бараг гарцаагүй.
бас үзнэ үү
Уран зохиол
- Ширяев А.Н.Магадлал, - М .: Шинжлэх ухаан. 1989 он.
- Чистяков В.П.Магадлалын онолын курс, - М., 1982.
Викимедиа сан. 2010 он.
- Оросын кино театр
- Громека, Михаил Степанович
Бусад толь бичгүүдээс "Том тооны хууль" гэж юу болохыг хараарай.
ИХ ТООНЫ ХУУЛЬ- (олон тооны хууль) Хүн амын бие даасан гишүүдийн зан байдал маш их ялгаатай тохиолдолд бүлгийн зан байдал нь түүний аль нэг гишүүний зан төлөвөөс дунджаар илүү урьдчилан таамаглах боломжтой байдаг. Ямар бүлгүүдийн чиг хандлага ... ... Эдийн засгийн толь бичиг
ИХ ТООНЫ ХУУЛЬ- ТОМ ТООНЫ ХУУЛИЙГ үзнэ үү. Антинази. Социологийн нэвтэрхий толь, 2009 ... Социологийн нэвтэрхий толь бичиг
Их тооны хууль- нийгмийн олон нийтийн үзэгдэлд хамаарах тоон хэв маяг нь хангалттай олон тооны ажиглалтаар хамгийн тод илэрдэг зарчим. Ганц үзэгдлүүд санамсаргүй болон ... ... нөлөөнд илүү өртөмтгий байдаг. Бизнесийн нэр томьёоны тайлбар толь
ИХ ТООНЫ ХУУЛЬ- магадлал нь нэгтэй ойролцоо байх үед ойролцоогоор ижил дарааллын олон тооны санамсаргүй хэмжигдэхүүний арифметик дундаж нь эдгээр хувьсагчдын математик хүлээлтийн арифметик дундажтай тэнцүү тогтмол хэмжээнээс бага зэрэг ялгаатай байх болно гэж мэдэгджээ. Ялгаа…… Геологийн нэвтэрхий толь бичиг
их тооны хууль- — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Цахилгааны инженерчлэл ба эрчим хүчний үйлдвэрлэлийн англи хэлний орос толь бичиг, Москва, 1999] Цахилгааны инженерийн сэдэв, үндсэн ойлголтууд EN олон тооны дундаж хуулийн тухай хууль ... Техникийн орчуулагчийн гарын авлага
их тооны хууль- didžiųjų skaičių dėsnis statusas T sritis fizika atitikmenys: англи хэл. их тооны хууль vok. Gesetz der großen Zahlen, n rus. их тооны хууль, m pranc. loi des grands nombres, f … Физикос терминų žodynas
ИХ ТООНЫ ХУУЛЬ- санамсаргүй хүчин зүйлсийн нэгдмэл үйл ажиллагаа нь тодорхой ерөнхий нөхцөлд бараг тохиолдлын хамааралгүй үр дүнд хүргэдэг ерөнхий зарчим. Санамсаргүй тохиолдлын давтамжийг түүний магадлалын тоо нэмэгдэхэд нийлэх нь ... ... Оросын социологийн нэвтэрхий толь бичиг
Их тооны хууль- олон тооны санамсаргүй хүчин зүйлийн хуримтлагдсан үйл ажиллагаа нь тодорхой ерөнхий нөхцөлд бараг тохиолдлын хамааралгүй үр дүнд хүргэдэг тухай хууль ... Социологи: толь бичиг
ИХ ТООНЫ ХУУЛЬ- түүврийн болон нийт хүн амын статистик үзүүлэлтүүдийн (параметрүүдийн) хамаарлыг илэрхийлсэн статистикийн хууль. Тодорхой түүврээс олж авсан статистик үзүүлэлтүүдийн бодит утга нь тухайн нэрлэсэн зүйлээс үргэлж ялгаатай байдаг. онолын ...... Социологи: нэвтэрхий толь бичиг
ИХ ТООНЫ ХУУЛЬ- ижил төрлийн олон тооны алдагдалтай үед тодорхой төрлийн санхүүгийн алдагдлын давтамжийг өндөр нарийвчлалтайгаар урьдчилан таамаглах зарчим ... Эдийн засаг, хуулийн нэвтэрхий толь бичиг
Номууд
- Ширээний багц. Математик. Магадлалын онол ба математик статистик. 6 хүснэгт + арга зүй, . Хүснэгтийг 680 х 980 мм хэмжээтэй зузаан полиграфик картон дээр хэвлэв. Энэхүү багцад багш нарт зориулсан арга зүйн зөвлөмж бүхий товхимол багтсан болно. 6 хуудас бүхий боловсролын цомог. Санамсаргүй…
