Kursiniai darbai: Pakartotiniai ir savarankiški testai. Bernulio teorema apie tikimybių dažnį. Pristatymas apie Bernulio formulę Pristatymas apie Bernoulli pakartotinio testo schemą
https://accounts.google.com
Skaidrių antraštės:
9 skyrius. Matematinės statistikos elementai, kombinatorika ir tikimybių teorija §54. Atsitiktiniai įvykiai ir jų tikimybės 3. SAVARANKIŠKAS BANDYMŲ PAKARTOJIMAS. BERNULLI TEOREMA IR STATISTINIS STABILUMAS.
Turinys PAVYZDYS 5. Tikimybė pataikyti į taikinį vienu šūviu... Sprendimas 5a); 5b sprendimas); 5c sprendimas); 5d sprendimas). Atkreipkite dėmesį, kad... Visoje pakartojimų serijoje svarbu žinoti... Jacob Bernoulli sujungė pavyzdžius ir klausimus... 3 TEOREMA (Bernulio teorema). 6 PAVYZDYS. Kiekvienoje pastraipoje a) - d) nustatykite reikšmes n, k, p, q ir išrašykite (be skaičiavimų) norimos tikimybės Pn (k) išraišką. 6 sprendimas a); 6 sprendimas b); 6 sprendimas c); 6 sprendimas d). Bernulio teorema leidžia ... TEOREMA 4. Su dideliu savarankiškų pakartojimų skaičiumi... Mokytojui. Šaltiniai. 2014-02-08 2
3. SAVARANKIŠKAS BANDYMŲ KARTOJIMAS. BERNULLI TEOREMA IR STATISTINIS STABILUMAS. 3 dalis. 2014-02-08 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja 3
5 PAVYZDYS. Tikimybė pataikyti į taikinį vienu šūviu Šiek tiek pakeisime ankstesnį pavyzdį: vietoj dviejų skirtingų šaulių į taikinį šaudys tas pats šaulys. 5 pavyzdys. Tikimybė vienu šūviu pataikyti į taikinį yra 0,8. Buvo paleisti 3 savarankiški šūviai. Raskite tikimybę, kad į taikinį: a) bus pataikyta tris kartus; b) nebus paveiktas; c) bus pataikyta bent kartą; d) bus pataikyta tiksliai vieną kartą. 2014-02-08 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja 4
5a pavyzdžio sprendimas) 5 pavyzdys. Tikimybė vienu šūviu pataikyti į taikinį yra 0,8. Buvo paleisti 3 savarankiški šūviai. Raskite tikimybę, kad į taikinį: a) bus pataikyta tris kartus; 2014-02-08 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja 5
5b pavyzdžio sprendimas) 5 pavyzdys. Tikimybė vienu šūviu pataikyti į taikinį yra 0,8. Buvo paleisti 3 savarankiški šūviai. Raskite tikimybę, kad į taikinį: b) nebus pataikyta; Sprendimas: 2014-02-08 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja 6
5c pavyzdžio sprendimas) 5 pavyzdys. Tikimybė vienu šūviu pataikyti į taikinį yra 0,8. Buvo paleisti 3 savarankiški šūviai. Raskite tikimybę, kad į taikinį: c) bus pataikyta bent kartą; Sprendimas: 2014-08-02 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja 7
5d pavyzdžio sprendimas) 5 pavyzdys. Tikimybė vienu šūviu pataikyti į taikinį yra 0,8. Buvo paleisti 3 savarankiški šūviai. Raskite tikimybę, kad į taikinį: d) bus pataikyta tiksliai vieną kartą. Sprendimas: 2014-02-08 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja 8
Pastaba 5 pavyzdžio d punkte pateiktas sprendimas konkrečiu atveju pakartoja garsiosios Bernulio teoremos įrodymą, kuris nurodo vieną iš labiausiai paplitusių tikimybinių modelių: nepriklausomus to paties testo pakartojimus su dviem galimais rezultatais. Išskirtinis bruožas daugelis tikimybinių problemų susideda iš to, kad testas, dėl kurio gali įvykti mus dominantis įvykis, gali būti kartojamas daug kartų. 2014-02-08 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja 9
Visoje kartojimų serijoje svarbu žinoti. Kiekviename iš šių pasikartojimų mus domina klausimas, ar šis įvykis įvyks, ar ne. Ir per visą pakartojimų seriją mums svarbu tiksliai žinoti, kiek kartų šis įvykis gali įvykti arba neįvykti. Pavyzdžiui, kauliukas metamas dešimt kartų iš eilės. Kokia tikimybė, kad 4 pasirodys lygiai 3 kartus? 10 šūvių; Kokia tikimybė, kad į taikinį bus lygiai 8 smūgiai? Arba kokia tikimybė, kad per penkis monetos metimus galvos iškils lygiai 4 kartus? 2014-02-08 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja 10
Jacobas Bernoulli sujungė pavyzdžius ir klausimus XVIII amžiaus pradžios šveicarų matematikas Jacobas Bernoulli sujungė tokio tipo pavyzdžius ir klausimus į vieną tikimybinę schemą. Tegul tikimybė atsitiktinis įvykis Ir atliekant tam tikrą testą, jis lygus P (A). Šį testą laikysime testu su tik dviem galimomis baigtimis: vienas rezultatas yra tai, kad įvyks A, o kitas rezultatas yra tai, kad įvykis A neįvyks, t. y. įvyks Ᾱ. Trumpumo dėlei pirmąją baigtį (įvykio A įvykį) pavadinkime „sėkme“, o antrąją baigtį (įvykio Ᾱ įvykį) „nesėkme“. „Sėkmės“ tikimybė P(A) bus pažymėta p, o „nesėkmės“ tikimybė P(Ᾱ) – q. Taigi q = P(Ᾱ) = 1 - P(A) = 1 - p. 2014-02-08 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja 11
3 TEOREMA (Bernulio teorema) 3 teorema (Bernulio teorema). Tegul P n (k) yra lygiai k „sėkmės“ tikimybė n nepriklausomų to paties testo pakartojimų. Tada P n (k)= С n k p k q n- k , kur p – „sėkmės“ tikimybė, o q=1 - p – „nesėkmės“ atskiro bandymo metu. Ši teorema (pateikiame ją be įrodymų) turi didelę reikšmę tiek teorijai, tiek praktikai. 2014-02-08 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja 12
6 PAVYZDYS. 6 pavyzdys. Kiekvienoje pastraipoje a) - d) nustatykite n, k, p, q reikšmes ir išrašykite (be skaičiavimų) norimos tikimybės P n (k) išraišką. a) Kokia tikimybė gauti lygiai 7 galvas išmetus 10 monetos? b) Kiekvienas iš 20 žmonių savarankiškai įvardija vieną iš savaitės dienų. „Nelaimingos“ dienos yra pirmadienis ir penktadienis. Kokia tikimybė, kad „sėkmės“ bus lygiai pusė? c) Metimas kauliukas yra „sėkmingas“, jei jis meta 5 arba 6. Kokia tikimybė, kad „pasisekės“ lygiai 5 metimai iš 25? d) Bandymas susideda iš trijų skirtingų monetų metimo vienu metu. „Nesėkmė“: daugiau „uodegų“ nei „erelių“. Kokia tikimybė, kad tarp 7 ritinių bus lygiai trys „laimės“? 2014-02-08 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja 13
6a sprendimas) 6 pavyzdys. Kiekvienoje pastraipoje a) - d) nustatykite n, k, p, q reikšmes ir išrašykite (be skaičiavimų) norimos tikimybės P n (k) išraišką. a) Kokia tikimybė gauti lygiai 7 galvas išmetus 10 monetos? Sprendimas: 2014-02-08 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja 14
6b sprendimas) 6 pavyzdys. Kiekvienoje pastraipoje a) - d) nustatykite n, k, p, q reikšmes ir išrašykite (be skaičiavimų) norimos tikimybės P n (k) išraišką. b) Kiekvienas iš 20 žmonių savarankiškai įvardija vieną iš savaitės dienų. „Nelaimingos“ dienos yra pirmadienis ir penktadienis. Kokia tikimybė, kad „sėkmės“ bus lygiai pusė? Sprendimas: 2014-02-08 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja 15
6c sprendimas) 6 pavyzdys. Kiekvienoje pastraipoje a) - d) nustatykite n, k, p, q reikšmes ir išrašykite (be skaičiavimų) norimos tikimybės P n (k) išraišką. c) Metimas kauliukas yra „sėkmingas“, jei jis meta 5 arba 6. Kokia tikimybė, kad „pasisekės“ lygiai 5 metimai iš 25? Sprendimas: 2014-02-08 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja 16
6d sprendimas) 6 pavyzdys. Kiekvienoje pastraipoje a) - d) nustatykite n, k, p, q reikšmes ir išrašykite (be skaičiavimų) norimos tikimybės P n (k) išraišką. d) Bandymas susideda iš trijų skirtingų monetų metimo vienu metu. „Nesėkmė“: daugiau „uodegų“ nei „erelių“. Kokia tikimybė, kad tarp 7 ritinių bus lygiai trys „laimės“? Sprendimas: d) n = 7, k = 3. „Sėkmė“ su vienu metimu yra tai, kad „uodegų“ yra mažiau nei „erelių“. Iš viso galimi 8 rezultatai: PPP, PPO, POP, OPP, POO, ORO, OOP, OOO (P - "uodegos", O - "galvos"). Lygiai pusė jų turi mažiau uodegų nei galvų: POO, ORO, OOP, OOO. Taigi p = q = 0,5; P 7 (3) \u003d C 7 3 ∙ 0,5 3 ∙ 0,5 4 \u003d C 7 3 ∙ 0,5 7. 2014-02-08 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja 17
Bernulio teorema leidžia... Bernulio teorema leidžia nustatyti ryšį tarp statistinio požiūrio į tikimybės apibrėžimą ir klasikinio atsitiktinio įvykio tikimybės apibrėžimo. Norėdami apibūdinti šį ryšį, grįžkime prie 50 straipsnio dėl statistinio informacijos apdorojimo sąlygų. Apsvarstykite n nepriklausomų to paties testo pakartojimų seką su dviem rezultatais – „sėkmė“ ir „nesėkmė“. Šių testų rezultatai sudaro duomenų seką, susidedančią iš dviejų variantų: „sėkmė“ ir „nesėkmė“. Paprasčiau tariant, yra n ilgio seka, sudaryta iš dviejų raidžių U („sėkmės“) ir H („nesėkmė“). Pavyzdžiui, U, U, N, N, U, N, N, N, ..., U arba N, U, U, N, U, U, N, N, U, ..., N ir kt. n. Apskaičiuokime Y variantų daugumą ir dažnumą, t. y. raskime trupmeną k / n, kur k yra „sėkmės“ skaičius tarp visų n pakartojimų. Pasirodo, neribotai padidėjus n, „sėkmių“ pasireiškimo dažnis k/n praktiškai nesiskirs nuo „sėkmės“ tikimybės p viename bandyme. Šis gana sudėtingas matematinis faktas yra išvestas būtent iš Bernoulli teoremos. 2014-02-08 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja 18
TEOREMA 4. Esant dideliam nepriklausomų pakartojimų skaičiui TEOREMA 4. Esant dideliam nepriklausomų to paties testo pakartojimų skaičiui, atsitiktinio įvykio A atsiradimo dažnis didėjant tikslumui yra maždaug lygus įvykio A tikimybei: k/n ≈ P(A). Pavyzdžiui, kai n > 2000 su didesne nei 99 % tikimybe, galima teigti, kad absoliuti paklaida | k/n - P(A)| apytikslė lygybė k/n≈ P(A) bus mažesnė nei 0,03. Todėl sociologinėse apklausose pakanka apklausti apie 2000 atsitiktinai atrinktų žmonių (respondentų). Jei, tarkime, 520 iš jų atsakė teigiamai užduotas klausimas, tada k/n=520/2000=0,26 ir beveik neabejotina, kad daugiau respondentų, šis dažnis bus nuo 0,23 iki 0,29. Šis reiškinys vadinamas statistinio stabilumo fenomenu. Taigi, Bernulio teorema ir jos pasekmės leidžia mums (apytiksliai) rasti atsitiktinio įvykio tikimybę tais atvejais, kai neįmanoma jo aiškiai apskaičiuoti. 2014-02-08 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja 19
Mokytojui 2014-02-08 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja 20
2014-02-08 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja 21
2014-02-08 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja 22
Šaltiniai Algebra ir analizės pradžia, 10-11 kl., 1 dalis. Vadovėlis, 10 leid. (Pagrindinis lygis), A.G. Mordkovich, M., 2009 Algebra ir analizės pradžia, 10-11 kl. (Pagrindinis lygis) Metodinis vadovas mokytojams, A.G.Mordkovich, P.V.Semenov, M., 2010 Lentelės sudarytos MS Word ir MS Excel programomis. Interneto šaltiniai Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja 2014-02-08 23
Peržiūra:
Norėdami naudoti pristatymų peržiūrą, susikurkite paskyrą ( sąskaitą) Google ir prisijunkite: https://accounts.google.com
Skaidrių antraštės:
skaidrė 1
9 skyrius. Matematinės statistikos elementai, kombinatorika ir tikimybių teorija
§54. Atsitiktiniai įvykiai ir jų tikimybės 3. SAVARANKIŠKAS BANDYMŲ PAKARTOJIMAS. BERNULLI TEOREMA IR STATISTINIS STABILUMAS.
skaidrė 2
Turinys
5 PAVYZDYS. Tikimybė pataikyti į taikinį vienu šūviu... Sprendimas 5a); Sprendimas 5b); Sprendimas 5c); Sprendimas 5d). Atkreipkite dėmesį, kad ... Visoje pakartojimų serijoje svarbu žinoti ... Jokūbas Bernoulli sujungė pavyzdžius ir klausimus ... 3 TEOREMA (Bernulio teorema ).
6 PAVYZDYS. Kiekviename iš a) - d) pastraipų nustatykite n, k, p, q reikšmes ir išrašykite (be skaičiavimų) norimos tikimybės Pn(k) išraišką. Sprendimas 6a; Sprendimas 6b) ; 6c sprendimas); 6d sprendimas). Bernoulli teorema leidžia... TEOREMA 4. Su dideliu savarankiškų pakartojimų skaičiumi... Mokytojui.Šaltiniai.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja
*
skaidrė 3
3. SAVARANKIŠKAS BANDYMŲ KARTOJIMAS. BERNULLI TEOREMA IR STATISTINIS STABILUMAS.
3 dalis
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja
*
skaidrė 4
5 PAVYZDYS. Tikimybė pataikyti į taikinį vienu šūviu
Šiek tiek pakeisime ankstesnį pavyzdį: vietoj dviejų skirtingų šaulių į taikinį šaudys tas pats šaulys 5 pavyzdys Tikimybė pataikyti į taikinį vienu šūviu yra 0,8. Buvo paleisti 3 savarankiški šūviai. Raskite tikimybę, kad į taikinį: a) bus pataikyta tris kartus; b) nebus pataikyta; c) bus pataikyta bent vieną kartą; d) bus pataikyta tiksliai vieną kartą.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja
*
skaidrė 5
5a pavyzdžio sprendimas
5 pavyzdys. Tikimybė pataikyti į taikinį vienu šūviu yra 0,8. Buvo paleisti 3 savarankiški šūviai. Raskite tikimybę, kad į taikinį: a) bus pataikyta tris kartus;
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja
*
skaidrė 6
5b pavyzdžio sprendimas
5 pavyzdys. Tikimybė pataikyti į taikinį vienu šūviu yra 0,8. Buvo paleisti 3 savarankiški šūviai. Raskite tikimybę, kad taikinys: b) nebus pataikytas; Sprendimas:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja
*
7 skaidrė
5c pavyzdžio sprendimas)
5 pavyzdys. Tikimybė pataikyti į taikinį vienu šūviu yra 0,8. Buvo paleisti 3 savarankiški šūviai. Raskite tikimybę, kad į taikinį: c) bus pataikyta bent kartą; Sprendimas:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja
*
8 skaidrė
5d pavyzdžio sprendimas)
5 pavyzdys. Tikimybė pataikyti į taikinį vienu šūviu yra 0,8. Buvo paleisti 3 savarankiški šūviai. Raskite tikimybę, kad į taikinį: d) bus pataikyta tiksliai vieną kartą. Sprendimas:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja
*
9 skaidrė
Pastaba
5 pavyzdžio d punkte pateiktas sprendimas konkrečiu atveju pakartoja garsiosios Bernulio teoremos įrodymą, kuris nurodo vieną iš labiausiai paplitusių tikimybinių modelių: nepriklausomus to paties testo pakartojimus su dviem galimomis baigtimis. Išskirtinis daugelio tikimybinių problemų bruožas yra tas, kad testas, dėl kurio gali įvykti mus dominantis įvykis, gali būti kartojamas daug kartų.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja
*
10 skaidrė
Visoje pakartojimų serijoje svarbu žinoti
Kiekviename iš šių pasikartojimų mus domina klausimas, ar šis įvykis įvyks, ar ne. Ir per visą pakartojimų seriją mums svarbu tiksliai žinoti, kiek kartų šis įvykis gali įvykti arba neįvykti. Pavyzdžiui, kauliukas metamas dešimt kartų iš eilės. Kokia tikimybė, kad 4 pasirodys lygiai 3 kartus? 10 šūvių; Kokia tikimybė, kad į taikinį bus lygiai 8 smūgiai? Arba kokia tikimybė, kad per penkis monetos metimus galvos iškils lygiai 4 kartus?
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja
*
skaidrė 11
Jacob Bernoulli sujungė pavyzdžius ir klausimus
XVIII amžiaus pradžios šveicarų matematikas Jacobas Bernoulli tokio tipo pavyzdžius ir klausimus sujungė į vieną tikimybinę schemą. Tegul atsitiktinio įvykio A tikimybė kokio nors testo metu yra lygi P (A). Šį testą laikysime testu su tik dviem galimomis baigtimis: vienas rezultatas yra tai, kad įvyks A, o kitas rezultatas yra tai, kad įvykis A neįvyks, t. y. įvyks Ᾱ. Trumpumo dėlei pirmąją baigtį (įvykio A įvykį) pavadinkime „sėkme“, o antrąją baigtį (įvykio Ᾱ įvykį) „nesėkme“. „Sėkmės“ tikimybė P(A) bus pažymėta p, o „nesėkmės“ tikimybė P(Ᾱ) – q. Taigi q = P(Ᾱ) = 1 - P(A) = 1 - p.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja
*
skaidrė 12
3 TEOREMA (Bernulio teorema)
3 teorema (Bernulio teorema). Tegul Pn(k) yra lygiai k „sėkmės“ tikimybė n nepriklausomų to paties testo pakartojimų. Tada Pn(k)= Сnk pk qn-k, kur p – „sėkmės“ tikimybė, o q=1-p – atskiro testo „nesėkmės“ tikimybė.. Ši teorema (pateikiame be įrodymo). ) yra labai svarbus teorijai ir praktikai.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja
*
skaidrė 13
6 PAVYZDYS.
6 pavyzdys. Kiekvienoje pastraipoje a) – d) nustatykite n, k, p, q reikšmes ir išrašykite (be skaičiavimų) norimos tikimybės Pn(k) išraišką. Monetos? b) Kiekvienas iš 20 žmonių savarankiškai įvardija vieną iš savaitės dienų. „Nelaimingos“ dienos yra pirmadienis ir penktadienis. Kokia tikimybė, kad „sėkmės“ bus lygiai pusė? Kokia tikimybė, kad tiksliai 5 metimai iš 25 bus „sėkmingi“? d) Testas susideda iš trijų skirtingų monetų metimo vienu metu. „Nesėkmė“: daugiau „uodegų“ nei „erelių“. Kokia tikimybė, kad tarp 7 ritinių bus lygiai trys „laimės“?
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja
*
14 skaidrė
6a sprendimas
6 pavyzdys. Kiekvienoje pastraipoje a) – d) nustatykite n, k, p, q reikšmes ir išrašykite (be skaičiavimų) norimos tikimybės Pn(k) išraišką. Monetos? Sprendimas:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja
*
skaidrė 15
6b sprendimas)
6 pavyzdys. Kiekvienoje pastraipoje a) – d) nustatykite n, k, p, q reikšmes ir išrašykite (be skaičiavimų) norimos tikimybės Pn(k) išraišką. b) Kiekvienas iš 20 žmonių atskirai įvardija vieną iš savaitės dienų. „Nelaimingos“ dienos yra pirmadienis ir penktadienis. Kokia tikimybė, kad bus lygiai pusė „sėkmės“? Sprendimas:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja
*
skaidrė 16
6c sprendimas)
6 pavyzdys. Kiekvienoje pastraipoje a) – d) nustatykite n, k, p, q reikšmes ir išrašykite (be skaičiavimų) norimos tikimybės Pn(k) išraišką. Kokia tikimybė, kad tiksliai 5 metimai iš 25 bus „laimingi“? Sprendimas:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja
*
17 skaidrė
6d sprendimas)
6 pavyzdys. Kiekvienoje pastraipoje a) – d) nustatykite n, k, p, q reikšmes ir išrašykite (be skaičiavimų) norimos tikimybės Pn(k) išraišką. d) Testą sudaro vienu metu mesti tris skirtingas monetas. „Nesėkmė“: daugiau „uodegų“ nei „erelių“. Kokia tikimybė, kad tarp 7 metimų bus lygiai trys „laimės“? Sprendimas: d) n = 7, k = 3. Vieno metimo „laimė“ yra ta, kad „uodegų“ yra mažiau nei „erelių“. Iš viso galimi 8 rezultatai: PPP, PPO, POP, OPP, POO, ORO, OOP, OOO (P - "uodegos", O - "galvos"). Lygiai pusė jų turi mažiau uodegų nei galvų: POO, ORO, OOP, OOO. Taigi p = q = 0,5; Р7(3) = С73 ∙ 0,53 ∙ 0,54 = С73 ∙ 0,57.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja
*
18 skaidrė
Bernulio teorema leidžia...
Bernoulli teorema leidžia nustatyti ryšį tarp statistinio požiūrio į tikimybės apibrėžimą ir klasikinio atsitiktinio įvykio tikimybės apibrėžimo. Norėdami apibūdinti šį ryšį, grįžkime prie 50 straipsnio dėl statistinio informacijos apdorojimo sąlygų. Apsvarstykite n nepriklausomų to paties testo pakartojimų seką su dviem rezultatais – „sėkmė“ ir „nesėkmė“. Šių testų rezultatai sudaro duomenų seriją, kurią sudaro tam tikra dviejų variantų seka: „sėkmė“ ir „nesėkmė“. Paprasčiau tariant, yra n ilgio seka, sudaryta iš dviejų raidžių Y („sėkmės“) ir H („nesėkmė“). Pavyzdžiui, U, U, N, N, U, N, N, N, ..., U arba N, U, U, N, U, U, N, N, U, ..., N ir kt. n. Apskaičiuokime variantų Y daugumą ir dažnumą, t. y. rasime trupmeną k / n, kur k yra „sėkmės“ skaičius tarp visų n pakartojimų. Pasirodo, neribotai padidėjus n, „sėkmių“ pasireiškimo dažnis k/n praktiškai nesiskirs nuo „sėkmės“ tikimybės p viename bandyme. Šis gana sudėtingas matematinis faktas yra išvestas būtent iš Bernoulli teoremos.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja
*
19 skaidrė
TEOREMA 4. Dideliam nepriklausomų pakartojimų skaičiui
4 TEOREMA. Esant dideliam nepriklausomų to paties testo pakartojimų skaičiui, atsitiktinio įvykio A atsiradimo dažnis didėjant tikslumui yra maždaug lygus įvykio A tikimybei: k / n ≈ P (A). Pavyzdžiui, su n > 2000 su didesne nei 99 % tikimybe , galima teigti, kad absoliuti paklaida |k/n- Р(А)| apytikslė lygybė k/n≈ P(A) bus mažesnė nei 0,03. Todėl sociologinėse apklausose pakanka apklausti apie 2000 atsitiktinai atrinktų žmonių (respondentų). Jei, tarkime, 520 iš jų atsakė teigiamai į klausimą, tai k / n = 520 / 2000 = 0,26 ir praktiškai neabejotina, kad bet kuriam didesniam respondentų skaičiui toks dažnis bus nuo 0,23 iki 0,29. Šis reiškinys vadinamas statistinio stabilumo reiškiniu.Taigi Bernulio teorema ir jos pasekmės leidžia (apytiksliai) rasti atsitiktinio įvykio tikimybę tais atvejais, kai neįmanoma jo aiškiai apskaičiuoti.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja
*
20 skaidrė
Dėl mokytojo
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja
*
skaidrė 21
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja
*
skaidrė 22
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja
*
skaidrė 23
Šaltiniai
Algebra ir analizės užuomazgos, 10-11 kl., 1 dalis. Vadovėlis, 10 leid. (Pagrindinis lygis), A.G. Mordkovich, M., 2009 Algebra ir analizės pradžia, 10-11 kl. (Pagrindinis lygis) Metodinis vadovas mokytojams,A.G.Mordkovich,P.V.Semenov,M.,2010 Lentelės sudarytos MS Word ir MS Excel programomis Interneto ištekliai
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, matematikos mokytoja
08.02.2014
*
skaidrė 1
Bernulio teorema
17.03.2017
skaidrė 2
Atliekama n nepriklausomų bandymų serija. Kiekvienas testas turi 2 rezultatus: A – „sėkmė“ ir „nesėkmė“. Kiekvieno testo „sėkmės“ tikimybė yra vienoda ir lygi P(A) = p Atitinkamai, „nesėkmės“ tikimybė taip pat nekinta nuo patirties iki patirties ir yra lygi.
Bernulli schema
Kokia tikimybė, kad n bandymų serija bus sėkminga k kartų? Raskite Pn(k) .
skaidrė 3
Moneta metama n kartų. Korta iš kaladės ištraukiama n kartų ir kiekvieną kartą, kai korta grąžinama, kaladė sumaišoma. Ištiriame n atsitiktinai atrinktų tam tikros gamybos produktų kokybę. Šaulys į taikinį šaudo n kartų.
Pavyzdžiai
skaidrė 4
Paaiškinkite, kodėl šie klausimai atitinka Bernulio schemą. Nurodykite, iš ko susideda „sėkmė“ ir kas yra n ir k. a) Kokia tikimybė iš dešimties kauliuko metimų tris kartus gauti 2? b) Kokia tikimybė, kad išmetus 100 monetos galvutės pasirodys 73 kartus? c) Dvidešimt kartų iš eilės metama kauliukų pora. Kokia tikimybė, kad taškų suma niekada nebuvo lygi dešimčiai? d) Iš 36 kortų kaladės buvo ištrauktos trys kortos, rezultatas užrašomas ir grąžinamas į kaladę, tada kortos buvo sumaišytos. Tai kartojosi 4 kartus. Kokia tikimybė, kad Pikų dama kiekvieną kartą buvo tarp ištrauktų kortų?
skaidrė 5
Derinių skaičiui nuo n iki k galioja formulė
Pavyzdžiui:
skaidrė 6
Bernulio teorema
Tikimybė Pn(k), kad n nepriklausomų to paties testo pakartojimų bus lygiai k sėkminga, randama pagal formulę, kur p – „sėkmės“ tikimybė, q = 1- p – „nesėkmės“ atskirame eksperimente tikimybė. .
7 skaidrė
Moneta metama 6 kartus. Kokia tikimybė, kad herbas atsiras 0, 1, ...6 kartus? Sprendimas. Eksperimentų skaičius n=6. Įvykis A – „sėkmė“ – herbo praradimas. Pagal Bernulio formulę reikalinga tikimybė yra
;
;
;
;
;
;
8 skaidrė
Moneta metama 6 kartus. Kokia tikimybė, kad herbas atsiras 0, 1, ...6 kartus? Sprendimas. Eksperimentų skaičius n=6. Įvykis A – „sėkmė“ – herbo praradimas.
;
;
;
;
;
;
9 skaidrė
Moneta metama 10 kartų. Kokia tikimybė, kad herbas atsiras du kartus? Sprendimas. Eksperimentų skaičius n=10, m=2. Įvykis A – „sėkmė“ – herbo praradimas. Pagal Bernulio formulę reikalinga tikimybė yra
;
;
;
;
;
;
10 skaidrė
Urnoje yra 20 baltų ir 10 juodų rutulių. Išimami 4 rutuliukai, o kiekvienas išimtas rutuliukas grąžinamas į urną prieš ištraukiant kitą ir sumaišant urnoje esančius kamuoliukus. Raskite tikimybę, kad 2 iš 4 nupieštų rutuliukų yra balti. Sprendimas. Įvykis A – gavosi baltas rutulys. Tada tikimybės Pagal Bernulio formulę reikiama tikimybė yra
skaidrė 11
Nustatykite tikimybę, kad šeimoje, kurioje auga 5 vaikai, nėra mergaičių. Manoma, kad tikimybė susilaukti berniuko ir mergaitės yra vienoda. Sprendimas. Mergaitės, berniuko gimimo tikimybė Pagal Bernulio formulę reikiama tikimybė lygi
skaidrė 12
Raskite tikimybę, kad 5 vaikų šeimoje bus viena mergaitė. Manoma, kad tikimybė susilaukti berniuko ir mergaitės yra vienoda. Sprendimas. Mergaitės, berniuko gimimo tikimybė Pagal Bernulio formulę reikiama tikimybė lygi
skaidrė 13
Nustatykite tikimybę, kad 5 vaikų šeimoje bus dvi mergaitės. Sprendimas. Mergaitės, berniuko gimimo tikimybė Pagal Bernulio formulę reikiama tikimybė lygi
14 skaidrė
Raskite tikimybę, kad 5 vaikų šeimoje bus 3 mergaitės. Sprendimas. Mergaitės, berniuko gimimo tikimybė Pagal Bernulio formulę reikiama tikimybė lygi
skaidrė 15
Nustatykite tikimybę, kad 5 vaikų šeimoje bus ne daugiau kaip 3 mergaitės. Manoma, kad tikimybė susilaukti berniuko ir mergaitės yra vienoda. Sprendimas. Tikimybė susilaukti mergaitės, berniuko Reikalinga tikimybė lygi
.
skaidrė 16
Tarp darbuotojo apdirbamų detalių nestandartinių yra vidutiniškai 4 proc. Raskite tikimybę, kad dvi iš 30 testavimui paimtų dalių bus nestandartinės. Sprendimas. Čia patirtis slypi tikrinant kiekvienos iš 30 dalių kokybę. Įvykis A – „nestandartinės dalies atsiradimas“,
„Matematinės statistikos elementai“ – Pasitikėjimo intervalas. Mokslas. Hipotezių klasifikacija. Dalys gaminamos skirtingose mašinose. Tikrinimo taisyklės. koreliacinė priklausomybė. Priklausomybė. Kriterijų reikšmių rinkinys. Raskite pasikliautinąjį intervalą. Nežinomos dispersijos pasikliautinųjų intervalų apskaičiavimas. Normalus skirstinys.
„Tikimybių ir matematinė statistika“ – gautų verčių tikslumas. Seifo kodas. Aprašomoji statistika. Apple. Apsvarstykime įvykius. daugybos taisyklė. Du šauliai. Palyginimas mokymo programas. Karamelė. Juostinių diagramų pavyzdžiai. Matematikos pažymiai. Daugybos iš trijų taisyklė. Baltos ir raudonos rožės. 9 skirtingos knygos. Žiemos atostogos.
„Matematinės statistikos pagrindai“ – sąlyginė tikimybė. Standartizuotų verčių lentelė. Studentų pasiskirstymo ypatybės. Matematinių lūkesčių pasitikėjimo intervalas. Pavyzdžio vidurkis. Paskirstymas. Vienas bandymas gali būti laikomas vieno bandymo serija. Kvantilis - kairėje turėtų būti reikšmių skaičius, atitinkantis kvantilinį indeksą.
„Tikimybių teorija ir statistika“ – Intervalo ribos. Kritinės sritys. Tikimybių daugybos teorema. Normalaus atsitiktinio dydžio pasiskirstymas. Bernulio formulės išvedimas. Atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsniai. ZBC formuluotė. Centrinės ribos teoremos reikšmė ir formulavimas. Vardinių požymių ryšys. Dviejų atsitiktinių dydžių stochastinė priklausomybė.
„Statistinis tyrimas“ – aktualumas. Statistinės charakteristikos ir tyrimai. Planuoti. Diapazonas yra skirtumas tarp didžiausių ir mažiausių duomenų serijos verčių. Statistinio stebėjimo rūšys. Ar tau patinka mokytis matematikos. Apsvarstykite skaičių seriją. Kas padeda suprasti sudėtingą matematikos temą. Ar jums reikia matematikos jūsų būsimoje profesijoje.
„Pagrindinės statistinės charakteristikos“ – pagrindinės statistinės charakteristikos. Raskite aritmetinį vidurkį. PETRONIUS. Perbraukite. Eilių mada. Skaičių serijos aritmetinis vidurkis. Eilių tarpas. Serialo mediana. Statistika. Mediana. Mokykliniai sąsiuviniai.
Iš viso temoje yra 17 pranešimų
FEDERALINĖ ŠVIETIMO AGENTŪRA
Valstybinė švietimo įstaiga
aukštasis profesinis išsilavinimas
"MATI" - RUSIJOS VALSTYBINIO TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS IM. K.E. TSIOLKOVSKIS
Sistemų modeliavimo ir informacinių technologijų katedra
Bandymų kartojimas. Bernulli schema
Praktinių pratimų metodinės instrukcijos
disciplinoje „Aukštoji matematika“
Sudarė: Egorova Yu.B.
Mamonovas I.M.
Maskva 2006 įvadas
Rekomendacijos skirtos 14 fakulteto dieninių ir vakarinių skyrių 150601, 160301, 230102 specialybių studentams. Rekomendacijose išryškinamos pagrindinės temos sąvokos, nustatoma medžiagos studijų seka. Daugybė apsvarstytų pavyzdžių padeda praktiškai plėtoti temą. Rekomendacijos yra praktinių pratybų ir individualių užduočių vykdymo metodinis pagrindas.
BERNULLI SCHEMA. BERNULLI FORMULĖ
Bernulli schema- pakartotinių nepriklausomų testų schema, kurioje tam tikras įvykis BET gali būti kartojamas daug kartų su pastovia tikimybe R (BET)= R .
Bandymų, atliktų pagal Bernulio schemą, pavyzdžiai: daugkartinis monetos ar kauliuko metimas, dalių partijos gamyba, šaudymas į taikinį ir kt.
Teorema. Jei įvykio tikimybė BET kiekviename bandyme yra pastovus ir lygus R, tada tikimybė, kad įvykis BET Ateis m Kartą n testus (nesvarbu, kokia seka) galima nustatyti pagal Bernulio formulę:
kur q = 1 – p.
1 PAVYZDYS. Tikimybė, kad elektros energijos suvartojimas per vieną parą neviršys nustatytos normos, lygi p= 0,75. Raskite tikimybę, kad per artimiausias 6 dienas elektros suvartojimas 4 dienas neviršys normos.
SPRENDIMAS. Įprasto energijos suvartojimo tikimybė per kiekvieną iš 6 dienų yra pastovi ir lygi R= 0,75. Todėl elektros energijos pertekliaus tikimybė kiekvieną dieną taip pat yra pastovi ir lygi q = 1R = 1 0,75 = 0,25.
Norima tikimybė pagal Bernulio formulę yra lygi:
2 PAVYZDYS.Šaulys į taikinį paleidžia tris šūvius. Tikimybė pataikyti į taikinį kiekvienu šūviu yra p= 0,3. Raskite tikimybę, kad: a) bus pataikyta į vieną taikinį; b) visi trys taikiniai; c) jokių taikinių; d) bent vienas taikinys; e) mažiau nei du taikiniai.
SPRENDIMAS. Tikimybė pataikyti į taikinį kiekvienu šūviu yra pastovi ir lygi R=0,75. Todėl tikimybė praleisti yra q = 1 R\u003d 1 - 0,3 \u003d 0,7. Bendras eksperimentų skaičius n=3.
a) Tikimybė pataikyti į vieną taikinį trimis šūviais yra lygi:
b) Tikimybė trimis šūviais pataikyti į visus tris taikinius yra:
c) Trijų nepataikymų tikimybė trimis šūviais yra lygi:
d) Tikimybė trimis šūviais pataikyti bent į vieną taikinį yra lygi:
e) Tikimybė pataikyti į mažiau nei du taikinius, t. y. į vieną taikinį arba nė vieno:
Moivre-Laplace lokalios ir integralinės teoremos
Jei atliekama daug bandymų, tikimybių skaičiavimas naudojant Bernulio formulę tampa techniškai sudėtingas, nes formulei reikia atlikti operacijas su dideliais skaičiais. Todėl yra paprastesnių apytikslių formulių, skirtų didelėms tikimybėms apskaičiuoti n. Šios formulės vadinamos asimptotinėmis ir apibrėžiamos Puasono teorema, Laplaso lokaliąja ir integraliąja teorema.
Vietinė de Moivre-Laplace teorema. BET BET atsitikti m Kartą n n (n →∞ ), yra maždaug lygus:
kur yra funkcija 
ir argumentas 
Daugiau n, tuo tikslesnis tikimybių skaičiavimas. Todėl patartina taikyti Moivre-Laplace teoremą, kai npq 20.
f ( x ) buvo sudarytos specialios lentelės (žr. 1 priedą). Naudodami lentelę atminkite funkcijos savybės f(x) :
Funkcija f(x) yra lygus f( x) = f(x) .
At X ∞ funkcija f(x) 0. Praktiškai galime manyti, kad jau val X>4 funkcija f(x) ≈0.
3 PAVYZDYS. Raskite tikimybę, kad įvykis BETįvyksta 80 kartų per 400 bandymų, jei įvykio atsiradimo tikimybė yra BET kiekviename teste yra p= 0,2.
SPRENDIMAS. Pagal sąlygą n=400, m=80, p=0,2, q=0,8. Vadinasi:
Pagal lentelę nustatome funkcijos reikšmę f (0)=0,3989.
Moivre-Laplace integralų teorema. Jei įvykio tikimybė BET kiekviename bandyme yra pastovi ir skiriasi nuo 0 ir 1, tada tikimybė, kad įvykis BET atvyko is m 1 prieš m 2 Kartą n bandymų su pakankamai dideliu skaičiumi n (n →∞ ), yra maždaug lygus:
kur 
- Integral arba Laplaso funkcija, 
Norėdami rasti funkcijų reikšmes F( x ) buvo sudarytos specialios lentelės (pvz., žr. 2 priedą). Naudodami lentelę atminkite Laplaso funkcijos savybės Ф(x) :
Funkcija Ф(x) yra nelyginis F( x)= Ф(x) .
At X ∞ funkcija Ф(x) 0,5. Praktikoje galima manyti, kad X>5 funkcija Ф(x) ≈0,5.
F (0)=0.
4 PAVYZDYS. Tikimybė, kad detalė nepraėjo Kokybės kontrolės skyriaus patikros, yra 0,2. Raskite tikimybę, kad tarp 400 prekių bus nepažymėta nuo 70 iki 100 elementų.
SPRENDIMAS. Pagal sąlygą n=400, m 1 =70, m 2 =100, p=0,2, q=0,8. Vadinasi:
Pagal lentelę, kurioje pateiktos Laplaso funkcijos reikšmės, nustatome:
Ф(x 1 ) = F( 1,25 )= F( 1,25 )= 0,3944; Ф(x 2 ) = F( 2,5 )= 0,4938.
Vyksta daugybė nepriklausomų bandymų,kurių kiekvienas turi 2 galimus rezultatus,
kuriuos sąlyginai vadinsime sėkme ir nesėkme.
Pavyzdžiui, studentas laiko po 4 egzaminus
iš kurių galimi 2 rezultatai Sėkmė: studentas
išlaikė egzaminą ir Neišlaikė: neišlaikė. Kiekvieno bandymo sėkmės tikimybė yra
p. Gedimo tikimybė yra q=1-p.
Būtina rasti tikimybę, kad serijoje
iš n bandymų sėkmė ateis m kartų
Pn (m) Bm Ó Ó ... Ó Í ... Í
Í Ó ... Ó Í ... Í ...
Í Í ... Í Ó ... Ó
Kiekvienu atveju Sėkmė įvyksta m kartų ir
Nepavyko (n–m) kartų.
Skaičius
visi
deriniai
lygus
numerį
būdų iš n bandymų pasirinkti tuos m, in
kuri buvo Sėkmė, t.y. Cm
n Kiekvieno tokio derinio tikimybė yra
teorema
apie
daugyba
tikimybės
bus Pmqn-m.
Kadangi šie deriniai yra nesuderinami, tada
norima įvykio Bm tikimybė bus
Pn (m) p q
m
n m
... p q
m
n m
viso C s lagai û õ C p q
m
n
m
n
m
n m Pn (m) C p q
m
n
m
n m Yra žinoma, kad jei moneta nukrenta ant galvų, studentas
eina į kiną, jei moneta nukrenta ant uodegų
studentai. Kokia tikimybė, kad
1) trys iš jų dalyvaus paskaitoje
2) paskaitoje bus ne mažiau kaip 3 studentai
2) ar bent vienas iš studentų pateks į paskaitą? 1) Šiame uždavinyje eilė n=5
nepriklausomi testai. Pavadinkime tai sėkme
eiti į paskaitą (uodegos iškrenta) ir
Nesėkmė – ėjimas į kiną (iškritimas iš herbo).
p=q=1/2.
Naudodami Bernulio formulę randame tikimybę, kad
Kas atsitiks 3 kartus po 5 monetos metimo?
sėkmė:
3
2
1 1
P5(3)C
2 2
5! 1 1
1
10
0,3125
3!2! 8 4
32
3
5Norėdami rasti tikimybę, kad po 5 metimų
bent kartą moneta nusileis į uodegą,
pereikime prie priešingos situacijos tikimybės
įvykiai - moneta iškris visus 5 kartus su herbu:
P5 (0).
Tada norima tikimybė bus tokia: P=1-P5(0).
Pagal Bernulio formulę:
0
5
1 1
P5(0) C
2 2
0
5
5
1
0,03125
2 Tada norimo įvykio tikimybė bus
P1 0,03125 0,96875
Bernulis
studentas eina
kine, jei moneta nukrenta uodegomis - mokinys eina į
paskaita. Monetą išmetė 5 mokiniai. Kas yra labiausiai
tikėtinas studentų skaičius, eis į paskaitą?
Tikimybė
1 bilieto laimėjimas yra 0,2. Kas yra labiausiai
tikėtinas laimėtų bilietų skaičius? Labiausiai tikėtinas sėkmės skaičius schemoje
Bernulis
np q k np p Labiausiai tikėtinas sėkmės skaičius schemoje
Bernulis
Labiausiai tikėtinų laimėjimų skaičiaus formulė
np q k np p
Jei np-q yra sveikas skaičius, tai šiame intervale yra 2
Sveiki skaičiai. Abu yra vienodai neįtikėtini.
Jei np-q yra ne sveikasis skaičius, tai šiame intervale yra 1
sveikasis skaičius Labiausiai tikėtinas sėkmės skaičius schemoje
Bernulis
Pavyzdys Yra žinoma, kad jei moneta nukrenta ant galvų,
– Studentas eina į paskaitą. Išmesta moneta 5
studentai eina į paskaitą?
np q k np p
n 5
1
p q
2Labiausiai tikėtinas sėkmės skaičius schemoje
Bernulis
Pavyzdys Yra žinoma, kad jei moneta nukrenta ant galvų,
mokinys eina į kiną, jei moneta nukrenta ant uodegų
– Studentas eina į paskaitą. Išmesta moneta 5
studentai. Koks yra labiausiai tikėtinas skaičius
studentai eina į paskaitą?
np q k np p
n 5
1
p q
2
1 1
np q 5 2
2 2
1 1
np p 5 3
2 2Labiausiai tikėtinas sėkmės skaičius schemoje
Bernulis
Pavyzdys Yra žinoma, kad jei moneta nukrenta ant galvų,
mokinys eina į kiną, jei moneta nukrenta ant uodegų
– Studentas eina į paskaitą. Išmesta moneta 5
studentai. Koks yra labiausiai tikėtinas skaičius
studentai eina į paskaitą?
np q k np p
n 5
1
p q
2
1 1
np q 5 2
2 2
1 1
np p 5 3
2 2
2 k 3 k 2, k 3 Labiausiai tikėtinas sėkmės skaičius schemoje
Bernulis
Pavyzdys Yra žinoma, kad jei moneta nukrenta ant galvų,
mokinys eina į kiną, jei moneta nukrenta ant uodegų
– Studentas eina į paskaitą. Išmesta moneta 5
studentai. Koks yra labiausiai tikėtinas skaičius
studentai eina į paskaitą?
2
3
3
2
5
1 1
1 10 5
P5 (2) C52 10
32 16
2 2
2
5
1 1
1 10 5
P5 (3) C53 10
32 16
2 2
2 Labiausiai tikėtinas sėkmės skaičius schemoje
Bernulis
Pavyzdys Yra žinoma, kad jei moneta nukrenta ant galvų,
mokinys eina į kiną, jei moneta nukrenta ant uodegų
– Studentas eina į paskaitą. Išmesta moneta 5
studentai. Koks yra labiausiai tikėtinas skaičius
studentai eina į paskaitą?
tikimybė, Pn(k)
Dalyvavusių studentų skaičiaus tikimybės
paskaita
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
mokinių skaičius, k
4
5Labiausiai tikėtinas sėkmės skaičius schemoje
Bernulis
Perkami 10 pavyzdiniai loterijos bilietai.
bilietai?
np q k np p
n 10
p 0,2 q 0,8 Labiausiai tikėtinas sėkmės skaičius schemoje
Bernulis
Perkami 10 pavyzdiniai loterijos bilietai.
Tikimybė laimėti 1 bilietą yra 0,2.
Koks yra labiausiai tikėtinas laimėtojų skaičius
bilietai?
np q k np p
n 10
p 0,2 q 0,8
np q 10 0,2 0,8 1,2
np p 10 0,2 0,2 2,2 Labiausiai tikėtinas sėkmės skaičius schemoje
Bernulis
Perkami 10 pavyzdiniai loterijos bilietai.
Tikimybė laimėti 1 bilietą yra 0,2.
Koks yra labiausiai tikėtinas laimėtojų skaičius
bilietai?
np q k np p
n 10
p 0,2 q 0,8
np q 10 0,2 0,8 1,2
1, 2 iki 2, 2
np p 10 0,2 0,2 2,2
k2 Labiausiai tikėtinas sėkmės skaičius schemoje
Bernulis
Perkami 10 pavyzdiniai loterijos bilietai.
Tikimybė laimėti 1 bilietą yra 0,2.
Koks yra labiausiai tikėtinas laimėtojų skaičius
bilietai?
P10 (2) C 0,2 0,8
2
10
2
8
45 0, 04 0,16777216=
=0,301989888Labiausiai tikėtinas sėkmės skaičius schemoje
Bernulis
Perkami 10 pavyzdiniai loterijos bilietai.
Tikimybė laimėti 1 bilietą yra 0,2.
Koks yra labiausiai tikėtinas laimėtojų skaičius
bilietai?
Tikimybės, kad bus laimėtas bilietų skaičius
tikimybė, Pn(k)
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
4
5
6
bilietų skaičius, k
7
8
9
10Labiausiai tikėtinas sėkmės skaičius schemoje
Bernulis
Pasirašyta 10 sutarčių
sumokėti draudimo sumą
viena iš sutarčių
nei trys sutartys
d) rasti labiausiai tikėtiną sutarčių skaičių pagal
kas turės sumokėti draudimo sumą Labiausiai tikėtinas sėkmės skaičius schemoje
Bernulis
Pavyzdys Vidutiniškai 20 % draudimo sutarčių
įmonė sumoka draudimo sumą.
Pasirašyta 10 sutarčių
a) Raskite tikimybę, kad trys
sumokėti draudimo sumą
0,201327Labiausiai tikėtinas sėkmės skaičius schemoje
Bernulis
Pavyzdys Vidutiniškai 20 % draudimo sutarčių
įmonė sumoka draudimo sumą.
Pasirašyta 10 sutarčių
b) Draudimo suma nereikės išmokėti pagal jokią
viena iš sutarčių
0,107374Labiausiai tikėtinas sėkmės skaičius schemoje
Bernulis
Pavyzdys Vidutiniškai 20 % draudimo sutarčių
įmonė sumoka draudimo sumą.
Pasirašyta 10 sutarčių
c) draudimo suma turės būti sumokėta ne daugiau kaip
nei trys sutartys
0,753297Jei n yra didelis, tada naudokite formulę
Pn (m) C p q
m
n
m
n m
sunku
Todėl naudojamos apytikslės formulės Teorema: Jei įvykio A tikimybė p
kiekviename bandyme yra artimas nuliui,
ir nepriklausomų bandymų skaičius n yra pakankamai didelis,
tada tikimybė Pn(m), kad n nepriklausomų bandymų
įvykis A įvyks m kartų, maždaug lygus:
Pn (m)
m
m!
e
kur λ=np
Ši formulė vadinama Puasono formule (retų įvykių dėsnis). Pn (m)
m
m!
e, kt
Paprastai naudojama apytikslė Puasono formulė,
kai p<0,1, а npq<10.
Pavyzdys Leiskite žinoti, kad gaminant tam tikrą vaistą
santuoka (paketų, kurios neatitinka standarto, skaičius)
yra 0,2%. Apskaičiuokite tikimybę, kad
po 1000 atsitiktinai atrinktų paketų bus trys paketai,
neatitinka standarto.
Pn(k)
k
k!
P1000(3) ?
e ,
np Pavyzdys Leiskite žinoti, kad gaminant tam tikrą vaistą
santuoka (paketų, kurios neatitinka standarto, skaičius)
yra 0,2%. Apskaičiuokite tikimybę, kad
po 1000 atsitiktinai atrinktų paketų bus trys paketai,
neatitinka standarto.
Pn(k)
k
k!
P1000(3) ?
e, kt
np 1000 0,002 2
3
2 2 8
P1000 (3) e 0,135=0,18
3!
6
sujungtos ne daugiau kaip 5 sutartys. Pavyzdys Vidutiniškai 1% sutarčių draudimo bendrovė
sumoka draudimo sumą. Raskite tikimybę, kad nuo
100 sutarčių įvykus draudžiamajam įvykiui bus
sujungtos ne daugiau kaip 5 sutartys.
