Vidurkių dėsnis arba kas yra sėkmingų pardavėjų paslaptis. Vidutinės vertės Stiprus didelių skaičių dėsnis
Žodžiai apie didelius skaičius reiškia testų skaičių – atsižvelgiama į didelį atsitiktinio dydžio verčių skaičių arba daugelio atsitiktinių dydžių kaupiamąjį veiksmą. Šio dėsnio esmė yra tokia: nors neįmanoma nuspėti, kokią reikšmę įgis vienas atsitiktinis kintamasis viename eksperimente, tačiau bendras daugelio nepriklausomų atsitiktinių dydžių veikimo rezultatas praranda savo atsitiktinumą ir gali gali būti prognozuojamas beveik patikimai (t. y. su didele tikimybe). Pavyzdžiui, neįmanoma nuspėti, į kurią pusę nukris moneta. Tačiau jei išmetate 2 tonas monetų, tuomet galima labai tvirtai teigti, kad monetų, nukritusių su herbu į viršų, svoris yra 1 tona.
Visų pirma, vadinamoji Čebyševo nelygybė reiškia didelių skaičių dėsnį, kuris atskiru testu įvertina tikimybę, kad atsitiktinis dydis priims reikšmę, kuri nukrypsta nuo vidutinės reikšmės ne daugiau kaip duota reikšme.
Čebyševo nelygybė. Leisti X yra savavališkas atsitiktinis dydis, a=M(X) , a D(X) yra jo dispersija. Tada
Pavyzdys. Mašinoje apdirbtos movos skersmens vardinė (t. y. reikalinga) vertė yra 5 mm, ir dispersijos nebėra 0.01 (tai yra mašinos tikslumo tolerancija). Įvertinkite tikimybę, kad gaminant vieną įvorę jos skersmens nuokrypis nuo vardinio bus mažesnis nei 0,5 mm .
Sprendimas. Tegul r.v. X- pagamintos įvorės skersmuo. Pagal sąlygą jo matematinė prognozė yra lygi vardiniam skersmeniui (jei nėra sistemingo gedimo nustatant mašiną): a=M(X)=5 , ir dispersija D(X)≤0,01. Taikant Čebyševo nelygybę ε = 0,5, mes gauname:
Taigi tokio nuokrypio tikimybė yra gana didelė, todėl galime daryti išvadą, kad vienos detalės gamybos atveju beveik neabejotina, kad skersmens nuokrypis nuo vardinio neviršys 0,5 mm .
Iš esmės standartinis nuokrypis σ charakterizuoja vidutinis atsitiktinio dydžio nuokrypis nuo jo centro (t. y. nuo jo matematinio lūkesčio). Nes tai vidutinis nuokrypis, tada bandymo metu galimi dideli nuokrypiai (pabrėžiama o). Kokie dideli nukrypimai praktiškai galimi? Tirdami normaliai paskirstytus atsitiktinius kintamuosius, išvedėme „trijų sigmų“ taisyklę: normaliai paskirstytas atsitiktinis kintamasis. X per vieną testą praktiškai nenukrypsta nuo savo vidurkio toliau nei 3σ, kur σ = σ(X) yra r.v standartinis nuokrypis. X. Tokią taisyklę išvedėme iš to, kad gavome nelygybę
.
Dabar įvertinkime tikimybę savavališkas atsitiktinis kintamasis X priimti vertę, kuri skiriasi nuo vidurkio ne daugiau kaip tris kartus už standartinį nuokrypį. Taikant Čebyševo nelygybę ε = 3σ ir atsižvelgiant į tai D(X) = σ 2 , mes gauname:
.
Šiuo būdu, apskritai mes galime įvertinti tikimybę, kad atsitiktinis dydis nukryps nuo jo vidurkio ne daugiau kaip trimis standartiniais nuokrypiais pagal skaičių 0.89 , o normaliam pasiskirstymui tai gali būti garantuota su tikimybe 0.997 .
Čebyševo nelygybę galima apibendrinti į nepriklausomų identiškai paskirstytų atsitiktinių dydžių sistemą.
Apibendrinta Čebyševo nelygybė. Jei nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai X 1 , X 2 , … , X n M(X i )= a ir dispersijos D(X i )= D, tada
At n=1 ši nelygybė pereina į aukščiau suformuluotą Čebyševo nelygybę.
Čebyševo nelygybė, turinti savarankišką reikšmę atitinkamų uždavinių sprendimui, naudojama vadinamajai Čebyševo teoremai įrodyti. Pirmiausia aprašome šios teoremos esmę, o tada pateikiame jos formalią formuluotę.
Leisti X 1
, X 2
, … , X n– daug nepriklausomų atsitiktinių dydžių su matematiniais lūkesčiais M(X 1
)=a 1
, … , M(X n )=a n. Nors kiekvienas iš jų dėl eksperimento gali įgyti vertę, toli nuo vidurkio (t. y. matematinio lūkesčio), tačiau atsitiktinis kintamasis 
, lygus jų aritmetiniam vidurkiui, su didele tikimybe paims vertę, artimą fiksuotam skaičiui 
(tai yra visų matematinių lūkesčių vidurkis). Tai reiškia, kad. Tegul, kaip testo rezultatas, nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai X 1
, X 2
, … , X n(jų yra daug!) atitinkamai paėmė vertybes X 1
, X 2
, … , X n atitinkamai. Tada, jei pačios šios reikšmės gali pasirodyti toli nuo atitinkamų atsitiktinių dydžių vidutinių verčių, jų vidutinė vertė 
greičiausiai bus arti 
. Taigi daugelio atsitiktinių dydžių aritmetinis vidurkis jau praranda savo atsitiktinumą ir gali būti labai tiksliai nuspėjamas. Tai galima paaiškinti tuo, kad atsitiktiniai reikšmių nuokrypiai X i iš a i gali būti skirtingų ženklų, todėl iš viso šie nukrypimai kompensuojami su didele tikimybe.
Terema Čebyševa (didelių skaičių dėsnisČebyševo pavidalu). Leisti X 1 , X 2 , … , X n … yra porų nepriklausomų atsitiktinių dydžių, kurių dispersijos ribojamos iki vienodo skaičiaus, seka. Tada, kad ir kokį mažą skaičių ε imtume, nelygybės tikimybė
bus savavališkai artimas vienetui, jei skaičius n atsitiktinius kintamuosius, kad jie būtų pakankamai dideli. Formaliai tai reiškia, kad teoremos sąlygomis
Šis konvergencijos tipas vadinamas konvergencija tikimybe ir žymimas taip:
Taigi, Čebyševo teorema sako, kad jei yra pakankamai daug nepriklausomų atsitiktinių dydžių, tai jų aritmetinis vidurkis viename teste beveik neabejotinai įgis vertę, artimą jų matematinių lūkesčių vidurkiui.
Dažniausiai Čebyševo teorema taikoma situacijoje, kai atsitiktiniai dydžiai X 1 , X 2 , … , X n … turi tą patį skirstinį (t. y. tą patį pasiskirstymo dėsnį arba tą patį tikimybių tankį). Tiesą sakant, tai tik daug to paties atsitiktinio kintamojo atvejų.
Pasekmė(iš apibendrintos Čebyševo nelygybės). Jei nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai X 1 , X 2 , … , X n … turi tą patį pasiskirstymą su matematiniais lūkesčiais M(X i )= a ir dispersijos D(X i )= D, tada
, t.y. 
.
Įrodymas išplaukia iš apibendrintos Čebyševo nelygybės pereinant prie ribos as n→∞ .
Dar kartą pažymime, kad aukščiau parašytos lygybės negarantuoja, kad kiekio vertė 
linkęs a adresu n→∞. Ši reikšmė vis dar yra atsitiktinis kintamasis, o atskiros jos reikšmės gali būti gana toli a. Tačiau tokio tikimybė (toli gražu ne a) reikšmės didėja n linkęs į 0.
komentuoti. Išvada akivaizdžiai galioja ir bendresniu atveju, kai nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai X 1 , X 2 , … , X n … turi skirtingą pasiskirstymą, bet tuos pačius matematinius lūkesčius (lygus a) ir apribotos suvestinės nuokrypos. Tai leidžia numatyti tam tikro dydžio matavimo tikslumą, net jei šie matavimai atliekami skirtingais prietaisais.
Išsamiau panagrinėkime šios pasekmės taikymą dydžių matavimui. Pasinaudokime kokiu nors įrenginiu n to paties dydžio matavimai, kurių tikroji vertė yra a ir mes nežinome. Tokių matavimų rezultatai X 1
, X 2
, … , X n gali labai skirtis viena nuo kitos (ir nuo tikrosios vertės a) dėl įvairių atsitiktinių veiksnių (slėgio kritimo, temperatūros, atsitiktinės vibracijos ir kt.). Apsvarstykite r.v. X- prietaiso rodmenys vienam kiekio matavimui, taip pat r.v rinkinys. X 1
, X 2
, … , X n- prietaiso rodmenys pirmojo, antrojo, ..., paskutinio matavimo metu. Taigi, kiekvienas kiekis X 1
, X 2
, … , X n
yra tik vienas iš r.v. X, todėl jie visi turi tokį patį pasiskirstymą kaip ir r.v. X. Kadangi matavimo rezultatai nepriklauso vienas nuo kito, r.v. X 1
, X 2
, … , X n gali būti laikomas nepriklausomu. Jei prietaisas neduoda sisteminės klaidos (pavyzdžiui, svarstyklėje nenumuštas nulis, neįtempta spyruoklė ir pan.), tuomet galime daryti prielaidą, kad matematinis lūkestis M(X) = a, ir todėl M(X 1
) = ... = M(X n ) = a. Taigi pirmiau nurodytos pasekmės sąlygos yra įvykdytos, taigi, kaip apytikslė kiekio vertė a galime imti atsitiktinio dydžio „įgyvendinimą“. 
mūsų eksperimente (susideda iš serijos n išmatavimai), t.y.
.
Atliekant daugybę matavimų, geras skaičiavimo tikslumas naudojant šią formulę yra praktiškai patikimas. Tai yra praktinio principo, kad atliekant daugybę matavimų, aritmetinis vidurkis praktiškai nesiskiria nuo tikrosios išmatuoto dydžio vertės, pagrindimas.
„Atrankinis“ metodas, plačiai naudojamas matematinėje statistikoje, yra pagrįstas didelių skaičių dėsniu, leidžiančiu priimtinu tikslumu gauti jo objektyvias charakteristikas iš santykinai mažos atsitiktinio dydžio reikšmių imties. Bet tai bus aptarta kitame skyriuje.
Pavyzdys. Matavimo prietaise, kuris nedaro sistemingų iškraipymų, matuojamas tam tikras dydis a vieną kartą (gautą vertę X 1
), o tada dar 99 kartus (gautos vertės X 2
, … , X 100
). Dėl tikrosios matavimo vertės a pirmiausia paimkite pirmojo matavimo rezultatą 
, o tada visų matavimų aritmetinis vidurkis 
. Prietaiso matavimo tikslumas yra toks, kad standartinis matavimo nuokrypis σ būtų ne didesnis kaip 1 (nes dispersija D=σ
2
taip pat neviršija 1). Kiekvienam matavimo metodui įvertinkite tikimybę, kad matavimo paklaida neviršys 2.
Sprendimas. Tegul r.v. X- prietaiso rodmenys vienam matavimui. Tada pagal sąlygas M(X)=a. Norėdami atsakyti į pateiktus klausimus, taikome apibendrintą Čebyševo nelygybę
už ε =2
pirmiausia už n=1
ir tada už n=100
. Pirmuoju atveju gauname 
, o antrajame. Taigi antrasis atvejis praktiškai garantuoja pateiktą matavimo tikslumą, o pirmasis šia prasme kelia rimtų abejonių.
Aukščiau pateiktus teiginius pritaikykime atsitiktiniams dydžiams, atsirandantiems Bernulio schemoje. Prisiminkime šios schemos esmę. Tegul jis gaminamas n nepriklausomi testai, kurių kiekviename yra tam tikras įvykis BET gali pasirodyti su ta pačia tikimybe R, a q=1–r(pagal reikšmę tai yra priešingo įvykio, o ne įvykio, tikimybė BET) . Išleiskime šiek tiek skaičių n tokius testus. Apsvarstykite atsitiktinius kintamuosius: X 1 – įvykio atvejų skaičius BET in 1 testas,..., X n– įvykio atvejų skaičius BET in n testas. Visi pristatė r.v. gali imti vertybes 0 arba 1 (įvykis BET gali būti rodomas teste arba ne), ir reikšmę 1 sąlygiškai priimtas kiekviename bandyme su tikimybe p(įvykio tikimybė BET kiekviename bandyme) ir vertę 0 su tikimybe q= 1 – p. Todėl šie dydžiai turi tuos pačius pasiskirstymo dėsnius:
|
X 1 | ||
|
X n | ||
Todėl šių dydžių ir jų dispersijų vidutinės vertės taip pat yra vienodos: M(X 1 )=0 ∙ q+1 ∙ p = p, …, M(X n )= p ; D(X 1 )=(0 2 ∙ q+1 2 ∙ p)− p 2 = p∙(1− p)= p ∙ q, … , D(X n )= p ∙ q . Pakeitę šias reikšmes į apibendrintą Čebyševo nelygybę, gauname
.
Akivaizdu, kad r.v. X=X 1 +…+Х n yra įvykio atvejų skaičius BET iš viso n išbandymai (kaip sakoma - „sėkmių skaičius“). n testai). Įleisti į n bandomasis renginys BET pasirodė k jų. Tada ankstesnė nelygybė gali būti parašyta kaip
.
Bet dydis 
, lygus įvykio atvejų skaičiaus santykiui BET in n nepriklausomų bandymų, iki bendro bandymų skaičiaus, anksčiau vadinamo santykiniu įvykių dažniu BET in n bandymai. Todėl yra nelygybė
.
Dabar pereinama prie ribos n→∞, gauname 
, t.y. 
(pagal tikimybę). Tai yra Bernulio formos didelių skaičių dėsnio turinys. Iš to išplaukia, kad pakankamai dideliam bandymų skaičiui n savavališkai maži santykinio dažnio nuokrypiai 
įvykius nuo jos tikimybės R yra beveik tam tikri įvykiai, o dideli nukrypimai beveik neįmanomi. Gauta išvada apie tokį santykinių dažnių stabilumą (kurį anksčiau vadinome eksperimentinis faktas) pateisina anksčiau pateiktą statistinį įvykio tikimybės apibrėžimą kaip skaičių, aplink kurį svyruoja santykinis įvykio dažnis.
Atsižvelgiant į tai, kad išraiška p∙
q=
p∙(1−
p)=
p−
p 2
neviršija keitimo intervalo 
(tai nesunku patikrinti suradus šios funkcijos minimumą šiame segmente), iš aukščiau pateiktos nelygybės 
lengva tai gauti
,
kuris naudojamas sprendžiant atitinkamas problemas (viena iš jų bus pateikta žemiau).
Pavyzdys. Moneta buvo išversta 1000 kartų. Įvertinkite tikimybę, kad herbo atsiradimo santykinio dažnio nuokrypis nuo jo tikimybės bus mažesnis nei 0,1.
Sprendimas. Taikant nelygybę 
adresu p=
q=1/2
,
n=1000
,
ε=0,1, mes gauname .
Pavyzdys. Įvertinkite tikimybę, kad pagal ankstesnio pavyzdžio sąlygas skaičius k numestų herbų bus diapazone 400 prieš 600 .
Sprendimas. Būklė 400<
k<600
reiškia kad 400/1000<
k/
n<600/1000
, t.y. 0.4<
W n (A)<0.6
arba 
. Kaip ką tik matėme iš ankstesnio pavyzdžio, tokio įvykio tikimybė yra bent jau 0.975
.
Pavyzdys. Apskaičiuoti kokio nors įvykio tikimybę BET Buvo atlikta 1000 eksperimentų, kuriuose įvykis BET pasirodė 300 kartų. Įvertinkite tikimybę, kad santykinis dažnis (lygus 300/1000=0,3) skiriasi nuo tikrosios tikimybės R ne daugiau kaip 0,1.
Sprendimas. Taikant minėtą nelygybę 
jei n=1000, ε=0,1 , gauname .
8 paskaita. 1 skyrius. Tikimybių teorija
Svarstomi klausimai
1) Didžiųjų skaičių dėsnis.
2) Centrinės ribos teorema.
Didelių skaičių dėsnis.
Didžiųjų skaičių dėsnis plačiąja prasme suprantamas kaip bendras principas, pagal kurį esant dideliam atsitiktinių dydžių skaičiui, jų vidutinis rezultatas nustoja būti atsitiktinis ir gali būti nuspėjamas su dideliu tikrumu.
Didelių skaičių dėsnis siaurąja prasme suprantamas kaip daugybė matematinių teoremų, kurių kiekvienoje tam tikromis sąlygomis nustatoma galimybė aproksimuoti daugelio testų vidutines charakteristikas.
į kai kurias apibrėžtas konstantas. Įrodant tokio pobūdžio teoremas, naudojamos Markovo ir Čebyševo nelygybės, kurios taip pat yra nepriklausomos.
1 teorema (Markovo nelygybė). Jei atsitiktinis kintamasis turi neneigiamas reikšmes ir turi matematinius lūkesčius, tada bet kurio teigiamo skaičiaus nelygybė
Įrodymas atliksime diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui. Darysime prielaidą, kad reikia reikšmių, iš kurių pirmosios yra mažesnės arba lygios, o visos kitos yra didesnės
kur
1 pavyzdys Vidutinis skambučių skaičius į gamyklos komutatorių per valandą yra 300. Įvertinkite tikimybę, kad kitą valandą skambučių į komutatorių skaičius:
1) viršys 400;
2) bus ne daugiau kaip 500.
Sprendimas. 1) Tegul atsitiktinis dydis yra per valandą į komutatorių atvykusių skambučių skaičius. Vidutinė vertė yra. Taigi turime įvertinti. Pagal Markovo nelygybę
2) Taigi tikimybė, kad skambučių bus ne daugiau kaip 500, yra ne mažesnė kaip 0,4.
2 pavyzdys Visų indėlių suma banko filiale yra 2 milijonai rublių, o tikimybė, kad atsitiktinai paimtas indėlis neviršys 10 tūkstančių rublių, yra 0,6. Ką galima pasakyti apie prisidėjusiųjų skaičių?
Sprendimas. Tegul atsitiktinai paimta reikšmė yra atsitiktinai paimto įnašo dydis ir visų įnašų skaičius. Tada (tūkstantis). Pagal Markovo nelygybę, iš kur
3 pavyzdys Tebūnie laikas, kai studentas vėluoja į paskaitą, ir žinoma, kad jis vidutiniškai vėluoja 1 minutę. Įvertinkite tikimybę, kad mokinys vėluos bent 5 minutes.
Sprendimas. Darydami prielaidą Taikydami Markovo nelygybę, gauname, kad 
Taigi iš 5 mokinių ne daugiau kaip 1 mokinys vėluos bent 5 minutes.
2 teorema (Čebyševo nelygybė). 
.
Įrodymas. Tegu atsitiktinis kintamasis X pateikiamas skirstinių serija
Pagal dispersijos apibrėžimą Iš šios sumos išskirkime tuos terminus, kuriems 
. Tuo pačiu metu nuo visi terminai yra neneigiami, suma gali tik mažėti. Tikslumui manysime, kad pirmasis k terminai. Tada
Vadinasi, 
.
Čebyševo nelygybė leidžia iš viršaus įvertinti tikimybę, kad atsitiktinis dydis nukryps nuo jo matematinio lūkesčio, remiantis informacija tik apie jo dispersiją. Jis plačiai naudojamas, pavyzdžiui, įvertinimo teorijoje.
4 pavyzdys Moneta metama 10 000 kartų. Įvertinkite tikimybę, kad herbo dažnis skiriasi nuo 0,01 ar daugiau.
Sprendimas.Įveskime nepriklausomus atsitiktinius dydžius , kur yra atsitiktinis dydis su pasiskirstymo eilute
Tada 
nes paskirstoma pagal dvinario dėsnį su 
Herbo atsiradimo dažnis yra atsitiktinis dydis, kur 
. Todėl herbo atsiradimo dažnio sklaida yra pagal Čebyševo nelygybę, 
.
Taigi vidutiniškai ne daugiau kaip ketvirtadaliu atvejų, kai išmetama 10 000 monetų, herbo dažnis skirsis nuo šimtosios dalies ir daugiau.
3 teorema (Čebyševas). Jei yra nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai, kurių dispersijos yra tolygiai apribotos (), tada
Įrodymas. Nes
tada taikydami Čebyševo nelygybę gauname
Kadangi įvykio tikimybė negali būti didesnė už 1, gauname tai, ko norime.
1 pasekmė. Jei nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai su tolygiai apribotomis dispersijomis ir tuo pačiu matematiniu lūkesčiu yra lygūs a, tada
Lygybė (1) rodo, kad atsitiktiniai atskirų nepriklausomų atsitiktinių dydžių nuokrypiai nuo jų bendros vidutinės vertės, kai jų masė yra didelė, panaikina vienas kitą. Todėl, nors patys kiekiai yra atsitiktiniai, jų vidurkis 
apskritai jis praktiškai nebėra atsitiktinis ir artimas . Tai reiškia, kad jei jis nėra žinomas iš anksto, tada jį galima apskaičiuoti naudojant aritmetinį vidurkį. Ši nepriklausomų atsitiktinių dydžių sekų savybė vadinama statistinio stabilumo dėsnis. Statistinio stabilumo dėsnis pagrindžia statistikos analizės taikymo galimybę priimant konkrečius valdymo sprendimus.
4 teorema (Bernoulli). Jei kiekviename iš P nepriklausomi eksperimentai, įvykio A tikimybė p yra pastovi, tada
,
kur yra įvykių A atvejų skaičius šiems P bandymai.
Įrodymas. Pateikiame nepriklausomus atsitiktinius dydžius, kur Х i yra atsitiktinis dydis su pasiskirstymo eilute
Tada M(X i)=p, D(X i)=pq. Nuo tada D(X i) yra ribotas. Iš Čebyševo teoremos išplaukia, kad
.
Bet X 1 + X 2 + ... + X P yra įvykio A įvykių serijoje skaičius P bandymai.
Bernoulli teoremos prasmė yra ta, kad neribotai padidėjus identiškų nepriklausomų eksperimentų skaičiui, su praktiniu tikrumu, galima teigti, kad įvykio pasireiškimo dažnis savavališkai mažai skirsis nuo jo atsiradimo tikimybės atskirame eksperimente. ( įvykio tikimybės statistinis stabilumas). Todėl Bernoulli teorema yra tiltas nuo taikymo teorijos iki jos taikymo.
Kokia sėkmingų pardavėjų paslaptis? Jei stebėsite geriausius bet kurios įmonės pardavėjus, pastebėsite, kad jie turi vieną bendrą bruožą. Kiekvienas iš jų susitinka su daugiau žmonių ir rengia daugiau pristatymų nei mažiau sėkmingi pardavėjai. Šie žmonės supranta, kad pardavimas yra skaičių žaidimas, ir kuo daugiau žmonių jie pasakoja apie savo produktus ar paslaugas, tuo daugiau sandorių jie sudaro. Jie supranta, kad jei bendraus ne tik su tais keliais, kurie tikrai jiems pasakys „taip“, bet ir su tais, kurių susidomėjimas jų pasiūlymu nėra toks didelis, tada vidurkių dėsnis jiems išeis į naudą.
Jūsų uždarbis priklausys nuo pardavimų skaičiaus, tačiau tuo pat metu jis bus tiesiogiai proporcingas jūsų pateiktų pristatymų skaičiui. Kai suprasite ir pradėsite taikyti vidurkių dėsnį, nerimas, susijęs su naujo verslo kūrimu ar darbu naujoje srityje, pradės mažėti. Ir dėl to pradės augti kontrolės jausmas ir pasitikėjimas savo galimybėmis užsidirbti. Jei tik rengsite pristatymus ir tobulinsite savo įgūdžius, bus pasiūlymai.
Užuot galvoję apie sandorių skaičių, galvokite apie pristatymų skaičių. Nėra prasmės pabusti ryte ar grįžti namo vakare ir pradėti domėtis, kas pirks jūsų prekę. Vietoj to, geriausia kiekvieną dieną planuoti, kiek skambučių jums reikia atlikti. Ir tada, nesvarbu, ką – skambinkite! Toks požiūris palengvins jūsų darbą – nes tai paprastas ir konkretus tikslas. Jei žinosite, kad jūsų laukia labai konkretus ir pasiekiamas tikslas, jums bus lengviau atlikti suplanuotą skambučių skaičių. Jei šio proceso metu kelis kartus išgirsite „taip“, tuo geriau!
O jei „ne“, tai vakare pajusite, kad sąžiningai padarėte viską, ką galėjote, ir jūsų nekankins mintys apie tai, kiek uždirbote pinigų, kiek partnerių įsigijote per dieną.
Tarkime, jūsų įmonėje ar versle vidutinis pardavėjas sudaro vieną sandorį kas keturis pristatymus. Dabar įsivaizduokite, kad traukiate kortas iš kaladės. Kiekviena trijų kostiumų korta – kastuvai, deimantai ir lazdos – tai pristatymas, kuriame profesionaliai pristatote produktą, paslaugą ar galimybę. Jūs tai darote geriausiai, bet vis tiek nesudarote sandorio. Ir kiekviena širdies korta yra sandoris, leidžiantis gauti pinigų arba įsigyti naują kompanioną.
Ar tokioje situacijoje nenorėtumėte iš kaladės ištraukti kuo daugiau kortų? Tarkime, jums bus pasiūlyta ištraukti tiek kortelių, kiek norite, o jums mokant ar pasiūlant naują kompanioną kiekvieną kartą, kai ištraukiate širdies kortelę. Pradėsite entuziastingai traukti kortas, vos nepastebėdami, kokio kostiumo korta ką tik buvo ištraukta.
Jūs žinote, kad penkiasdešimt dviejų kortų kaladėje yra trylika širdžių. O dviejose kaladėse – dvidešimt šešios širdies kortos ir t.t. Ar nusivilsite piešdami kastuvus, deimantus ar pagalius? Žinoma ne! Tik pagalvosi, kad kiekviena tokia „praleidėlė“ suartina – prie ko? Į širdžių kortelę!
Bet žinai ką? Jūs jau gavote šį pasiūlymą. Esate unikalioje padėtyje uždirbti tiek, kiek norite, ir ištraukti tiek širdies kortelių, kiek norite ištraukti per savo gyvenimą. O jei tik sąžiningai „trauksite kortas“, tobulinsite savo įgūdžius ir ištversite šiek tiek kastuvą, deimantą ir lazdą, tuomet tapsite puikiu pardavėju ir pasiseks.
Vienas iš dalykų, dėl kurių pardavimas yra toks smagus, yra tai, kad kiekvieną kartą, kai maišote kaladę, kortos maišomos skirtingai. Kartais visos širdelės atsiduria kaladės pradžioje, o po sėkmingos serijos (kai mums jau atrodo, kad niekada nepralaimėsime!) laukiame ilgos eilės skirtingos spalvos kortų. Ir kitą kartą, norint patekti į pirmąją širdį, reikia pereiti be galo daug kastuvų, pagalių ir tamburinų. Ir kartais skirtingų kostiumų kortos iškrenta griežtai paeiliui. Bet bet kuriuo atveju kiekvienoje penkiasdešimt dviejų kortų kaladėje tam tikra tvarka visada yra trylika širdžių. Tiesiog ištraukite korteles, kol jas rasite.
Iš: Leylya,
Didžiųjų skaičių dėsnis
Didelių skaičių dėsnis tikimybių teorijoje teigia, kad pakankamai didelės baigtinės imties iš fiksuoto skirstinio empirinis vidurkis (aritmetinis vidurkis) yra artimas šio skirstinio teoriniam vidurkiui (laukimui). Priklausomai nuo konvergencijos tipo, yra silpnas didelių skaičių dėsnis, kai vyksta tikimybės konvergencija, ir stiprus didelių skaičių dėsnis, kai beveik visur vyksta konvergencija.
Visada bus toks bandymų skaičius, kad, esant bet kokiai iš anksto nustatytai tikimybei, santykinis kurio nors įvykio dažnis savavališkai mažai skirsis nuo jo tikimybės.
Bendra didelių skaičių dėsnio prasmė ta, kad daugelio atsitiktinių veiksnių bendras veikimas veda prie rezultato, kuris beveik nepriklauso nuo atsitiktinumo.
Šia savybe pagrįsti baigtinės imties analize pagrįsti tikimybės įvertinimo metodai. Geras pavyzdys – rinkimų rezultatų numatymas remiantis rinkėjų imties apklausa.
Silpnas didelių skaičių dėsnis
Tegul yra begalinė identiškai paskirstytų ir nekoreliuotų atsitiktinių dydžių seka (nuoseklus išvardijimas), apibrėžta toje pačioje tikimybių erdvėje . Tai yra, jų kovariacija. Leisti . Pažymime pirmųjų terminų imties vidurkį:
Stiprus didelių skaičių dėsnis
Tegul yra begalinė nepriklausomų identiškai paskirstytų atsitiktinių dydžių seka, apibrėžta toje pačioje tikimybių erdvėje. Leisti . Pažymime pirmųjų terminų imties vidurkį:
.Tada beveik neabejotinai.
taip pat žr
Literatūra
- Širyajevas A. N. Tikimybė, - M .: Mokslas. 1989 m.
- Chistyakovas V.P. Tikimybių teorijos kursas, - M., 1982 m.
Wikimedia fondas. 2010 m.
- Rusijos kinas
- Gromeka, Michailas Stepanovičius
Pažiūrėkite, kas yra „Didžiųjų skaičių įstatymas“ kituose žodynuose:
DIDŽIŲJŲ SKAIČIŲ DĖSNIS- (didelių skaičių dėsnis) Tuo atveju, kai atskirų populiacijos narių elgesys yra labai savitas, grupės elgesys yra vidutiniškai labiau nuspėjamas nei bet kurio jos nario elgesys. Tendencija, kurios grupėse ...... Ekonomikos žodynas
DIDŽIŲJŲ SKAIČIŲ DĖSNIS- žr. DIDŽIŲJŲ SKAIČIŲ ĮSTATYMĄ. Antinazis. Sociologijos enciklopedija, 2009 ... Sociologijos enciklopedija
Didžiųjų skaičių dėsnis- principas, pagal kurį masiniams socialiniams reiškiniams būdingi kiekybiniai modeliai aiškiausiai pasireiškia pakankamai dideliu stebėjimų skaičiumi. Pavieniai reiškiniai yra labiau jautrūs atsitiktinių ir ... ... Verslo terminų žodynėlis
DIDŽIŲJŲ SKAIČIŲ DĖSNIS- teigia, kad esant tikimybei, artimai vienetui, daugelio maždaug vienodos eilės atsitiktinių dydžių aritmetinis vidurkis mažai skirsis nuo konstantos, lygios šių kintamųjų matematinių lūkesčių aritmetiniam vidurkiui. Skirtumas…… Geologijos enciklopedija
didelių skaičių dėsnis- - [Ja.N. Luginskis, M.S. Fezi Žilinskaja, Ju.S. Kabirovas. Anglų rusų elektros inžinerijos ir energetikos žodynas, Maskva, 1999] Elektros inžinerijos temos, pagrindinės sąvokos EN dėsnis vidurkio įstatymas didelių skaičių ... Techninis vertėjo vadovas
didelių skaičių dėsnis- didžiųjų skaičių dėsnis statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. didelių skaičių dėsnis vok. Gesetz der großen Zahlen, n rus. didelių skaičių dėsnis, m pranc. loi des grands nombres, f … Fizikos terminų žodynas
DIDŽIŲJŲ SKAIČIŲ DĖSNIS- bendras principas, dėl kurio atsitiktinių veiksnių bendras veikimas tam tikromis labai bendromis sąlygomis veda prie rezultato, kuris beveik nepriklauso nuo atsitiktinumo. Atsitiktinio įvykio atsiradimo dažnio konvergencija su jo tikimybe, padidėjus skaičiui ... ... Rusijos sociologinė enciklopedija
Didžiųjų skaičių dėsnis- įstatymas, nurodantis, kad daugelio atsitiktinių veiksnių kumuliacinis veikimas tam tikromis labai bendromis sąlygomis lemia beveik nuo atsitiktinumo nepriklausantį rezultatą... Sociologija: žodynas
DIDŽIŲJŲ SKAIČIŲ DĖSNIS- statistinis dėsnis, išreiškiantis imties ir bendrosios visumos statistinių rodiklių (parametrų) ryšį. Faktinės statistinių rodiklių vertės, gautos iš tam tikros imties, visada skiriasi nuo vadinamųjų. teorinis...... Sociologija: enciklopedija
DIDŽIŲJŲ SKAIČIŲ DĖSNIS- principas, kad tam tikro tipo finansinių nuostolių dažnis gali būti labai tiksliai prognozuojamas, kai yra daug panašaus pobūdžio nuostolių ... Enciklopedinis ekonomikos ir teisės žodynas
Knygos
- Lentelių komplektas. Matematika. Tikimybių teorija ir matematinė statistika. 6 lentelės + metodika, . Lentelės atspausdintos ant storo poligrafinio kartono, kurio matmenys 680 x 980 mm. Į rinkinį įeina brošiūra su metodinėmis rekomendacijomis mokytojams. Mokomasis albumas iš 6 lapų. Atsitiktinis…
