Cvičení: Opakované a samostatné testy. Bernoulliho věta o frekvenci pravděpodobnosti. Prezentace Bernoulliho vzorce Prezentace Bernoulliho schématu opakovaného testu
https://accounts.google.com
Popisky snímků:
Kapitola 9. Základy matematické statistiky, kombinatoriky a teorie pravděpodobnosti §54. Náhodné jevy a jejich pravděpodobnosti 3. NEZÁVISLÉ OPAKOVÁNÍ TESTŮ. BERNULLIHO TEORÉM A STATISTICKÁ STABILITA.
Obsah PŘÍKLAD 5. Pravděpodobnost zasažení cíle jednou ranou ... Řešení 5a); Řešení 5b); Řešení 5c); Řešení 5d). Všimněte si, že... V celé sérii opakování je důležité vědět... Jacob Bernoulli spojil příklady a otázky... VĚTA 3 (Bernoulliho věta). PŘÍKLAD 6. V každém z odstavců a) - d) určete hodnoty n, k, p, q a zapište (bez výpočtů) výraz pro požadovanou pravděpodobnost Pn (k). Rozhodnutí 6a); Řešení 6 b); Řešení 6 c); Řešení 6 d). Bernoulliho věta umožňuje ... VĚTA 4. S velkým počtem nezávislých opakování ... Pro učitele. Prameny. 2.8.2014 2
3. NEZÁVISLÉ OPAKOVÁNÍ ZKOUŠEK. BERNULLIHO TEORÉM A STATISTICKÁ STABILITA. Část 3. 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učitelka matematiky 3
PŘÍKLAD 5. Pravděpodobnost zasažení cíle jednou ranou Změňme mírně předchozí příklad: místo dvou různých střelců bude na terč střílet stejný střelec. Příklad 5. Pravděpodobnost zasažení cíle jednou ranou je 0,8. Padly 3 nezávislé výstřely. Najděte pravděpodobnost, že cíl: a) bude zasažen třikrát; b) nebude ovlivněna; c) bude zasažen alespoň jednou; d) bude zasažen přesně jednou. 2.8.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učitelka matematiky 4
Řešení příkladu 5a) Příklad 5. Pravděpodobnost zasažení cíle jednou ranou je 0,8. Padly 3 nezávislé výstřely. Najděte pravděpodobnost, že cíl: a) bude zasažen třikrát; 2.8.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učitelka matematiky 5
Řešení příkladu 5b) Příklad 5. Pravděpodobnost zasažení cíle jednou ranou je 0,8. Padly 3 nezávislé výstřely. Najděte pravděpodobnost, že cíl: b) nebude zasažen; Rozhodnutí: 02.08.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učitelka matematiky 6
Řešení příkladu 5c) Příklad 5. Pravděpodobnost zasažení cíle jednou ranou je 0,8. Padly 3 nezávislé výstřely. Najděte pravděpodobnost, že cíl: c) bude zasažen alespoň jednou; Rozhodnutí: 02.08.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učitelka matematiky 7
Řešení příkladu 5d) Příklad 5. Pravděpodobnost zasažení cíle jednou ranou je 0,8. Padly 3 nezávislé výstřely. Najděte pravděpodobnost, že cíl: d) bude zasažen právě jednou. Rozhodnutí: 02.08.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učitelka matematiky 8
Poznámka Řešení uvedené v bodě d) příkladu 5 v konkrétním případě opakuje důkaz slavné Bernoulliho věty, která odkazuje na jeden z nejběžnějších pravděpodobnostních modelů: nezávislé opakování stejného testu se dvěma možnými výsledky. Výrazná vlastnost mnoho pravděpodobnostních problémů spočívá v tom, že test, v jehož důsledku může nastat pro nás zajímavá událost, se může mnohokrát opakovat. 2.8.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učitelka matematiky 9
V celé sérii opakování je důležité vědět V každém z těchto opakování nás zajímá otázka, zda k této události dojde nebo nenastane. A v celé sérii opakování je pro nás důležité přesně vědět, kolikrát k této události může nebo nemusí dojít. Například kostkou se hází desetkrát za sebou. Jaká je pravděpodobnost, že 4 padne přesně 3x? 10 výstřelů; Jaká je pravděpodobnost, že na cíl bude přesně 8 zásahů? Nebo jaká je pravděpodobnost, že za pět hodů mincí se hlavy zvednou přesně 4krát? 2.8.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učitelka matematiky 10
Jacob Bernoulli spojil příklady a otázky Švýcarský matematik počátku 18. století Jacob Bernoulli spojil příklady a otázky tohoto typu do jediného pravděpodobnostního schématu. Nechte pravděpodobnost náhodná událost A při provádění nějakého testu se rovná P (A). Tento test budeme považovat za test pouze se dvěma možnými výsledky: jedním výsledkem je, že nastane událost A, a druhým výsledkem je, že nenastane událost A, tj. nastane událost Ᾱ. Pro stručnost nazvěme první výsledek (výskyt události A) „úspěch“ a druhý výsledek (výskyt události Ᾱ) „neúspěch“. Pravděpodobnost P(A) "úspěchu" bude označena p a pravděpodobnost P(Ᾱ) "neúspěchu" bude označena q. Takže q = P(Ᾱ) = 1 - P(A) = 1 - p. 2.8.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učitelka matematiky 11
VĚTA 3 (Bernoulliho věta) Věta 3 (Bernoulliho věta). Nechť P n (k) je pravděpodobnost přesně k "úspěchů" v n nezávislých opakováních stejného testu. Pak P n (k) = С n k p k q n- k, kde p je pravděpodobnost „úspěchu“ a q=1 - p je pravděpodobnost „neúspěchu“ v samostatném testu. Tato věta (uvádíme ji bez důkazu) má velký význam pro teorii i praxi. 2.8.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učitelka matematiky 12
PŘÍKLAD 6. Příklad 6. V každém z odstavců a) - d) určete hodnoty n, k, p, q a zapište (bez výpočtů) výraz pro požadovanou pravděpodobnost P n (k). a) Jaká je pravděpodobnost získání přesně 7 hlav při 10 hodech mincí? b) Každý z 20 osob samostatně pojmenuje jeden ze dnů v týdnu. "Nešťastné" dny jsou pondělí a pátek. Jaká je pravděpodobnost, že „hodně štěstí“ bude přesně poloviční? c) Hození kostkou je „úspěšné“, pokud padne 5 nebo 6. Jaká je pravděpodobnost, že právě 5 hodů z 25 bude „šťastných“? d) Test spočívá v házení tří různých mincí současně. "Failure": více "ocasů" než "orlů". Jaká je pravděpodobnost, že mezi 7 hody budou právě tři "štěstí"? 2.8.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učitelka matematiky 13
Řešení 6a) Příklad 6. V každém z odstavců a) - d) určete hodnoty n, k, p, q a zapište (bez výpočtů) výraz pro požadovanou pravděpodobnost P n (k). a) Jaká je pravděpodobnost získání přesně 7 hlav při 10 hodech mincí? Rozhodnutí: 02.08.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učitelka matematiky 14
Řešení 6b) Příklad 6. V každém z odstavců a) - d) určete hodnoty n, k, p, q a zapište (bez výpočtů) výraz pro požadovanou pravděpodobnost P n (k). b) Každý z 20 osob samostatně pojmenuje jeden ze dnů v týdnu. "Nešťastné" dny jsou pondělí a pátek. Jaká je pravděpodobnost, že „hodně štěstí“ bude přesně poloviční? Rozhodnutí: 02.08.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učitelka matematiky 15
Řešení 6c) Příklad 6. V každém z odstavců a) - d) určete hodnoty n, k, p, q a zapište (bez výpočtů) výraz pro požadovanou pravděpodobnost P n (k). c) Hození kostkou je „úspěšné“, pokud padne 5 nebo 6. Jaká je pravděpodobnost, že právě 5 hodů z 25 bude „šťastných“? Rozhodnutí: 2.8.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učitelka matematiky 16
Řešení 6d) Příklad 6. V každém z odstavců a) - d) určete hodnoty n, k, p, q a zapište (bez výpočtů) výraz pro požadovanou pravděpodobnost P n (k). d) Test spočívá v házení tří různých mincí současně. "Failure": více "ocasů" než "orlů". Jaká je pravděpodobnost, že mezi 7 hody budou právě tři "štěstí"? Řešení: d) n = 7, k = 3. „Štěstí“ jedním hodem je, že je méně „ocasů“ než „orlů“. Celkem je možných 8 výsledků: PPP, PPO, POP, OPP, POO, ORO, OOP, OOO (P - “ocasy”, O - “hlavy”). Přesně polovina z nich má méně ocasů než hlav: POO, ORO, OOP, OOO. Takže p = q = 0,5; P 7 (3) \u003d C 7 3 ∙ 0,5 3 ∙ 0,5 4 \u003d C 7 3 ∙ 0,5 7. 2.8.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učitelka matematiky 17
Bernoulliho teorém umožňuje ... Bernoulliho teorém umožňuje vytvořit souvislost mezi statistickým přístupem k definici pravděpodobnosti a klasickou definicí pravděpodobnosti náhodného jevu. Pro popis této souvislosti se vraťme k ustanovením § 50 o statistickém zpracování informací. Uvažujme posloupnost n nezávislých opakování stejného testu se dvěma výsledky – „úspěch“ a „neúspěch“. Výsledky těchto testů tvoří řadu dat, která se skládá z určité sekvence dvou možností: „úspěch“ a „neúspěch“. Jednoduše řečeno, existuje posloupnost délky n, složená ze dvou písmen U ("hodně štěstí") a H ("neúspěch"). Například U, U, N, N, U, N, N, N, ..., U nebo N, U, U, N, U, U, N, N, U, ..., N atd. n. Vypočítejme multiplicitu a frekvenci možností Y, tj. najděte zlomek k / n, kde k je počet „štěstí“, se kterými se setkáme mezi všemi n opakováními. Ukazuje se, že při neomezeném nárůstu n bude frekvence k/n výskytu „úspěchů“ prakticky nerozeznatelná od pravděpodobnosti p „úspěchu“ v jednom pokusu. Tento poměrně komplikovaný matematický fakt je odvozen právě z Bernoulliho věty. 2.8.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učitelka matematiky 18
VĚTA 4. Při velkém počtu nezávislých opakování VĚTA 4. Při velkém počtu nezávislých opakování téhož testu je četnost výskytu náhodného jevu A s rostoucí přesností přibližně rovna pravděpodobnosti jevu A: k/n ≈ P(A). Například, když n > 2000 s pravděpodobností větší než 99 %, lze tvrdit, že absolutní chyba | k/n - P(A)| přibližná rovnost k/n≈ P(A) bude menší než 0,03. V sociologických průzkumech proto stačí vyzpovídat asi 2000 náhodně vybraných lidí (respondentů). Kdyby řekněme 520 z nich odpovědělo kladně položená otázka, pak k/n=520/2000=0,26 a je téměř jisté, že pro jakoukoli více respondentů se tato frekvence bude pohybovat v rozmezí od 0,23 do 0,29. Tento jev se nazývá fenomén statistické stability. Bernoulliho věta a její důsledky nám tedy umožňují (přibližně) najít pravděpodobnost náhodné události v případech, kdy její explicitní výpočet není možný. 2.8.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učitelka matematiky 19
Pro učitele 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učitelka matematiky 20
2.8.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učitelka matematiky 21
2.8.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učitelka matematiky 22
Zdroje Algebra a počátky analýzy, ročníky 10-11, část 1. Učebnice, 10. vydání. (Základní úroveň), A. G. Mordkovich, M., 2009 Algebra a začátek analýzy, ročníky 10-11. (Základní úroveň) Metodická příručka pro učitele, A.G.Mordkovich, P.V.Semenov, M., 2010 Tabulky jsou sestaveny v MS Word a MS Excel. Internetové zdroje Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učitelka matematiky 08.02.2014 23
Náhled:
Chcete-li používat náhled prezentací, vytvořte si účet ( účet) Google a přihlaste se: https://accounts.google.com
Popisky snímků:
snímek 1
Kapitola 9. Základy matematické statistiky, kombinatoriky a teorie pravděpodobnosti
§54. Náhodné jevy a jejich pravděpodobnosti 3. NEZÁVISLÉ OPAKOVÁNÍ TESTŮ. BERNULLIHO TEORÉM A STATISTICKÁ STABILITA.
snímek 2
Obsah
PŘÍKLAD 5. Pravděpodobnost zasažení cíle jednou ranou ... Řešení 5a); Řešení 5b); Řešení 5c); Řešení 5d) Všimněte si, že ... V celé sérii opakování je důležité vědět ... Jacob Bernoulli spojil příklady a otázky ... VĚTA 3 (Bernoulliho věta).
PŘÍKLAD 6. V každém z odstavců a) - d) určete hodnoty n, k, p, q a zapište (bez výpočtů) výraz pro požadovanou pravděpodobnost Pn(k). Řešení 6a); Řešení 6b) roztok 6c) roztok 6d). Bernoulliho věta umožňuje ... VĚTA 4. S velkým počtem nezávislých opakování ... Pro učitele Zdroje.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učitelka matematiky
*
snímek 3
3. NEZÁVISLÉ OPAKOVÁNÍ ZKOUŠEK. BERNULLIHO TEORÉM A STATISTICKÁ STABILITA.
Část 3
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učitelka matematiky
*
snímek 4
PŘÍKLAD 5. Pravděpodobnost zasažení cíle jednou ranou
Mírně pozměníme předchozí příklad: místo dvou různých střelců bude na terč střílet stejný střelec Příklad 5. Pravděpodobnost zasažení terče jednou ranou je 0,8. Padly 3 nezávislé výstřely. Najděte pravděpodobnost, že cíl: a) bude zasažen třikrát; b) nebude zasažen; c) bude zasažen alespoň jednou; d) bude zasažen přesně jednou.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učitelka matematiky
*
snímek 5
Řešení příkladu 5a)
Příklad 5. Pravděpodobnost zasažení cíle jednou ranou je 0,8. Padly 3 nezávislé výstřely. Najděte pravděpodobnost, že cíl: a) bude zasažen třikrát;
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učitelka matematiky
*
snímek 6
Řešení příkladu 5b)
Příklad 5. Pravděpodobnost zasažení cíle jednou ranou je 0,8. Padly 3 nezávislé výstřely. Najděte pravděpodobnost, že cíl: b) nebude zasažen; Řešení:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učitelka matematiky
*
Snímek 7
Řešení příkladu 5c)
Příklad 5. Pravděpodobnost zasažení cíle jednou ranou je 0,8. Padly 3 nezávislé výstřely. Najděte pravděpodobnost, že cíl: c) bude zasažen alespoň jednou; Řešení:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učitelka matematiky
*
Snímek 8
Řešení příkladu 5d)
Příklad 5. Pravděpodobnost zasažení cíle jednou ranou je 0,8. Padly 3 nezávislé výstřely. Najděte pravděpodobnost, že cíl: d) bude zasažen právě jednou. Řešení:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učitelka matematiky
*
Snímek 9
Poznámka
Řešení uvedené v bodě d) příkladu 5 v konkrétním případě opakuje důkaz slavné Bernoulliho věty, která odkazuje na jeden z nejběžnějších pravděpodobnostních modelů: nezávislé opakování stejného testu se dvěma možnými výsledky. Charakteristickým rysem mnoha pravděpodobnostních problémů je, že test, v jehož důsledku může nastat událost, která nás zajímá, se může mnohokrát opakovat.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učitelka matematiky
*
Snímek 10
V celé sérii opakování je důležité vědět
V každém z těchto opakování nás zajímá otázka, zda k této události dojde nebo nenastane. A v celé sérii opakování je pro nás důležité přesně vědět, kolikrát k této události může nebo nemusí dojít. Například kostkou se hází desetkrát za sebou. Jaká je pravděpodobnost, že 4 padne přesně 3x? 10 výstřelů; Jaká je pravděpodobnost, že na cíl bude přesně 8 zásahů? Nebo jaká je pravděpodobnost, že za pět hodů mincí se hlavy zvednou přesně 4krát?
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učitelka matematiky
*
snímek 11
Jacob Bernoulli kombinoval příklady a otázky
Švýcarský matematik počátku 18. století Jacob Bernoulli spojil příklady a otázky tohoto typu do jediného pravděpodobnostního schématu Pravděpodobnost náhodného jevu A při nějakém testu nechť je rovna P (A). Tento test budeme považovat za test pouze se dvěma možnými výsledky: jedním výsledkem je, že nastane událost A, a druhým výsledkem je, že nenastane událost A, tj. nastane událost Ᾱ. Pro stručnost nazvěme první výsledek (výskyt události A) „úspěch“ a druhý výsledek (výskyt události Ᾱ) „neúspěch“. Pravděpodobnost P(A) "úspěchu" bude označena p a pravděpodobnost P(Ᾱ) "neúspěchu" bude označena q. Takže q = P(Ᾱ) = 1 - P(A) = 1 - p.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učitelka matematiky
*
snímek 12
VĚTA 3 (Bernoulliho věta)
Věta 3 (Bernoulliho věta). Nechť Pn(k) je pravděpodobnost přesně k "úspěchů" v n nezávislých opakováních stejného testu. Pak Pn(k)= Сnk pk qn-k, kde p je pravděpodobnost „úspěchu“ a q=1-p je pravděpodobnost „neúspěchu“ v samostatném testu. Tato věta (uvádíme ji bez důkazu ) má velký význam pro teorii i pro praxi.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učitelka matematiky
*
snímek 13
PŘÍKLAD 6.
Příklad 6. V každém z odstavců a) - d) určete hodnoty n, k, p, q a zapište (bez výpočtů) výraz pro požadovanou pravděpodobnost Pn(k). b) Každý z 20 lidí samostatně pojmenuje jeden ze dnů v týdnu. "Nešťastné" dny jsou pondělí a pátek. Jaká je pravděpodobnost, že „hodně štěstí“ bude přesně poloviční? Jaká je pravděpodobnost, že právě 5 hodů z 25 bude „úspěšných“? d) Test spočívá v házení tří různých mincí současně. "Failure": více "ocasů" než "orlů". Jaká je pravděpodobnost, že mezi 7 hody budou právě tři "štěstí"?
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učitelka matematiky
*
Snímek 14
Řešení 6a)
Příklad 6. V každém z odstavců a) - d) určete hodnoty n, k, p, q a zapište (bez výpočtů) výraz pro požadovanou pravděpodobnost Pn(k).mince? Řešení:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učitelka matematiky
*
snímek 15
Řešení 6b)
Příklad 6. V každém z odstavců a) - d) určete hodnoty n, k, p, q a zapište (bez výpočtů) výraz pro požadovanou pravděpodobnost Pn(k). b) Každý z 20 osob samostatně pojmenuje jeden z dnů v týdnu. "Nešťastné" dny jsou pondělí a pátek. Jaká je pravděpodobnost, že bude přesně polovina „štěstí“? Řešení:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učitelka matematiky
*
snímek 16
Řešení 6c)
Příklad 6. V každém z odstavců a) - d) určete hodnoty n, k, p, q a zapište (bez výpočtů) výraz pro požadovanou pravděpodobnost Pn(k). Jaká je pravděpodobnost, že právě 5 hodů z 25 bude „šťastných“? Řešení:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učitelka matematiky
*
Snímek 17
Řešení 6d)
Příklad 6. V každém z odstavců a) - d) určete hodnoty n, k, p, q a zapište (bez výpočtů) výraz pro požadovanou pravděpodobnost Pn(k) d) Test spočívá v tom, že současné házení tří různých mincí. "Failure": více "ocasů" než "orlů". Jaká je pravděpodobnost, že mezi 7 hody budou právě tři „štěstí“ Řešení: d) n = 7, k = 3. „Štěstí“ při jednom hodu je, že „ocasů“ je méně než „orlů“. Celkem je možných 8 výsledků: PPP, PPO, POP, OPP, POO, ORO, OOP, OOO (P - “ocasy”, O - “hlavy”). Přesně polovina z nich má méně ocasů než hlav: POO, ORO, OOP, OOO. Takže p = q = 0,5; Р7(3) = С73 ∙ 0,53 ∙ 0,54 = С73 ∙ 0,57.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učitelka matematiky
*
Snímek 18
Bernoulliho věta umožňuje...
Bernoulliho věta umožňuje stanovit souvislost mezi statistickým přístupem k definici pravděpodobnosti a klasickou definicí pravděpodobnosti náhodné události. Pro popis této souvislosti se vraťme k ustanovením § 50 o statistickém zpracování informací. Uvažujme posloupnost n nezávislých opakování stejného testu se dvěma výsledky – „úspěch“ a „neúspěch“. Výsledky těchto testů tvoří řadu dat, která se skládá z určité sekvence dvou možností: „úspěch“ a „neúspěch“. Jednoduše řečeno, existuje posloupnost délky n, složená ze dvou písmen Y („hodně štěstí“) a H („selhání“). Například U, U, N, N, U, N, N, N, ..., U nebo N, U, U, N, U, U, N, N, U, ..., N atd. n. Vypočítejme násobnost a frekvenci možností Y, tj. najdeme zlomek k / n, kde k je počet „štěstí“, se kterými se setkáme mezi všemi n opakováními. Ukazuje se, že při neomezeném nárůstu n bude frekvence k/n výskytu „úspěchů“ prakticky nerozeznatelná od pravděpodobnosti p „úspěchu“ v jednom pokusu. Tento poměrně komplikovaný matematický fakt je odvozen právě z Bernoulliho věty.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učitelka matematiky
*
Snímek 19
VĚTA 4. Pro velký počet nezávislých opakování
VĚTA 4. Při velkém počtu nezávislých opakování stejného testu je četnost výskytu náhodného jevu A s rostoucí přesností přibližně rovna pravděpodobnosti jevu A: k / n ≈ P (A). n > 2000 s pravděpodobností větší než 99 %, lze tvrdit, že absolutní chyba |k/n- Р(А)| přibližná rovnost k/n≈ P(A) bude menší než 0,03. V sociologických průzkumech proto stačí vyzpovídat asi 2000 náhodně vybraných lidí (respondentů). Pokud by řekněme 520 z nich odpovědělo na otázku kladně, pak k / n = 520 / 2000 = 0,26 a je prakticky jisté, že pro jakýkoli větší počet respondentů bude taková četnost v rozmezí od 0,23 do 0,29. Tento jev se nazývá fenomén statistické stability, Bernoulliho věta a její důsledky tedy umožňují (přibližně) najít pravděpodobnost náhodné události v případech, kdy její explicitní výpočet není možný.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učitelka matematiky
*
Snímek 20
Pro učitele
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učitelka matematiky
*
snímek 21
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učitelka matematiky
*
snímek 22
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učitelka matematiky
*
snímek 23
Prameny
Algebra a počátky analýzy, ročníky 10-11, část 1. Učebnice, 10. vydání. (Základní úroveň), A. G. Mordkovich, M., 2009 Algebra a začátek analýzy, ročníky 10-11. (Základní úroveň) Metodická příručka pro učitele, A.G.Mordkovich, P.V.Semenov, M., 2010 Tabulky jsou sestaveny v MS Word a MS Excel Internetové zdroje
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, učitelka matematiky
08.02.2014
*
snímek 1
Bernoulliho věta
17.03.2017
snímek 2
Provádí se série n nezávislých zkoušek. Každý test má 2 výsledky: A - "úspěch" a - "neúspěch". Pravděpodobnost „úspěchu“ v každém testu je stejná a rovná se P(A) = p Pravděpodobnost „neúspěchu“ se také nemění zkušenost od zkušenosti a je stejná.
Bernoulliho schéma
Jaká je pravděpodobnost, že série n pokusů uspěje kkrát? Najděte Pn(k) .
snímek 3
Mince je hozena nkrát. Karta se z balíčku lízne nkrát a pokaždé, když se karta vrátí, balíček se zamíchá. Zkoumáme kvalitu n produktů určité výroby, náhodně vybraných. Střelec střílí na cíl nkrát.
Příklady
snímek 4
Vysvětlete, proč následující otázky zapadají do Bernoulliho schématu. Uveďte, z čeho se skládá "úspěch" a co jsou n a k. a) Jaká je pravděpodobnost, že dostanete 2 třikrát za deset hodů kostkou? b) Jaká je pravděpodobnost, že se při 100 hodech mince objeví hlavy 73krát? c) Dvacetkrát za sebou padne dvojice kostek. Jaká je pravděpodobnost, že součet bodů nebyl nikdy roven deseti? d) Z balíčku 36 karet byly vytaženy tři karty, výsledek byl zaznamenán a vrácen do balíčku, poté byly karty zamíchány. Toto se opakovalo 4x. Jaká je pravděpodobnost, že Piková dáma byla pokaždé mezi vytaženými kartami?
snímek 5
Pro počet kombinací od n do k platí vzorec
Například:
snímek 6
Bernoulliho věta
Pravděpodobnost Pn(k) přesně k úspěchů v n nezávislých opakováních stejného testu se zjistí vzorcem, kde p je pravděpodobnost „úspěchu“, q = 1- p je pravděpodobnost „neúspěchu“ v samostatném experimentu .
Snímek 7
Mince se hází 6krát. Jaká je pravděpodobnost, že se erb objeví 0, 1, ...6krát? Řešení. Počet experimentů n=6. Událost A – „úspěch“ – ztráta erbu. Podle Bernoulliho vzorce je požadovaná pravděpodobnost
;
;
;
;
;
;
Snímek 8
Mince se hází 6krát. Jaká je pravděpodobnost, že se erb objeví 0, 1, ...6krát? Řešení. Počet experimentů n=6. Událost A – „úspěch“ – ztráta erbu.
;
;
;
;
;
;
Snímek 9
Mince se hodí 10krát. Jaká je pravděpodobnost, že se erb objeví dvakrát? Řešení. Počet pokusů n=10, m=2. Událost A – „úspěch“ – ztráta erbu. Podle Bernoulliho vzorce je požadovaná pravděpodobnost
;
;
;
;
;
;
Snímek 10
Urna obsahuje 20 bílých a 10 černých kuliček. Vyjmou se 4 míčky a každý vytažený míč se vrátí do urny, než se vytáhne další a míčky v urně se promíchají. Najděte pravděpodobnost, že 2 ze 4 vylosovaných koulí jsou bílé. Řešení. Událost A – mám bílá koule. Pak pravděpodobnosti Podle Bernoulliho vzorce je požadovaná pravděpodobnost
snímek 11
Určete pravděpodobnost, že v rodině s 5 dětmi nejsou žádné dívky. Předpokládá se, že pravděpodobnost narození chlapce a dívky je stejná. Řešení. Pravděpodobnost narození dívky, chlapce Podle Bernoulliho vzorce se požadovaná pravděpodobnost rovná
snímek 12
Najděte pravděpodobnost, že rodina s 5 dětmi bude mít jednu dívku. Předpokládá se, že pravděpodobnost narození chlapce a dívky je stejná. Řešení. Pravděpodobnost narození dívky, chlapce Podle Bernoulliho vzorce se požadovaná pravděpodobnost rovná
snímek 13
Určete pravděpodobnost, že rodina s 5 dětmi bude mít dvě dívky. Řešení. Pravděpodobnost narození dívky, chlapce Podle Bernoulliho vzorce se požadovaná pravděpodobnost rovná
Snímek 14
Najděte pravděpodobnost, že rodina s 5 dětmi bude mít 3 dívky. Řešení. Pravděpodobnost narození dívky, chlapce Podle Bernoulliho vzorce se požadovaná pravděpodobnost rovná
snímek 15
Určete pravděpodobnost, že rodina s 5 dětmi nebude mít více než 3 dívky. Předpokládá se, že pravděpodobnost narození chlapce a dívky je stejná. Řešení. Pravděpodobnost mít dívku, chlapce Požadovaná pravděpodobnost se rovná
.
snímek 16
Mezi díly zpracovanými pracovníkem jsou v průměru 4 % nestandardní. Najděte pravděpodobnost, že dva ze 30 dílů odebraných k testování budou nestandardní. Řešení. Zde zkušenost spočívá v kontrole kvality každého z 30 dílů. Událost A - "objevení se nestandardního dílu",
"Prvky matematické statistiky" - Interval spolehlivosti. Věda. Klasifikace hypotéz. Díly jsou vyráběny na různých strojích. Kontrola pravidel. korelační závislost. Závislost. Sada hodnot kritérií. Najděte interval spolehlivosti. Výpočet intervalů spolehlivosti pro neznámý rozptyl. Normální distribuce.
"Pravděpodobnost a matematická statistika" - Přesnost získaných hodnot. Kód pro trezor. Deskriptivní statistika. Jablko. Podívejme se na události. pravidlo násobení. Dva střelci. Srovnání osnovy. Karamel. Příklady sloupcových grafů. Matematické známky. Pravidlo násobení pro tři. Bílé a červené růže. 9 různých knih. Zimní prázdniny.
"Základy matematické statistiky" - podmíněná pravděpodobnost. Tabulka standardizovaných hodnot. Vlastnosti Studentova rozdělení. Interval spolehlivosti matematického očekávání. Ukázkový průměr. Rozdělení. Jeden pokus lze považovat za sérii jednoho pokusu. Kvantil - vlevo by měl být počet hodnot odpovídajících kvantilovému indexu.
"Teorie pravděpodobnosti a statistika" - Limity intervalu. Kritické oblasti. Věta o násobení pravděpodobnosti. Rozdělení normální náhodné veličiny. Odvození Bernoulliho vzorce. Zákony rozdělení náhodných veličin. Znění ZBC. Význam a formulace centrální limitní věty. Vztah jmenných znaků. Stochastická závislost dvou náhodných veličin.
"Statistický výzkum" - Relevance. Statistické charakteristiky a výzkum. Plán. Rozsah je rozdíl mezi největší a nejmenší hodnotou datové řady. Typy statistického pozorování. Baví tě studovat matematiku. Zvažte řadu čísel. Kdo vám pomůže pochopit obtížné téma v matematice. Potřebujete matematiku ve své budoucí profesi?
"Basic Statistical Characteristics" - Základní statistické charakteristiky. Najděte aritmetický průměr. PETRONIUS. Výpad. Řádková móda. Aritmetický průměr řady čísel. Rozpětí řádků. Medián série. Statistika. Medián. Školní sešity.
Celkem je v tématu 17 prezentací
FEDERÁLNÍ AGENTURA PRO VZDĚLÁVÁNÍ
Státní vzdělávací instituce
vyšší odborné vzdělání
"MATI" - RUSKÁ STÁTNÍ TECHNOLOGICKÁ UNIVERZITA IM. K.E. TSIOLKOVSKÝ
Katedra systémového modelování a informačních technologií
Opakování testů. Bernoulliho schéma
Metodické pokyny k praktickým cvičením
v oboru "Vyšší matematika"
Sestavil: Egorova Yu.B.
Mamonov I.M.
Moskva 2006 úvod
Směrnice jsou určeny studentům denních a večerních kateder fakulty č. 14, obory 150601, 160301, 230102. Směrnice zdůrazňují základní pojmy tématu, určují posloupnost studia látky. Velké množství uvažovaných příkladů pomáhá při praktickém rozvoji tématu. Pokyny slouží jako metodický základ pro praktická cvičení a realizaci jednotlivých úkolů.
BERNULLIHO SCHÉMA. BERNULLI FORMULE
Bernoulliho schéma- schéma opakovaných nezávislých testů, při kterých se některé event ALE lze opakovat mnohokrát s konstantní pravděpodobností R (ALE)= R .
Příklady testů prováděných podle Bernoulliho schématu: vícenásobné házení mincí nebo kostkou, výroba dávky dílů, střelba na cíl atd.
Teorém. Pokud pravděpodobnost výskytu události ALE v každém testu je konstantní a stejný R, pak pravděpodobnost, že událost ALE přijde m jednou n testy (bez ohledu na to, v jakém pořadí), lze určit podle Bernoulliho vzorce:
kde q = 1 – p.
PŘÍKLAD 1. Pravděpodobnost, že spotřeba elektřiny během jednoho dne nepřekročí stanovenou normu, se rovná p= 0,75. Najděte pravděpodobnost, že v následujících 6 dnech spotřeba elektřiny za 4 dny nepřekročí normu.
ŘEŠENÍ. Pravděpodobnost normální spotřeby energie během každého ze 6 dnů je konstantní a rovná se R= 0,75. Pravděpodobnost nadměrného výdeje elektřiny každý den je proto také konstantní a rovná q = 1R = 1 0,75 = 0,25.
Požadovaná pravděpodobnost podle Bernoulliho vzorce je rovna:
PŘÍKLAD 2. Střelec vypálí tři rány na cíl. Pravděpodobnost zásahu cíle při každém výstřelu je p= 0,3. Najděte pravděpodobnost, že: a) je zasažen jeden cíl; b) všechny tři cíle; c) žádné cíle; d) alespoň jeden cíl; e) méně než dva cíle.
ŘEŠENÍ. Pravděpodobnost zásahu cíle při každém výstřelu je konstantní a rovná se R=0,75. Pravděpodobnost neúspěchu tedy je q = 1 R\u003d 1–0,3 \u003d 0,7. Celkový počet experimentů n=3.
a) Pravděpodobnost zasažení jednoho terče třemi ranami je rovna:
b) Pravděpodobnost zasažení všech tří cílů třemi ranami je:
c) Pravděpodobnost tří netrefení se třemi ranami je rovna:
d) Pravděpodobnost zasažení alespoň jednoho terče třemi ranami je rovna:
e) Pravděpodobnost zasažení méně než dvou cílů, tj. buď jednoho nebo žádného:
Moivre-Laplaceova lokální a integrální věta
Pokud je provedeno velké množství testů, pak se výpočet pravděpodobností pomocí Bernoulliho vzorce stává technicky obtížným, protože vzorec vyžaduje operace s obrovskými čísly. Proto existují jednodušší přibližné vzorce pro výpočet pravděpodobností pro velké n. Tyto vzorce se nazývají asymptotické a jsou definovány Poissonovou větou, Laplaceovou lokální a integrální větou.
Místní de Moivre-Laplaceova věta. ALE ALE stát se m jednou n n (n →∞ ), se přibližně rovná:
kde je funkce 
a argument 
Více n, tím přesnější je výpočet pravděpodobností. Proto je vhodné aplikovat Moivre-Laplaceovu větu, když npq 20.
F ( X ) byly sestaveny speciální tabulky (viz příloha 1). Při použití stolu mějte na paměti vlastnosti funkce f(x) :
Funkce f(x) je sudý F( x)= f(x) .
V X ∞ funkce f(x) 0. V praxi můžeme předpokládat, že již při X>4 funkce f(x) ≈0.
PŘÍKLAD 3. Najděte pravděpodobnost, že událost ALE se vyskytuje 80krát ze 400 pokusů, pokud je pravděpodobnost výskytu události ALE v každém testu je p= 0,2.
ŘEŠENÍ. Podle stavu n=400, m=80, p=0,2, q= 0,8. Tudíž:
Podle tabulky určíme hodnotu funkce F (0)=0,3989.
Moivre-Laplaceova integrální věta. Pokud je pravděpodobnost výskytu události ALE v každém pokusu je konstantní a liší se od 0 a 1, pak pravděpodobnost, že událost ALE pocházet z m 1 před m 2 jednou n testy s dostatečně velkým počtem n (n →∞ ), se přibližně rovná:
kde 
- integrální nebo Laplaceova funkce, 
Chcete-li najít funkční hodnoty F( X ) byly vypracovány speciální tabulky (viz např. příloha 2). Při použití stolu mějte na paměti vlastnosti Laplaceovy funkce Ф(x) :
Funkce Ф(x) je liché F( x)= Ф(x) .
V X ∞ funkce Ф(x) 0,5. V praxi se to dá považovat X>5 funkce Ф(x) ≈0,5.
F (0)=0.
PŘÍKLAD 4. Pravděpodobnost, že díl neprošel kontrolou oddělení kontroly kvality je 0,2. Najděte pravděpodobnost, že mezi 400 položkami bude odškrtnuto 70 až 100 položek.
ŘEŠENÍ. Podle stavu n=400, m 1 =70, m 2 =100, p=0,2, q= 0,8. Tudíž:
Podle tabulky, ve které jsou uvedeny hodnoty Laplaceovy funkce, určíme:
Ф(x 1 ) = F( 1,25 )= F( 1,25 )= 0,3944; Ф(x 2 ) = F( 2,5 )= 0,4938.
Probíhá řada nezávislých zkoušek,z nichž každý má 2 možné výsledky,
kterou budeme podmíněně nazývat úspěch a neúspěch.
Například student skládá 4 zkoušky, v každé
z toho jsou možné 2 výstupy Úspěch: student
složil zkoušku a Neprospěl: neprospěl. Pravděpodobnost úspěchu v každém pokusu je
p. Pravděpodobnost poruchy je q=1-p.
Je třeba najít pravděpodobnost, že v řadě
z n pokusů se úspěch dostaví mkrát
Pn(m) Bm Ó Ó ... Ó Í ... Í
Í Ó ... Ó Í ... Í ...
Í Í ... Í Ó ... Ó
V každém případě se úspěch vyskytuje mkrát a
Neúspěšné (n-m) krát.
Číslo
Všechno
kombinace
rovná se
číslo
způsoby z n pokusů vybrat ty m, v
což byl Úspěch, tzn. Cm
n Pravděpodobnost každé takové kombinace je
teorém
o
násobení
pravděpodobnosti
bude Pmqn-m.
Protože tyto kombinace jsou nekompatibilní, pak
požadovaná pravděpodobnost události Bm bude
Pn (m) p q
m
nm
... p q
m
nm
celkové C s lags û õ C p q
m
n
m
n
m
nm Pn (m) C p q
m
n
m
nm Je známo, že když padne mince na hlavu, student
jde do kin, pokud mince přistane na chvostu
studentů. Jaká je pravděpodobnost, že
1) na přednášce budou tři z nich
2) na přednášce budou minimálně 3 studenti
2) dostane se alespoň jeden ze studentů na přednášku? 1) V tomto problému je řada n=5
nezávislé testy. Říkejme tomu Úspěch
jít na přednášku (vypadnou ocasy) a
Neúspěch - chození do kina (vypadnutí z erbu).
p=q=1/2.
Pomocí Bernoulliho vzorce zjistíme pravděpodobnost, že
Co se stane 3x po 5 hodech mincí?
úspěch:
3
2
1 1
P5(3)C
2 2
5! 1 1
1
10
0,3125
3!2! 8 4
32
3
5Najít pravděpodobnost, že po 5 hodech
alespoň jednou mince přistane na chvostu,
přejděme k pravděpodobnosti opaku
události - mince vypadne všech 5krát s erbem:
P5 (0).
Potom bude požadovaná pravděpodobnost: P=1-P5(0).
Podle Bernoulliho vzorce:
0
5
1 1
P5(0)C
2 2
0
5
5
1
0,03125
2 Pak bude pravděpodobnost požadované události
P1 0,03125 0,96875
Bernoulli
student jde
v kině, pokud mince padne ocasy - student jde do
přednáška. Mincí hodilo 5 studentů. Co je nejvíc
pravděpodobný počet studentů na přednášku?
Pravděpodobnost
výhra za 1 tiket je 0,2. Co je nejvíc
pravděpodobný počet výherních tiketů? Nejpravděpodobnější počet úspěchů ve schématu
Bernoulli
np q k np p Nejpravděpodobnější počet úspěchů ve schématu
Bernoulli
Vzorec pro nejpravděpodobnější počet úspěchů
np q k np p
Pokud je np-q celé číslo, pak tento interval obsahuje 2
celá čísla. Obojí je stejně neuvěřitelné.
Pokud je np-q necelé číslo, pak tento interval obsahuje 1
celé číslo Nejpravděpodobnější počet úspěchů ve schématu
Bernoulli
Příklad Je známo, že pokud mince přistane na hlavách,
- Student jde na přednášku. Hodená mince 5
studenti jdou přednášet?
np q k np p
n 5
1
p q
2Nejpravděpodobnější počet úspěchů ve schématu
Bernoulli
Příklad Je známo, že pokud mince přistane na hlavách,
student jde do kina, pokud mince přistane na chvostu
- Student jde na přednášku. Hodená mince 5
studentů. Jaké je nejpravděpodobnější číslo
studenti jdou přednášet?
np q k np p
n 5
1
p q
2
1 1
np q 5 2
2 2
1 1
np p 5 3
2 2Nejpravděpodobnější počet úspěchů ve schématu
Bernoulli
Příklad Je známo, že pokud mince přistane na hlavách,
student jde do kina, pokud mince přistane na chvostu
- Student jde na přednášku. Hodená mince 5
studentů. Jaké je nejpravděpodobnější číslo
studenti jdou přednášet?
np q k np p
n 5
1
p q
2
1 1
np q 5 2
2 2
1 1
np p 5 3
2 2
2 k 3 k 2, k 3 Nejpravděpodobnější počet úspěchů ve schématu
Bernoulli
Příklad Je známo, že pokud mince přistane na hlavách,
student jde do kina, pokud mince přistane na chvostu
- Student jde na přednášku. Hodená mince 5
studentů. Jaké je nejpravděpodobnější číslo
studenti jdou přednášet?
2
3
3
2
5
1 1
1 10 5
P5 (2) C52 10
32 16
2 2
2
5
1 1
1 10 5
P5 (3) C53 10
32 16
2 2
2 Nejpravděpodobnější počet úspěchů ve schématu
Bernoulli
Příklad Je známo, že pokud mince přistane na hlavách,
student jde do kina, pokud mince přistane na chvostu
- Student jde na přednášku. Hodená mince 5
studentů. Jaké je nejpravděpodobnější číslo
studenti jdou přednášet?
pravděpodobnost, Pn(k)
Pravděpodobnost počtu studentů, kteří se zúčastnili
přednáška
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
počet studentů, k
4
5Nejpravděpodobnější počet úspěchů ve schématu
Bernoulli
Příklad je zakoupeno 10 losů.
vstupenky?
np q k np p
n 10
p 0,2 q 0,8 Nejpravděpodobnější počet úspěchů ve schématu
Bernoulli
Příklad je zakoupeno 10 losů.
Pravděpodobnost výhry na 1 tiketu je 0,2.
Jaký je nejpravděpodobnější počet výherců
vstupenky?
np q k np p
n 10
p 0,2 q 0,8
np q 10 0,2 0,8 1,2
np p 10 0,2 0,2 2,2 Nejpravděpodobnější počet úspěchů ve schématu
Bernoulli
Příklad je zakoupeno 10 losů.
Pravděpodobnost výhry na 1 tiketu je 0,2.
Jaký je nejpravděpodobnější počet výherců
vstupenky?
np q k np p
n 10
p 0,2 q 0,8
np q 10 0,2 0,8 1,2
1, 2 až 2, 2
np p 10 0,2 0,2 2,2
k2 Nejpravděpodobnější počet úspěchů ve schématu
Bernoulli
Příklad je zakoupeno 10 losů.
Pravděpodobnost výhry na 1 tiketu je 0,2.
Jaký je nejpravděpodobnější počet výherců
vstupenky?
P10 (2) C 0,2 0,8
2
10
2
8
45 0, 04 0,16777216=
=0,301989888Nejpravděpodobnější počet úspěchů ve schématu
Bernoulli
Příklad je zakoupeno 10 losů.
Pravděpodobnost výhry na 1 tiketu je 0,2.
Jaký je nejpravděpodobnější počet výherců
vstupenky?
Pravděpodobnost počtu výherních tiketů
pravděpodobnost, Pn(k)
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
4
5
6
počet vstupenek, k
7
8
9
10Nejpravděpodobnější počet úspěchů ve schématu
Bernoulli
Podepsáno 10 smluv
zaplatit pojistnou částku
jednu ze smluv
než tři smlouvy
d) najít nejpravděpodobnější počet smluv, podle
kdo bude muset platit pojistnou částku Nejpravděpodobnější počet úspěchů ve schématu
Bernoulli
Příklad V průměru u 20 % pojistných smluv
společnost vyplácí pojistnou částku.
Podepsáno 10 smluv
a) Najděte pravděpodobnost, že tři
zaplatit pojistnou částku
0,201327Nejpravděpodobnější počet úspěchů ve schématu
Bernoulli
Příklad V průměru u 20 % pojistných smluv
společnost vyplácí pojistnou částku.
Podepsáno 10 smluv
b) Pojistná částka nebude muset být vyplacena v rámci žádné
jednu ze smluv
0,107374Nejpravděpodobnější počet úspěchů ve schématu
Bernoulli
Příklad V průměru u 20 % pojistných smluv
společnost vyplácí pojistnou částku.
Podepsáno 10 smluv
c) pojistná částka bude muset být zaplacena nejvýše,
než tři smlouvy
0,753297Pokud je n velké, pak pomocí vzorce
Pn (m) C p q
m
n
m
nm
obtížný
Proto se používají přibližné vzorce Věta: Je-li pravděpodobnost p výskytu jevu A
v každém testu se blíží nule,
a počet nezávislých pokusů n je dostatečně velký,
pak pravděpodobnost Pn(m), že v n nezávislých pokusech
událost A nastane mkrát, přibližně rovná:
Pn(m)
m
m!
E
kde λ=np
Tento vzorec se nazývá Poissonova formule (zákon vzácných událostí) Pn(m)
m
m!
e, np
Obvykle se používá přibližný Poissonův vzorec,
když p<0,1, а npq<10.
Příklad Nechť je známo, že při výrobě určitého léku
manželství (počet balíků, které nesplňují standard)
je 0,2 %. Odhadněte pravděpodobnost, že
po 1000 náhodně vybraných balíčků budou tři balíčky,
nesplňující normu.
Pn(k)
k
k!
P1000(3) ?
e ,
np Příklad Nechť je známo, že při výrobě určitého léku
manželství (počet balíků, které nesplňují standard)
je 0,2 %. Odhadněte pravděpodobnost, že
po 1000 náhodně vybraných balíčků budou tři balíčky,
nesplňující normu.
Pn(k)
k
k!
P1000(3) ?
e, np
np 1000 0,002 2
3
2 2 8
P1000 (3) e 0,135 = 0,18
3!
6
není připojeno více než 5 smluv. Příklad V průměru u 1 % smluv pojišťovna
zaplatí pojistnou částku. Najděte pravděpodobnost, že od
100 smluv se vznikem pojistné události bude
není připojeno více než 5 smluv.
