Nastavni rad: Ponovljeni i nezavisni testovi. Bernulijeva teorema o učestalosti vjerovatnoće. Prezentacija Bernoullijeve formule Prezentacija Bernulijeve šeme ponovnog testiranja
https://accounts.google.com
Naslovi slajdova:
Poglavlje 9. Elementi matematičke statistike, kombinatorike i teorije vjerovatnoće §54. Slučajni događaji i njihove vjerovatnoće 3. NEZAVISNA PONAVLJANJA TESTOVA. BERNULLIJEVA TEOMA I STATISTIČKA STABILNOST.
Sadržaj PRIMJER 5. Vjerovatnoća pogađanja mete jednim udarcem... Rješenje 5a); Rješenje 5b); Rješenje 5c); Rješenje 5d). Imajte na umu da... U cijeloj seriji ponavljanja važno je znati... Jacob Bernoulli je kombinirao primjere i pitanja... TEOREMA 3 (Bernoullijeva teorema). PRIMJER 6. U svakom od paragrafa a) - d) odredite vrijednosti n, k, p, q i napišite (bez proračuna) izraz za željenu vjerovatnoću Pn (k). Odluka 6 a); Rješenje 6 b); Rješenje 6 c); Rješenje 6 d). Bernulijeva teorema dozvoljava ... TEOREMA 4. Sa velikim brojem nezavisnih ponavljanja ... Za nastavnika. Izvori. 08.02.2014. 2
3. NEZAVISNA PONAVLJANJA TESTOVA. BERNULLIJEVA TEOMA I STATISTIČKA STABILNOST. Deo 3. 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nastavnik matematike 3
PRIMJER 5. Vjerovatnoća pogađanja mete jednim hicem. Da malo promijenimo prethodni primjer: umjesto dva različita strijelca, isti će pucati u metu. Primjer 5 . Vjerovatnoća da jednim udarcem pogodite metu je 0,8. Ispaljena su 3 nezavisna hica. Odrediti vjerovatnoću da će meta: a) biti pogođena tri puta; b) neće uticati; c) će biti pogođen najmanje jednom; d) će biti pogođen tačno jednom. 08.02.2014. Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nastavnik matematike 4
Rješenje primjera 5a) Primjer 5. Vjerovatnoća da jednim udarcem pogodite metu je 0,8. Ispaljena su 3 nezavisna hica. Odrediti vjerovatnoću da će meta: a) biti pogođena tri puta; 08.02.2014. Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nastavnik matematike 5
Rješenje primjera 5b) Primjer 5. Vjerovatnoća da jednim udarcem pogodite metu je 0,8. Ispaljena su 3 nezavisna hica. Odrediti vjerovatnoću da cilj: b) neće biti pogođen; Odluka: 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nastavnik matematike 6
Rješenje primjera 5c) Primjer 5. Vjerovatnoća da jednim udarcem pogodite metu je 0,8. Ispaljena su 3 nezavisna hica. Odrediti vjerovatnoću da će cilj: c) biti pogođen barem jednom; Odluka: 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nastavnik matematike 7
Rješenje primjera 5d) Primjer 5. Vjerovatnoća da jednim udarcem pogodite metu je 0,8. Ispaljena su 3 nezavisna hica. Pronađite vjerovatnoću da će cilj: d) biti pogođen tačno jednom. Odluka: 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nastavnik matematike 8
Napomena Rješenje dato u tački d) primjera 5, u konkretnom slučaju, ponavlja dokaz čuvene Bernulijeve teoreme, koja se odnosi na jedan od najčešćih vjerojatnosnih modela: nezavisna ponavljanja istog testa sa dva moguća ishoda. Prepoznatljiva karakteristika mnogi probabilistički problemi sastoje se u činjenici da se test, kao rezultat kojeg može doći do događaja koji nas zanima, može ponoviti mnogo puta. 08.02.2014. Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nastavnik matematike 9
U čitavom nizu ponavljanja važno je znati. U svakom od ovih ponavljanja zanima nas pitanje da li će se ovaj događaj dogoditi ili neće. A u cijeloj seriji ponavljanja važno nam je da znamo koliko se puta ovaj događaj može, a ne mora dogoditi. Na primjer, kocka se baca deset puta zaredom. Kolika je vjerovatnoća da će se 4 pojaviti tačno 3 puta? 10 ispaljenih hitaca; Kolika je vjerovatnoća da će biti tačno 8 pogodaka u metu? Ili kolika je vjerovatnoća da će se u pet bacanja novčića glave pojaviti tačno 4 puta? 08.02.2014. Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nastavnik matematike 10
Jacob Bernoulli kombinovao je primere i pitanja Švajcarski matematičar s početka 18. veka, Jacob Bernoulli, kombinovao je primere i pitanja ovog tipa u jedinstvenu verovatnosnu šemu. Neka vjerovatnoća slučajni događaj A kada se radi neki test, on je jednak P (A). Ovaj test ćemo smatrati testom sa samo dva moguća ishoda: jedan ishod je da će se dogoditi događaj A, a drugi ishod je da se događaj A neće dogoditi, tj. da će se dogoditi događaj Ᾱ. Radi kratkoće, nazovimo prvi ishod (nastanak događaja A) "uspjeh", a drugi ishod (nastanak događaja Ᾱ) "neuspjeh". Verovatnoća P(A) "uspeha" će biti označena sa p, a verovatnoća P(Ᾱ) "neuspeha" će biti označena sa q. Dakle, q = P(Ᾱ) = 1 - P(A) = 1 - p. 08.02.2014. Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nastavnik matematike 11
TEOREMA 3 (Bernoullijeva teorema) Teorema 3 (Bernoullijeva teorema). Neka je P n (k) vjerovatnoća tačno k "uspjeha" u n nezavisnih ponavljanja istog testa. Tada je P n (k)= C n k p k q n- k , gdje je p vjerovatnoća “uspjeha”, a q=1 - p vjerovatnoća “neuspjeha” u posebnom pokušaju. Ova teorema (iznosimo je bez dokaza) je od velike važnosti i za teoriju i za praksu. 08.02.2014. Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nastavnik matematike 12
PRIMJER 6. Primjer 6. U svakom od paragrafa a) - d) odredite vrijednosti n, k, p, q i napišite (bez proračuna) izraz za željenu vjerovatnoću P n (k). a) Kolika je vjerovatnoća da dobijete tačno 7 glava u 10 bacanja novčića? b) Svako od 20 osoba samostalno imenuje jedan od dana u sedmici. "Nesrećni" dani su ponedeljak i petak. Kolika je vjerovatnoća da će "srećno" biti tačno polovina? c) Bacanje kockice je "uspješno" ako se baci 5 ili 6. Kolika je vjerovatnoća da će tačno 5 bacanja od 25 biti "sretno"? d) Test se sastoji od bacanja tri različita novčića u isto vrijeme. "Neuspjeh": više "repova" nego "orlova". Kolika je vjerovatnoća da će među 7 rolni biti tačno tri "sreće"? 08.02.2014. Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nastavnik matematike 13
Rješenje 6a) Primjer 6. U svakom od paragrafa a) - d) odredite vrijednosti n, k, p, q i napišite (bez proračuna) izraz za željenu vjerovatnoću P n (k). a) Kolika je vjerovatnoća da dobijete tačno 7 glava u 10 bacanja novčića? Odluka: 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nastavnik matematike 14
Rješenje 6b) Primjer 6. U svakom od paragrafa a) - d) odredite vrijednosti n, k, p, q i napišite (bez proračuna) izraz za željenu vjerovatnoću P n (k). b) Svako od 20 osoba samostalno imenuje jedan od dana u sedmici. "Nesrećni" dani su ponedeljak i petak. Kolika je vjerovatnoća da će "srećno" biti tačno polovina? Odluka: 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nastavnik matematike 15
Rješenje 6c) Primjer 6. U svakom od paragrafa a) - d) odredite vrijednosti n, k, p, q i napišite (bez proračuna) izraz za željenu vjerovatnoću P n (k). c) Bacanje kockice je "uspješno" ako se baci 5 ili 6. Kolika je vjerovatnoća da će tačno 5 bacanja od 25 biti "sretno"? Odluka: 02/08/2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nastavnik matematike 16
Rješenje 6d) Primjer 6. U svakom od paragrafa a) - d) odredite vrijednosti n, k, p, q i napišite (bez proračuna) izraz za željenu vjerovatnoću P n (k). d) Test se sastoji od bacanja tri različita novčića u isto vrijeme. "Neuspjeh": više "repova" nego "orlova". Kolika je vjerovatnoća da će među 7 rolni biti tačno tri "sreće"? Rješenje: d) n = 7, k = 3. “Sreća” kod jednog bacanja je da ima manje “repova” nego “orlova”. Moguće je ukupno 8 rezultata: PPP, PPO, POP, OPP, POO, ORO, OOP, OOO (P - “repovi”, O – “glave”). Tačno polovina njih ima manje repova nego glava: POO, ORO, OOP, OOO. Dakle, p = q = 0,5; P 7 (3) \u003d C 7 3 ∙ 0,5 3 ∙ 0,5 4 = C 7 3 ∙ 0,5 7. 08.02.2014. Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nastavnik matematike 17
Bernulijeva teorema dozvoljava ... Bernulijeva teorema vam omogućava da uspostavite vezu između statističkog pristupa definiciji vjerovatnoće i klasične definicije vjerovatnoće slučajnog događaja. Da bismo opisali ovu vezu, vratimo se na uslove iz § 50 o statističkoj obradi informacija. Razmotrimo niz od n nezavisnih ponavljanja istog testa sa dva ishoda - "uspjeh" i "neuspjeh". Rezultati ovih testova sačinjavaju niz podataka, koji se sastoji od nekog niza od dvije opcije: "uspjeh" i "neuspjeh". Jednostavno rečeno, postoji niz dužine n, sastavljen od dva slova U ("srećno") i H ("neuspjeh"). Na primjer, U, U, N, N, U, N, N, N, ..., U ili N, U, U, N, U, U, N, N, U, ..., N, itd. . n. Izračunajmo višestrukost i učestalost Y opcija, tj. pronađemo razlomak k / n, gdje je k broj „sreća“ naiđenih među svih n ponavljanja. Ispostavilo se da će se sa neograničenim povećanjem n, učestalost k/n pojavljivanja "uspjeha" praktično ne razlikovati od vjerovatnoće p "uspjeha" u jednom pokušaju. Ova prilično komplikovana matematička činjenica izvedena je upravo iz Bernoullijeve teoreme. 08.02.2014. Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nastavnik matematike 18
TEOREMA 4. Sa velikim brojem nezavisnih ponavljanja TEOREMA 4. Sa velikim brojem nezavisnih ponavljanja istog testa, učestalost pojavljivanja slučajnog događaja A sa povećanjem tačnosti približno je jednaka verovatnoći događaja A: k/n ≈ P(A). Na primjer, kada je n > 2000 sa vjerovatnoćom većom od 99%, može se tvrditi da apsolutna greška | k/n - P(A)| približna jednakost k/n≈ P(A) će biti manja od 0,03. Dakle, u sociološkim istraživanjima dovoljno je intervjuisati oko 2.000 nasumično odabranih ljudi (ispitanika). Ako je, recimo, njih 520 odgovorilo pozitivno postavljeno pitanje, tada je k/n=520/2000=0,26 i gotovo je sigurno da za bilo koji više ispitanika, ova frekvencija će biti u rasponu od 0,23 do 0,29. Ovaj fenomen se naziva fenomen statističke stabilnosti. Dakle, Bernulijeva teorema i njene posljedice nam omogućavaju da (približno) pronađemo vjerovatnoću slučajnog događaja u slučajevima kada je njegovo eksplicitno izračunavanje nemoguće. 08.02.2014. Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nastavnik matematike 19
Za nastavnika 08.02.2014 Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nastavnik matematike 20
08.02.2014. Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nastavnik matematike 21
08.02.2014. Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nastavnik matematike 22
Izvori Algebra i počeci analize, 10.-11. razred, 1. dio. Udžbenik, 10. izd. (Osnovni nivo), A.G. Mordkovich, M., 2009 Algebra i početak analize, 10-11 razredi. (Osnovni nivo) Metodički vodič za nastavnike, A.G. Mordkovich, P.V. Semenov, M., 2010 Tabele su sastavljene u MS Word i MS Excel. Internet resursi Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nastavnik matematike 08.02.2014. 23
Pregled:
Da biste koristili pregled prezentacija, kreirajte račun za sebe ( račun) Guglajte i prijavite se: https://accounts.google.com
Naslovi slajdova:
slajd 1
Poglavlje 9. Elementi matematičke statistike, kombinatorike i teorije vjerovatnoće
§54. Slučajni događaji i njihove vjerovatnoće 3. NEZAVISNA PONAVLJANJA TESTOVA. BERNULLIJEVA TEOMA I STATISTIČKA STABILNOST.
slajd 2
Sadržaj
PRIMJER 5. Vjerovatnoća pogađanja mete jednim udarcem ... Rješenje 5a); Rješenje 5b); Rješenje 5c); Rješenje 5d). Imajte na umu da ... U cijeloj seriji ponavljanja važno je znati ... Jacob Bernuli je kombinovao primere i pitanja... TEOREMA 3 (Bernoulijeva teorema).
PRIMJER 6. U svakom od paragrafa a) - d) odredite vrijednosti n, k, p, q i napišite (bez proračuna) izraz za željenu vjerovatnoću Pn(k). Rješenje 6a); Rješenje 6b) ; Rješenje 6c); Rješenje 6d ). Bernulijeva teorema dozvoljava ... TEOREMA 4. Sa velikim brojem nezavisnih ponavljanja ... Za nastavnika Izvori.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nastavnik matematike
*
slajd 3
3. NEZAVISNA PONAVLJANJA TESTOVA. BERNULLIJEVA TEOMA I STATISTIČKA STABILNOST.
dio 3
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nastavnik matematike
*
slajd 4
PRIMJER 5. Vjerovatnoća pogađanja mete jednim udarcem
Da malo promijenimo prethodni primjer: umjesto dva različita strijelca, isti strijelac će pucati u metu.Primjer 5. Vjerovatnoća da jednim udarcem pogodi metu je 0,8. Ispaljena su 3 nezavisna hica. Nađite vjerovatnoću da će meta: a) biti pogođena tri puta; b) neće biti pogođena; c) biti pogođena najmanje jednom; d) biti pogođena tačno jednom.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nastavnik matematike
*
slajd 5
Rješenje primjera 5a)
Primjer 5. Vjerovatnoća pogađanja mete jednim udarcem je 0,8. Ispaljena su 3 nezavisna hica. Odrediti vjerovatnoću da će meta: a) biti pogođena tri puta;
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nastavnik matematike
*
slajd 6
Rješenje primjera 5b)
Primjer 5. Vjerovatnoća pogađanja mete jednim udarcem je 0,8. Ispaljena su 3 nezavisna hica. Pronađite vjerovatnoću da cilj: b) neće biti pogođen; Rješenje:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nastavnik matematike
*
Slajd 7
Rješenje primjera 5c)
Primjer 5. Vjerovatnoća pogađanja mete jednim udarcem je 0,8. Ispaljena su 3 nezavisna hica. Pronađite vjerovatnoću da će cilj: c) biti pogođen barem jednom; Rješenje:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nastavnik matematike
*
Slajd 8
Rješenje primjera 5d)
Primjer 5. Vjerovatnoća pogađanja mete jednim udarcem je 0,8. Ispaljena su 3 nezavisna hica. Pronađite vjerovatnoću da će cilj: d) biti pogođen tačno jednom. Rješenje:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nastavnik matematike
*
Slajd 9
Bilješka
Rješenje dato u tački d) primjera 5, u konkretnom slučaju, ponavlja dokaz čuvene Bernoullijeve teoreme, koja se odnosi na jedan od najčešćih vjerojatnosnih modela: nezavisna ponavljanja istog testa sa dva moguća ishoda. Karakteristična karakteristika mnogih probabilističkih problema je da se test, zbog kojeg može doći do događaja koji nas zanima, može ponoviti mnogo puta.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nastavnik matematike
*
Slajd 10
U čitavom nizu ponavljanja važno je znati
U svakom od ovih ponavljanja zanima nas pitanje da li će se ovaj događaj dogoditi ili neće. A u cijeloj seriji ponavljanja važno nam je da znamo koliko se puta ovaj događaj može, a ne mora dogoditi. Na primjer, kocka se baca deset puta zaredom. Kolika je vjerovatnoća da će se 4 pojaviti tačno 3 puta? 10 ispaljenih hitaca; Kolika je vjerovatnoća da će biti tačno 8 pogodaka u metu? Ili kolika je vjerovatnoća da će se u pet bacanja novčića glave pojaviti tačno 4 puta?
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nastavnik matematike
*
slajd 11
Jacob Bernoulli je kombinirao primjere i pitanja
Švajcarski matematičar sa početka 18. veka, Jacob Bernoulli, kombinovao je primere i pitanja ovog tipa u jednu probabilističku šemu.Neka je verovatnoća slučajnog događaja A tokom nekog testa jednaka P(A). Ovaj test ćemo smatrati testom sa samo dva moguća ishoda: jedan ishod je da će se dogoditi događaj A, a drugi ishod je da se događaj A neće dogoditi, tj. da će se dogoditi događaj Ᾱ. Radi kratkoće, nazovimo prvi ishod (nastanak događaja A) "uspjeh", a drugi ishod (nastanak događaja Ᾱ) "neuspjeh". Verovatnoća P(A) "uspeha" će biti označena sa p, a verovatnoća P(Ᾱ) "neuspeha" će biti označena sa q. Dakle, q = P(Ᾱ) = 1 - P(A) = 1 - p.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nastavnik matematike
*
slajd 12
TEOREMA 3 (Bernoullijeva teorema)
Teorema 3 (Bernoullijeva teorema). Neka je Pn(k) vjerovatnoća tačno k "uspjeha" u n nezavisnih ponavljanja istog testa. Tada je Pn(k)= Snk pk qn-k, gdje je p vjerovatnoća “uspjeha”, a q=1-p vjerovatnoća “neuspjeha” u posebnom testu. Ova teorema (dajemo je bez dokaza ) je od velikog značaja za teoriju, a i za praksu.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nastavnik matematike
*
slajd 13
PRIMJER 6.
Primjer 6. U svakom od paragrafa a) - d) odredite vrijednosti n, k, p, q i napišite (bez proračuna) izraz za željenu vjerovatnoću Pn(k). kovanice? b) Svaki od 20 ljudi samostalno imenuje jedan od dana u sedmici. "Nesrećni" dani su ponedeljak i petak. Kolika je vjerovatnoća da će "srećno" biti tačno polovina? Kolika je vjerovatnoća da će tačno 5 bacanja od 25 biti "uspješno"? d) Test se sastoji od bacanja tri različita novčića u isto vrijeme. "Neuspjeh": više "repova" nego "orlova". Kolika je vjerovatnoća da će među 7 rolni biti tačno tri "sreće"?
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nastavnik matematike
*
Slajd 14
Rješenje 6a)
Primjer 6. U svakom od paragrafa a) - d) odredite vrijednosti n, k, p, q i napišite (bez proračuna) izraz za željenu vjerovatnoću Pn(k). kovanice? Rješenje:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nastavnik matematike
*
slajd 15
Rješenje 6b)
Primjer 6. U svakom od paragrafa a) - d) odredite vrijednosti n, k, p, q i napišite (bez proračuna) izraz za željenu vjerovatnoću Pn(k). b) Svaki od 20 ljudi samostalno imenuje jedan od dana u sedmici. "Nesrećni" dani su ponedeljak i petak. Kolika je vjerovatnoća da će biti tačno polovina "sreće"? Rješenje:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nastavnik matematike
*
slajd 16
Rješenje 6c)
Primjer 6. U svakom od paragrafa a) - d) odredite vrijednosti n, k, p, q i ispišite (bez proračuna) izraz za željenu vjerovatnoću Pn(k). . Kolika je vjerovatnoća da će tačno 5 bacanja od 25 biti "sretno"? Rješenje:
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nastavnik matematike
*
Slajd 17
Rješenje 6d)
Primjer 6. U svakom od paragrafa a) - d) odredite vrijednosti n, k, p, q i napišite (bez proračuna) izraz za željenu vjerovatnoću Pn(k). d) Test se sastoji u istovremeno bacanje tri različita novčića. "Neuspjeh": više "repova" nego "orlova". Kolika je vjerovatnoća da će među 7 bacanja biti tačno tri “sreće”? Rješenje: d) n = 7, k = 3. “Sreća” na jednom bacanju je da ima manje “repova” nego “orlova”. Moguće je ukupno 8 rezultata: PPP, PPO, POP, OPP, POO, ORO, OOP, OOO (P - “repovi”, O – “glave”). Tačno polovina njih ima manje repova nego glava: POO, ORO, OOP, OOO. Dakle, p = q = 0,5; R7(3) = S73 ∙ 0,53 ∙ 0,54 = S73 ∙ 0,57.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nastavnik matematike
*
Slajd 18
Bernulijeva teorema dozvoljava...
Bernulijeva teorema omogućava uspostavljanje veze između statističkog pristupa definiciji vjerovatnoće i klasične definicije vjerovatnoće slučajnog događaja. Da bismo opisali ovu vezu, vratimo se na uslove iz § 50 o statističkoj obradi informacija. Razmotrimo niz od n nezavisnih ponavljanja istog testa sa dva ishoda - "uspjeh" i "neuspjeh". Rezultati ovih testova sačinjavaju niz podataka, koji se sastoji od nekog niza od dvije opcije: "uspjeh" i "neuspjeh". Jednostavno rečeno, postoji niz dužine n, sastavljen od dva slova Y ("srećno") i H ("neuspjeh"). Na primjer, U, U, N, N, U, N, N, N, ..., U ili N, U, U, N, U, U, N, N, U, ..., N, itd. . n. Izračunajmo višestrukost i učestalost opcija Y, tj. naći ćemo razlomak k / n, gdje je k broj „sreća“ naiđenih među svih n ponavljanja. Ispostavilo se da će se sa neograničenim povećanjem n, učestalost k/n pojavljivanja "uspjeha" praktično ne razlikovati od vjerovatnoće p "uspjeha" u jednom pokušaju. Ova prilično komplikovana matematička činjenica izvedena je upravo iz Bernoullijeve teoreme.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nastavnik matematike
*
Slajd 19
TEOREMA 4. Za veliki broj nezavisnih ponavljanja
TEOREMA 4. Uz veliki broj nezavisnih ponavljanja istog testa, učestalost pojavljivanja slučajnog događaja A sa sve većom preciznošću približno je jednaka vjerovatnoći događaja A: k / n ≈ P (A). Na primjer, sa n > 2000 sa vjerovatnoćom većom od 99% , može se tvrditi da je apsolutna greška |k/n- R(A)| približna jednakost k/n≈ P(A) će biti manja od 0,03. Dakle, u sociološkim istraživanjima dovoljno je intervjuisati oko 2.000 nasumično odabranih ljudi (ispitanika). Ako je, recimo, njih 520 dalo pozitivan odgovor na pitanje, onda je k / n = 520 / 2000 = 0,26 i praktično je sigurno da će za svaki veći broj ispitanika takva učestalost biti u rasponu od 0,23 do 0,29. Ova pojava se naziva fenomenom statističke stabilnosti, tako da Bernulijeva teorema i njene posljedice omogućavaju (približno) pronalaženje vjerovatnoće slučajnog događaja u slučajevima kada je njegovo eksplicitno izračunavanje nemoguće.
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nastavnik matematike
*
Slajd 20
Za nastavnika
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nastavnik matematike
*
slajd 21
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nastavnik matematike
*
slajd 22
08.02.2014
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nastavnik matematike
*
slajd 23
Izvori
Algebra i počeci analize, 10-11. razred, 1. dio. Udžbenik, 10. izd. (Osnovni nivo), A.G. Mordkovich, M., 2009 Algebra i početak analize, 10-11 razredi. (Osnovni nivo) Metodički vodič za nastavnike, A.G. Mordkovich, P.V. Semenov, M., 2010 Tabele su sastavljene u MS Word i MS Excel. Internet resursi
Tsybikova Tamara Radnazhapovna, nastavnik matematike
08.02.2014
*
slajd 1
Bernulijeva teorema
17.03.2017
slajd 2
Izvedena je serija od n nezavisnih ispitivanja. Svaki test ima 2 ishoda: A - "uspjeh" i - "neuspjeh". Vjerovatnoća "uspjeha" u svakom testu je ista i jednaka je P(A) = p Prema tome, vjerovatnoća "neuspjeha" se također ne mijenja od iskustva do iskustva i jednaka je.
Bernoullijeva šema
Kolika je vjerovatnoća da će serija od n pokušaja uspjeti k puta? Naći Pn(k) .
slajd 3
Novčić se baca n puta. Karta se izvlači iz špila n puta, i svaki put kada se karta vrati, špil se miješa. Ispitujemo kvalitet n proizvoda neke proizvodnje, nasumično odabranih. Strijelac puca u metu n puta.
Primjeri
slajd 4
Objasnite zašto se sljedeća pitanja uklapaju u Bernoullijevu shemu. Navedite od čega se sastoji "uspjeh" i šta su n i k. a) Kolika je vjerovatnoća da dobijete 2 tri puta u deset bacanja kockice? b) Kolika je vjerovatnoća da će se u 100 bacanja novčića glave pojaviti 73 puta? c) Par kockica se baca dvadeset puta zaredom. Kolika je vjerovatnoća da zbir bodova nikada nije bio jednak deset? d) Izvučene su tri karte iz špila od 36 karata, rezultat je zabilježen i vraćen u špil, zatim su karte promiješane. Ovo je ponovljeno 4 puta. Kolika je vjerovatnoća da je pikova dama svaki put bila među izvučenim kartama?
slajd 5
Za broj kombinacija od n do k vrijedi formula
Na primjer:
slajd 6
Bernulijeva teorema
Verovatnoća Pn(k) za tačno k uspeha u n nezavisnih ponavljanja istog testa nalazi se po formuli, gde je p verovatnoća „uspeha“, q = 1- p je verovatnoća „neuspeha“ u zasebnom eksperimentu .
Slajd 7
Novčić se baca 6 puta. Kolika je vjerovatnoća da se grb pojavi 0, 1, ...6 puta? Rješenje. Broj eksperimenata n=6. Događaj A - "uspjeh" - gubitak grba. Prema Bernoullijevoj formuli, tražena vjerovatnoća je
;
;
;
;
;
;
Slajd 8
Novčić se baca 6 puta. Kolika je vjerovatnoća da se grb pojavi 0, 1, ...6 puta? Rješenje. Broj eksperimenata n=6. Događaj A - "uspjeh" - gubitak grba.
;
;
;
;
;
;
Slajd 9
Novčić se baca 10 puta. Kolika je vjerovatnoća da će se grb pojaviti dva puta? Rješenje. Broj eksperimenata n=10, m=2. Događaj A - "uspjeh" - gubitak grba. Prema Bernoullijevoj formuli, tražena vjerovatnoća je
;
;
;
;
;
;
Slajd 10
Urna sadrži 20 bijelih i 10 crnih kuglica. Vade se 4 loptice, a svaka izvađena loptica se vraća u urnu pre nego što se izvuče sledeća i mešaju se loptice u urni. Nađite vjerovatnoću da su 2 od 4 izvučene lopte bijele. Rješenje. Događaj A - dobio bela lopta. Tada su vjerovatnoće Prema Bernoullijevoj formuli, tražena vjerovatnoća je
slajd 11
Odrediti vjerovatnoću da u porodici sa 5 djece nema djevojčica. Pretpostavlja se da su vjerovatnoće da ćete imati dječaka i djevojčicu jednake. Rješenje. Vjerovatnoća rođenja djevojčice, dječaka Prema Bernoullijevoj formuli, tražena vjerovatnoća jednaka je
slajd 12
Pronađite vjerovatnoću da će porodica sa 5 djece imati jednu djevojčicu. Pretpostavlja se da su vjerovatnoće da ćete imati dječaka i djevojčicu jednake. Rješenje. Vjerovatnoća rođenja djevojčice, dječaka Prema Bernoullijevoj formuli, tražena vjerovatnoća jednaka je
slajd 13
Odrediti vjerovatnoću da će porodica sa 5 djece imati dvije djevojčice. Rješenje. Vjerovatnoća rođenja djevojčice, dječaka Prema Bernoullijevoj formuli, tražena vjerovatnoća jednaka je
Slajd 14
Pronađite vjerovatnoću da će porodica sa 5 djece imati 3 djevojčice. Rješenje. Vjerovatnoća rođenja djevojčice, dječaka Prema Bernoullijevoj formuli, tražena vjerovatnoća jednaka je
slajd 15
Odrediti vjerovatnoću da porodica sa 5 djece neće imati više od 3 djevojčice. Pretpostavlja se da su vjerovatnoće da ćete imati dječaka i djevojčicu jednake. Rješenje. Verovatnoća da ćete imati devojčicu, dečaka Tražena verovatnoća je jednaka
.
slajd 16
Među dijelovima koje obrađuje radnik ima u prosjeku 4% nestandardnih. Pronađite vjerovatnoću da će dva od 30 dijelova uzetih za testiranje biti nestandardna. Rješenje. Ovdje iskustvo leži u provjeri kvaliteta svakog od 30 dijelova. Događaj A - "izgled nestandardnog dijela",
"Elementi matematičke statistike" - Interval povjerenja. Nauka. Klasifikacija hipoteza. Delovi se izrađuju na različitim mašinama. Provjera pravila. korelacione zavisnosti. Ovisnost. Skup vrijednosti kriterija. Pronađite interval pouzdanosti. Proračun intervala povjerenja za nepoznatu varijansu. Normalna distribucija.
"Vjerovatnoća i matematička statistika" - Tačnost dobijenih vrijednosti. Šifra za sef. Deskriptivna statistika. Apple. Hajde da razmotrimo događaje. pravilo množenja. Dva strijelca. Poređenje nastavni planovi i programi. Karamela. Primjeri trakastog grafikona. Ocjene iz matematike. Pravilo množenja za tri. Bijele i crvene ruže. 9 različitih knjiga. Zimski odmor.
"Osnove matematičke statistike" - Uslovna vjerovatnoća. Tabela standardiziranih vrijednosti. Svojstva Studentove distribucije. Interval pouzdanosti matematičkog očekivanja. Uzorak srednji. Distribucija. Jedan ogled se može smatrati nizom jednog ispitivanja. Kvantil - lijevo bi trebao biti broj vrijednosti koje odgovaraju kvantilnom indeksu.
"Teorija vjerovatnoće i statistika" - Granice intervala. Kritična područja. Teorema množenja vjerovatnoće. Distribucija normalne slučajne varijable. Derivacija Bernoullijeve formule. Zakoni raspodjele slučajnih varijabli. Formulacija ZBC-a. Značenje i formulacija središnje granične teoreme. Odnos nominalnih karakteristika. Stohastička zavisnost dvije slučajne varijable.
"Statistička istraživanja" - Relevantnost. Statističke karakteristike i istraživanja. Plan. Raspon je razlika između najveće i najmanje vrijednosti serije podataka. Vrste statističkog posmatranja. Volite li učiti matematiku. Razmotrimo niz brojeva. Ko vam pomaže da shvatite tešku temu iz matematike. Da li vam je potrebna matematika u budućoj profesiji.
"Osnovne statističke karakteristike" - Osnovne statističke karakteristike. Pronađite aritmetičku sredinu. PETRONIUS. Prevucite prstom. Veslačka moda. Aritmetička sredina niza brojeva. Raspon redova. Medijan serije. Statistika. Medijan. Školske sveske.
Ukupno ima 17 prezentacija u ovoj temi
FEDERALNA AGENCIJA ZA OBRAZOVANJE
Državna obrazovna ustanova
visoko stručno obrazovanje
"MATI" - RUSKI DRŽAVNI TEHNOLOŠKI UNIVERZITET IM. K.E. TSIOLKOVSKY
Katedra za modeliranje sistema i informacione tehnologije
Ponavljanje testova. Bernoullijeva šema
Metodička uputstva za praktične vježbe
u disciplini "Viša matematika"
Sastavio: Egorova Yu.B.
Mamonov I.M.
Moskva 2006 uvod
Smjernice su namijenjene studentima dnevnih i večernjih odsjeka fakulteta br. 14, specijalnosti 150601, 160301, 230102. Uputstva ističu osnovne pojmove teme, određuju redoslijed izučavanja gradiva. Veliki broj razmatranih primjera pomaže u praktičnom razvoju teme. Smjernice služe kao metodološka osnova za praktične vježbe i realizaciju pojedinačnih zadataka.
BERNULLI SCHEME. BERNULLI FORMULA
Bernoullijeva šema- shema ponovljenih nezavisnih testova, u kojima je neki događaj ALI može se ponoviti mnogo puta sa konstantnom vjerovatnoćom R (ALI)= R .
Primjeri testova koji se provode prema Bernoullijevoj shemi: višestruko bacanje novčića ili kockice, pravljenje serije dijelova, pucanje u metu itd.
Teorema. Ako je vjerovatnoća da će se neki događaj dogoditi ALI u svakom testu je konstantan i jednak R, zatim vjerovatnoća da je događaj ALIće doći m jednom a n testovi (bez obzira kojim redoslijedom), mogu se odrediti Bernoullijevom formulom:
gdje q = 1 – str.
PRIMJER 1. Jednaka je vjerovatnoća da potrošnja električne energije u toku jednog dana neće premašiti utvrđenu normu p= 0,75. Pronađite vjerovatnoću da u sljedećih 6 dana potrošnja električne energije za 4 dana neće premašiti normu.
RJEŠENJE. Vjerovatnoća normalne potrošnje energije tokom svakog od 6 dana je konstantna i jednaka R= 0,75. Stoga je vjerovatnoća prekomjernog trošenja električne energije svakog dana također konstantna i jednaka q = 1R = 1 0,75 = 0,25.
Željena vjerovatnoća prema Bernoullijevoj formuli jednaka je:
PRIMJER 2. Strijelac ispaljuje tri hica u metu. Vjerovatnoća da ćete pogoditi metu svakim udarcem je p= 0,3. Odrediti vjerovatnoću da: a) jedna meta bude pogođena; b) sve tri mete; c) nema meta; d) najmanje jednu metu; e) manje od dvije mete.
RJEŠENJE. Vjerovatnoća pogađanja mete pri svakom udarcu je konstantna i jednaka R=0,75. Stoga je vjerovatnoća promašaja q = 1 R\u003d 1 - 0,3 \u003d 0,7. Ukupan broj eksperimenata n=3.
a) Vjerovatnoća pogađanja jedne mete sa tri hica jednaka je:
b) Vjerovatnoća pogađanja sve tri mete sa tri hica je:
c) Verovatnoća tri promašaja sa tri udarca jednaka je:
d) Vjerovatnoća pogađanja najmanje jedne mete sa tri hica jednaka je:
e) Vjerovatnoća pogađanja manje od dvije mete, odnosno jednu metu ili nijednu:
Moivre-Laplaceove lokalne i integralne teoreme
Ako se napravi veliki broj testova, tada izračunavanje vjerovatnoća pomoću Bernoullijeve formule postaje tehnički teško, jer formula zahtijeva operacije na ogromnim brojevima. Stoga postoje jednostavnije približne formule za izračunavanje vjerovatnoće za velike n. Ove formule se nazivaju asimptotskim i definirane su Poissonovom teoremom, Laplaceovom lokalnom i integralnom teoremom.
Lokalna de Moivre-Laplaceova teorema. ALI ALI desiti m jednom a n n (n →∞ ), približno je jednako:
gdje je funkcija 
i argument 
Više n, to je tačnije izračunavanje vjerovatnoće. Stoga je preporučljivo primijeniti Moivre-Laplaceovu teoremu kada npq 20.
f ( x ) sastavljene su posebne tabele (vidi Dodatak 1). Kada koristite sto, imajte na umu svojstva funkcije f(x) :
Funkcija f(x) je čak f( x)= f(x) .
At X ∞ funkcija f(x) 0. U praksi možemo pretpostaviti da je već na X>4 funkcija f(x) ≈0.
PRIMJER 3. Nađi vjerovatnoću da će događaj ALI javlja se 80 puta u 400 pokušaja ako je vjerovatnoća da će se događaj dogoditi ALI u svakom testu je p= 0,2.
RJEŠENJE. Po uslovu n=400, m=80, str=0,2, q=0,8. posljedično:
Prema tabeli određujemo vrijednost funkcije f (0)=0,3989.
Moivre-Laplaceova integralna teorema. Ako je vjerovatnoća da će se neki događaj dogoditi ALI u svakom pokušaju je konstantna i različita od 0 i 1, tada je vjerovatnoća da će događaj ALI dolaziti iz m 1 prije m 2 jednom a n testovi sa dovoljno velikim brojem n (n →∞ ), približno je jednako:
gdje 
- integralna ili Laplaceova funkcija, 
Da biste pronašli vrijednosti funkcije F( x ) izrađene su posebne tabele (na primjer, vidi Dodatak 2). Kada koristite sto, imajte na umu svojstva Laplaceove funkcije F(x) :
Funkcija F(x) je čudno F( x)= F(x) .
At X ∞ funkcija F(x) 0,5. U praksi se to može smatrati X>5 funkcija F(x) ≈0,5.
F (0)=0.
PRIMJER 4. Vjerovatnoća da dio nije prošao provjeru Odjeljenja za kontrolu kvaliteta je 0,2. Pronađite vjerovatnoću da 70 do 100 stavki neće biti označeno među 400 stavki.
RJEŠENJE. Po uslovu n=400, m 1 =70, m 2 =100, str=0,2, q=0,8. posljedično:
Prema tabeli u kojoj su date vrijednosti Laplaceove funkcije, određujemo:
F(x 1 ) = F( 1,25 )= F( 1,25 )= 0,3944; F(x 2 ) = F( 2,5 )= 0,4938.
U toku je niz nezavisnih ispitivanja,od kojih svaki ima 2 moguća ishoda,
koje ćemo uslovno nazvati Uspeh i Neuspeh.
Na primjer, student polaže 4 ispita na svakom
od kojih su moguća 2 ishoda Uspjeh: učenik
položio ispit i nije položio: nije položio. Vjerovatnoća uspjeha u svakom pokušaju je
str. Verovatnoća kvara je q=1-p.
Potrebno je pronaći vjerovatnoću da u nizu
od n pokušaja, uspjeh će doći m puta
Pn(m) Bm Ó Ó ... Ó Í ... Í
Í Ó ... Ó Í ... Í ...
Í Í ... Í Ó ... Ó
U svakom slučaju, uspjeh se javlja m puta, i
Neuspješno (n-m) puta.
Broj
sve
kombinacije
jednaki
broj
načina od n pokušaja za odabir onih m, in
što je bio Uspjeh, tj. Cm
n Vjerovatnoća svake takve kombinacije je
teorema
o
množenje
vjerovatnoće
će biti Pmqn-m.
Pošto su ove kombinacije nekompatibilne, onda
željena vjerovatnoća događaja Bm će biti
Pn (m) p q
m
n m
... p q
m
n m
ukupno C s kašnjenja û õ C p q
m
n
m
n
m
n m Pn (m) C p q
m
n
m
n m Poznato je da ako novčić padne na glave, student
ide u kino ako novčić padne na rep
studenti. Kolika je vjerovatnoća da
1) njih troje će biti na predavanju
2) na predavanju će biti najmanje 3 studenta
2) hoće li barem jedan od studenata doći na predavanje? 1) U ovom zadatku, niz od n=5
nezavisni testovi. Nazovimo to uspjehom
odlazak na predavanje (repovi ispadaju) i
Neuspjeh - odlazak u kino (ispadanje iz grba).
p=q=1/2.
Koristeći Bernulijevu formulu, nalazimo vjerovatnoću da
Šta će se dogoditi 3 puta nakon 5 bacanja novčića?
uspjeh:
3
2
1 1
P5(3)C
2 2
5! 1 1
1
10
0,3125
3!2! 8 4
32
3
5Da biste pronašli vjerovatnoću da nakon 5 bacanja
barem jednom novčić sleti repom,
pređimo na vjerovatnoću suprotnog
događaji - novčić će ispasti svih 5 puta sa grbom:
P5 (0).
Tada će željena vjerovatnoća biti: P=1-P5(0).
Prema Bernoullijevoj formuli:
0
5
1 1
P5(0)C
2 2
0
5
5
1
0,03125
2 Tada će vjerovatnoća željenog događaja biti
P1 0,03125 0,96875
Bernoulli
student ide
u bioskopu, ako novčić ispadne repovi - ide student
predavanje. Novčić je bacilo 5 učenika. Šta je najviše
verovatan broj studenata koji ide na predavanje?
Vjerovatnoća
dobitak za 1 tiket je 0,2. Šta je najviše
verovatan broj dobitnih listića? Najvjerovatniji broj uspjeha u šemi
Bernoulli
np q k np p Najvjerovatniji broj uspjeha u šemi
Bernoulli
Formula za najvjerovatniji broj uspjeha
np q k np p
Ako je np-q cijeli broj, tada ovaj interval sadrži 2
cijeli brojevi. Obje su podjednako nevjerovatne.
Ako je np-q broj koji nije cijeli, tada ovaj interval sadrži 1
cijeli broj Najvjerovatniji broj uspjeha u šemi
Bernoulli
Primjer Poznato je da ako novčić sleti na glavu,
- Student ide na predavanje. Bačen novčić 5
studenti idu na predavanje?
np q k np p
n 5
1
p q
2Najvjerovatniji broj uspjeha u šemi
Bernoulli
Primjer Poznato je da ako novčić sleti na glavu,
student ide u bioskop ako novčić padne na rep
- Student ide na predavanje. Bačen novčić 5
studenti. Koji je najvjerovatniji broj
studenti idu na predavanje?
np q k np p
n 5
1
p q
2
1 1
np q 5 2
2 2
1 1
np p 5 3
2 2Najvjerovatniji broj uspjeha u šemi
Bernoulli
Primjer Poznato je da ako novčić sleti na glavu,
student ide u bioskop ako novčić padne na rep
- Student ide na predavanje. Bačen novčić 5
studenti. Koji je najvjerovatniji broj
studenti idu na predavanje?
np q k np p
n 5
1
p q
2
1 1
np q 5 2
2 2
1 1
np p 5 3
2 2
2 k 3 k 2, k 3 Najvjerovatniji broj uspjeha u šemi
Bernoulli
Primjer Poznato je da ako novčić sleti na glavu,
student ide u bioskop ako novčić padne na rep
- Student ide na predavanje. Bačen novčić 5
studenti. Koji je najvjerovatniji broj
studenti idu na predavanje?
2
3
3
2
5
1 1
1 10 5
P5 (2) C52 10
32 16
2 2
2
5
1 1
1 10 5
P5 (3) C53 10
32 16
2 2
2 Najvjerovatniji broj uspjeha u šemi
Bernoulli
Primjer Poznato je da ako novčić sleti na glavu,
student ide u bioskop ako novčić padne na rep
- Student ide na predavanje. Bačen novčić 5
studenti. Koji je najvjerovatniji broj
studenti idu na predavanje?
vjerovatnoća, Pn(k)
Vjerojatnosti broja studenata koji su pohađali
predavanje
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
broj učenika, k
4
5Najvjerovatniji broj uspjeha u šemi
Bernoulli
Primer: Kupljeno je 10 srećki.
karte?
np q k np p
n 10
p 0,2 q 0,8 Najvjerovatniji broj uspjeha u šemi
Bernoulli
Primer: Kupljeno je 10 srećki.
Vjerovatnoća dobitka na 1 listiću je 0,2.
Koji je najvjerovatniji broj pobjednika
karte?
np q k np p
n 10
p 0,2 q 0,8
np q 10 0,2 0,8 1.2
np p 10 0,2 0,2 2.2 Najvjerovatniji broj uspjeha u šemi
Bernoulli
Primer: Kupljeno je 10 srećki.
Vjerovatnoća dobitka na 1 listiću je 0,2.
Koji je najvjerovatniji broj pobjednika
karte?
np q k np p
n 10
p 0,2 q 0,8
np q 10 0,2 0,8 1.2
1, 2 do 2, 2
np p 10 0,2 0,2 2.2
k2 Najvjerovatniji broj uspjeha u šemi
Bernoulli
Primer: Kupljeno je 10 srećki.
Vjerovatnoća dobitka na 1 listiću je 0,2.
Koji je najvjerovatniji broj pobjednika
karte?
P10 (2) C 0,2 0,8
2
10
2
8
45 0, 04 0,16777216=
=0,301989888Najvjerovatniji broj uspjeha u šemi
Bernoulli
Primer: Kupljeno je 10 srećki.
Vjerovatnoća dobitka na 1 listiću je 0,2.
Koji je najvjerovatniji broj pobjednika
karte?
Vjerojatnosti broja dobitnih listića
vjerovatnoća, Pn(k)
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
4
5
6
broj karata, k
7
8
9
10Najvjerovatniji broj uspjeha u šemi
Bernoulli
Potpisano 10 ugovora
platiti osiguranu sumu
jedan od ugovora
od tri ugovora
d) pronaći najvjerovatniji broj ugovora, prema
ko će morati da plati osiguranu sumu Najvjerovatniji broj uspjeha u šemi
Bernoulli
Primjer U prosjeku, za 20% ugovora o osiguranju
kompanija plaća osiguranu sumu.
Potpisano 10 ugovora
a) Nađite vjerovatnoću da tri
platiti osiguranu sumu
0,201327Najvjerovatniji broj uspjeha u šemi
Bernoulli
Primjer U prosjeku, za 20% ugovora o osiguranju
kompanija plaća osiguranu sumu.
Potpisano 10 ugovora
b) Osigurana suma se neće morati isplatiti ni po čemu
jedan od ugovora
0,107374Najvjerovatniji broj uspjeha u šemi
Bernoulli
Primjer U prosjeku, za 20% ugovora o osiguranju
kompanija plaća osiguranu sumu.
Potpisano 10 ugovora
c) osigurani iznos će se morati platiti najviše,
od tri ugovora
0,753297Ako je n veliko, onda koristite formulu
Pn (m) C p q
m
n
m
n m
teško
Stoga se koriste približne formule Teorema: Ako je vjerovatnoća p pojave događaja A
u svakom testu je blizu nule,
a broj nezavisnih pokušaja n je dovoljno velik,
onda je vjerovatnoća Pn(m) da u n nezavisnih pokušaja
događaj A će se dogoditi m puta, približno jednako:
Pn(m)
m
m!
e
gdje je λ=np
Ova formula se zove Poissonova formula (zakon retkih događaja) Pn(m)
m
m!
e, np
Obično se koristi približna Poissonova formula,
kada str<0,1, а npq<10.
Primjer Neka se zna da u proizvodnji određenog lijeka
brak (broj paketa koji ne zadovoljavaju standard)
iznosi 0,2%. Procijenite vjerovatnoću da
nakon 1000 nasumično odabranih paketa, bit će tri paketa,
ne ispunjava standard.
Pn(k)
k
k!
P1000(3) ?
e ,
np Primjer Neka se zna da u proizvodnji određenog lijeka
brak (broj paketa koji ne zadovoljavaju standard)
iznosi 0,2%. Procijenite vjerovatnoću da
nakon 1000 nasumično odabranih paketa, bit će tri paketa,
ne ispunjava standard.
Pn(k)
k
k!
P1000(3) ?
e, np
np 1000 0,002 2
3
2 2 8
P1000 (3) e 0,135=0,18
3!
6
nije povezano više od 5 ugovora. Primjer U prosjeku, za 1% ugovora osiguravajuće društvo
isplaćuje osiguranu sumu. Pronađite vjerovatnoću da od
100 ugovora sa nastankom osiguranog slučaja biće
nije povezano više od 5 ugovora.
