قانون المتوسطات أو ما هو سر البائعين الناجحين. متوسط القيم قانون قوي من الأعداد الكبيرة
تشير الكلمات المتعلقة بالأرقام الكبيرة إلى عدد الاختبارات - يتم أخذ عدد كبير من قيم المتغير العشوائي أو الإجراء التراكمي لعدد كبير من المتغيرات العشوائية في الاعتبار. جوهر هذا القانون هو كما يلي: على الرغم من أنه من المستحيل التنبؤ بالقيمة التي سيأخذها متغير عشوائي واحد في تجربة واحدة ، إلا أن النتيجة الإجمالية لعمل عدد كبير من المتغيرات العشوائية المستقلة تفقد طابعها العشوائي ويمكن يمكن توقعها بشكل موثوق تقريبًا (أي مع احتمال كبير). على سبيل المثال ، من المستحيل التنبؤ بالجانب الذي ستقع عليه العملة. ومع ذلك ، إذا رميت طنين من العملات المعدنية ، فبالتأكيد يمكن القول إن وزن العملات المعدنية التي سقطت مع شعار النبالة يصل إلى 1 طن.
بادئ ذي بدء ، يشير ما يسمى بعدم المساواة Chebyshev إلى قانون الأعداد الكبيرة ، والذي يقدر في اختبار منفصل احتمال متغير عشوائي يقبل قيمة تنحرف عن متوسط القيمة بما لا يزيد عن قيمة معينة.
عدم المساواة في Chebyshev. يترك Xهو متغير عشوائي عشوائي ، أ = م (X) ، أ د(X) هو تشتتها. ثم
مثال. القيمة الاسمية (أي المطلوبة) لقطر الغلاف المشكل على الماكينة هي 5 ملم، ولم يعد الاختلاف 0.01 (هذا هو التسامح دقة الجهاز). تقدير احتمال أن يكون انحراف قطرها عن الاسمي أقل من 0.5 مم .
المحلول. دع rv. X- قطر البطانة المصنعة. حسب الحالة ، فإن توقعها الرياضي يساوي القطر الاسمي (إذا لم يكن هناك فشل منهجي في إعداد الجهاز): أ = م (X)=5 ، والتباين د(X) ≤0.01. تطبيق عدم المساواة Chebyshev ل ε = 0.5، نحن نحصل:
وبالتالي ، فإن احتمال حدوث مثل هذا الانحراف مرتفع للغاية ، وبالتالي يمكننا أن نستنتج أنه في حالة إنتاج واحد للجزء ، فمن شبه المؤكد أن انحراف القطر عن القيمة الاسمية لن يتجاوز 0.5 مم .
في الأساس ، الانحراف المعياري σ يميز معدلانحراف متغير عشوائي عن مركزه (أي عن توقعه الرياضي). لأنه معدلالانحراف ، فإن الانحرافات الكبيرة (التركيز على س) ممكنة أثناء الاختبار. ما هو حجم الانحرافات الممكنة عمليا؟ عند دراسة المتغيرات العشوائية الموزعة بشكل طبيعي ، استنتجنا قاعدة "الثلاث سيجما": متغير عشوائي موزع بشكل طبيعي X في اختبار واحدعمليا لا ينحرف عن متوسطها أكثر من 3σ، أين σ = σ (X)هو الانحراف المعياري لـ r.v. X. استنتجنا هذه القاعدة من حقيقة أننا حصلنا على المتباينة
.
دعونا الآن نقدر الاحتمال ل افتراضىمتغير عشوائي Xقبول قيمة تختلف عن المتوسط بما لا يزيد عن ثلاثة أضعاف الانحراف المعياري. تطبيق عدم المساواة Chebyshev ل ε = 3σونظرا لذلك د(X) = 2 ، نحن نحصل:
.
في هذا الطريق، على العموميمكننا تقدير احتمال انحراف متغير عشوائي عن وسطه بما لا يزيد عن ثلاثة انحرافات معيارية عن طريق الرقم 0.89 ، بينما بالنسبة للتوزيع الطبيعي ، يمكن ضمانه باحتمالية 0.997 .
يمكن تعميم عدم المساواة في Chebyshev على نظام من المتغيرات العشوائية المستقلة الموزعة بشكل متماثل.
تعميم عدم مساواة تشيبيشيف. إذا كانت المتغيرات عشوائية مستقلة X 1 ، X 2 ، ... ، X ن م(X أنا )= أوالتشتت د(X أنا )= د، ومن بعد
في ن=1 هذا التفاوت يذهب إلى عدم المساواة Chebyshev التي تمت صياغتها أعلاه.
يتم استخدام عدم المساواة Chebyshev ، التي لها أهمية مستقلة لحل المشكلات المقابلة ، لإثبات ما يسمى نظرية Chebyshev. نصف أولاً جوهر هذه النظرية ثم نعطي صيغتها الرسمية.
يترك X 1
، X 2
، ... ، X ن- عدد كبير من المتغيرات العشوائية المستقلة ذات التوقعات الرياضية م (X 1
) = أ 1
، ... ، م (X ن ) = أ ن. على الرغم من أن كل واحد منهم ، نتيجة للتجربة ، يمكن أن يأخذ قيمة بعيدة عن المتوسط (أي التوقع الرياضي) ، إلا أنه متغير عشوائي 
، تساوي الوسط الحسابي ، مع وجود احتمال كبير ستأخذ قيمة قريبة من رقم ثابت 
(هذا هو متوسط جميع التوقعات الرياضية). هذا يعني ما يلي. اسمحوا ، نتيجة للاختبار ، المتغيرات العشوائية المستقلة X 1
، X 2
، ... ، X ن(هناك الكثير منهم!) أخذوا القيم وفقًا لذلك X 1
، X 2
، ... ، X نعلى التوالى. ثم إذا كانت هذه القيم نفسها قد تكون بعيدة عن متوسط قيم المتغيرات العشوائية المقابلة ، متوسط قيمتها 
من المحتمل أن تكون قريبة من 
. وبالتالي ، فإن المتوسط الحسابي لعدد كبير من المتغيرات العشوائية يفقد بالفعل طابعه العشوائي ويمكن التنبؤ به بدقة كبيرة. يمكن تفسير ذلك من خلال حقيقة أن الانحرافات العشوائية للقيم X أنامن أ أنايمكن أن تكون ذات علامات مختلفة ، وبالتالي يتم تعويض هذه الانحرافات بشكل إجمالي باحتمالية عالية.
تيريما تشيبيشيفا (قانون الأعداد الكبيرةفي شكل Chebyshev). يترك X 1 ، X 2 ، ... ، X ن … عبارة عن سلسلة من المتغيرات العشوائية المستقلة الزوجية والتي تقتصر تبايناتها على نفس الرقم. ثم ، مهما كان عدد الذي نأخذه صغيرًا ، فإن احتمالية عدم المساواة
سيكون بشكل تعسفي قريبًا من الوحدة إذا كان الرقم نالمتغيرات العشوائية لتأخذ كبيرة بما يكفي. رسميًا ، هذا يعني أنه في ظل ظروف النظرية
يسمى هذا النوع من التقارب التقارب في الاحتمال ويشار إليه بـ:
وهكذا ، تقول نظرية تشيبيشيف أنه إذا كان هناك عدد كبير بما فيه الكفاية من المتغيرات العشوائية المستقلة ، فمن المؤكد تقريبًا أن متوسطها الحسابي في اختبار واحد سيأخذ قيمة قريبة من متوسط توقعاتهم الرياضية.
في أغلب الأحيان ، يتم تطبيق نظرية Chebyshev في حالة وجود متغيرات عشوائية X 1 ، X 2 ، ... ، X ن … لها نفس التوزيع (أي نفس قانون التوزيع أو نفس كثافة الاحتمال). في الواقع ، هذا مجرد عدد كبير من مثيلات نفس المتغير العشوائي.
عاقبة(من عدم مساواة تشيبيشيف المعممة). إذا كانت المتغيرات عشوائية مستقلة X 1 ، X 2 ، ... ، X ن … لها نفس التوزيع مع التوقعات الرياضية م(X أنا )= أوالتشتت د(X أنا )= د، ومن بعد
، بمعنى آخر. 
.
يأتي الدليل من عدم مساواة Chebyshev المعممة بالانتقال إلى الحد كـ ن→∞ .
نلاحظ مرة أخرى أن المساواة المكتوبة أعلاه لا تضمن أن قيمة الكمية 
يميل إلى أفي ن→ ∞. لا تزال هذه القيمة متغيرًا عشوائيًا ، ويمكن أن تكون قيمها الفردية بعيدة جدًا عن ذلك أ. لكن احتمال مثل هذا (بعيد عن أ) القيم المتزايدة نيميل إلى 0.
تعليق. من الواضح أن استنتاج النتيجة الطبيعية صالح أيضًا في الحالة الأكثر عمومية عندما تكون المتغيرات العشوائية المستقلة X 1 ، X 2 ، ... ، X ن … لها توزيع مختلف ، ولكن نفس التوقعات الرياضية (متساوية أ) والفروق محدودة في المجموع. هذا يجعل من الممكن التنبؤ بدقة قياس كمية معينة ، حتى لو تم إجراء هذه القياسات بواسطة أدوات مختلفة.
دعونا نفكر بمزيد من التفصيل في تطبيق هذه النتيجة الطبيعية لقياس الكميات. دعنا نستخدم بعض الأجهزة نقياسات من نفس الكمية ، القيمة الحقيقية لها أولا نعلم. نتائج هذه القياسات X 1
، X 2
، ... ، X نقد تختلف اختلافًا كبيرًا عن بعضها البعض (وعن القيمة الحقيقية أ) بسبب عوامل عشوائية مختلفة (انخفاض الضغط ، ودرجات الحرارة ، والاهتزاز العشوائي ، وما إلى ذلك). النظر في r.v. X- أداة قراءة لقياس واحد للكمية ، بالإضافة إلى مجموعة من r.v. X 1
، X 2
، ... ، X ن- قراءة الجهاز في القياس الأول ، الثاني ، ... ، الأخير. وهكذا كل من الكميات X 1
، X 2
، ... ، X ن
هناك حالة واحدة فقط من حالات ملف r.v. X، وبالتالي لديهم جميعًا نفس التوزيع مثل r.v. X. نظرًا لأن نتائج القياس مستقلة عن بعضها البعض ، فإن r.v. X 1
، X 2
، ... ، X نيمكن اعتباره مستقلاً. إذا كان الجهاز لا يعطي خطأ منهجيًا (على سبيل المثال ، لم يتم "إسقاط" الصفر على الميزان ، أو عدم تمدد الزنبرك ، وما إلى ذلك) ، فيمكننا أن نفترض أن التوقع الرياضي م (س) = أ، وبالتالي م (X 1
) = ... = م (س ن ) = أ. وبالتالي ، يتم استيفاء شروط النتيجة الطبيعية المذكورة أعلاه ، وبالتالي ، كقيمة تقريبية للكمية أيمكننا أن نأخذ "تنفيذ" متغير عشوائي 
في تجربتنا (تتكون من سلسلة من نالقياسات) ، أي
.
مع وجود عدد كبير من القياسات ، فإن الدقة الجيدة للحساب باستخدام هذه الصيغة موثوقة عمليًا. هذا هو الأساس المنطقي للمبدأ العملي القائل بأنه مع وجود عدد كبير من القياسات ، فإن متوسطها الحسابي عمليًا لا يختلف كثيرًا عن القيمة الحقيقية للكمية المقاسة.
تعتمد الطريقة "الانتقائية" ، المستخدمة على نطاق واسع في الإحصاء الرياضي ، على قانون الأعداد الكبيرة ، والذي يسمح بالحصول على خصائصها الموضوعية بدقة مقبولة من عينة صغيرة نسبيًا من قيم متغير عشوائي. ولكن سيتم مناقشة هذا في القسم التالي.
مثال. على جهاز قياس لا يقوم بعمل تشوهات منهجية ، يتم قياس كمية معينة أمرة واحدة (القيمة المستلمة X 1
) ، ثم 99 مرة أخرى (تم الحصول على القيم X 2
، ... ، X 100
). للقيمة الحقيقية للقياس أخذ أولاً نتيجة القياس الأول 
، ثم المتوسط الحسابي لجميع القياسات 
. دقة قياس الجهاز بحيث لا يزيد الانحراف المعياري للقياس عن 1 (لأن التشتت د=σ
2
أيضا لا يتجاوز 1). لكل طريقة من طرق القياس ، قم بتقدير احتمال ألا يتجاوز خطأ القياس 2.
المحلول. دع rv. X- أداة قراءة لقياس واحد. ثم حسب الشرط م (س) = أ. للإجابة على الأسئلة المطروحة ، نطبق عدم المساواة Chebyshev المعمم
لـ ε =2
أولا ن=1
وبعد ذلك ن=100
. في الحالة الأولى ، نحصل على 
، وفي الثانية. وبالتالي ، فإن الحالة الثانية تضمن عمليا دقة القياس المحددة ، بينما تترك الحالة الأولى شكوكًا جدية بهذا المعنى.
دعونا نطبق العبارات أعلاه على المتغيرات العشوائية التي تنشأ في مخطط برنولي. دعونا نتذكر جوهر هذا المخطط. دعها تنتج ن اختبارات مستقلة ، في كل منها حدث ما لكنيمكن أن تظهر بنفس الاحتمال ص، أ ف= 1 – r(بالمعنى ، هذا هو احتمال وقوع حدث معاكس - وليس وقوع حدث لكن) . دعونا ننفق بعض الأرقام نمثل هذه الاختبارات. ضع في اعتبارك المتغيرات العشوائية: X 1 - عدد تكرارات الحدث لكنفي 1 الاختبار ، ... ، X ن- عدد تكرارات الحدث لكنفي نالاختبار ال. قدم كل r.v. يمكن أن تأخذ القيم 0 أو 1 (حدث لكنقد تظهر في الاختبار أم لا) ، والقيمة 1 مقبولة بشكل مشروط في كل تجربة مع وجود احتمال ص(احتمال وقوع حدث لكنفي كل اختبار) ، والقيمة 0 مع الاحتمال ف= 1 – ص. لذلك ، هذه الكميات لها نفس قوانين التوزيع:
|
X 1 | ||
|
X ن | ||
لذلك ، فإن متوسط قيم هذه الكميات وتشتتها هو نفسه أيضًا: م (X 1 )=0 ∙ ف+1 ∙ ع = ص ، ... ، م (س ن ) = ص ; د(X 1 )=(0 2 ∙ ف+1 2 ∙ ص)− ص 2 = ص∙(1− ص)= ص ∙ ف ، ... ، د(X ن )= ص ∙ ف. استبدال هذه القيم في عدم المساواة Chebyshev المعممة ، نحصل عليها
.
من الواضح أن r.v. X=X 1 +… + Х نهو عدد تكرارات الحدث لكنفي الكل نالمحاكمات (كما يقولون - "عدد النجاحات" في نالاختبارات). السماح بالدخول نحدث الاختبار لكنظهرت في ك منهم. ثم يمكن كتابة المتباينة السابقة كـ
.
لكن الضخامة 
، يساوي نسبة عدد تكرارات الحدث لكنفي نمحاكمات مستقلة ، إلى العدد الإجمالي للمحاكمات ، والتي كانت تسمى سابقًا معدل الحدث النسبي لكنفي نالاختبارات. لذلك ، هناك عدم مساواة
.
يمر الآن إلى الحد الأقصى عند ن→ ∞ ، نحصل عليه 
، بمعنى آخر. 
(حسب الاحتمال). هذا هو مضمون قانون الأعداد الكبيرة في شكل برنولي. ويترتب على ذلك أنه لعدد كبير بما فيه الكفاية من التجارب نانحرافات صغيرة بشكل تعسفي للتردد النسبي 
الأحداث من احتمالها صهي أحداث شبه مؤكدة ، والانحرافات الكبيرة تكاد تكون مستحيلة. النتيجة الناتجة عن هذا الاستقرار للترددات النسبية (التي أشرنا إليها سابقًا باسم تجريبيحقيقة) يبرر التعريف الإحصائي المقدم سابقًا لاحتمال حدث كرقم يتقلب حوله التكرار النسبي لحدث ما.
معتبرة أن التعبير ص∙
ف=
ص∙(1−
ص)=
ص−
ص 2
لا يتجاوز في الفاصل الزمني للتغيير 
(من السهل التحقق من ذلك بإيجاد الحد الأدنى لهذه الدالة في هذا المقطع) ، من المتباينة أعلاه 
من السهل الحصول على ذلك
,
والتي تستخدم في حل المشكلات المقابلة (سيتم ذكر أحدها أدناه).
مثال. تم قلب العملة 1000 مرة. قدر احتمال أن يكون الانحراف النسبي لظهور شعار النبالة عن احتماله أقل من 0.1.
المحلول. تطبيق عدم المساواة 
في ص=
ف=1/2
,
ن=1000
,
ε = 0.1، نحن نحصل .
مثال. تقدير الاحتمال ، في ظل ظروف المثال السابق ، الرقم كمن معاطف الأسلحة التي تم إسقاطها ستكون في نطاق 400 قبل 600 .
المحلول. حالة 400<
ك<600
يعني أن 400/1000<
ك/
ن<600/1000
، بمعنى آخر. 0.4<
دبليو ن (أ)<0.6
أو 
. كما رأينا للتو من المثال السابق ، فإن احتمال حدوث مثل هذا الحدث على الأقل 0.975
.
مثال. لحساب احتمال وقوع حدث ما لكنتم إجراء 1000 تجربة ، حيث تم إجراء الحدث لكنظهر 300 مرة. قدر احتمال اختلاف التردد النسبي (300/1000 = 0.3) عن الاحتمال الحقيقي صلا يزيد عن 0.1.
المحلول. تطبيق عدم المساواة أعلاه 
من أجل n = 1000 ، ε = 0.1 ، نحصل على.
المحاضرة 8. قسم 1. نظرية الاحتمالات
القضايا قيد النظر
1) قانون الأعداد الكبيرة.
2) نظرية الحد المركزي.
قانون الأعداد الكبيرة.
يُفهم قانون الأعداد الكبيرة بالمعنى الواسع على أنه المبدأ العام الذي بموجبه ، مع وجود عدد كبير من المتغيرات العشوائية ، يتوقف متوسط نتيجتها عن أن تكون عشوائية ويمكن التنبؤ بها بدرجة عالية من اليقين.
يُفهم قانون الأعداد الكبيرة بالمعنى الضيق على أنه عدد من النظريات الرياضية ، وفي كل منها ، في ظل ظروف معينة ، يتم إنشاء إمكانية تقريب الخصائص المتوسطة لعدد كبير من الاختبارات.
لبعض الثوابت المحددة. لإثبات نظريات من هذا النوع ، يتم استخدام عدم المساواة لماركوف وتشيبيشيف ، والتي هي أيضًا ذات فائدة مستقلة.
النظرية 1 (عدم مساواة ماركوف). إذا كان المتغير العشوائي يأخذ قيمًا غير سالبة وله توقع رياضي ، فإن المتباينة لأي رقم موجب
دليل - إثباتسنقوم بتنفيذ متغير عشوائي منفصل. سنفترض أنه يأخذ قيمًا تكون القيم الأولى منها أقل من أو متساوية وجميع القيم الأخرى أكبر بعد ذلك
أين
مثال 1متوسط عدد المكالمات التي تصل إلى مفتاح المصنع خلال ساعة هو 300. قدر الاحتمال أنه في الساعة التالية عدد المكالمات إلى المحول:
1) سوف يتجاوز 400 ؛
2) لن يزيد عن 500.
المحلول. 1) اجعل المتغير العشوائي هو عدد المكالمات التي تصل إلى المحول خلال ساعة. القيمة المتوسطة. لذا علينا إيجاد القيمة. وفقا لماركوف عدم المساواة
2) وبالتالي ، فإن احتمال ألا يزيد عدد المكالمات عن 500 هو 0.4 على الأقل.
مثال 2مجموع جميع الودائع في فرع البنك هو 2 مليون روبل ، واحتمال ألا يتجاوز الإيداع العشوائي 10 آلاف روبل هو 0.6. ماذا يمكن ان يقال عن عدد المشتركين؟
المحلول.دع القيمة المأخوذة عشوائيًا هي حجم المساهمة المأخوذة عشوائيًا ، وعدد جميع المساهمات. ثم (بالآلاف). وفقا لعدم المساواة ماركوف ، من أين
مثال 3فليكن وقت تأخر الطالب عن المحاضرة ، ومن المعروف أنه يتأخر في المتوسط لمدة دقيقة واحدة. قدر احتمال تأخر الطالب 5 دقائق على الأقل.
المحلول.من خلال افتراض تطبيق عدم المساواة ماركوف ، نحصل على ذلك 
وبالتالي ، من بين كل 5 طلاب ، لن يتأخر أكثر من طالب واحد لمدة 5 دقائق على الأقل.
النظرية 2 (عدم مساواة تشيبيشيف). 
.
دليل - إثبات.دع المتغير العشوائي X يعطى من خلال سلسلة من التوزيعات
وفقًا لتعريف التشتت ، دعونا نستبعد من هذا المجموع تلك المصطلحات التي من أجلها 
. في نفس الوقت منذ ذلك الحين جميع المصطلحات غير سالبة ، يمكن أن ينقص المجموع فقط. من أجل التحديد ، سنفترض أن الأول كمصلحات. ثم
بالتالي، 
.
تجعل عدم المساواة في Chebyshev من الممكن تقدير احتمالية متغير عشوائي ينحرف عن توقعه الرياضي بناءً على معلومات فقط حول تباينه. يستخدم على نطاق واسع ، على سبيل المثال ، في نظرية التقدير.
مثال 4تم رمي عملة معدنية 10000 مرة. قدر احتمال اختلاف تواتر شعار النبالة عن 0.01 أو أكثر.
المحلول.دعنا نقدم المتغيرات العشوائية المستقلة ، حيث يوجد متغير عشوائي مع سلسلة التوزيع
ثم 
حيث يتم توزيعها وفقًا لقانون ذي الحدين مع 
تواتر ظهور شعار النبالة هو متغير عشوائي حيث 
. لذلك ، فإن تشتت وتيرة ظهور شعار النبالة هو حسب عدم مساواة Chebyshev ، 
.
وبالتالي ، في المتوسط ، في ما لا يزيد عن ربع الحالات عند 10000 رمية للعملة المعدنية ، سيختلف تواتر شعار النبالة عن مائة أو أكثر.
نظرية 3 (Chebyshev).إذا كانت المتغيرات العشوائية المستقلة التي يتم تقييد تبايناتها بشكل موحد () ، إذن
دليل - إثبات.لان
ثم نطبق عدم المساواة Chebyshev ، نحصل عليه
نظرًا لأن احتمال وقوع حدث لا يمكن أن يكون أكبر من 1 ، فإننا نحصل على ما نريد.
النتيجة 1.إذا كانت متغيرات عشوائية مستقلة ذات تباينات محدودة بشكل موحد ونفس التوقع الرياضي يساوي أ، ومن بعد
تقترح المساواة (1) أن الانحرافات العشوائية للمتغيرات الفردية العشوائية المستقلة عن قيمتها المتوسطة المشتركة ، عندما تكون كبيرة في كتلتها ، تلغي بعضها البعض. لذلك ، على الرغم من أن الكميات نفسها عشوائية ، فإن متوسطها 
بشكل عام ، لم يعد من الناحية العملية عشوائيًا وقريبًا. هذا يعني أنه إذا لم يكن معروفًا مسبقًا ، فيمكن حسابه باستخدام المتوسط الحسابي. تسمى خاصية تسلسل المتغيرات العشوائية المستقلة قانون الاستقرار الإحصائي.يؤيد قانون الاستقرار الإحصائي إمكانية تطبيق تحليل الإحصائيات في اتخاذ قرارات إدارية محددة.
نظرية 4 (برنولي).إذا كان في كل من صفي التجارب المستقلة ، فإن احتمال حدوث الحدث A ثابت ، إذن
,
أين هو عدد تكرارات الحدث أ لهذه صالاختبارات.
دليل - إثبات.نقدم متغيرات عشوائية مستقلة ، حيث Х أناهو متغير عشوائي له سلسلة توزيع
ثم م (X أنا) = ص ، د (X أنا) = pq. منذ ذلك الحين ، D (X أنا) محدودة في المجمل. ويترتب على نظرية تشيبيشيف أن
.
لكن X 1 + X 2 + ... + X صهو عدد تكرارات الحدث "أ" في سلسلة من صالاختبارات.
معنى نظرية برنولي هو أنه مع زيادة غير محدودة في عدد التجارب المستقلة المتطابقة ، مع اليقين العملي ، يمكن القول بأن تكرار حدوث حدث ما سيختلف بشكل تعسفي قليلاً عن احتمال حدوثه في تجربة منفصلة ( الاستقرار الإحصائي لاحتمال الحدث).لذلك ، تعمل نظرية برنولي كجسر من نظرية التطبيقات إلى تطبيقاتها.
ما سر البائعين الناجحين؟ إذا شاهدت أفضل مندوبي المبيعات في أي شركة ، فستلاحظ أن لديهم شيئًا واحدًا مشتركًا. يلتقي كل منهم بعدد أكبر من الأشخاص ويقدم عروضًا تقديمية أكثر من مندوبي المبيعات الأقل نجاحًا. يفهم هؤلاء الأشخاص أن المبيعات هي لعبة أرقام ، وكلما زاد عدد الأشخاص الذين يخبرونهم عن منتجاتهم أو خدماتهم ، زاد عدد الصفقات التي يبرمونها ، هذا كل شيء. إنهم يفهمون أنهم إذا تواصلوا ليس فقط مع أولئك القلة الذين سيقولون لهم بالتأكيد نعم ، ولكن أيضًا مع أولئك الذين لا يكون اهتمامهم باقتراحهم كبيرًا ، فعندئذٍ سيعمل قانون المتوسطات لصالحهم.
ستعتمد أرباحك على عدد المبيعات ، ولكن في نفس الوقت ، ستكون متناسبة بشكل مباشر مع عدد العروض التقديمية التي تقدمها. بمجرد فهم قانون المتوسطات والبدء في تطبيقه ، سيبدأ القلق المرتبط ببدء عمل جديد أو العمل في مجال جديد في الانخفاض. ونتيجة لذلك ، سيبدأ الشعور بالسيطرة والثقة في قدرتهم على الكسب في النمو. إذا قمت فقط بتقديم عروض تقديمية وصقل مهاراتك في هذه العملية ، فستكون هناك صفقات.
بدلاً من التفكير في عدد الصفقات ، فكر في عدد العروض التقديمية. ليس من المنطقي الاستيقاظ في الصباح أو العودة إلى المنزل في المساء والبدء في التساؤل عمن سيشتري منتجك. بدلاً من ذلك ، من الأفضل التخطيط يوميًا لعدد المكالمات التي تحتاج إلى إجرائها. وبعد ذلك ، بغض النظر عن أي شيء - قم بإجراء كل تلك المكالمات! هذا النهج سيجعل عملك أسهل - لأنه هدف بسيط ومحدد. إذا كنت تعلم أن لديك هدفًا محددًا للغاية وقابل للتحقيق أمامك ، فسيكون من الأسهل عليك إجراء العدد المخطط للمكالمات. إذا سمعت "نعم" عدة مرات خلال هذه العملية ، فهذا أفضل كثيرًا!
وإذا كانت الإجابة "لا" ، فستشعر في المساء أنك فعلت كل ما بوسعك بصدق ، ولن تتأذى من الأفكار حول مقدار الأموال التي كسبتها ، أو عدد الشركاء الذين اكتسبتهم في يوم واحد.
دعنا نقول في شركتك أو عملك ، يقوم مندوب المبيعات العادي بإغلاق صفقة واحدة كل أربعة عروض تقديمية. تخيل الآن أنك ترسم بطاقات من مجموعة. كل بطاقة من ثلاث مجموعات - البستوني والماس والنوادي - هي عرض تقديمي حيث تقدم بشكل احترافي منتجًا أو خدمة أو فرصة. أنت تفعل ذلك بأفضل ما يمكنك ، لكنك ما زلت لا تغلق الصفقة. وكل بطاقة قلب هي صفقة تسمح لك بالحصول على المال أو الحصول على رفيق جديد.
في مثل هذه الحالة ، ألا ترغب في سحب أكبر عدد ممكن من البطاقات من المجموعة؟ لنفترض أنه عُرض عليك سحب أي عدد تريده من البطاقات ، بينما تدفع لك أو تقترح رفيقًا جديدًا في كل مرة تقوم فيها برسم بطاقة قلب. ستبدأ في رسم البطاقات بحماس ، وبالكاد تلاحظ ما يناسب البطاقة التي تم سحبها للتو.
أنت تعلم أن هناك ثلاثة عشر قلبًا في مجموعة من 52 ورقة. وفي مجموعتين - ستة وعشرون بطاقة قلب ، وما إلى ذلك. هل ستصاب بخيبة أمل بسبب رسم البستوني أو الماس أو الهراوات؟ بالطبع لا! ستعتقد فقط أن كل "ملكة جمال" تقربك - إلى ماذا؟ لبطاقة القلوب!
ولكن هل تعلم؟ لقد حصلت بالفعل على هذا العرض. أنت في وضع فريد لكسب ما تريد ورسم العديد من بطاقات القلب التي تريد رسمها في حياتك. وإذا قمت فقط "بسحب البطاقات" بضمير حي ، وحسنت مهاراتك وتحملت القليل من الأشياء بأسمائها الحقيقية والماس والنادي ، فستصبح بائعًا ممتازًا وتنجح.
أحد الأشياء التي تجعل البيع أكثر متعة هو أنه في كل مرة تقوم فيها بخلط الأوراق ، يتم خلط الأوراق بشكل مختلف. في بعض الأحيان تنتهي كل القلوب في بداية المجموعة ، وبعد سلسلة ناجحة (عندما يبدو لنا بالفعل أننا لن نخسر أبدًا!) نحن ننتظر صفًا طويلًا من البطاقات من مجموعة مختلفة. ومرة أخرى ، للوصول إلى القلب الأول ، عليك المرور بعدد لا حصر له من البستوني والنوادي والدفوف. وأحيانًا تسقط البطاقات ذات البدلات المختلفة بشكل صارم. ولكن على أي حال ، في كل مجموعة من 52 ورقة ، وبترتيب ما ، هناك دائمًا ثلاثة عشر قلبًا. فقط اسحب البطاقات حتى تجدها.
من: Leylya، & nbsp
قانون الأعداد الكبيرة
قانون الأعداد الكبيرةتنص نظرية الاحتمالات على أن المتوسط التجريبي (الوسط الحسابي) لعينة محدودة كبيرة بما فيه الكفاية من توزيع ثابت قريب من المتوسط النظري (توقع) لهذا التوزيع. اعتمادًا على نوع التقارب ، هناك قانون ضعيف للأعداد الكبيرة ، عندما يحدث تقارب في الاحتمالات ، وقانون قوي للأعداد الكبيرة ، عندما يحدث التقارب في كل مكان تقريبًا.
سيكون هناك دائمًا عدد من المحاكمات ، مع أي احتمال محدد مسبقًا ، سيختلف التكرار النسبي لحدوث حدث ما بشكل تعسفي قليلاً عن احتمالية حدوثه.
المعنى العام لقانون الأعداد الكبيرة هو أن العمل المشترك لعدد كبير من العوامل العشوائية يؤدي إلى نتيجة مستقلة تقريبًا عن الصدفة.
تعتمد طرق تقدير الاحتمالية بناءً على تحليل عينة محدودة على هذه الخاصية. وخير مثال على ذلك هو التنبؤ بنتائج الانتخابات بناءً على مسح لعينة من الناخبين.
قانون الأعداد الكبيرة ضعيف
يجب أن يكون هناك تسلسل لا نهائي (تعداد متتالي) لمتغيرات عشوائية موزعة وغير مرتبطة بشكل متماثل ، محددة في نفس مساحة الاحتمال. هذا هو تغايرهم. يترك . دعونا نشير إلى متوسط العينة للمصطلحات الأولى:
قانون قوي الأعداد الكبيرة
يجب أن يكون هناك تسلسل لا نهائي من المتغيرات العشوائية المستقلة الموزعة بشكل متماثل ، والمحددة في نفس مساحة الاحتمال. يترك . دعونا نشير إلى متوسط العينة للمصطلحات الأولى:
.ثم يكاد يكون مؤكدًا.
أنظر أيضا
المؤلفات
- شيرييف أ.الاحتمالية ، - م: العلوم. 1989.
- تشيستياكوف ف.دورة نظرية الاحتمالات - م ، 1982.
مؤسسة ويكيميديا. 2010.
- سينما روسيا
- جروميكا ، ميخائيل ستيبانوفيتش
شاهد ما هو "قانون الأعداد الكبيرة" في القواميس الأخرى:
قانون الأعداد العظيمة- (قانون الأعداد الكبيرة) في الحالة التي يكون فيها سلوك أفراد من السكان مميزًا للغاية ، يكون سلوك المجموعة في المتوسط أكثر قابلية للتنبؤ به من سلوك أي فرد من أفرادها. الاتجاه في أي المجموعات ... ... القاموس الاقتصادي
قانون الأعداد العظيمة- انظر قانون الأعداد الكبيرة. أنتينازي. موسوعة علم الاجتماع 2009 ... موسوعة علم الاجتماع
قانون الأعداد الكبيرة- المبدأ الذي بموجبه تتجلى الأنماط الكمية المتأصلة في الظواهر الاجتماعية الجماعية بشكل واضح من خلال عدد كبير من الملاحظات. الظواهر المنفردة هي أكثر عرضة لتأثيرات عشوائية و ... ... مسرد مصطلحات الأعمال
قانون الأعداد العظيمة- يدعي أنه مع وجود احتمال قريب من واحد ، فإن المتوسط الحسابي لعدد كبير من المتغيرات العشوائية من نفس الترتيب تقريبًا سيختلف قليلاً عن ثابت يساوي المتوسط الحسابي للتوقعات الرياضية لهذه المتغيرات. فرق… … الموسوعة الجيولوجية
قانون الأعداد الكبيرة- - [Ya.N. Luginsky، MS Fezi Zhilinskaya، Yu.S. Kabirov. القاموس الإنجليزي الروسي للهندسة الكهربائية وصناعة الطاقة ، موسكو ، 1999] موضوعات الهندسة الكهربائية ، المفاهيم الأساسية قانون EN قانون متوسط الأعداد الكبيرة ... دليل المترجم الفني
قانون الأعداد الكبيرة- didžiųjų skaičių dėsnis status as T sritis fizika atitikmenys: engl. قانون الأعداد الكبيرة vok. Gesetz der großen Zahlen، n rus. قانون الأعداد الكبيرة ، m pranc. Loi des grands nombres، f… Fizikos terminų žodynas
قانون الأعداد العظيمة- مبدأ عام ، يؤدي بسببه العمل المشترك للعوامل العشوائية ، في ظل ظروف عامة جدًا ، إلى نتيجة مستقلة تقريبًا عن الصدفة. تقارب تواتر حدوث حدث عشوائي مع احتمالية حدوث زيادة في العدد ... ... موسوعة علم الاجتماع الروسية
قانون الأعداد الكبيرة- القانون الذي ينص على أن الفعل التراكمي لعدد كبير من العوامل العشوائية يؤدي ، في ظل ظروف عامة جدًا ، إلى نتيجة مستقلة تقريبًا عن الصدفة ... علم الاجتماع: قاموس
قانون الأعداد العظيمة- قانون إحصائي يعبر عن علاقة المؤشرات الإحصائية (بارامترات) العينة وعامة السكان. تختلف القيم الفعلية للمؤشرات الإحصائية التي تم الحصول عليها من عينة معينة دائمًا عما يسمى. نظري ... ... علم الاجتماع: موسوعة
قانون الأعداد العظيمة- مبدأ أن تكرار الخسائر المالية من نوع معين يمكن التنبؤ به بدقة عالية عندما يكون هناك عدد كبير من الخسائر من أنواع مماثلة ... القاموس الموسوعي للاقتصاد والقانون
كتب
- مجموعة من الجداول. رياضيات. نظرية الاحتمالية والإحصاء الرياضي. 6 جداول + منهجية. تمت طباعة الطاولات على ورق مقوى بوليغرافي سميك بمقاس 680 × 980 مم. تتضمن المجموعة كتيبًا به توصيات منهجية للمعلمين. ألبوم تعليمي من 6 أوراق. عشوائي…
