Закон средних чисел или в чем секрет успешных продавцов. Средние величины Усиленный закон больших чисел
Слова о больших числах относятся к числу испытаний – рассматривается большое число значений случайной величины или совокупное действие большого числа случайных величин. Суть этого закона состоит в следующем: хотя невозможно предсказать, какое значение в единичном эксперименте примет отдельная случайная величина, однако, суммарный результат действия большого числа независимых случайных величин утрачивает случайный характер и может быть предсказан практически достоверно (т.е. с большой вероятностью). Например, невозможно предсказать, какой стороной упадет одна монета. Однако если подбросить 2 тонны монет, то с большой уверенностью можно утверждать, что вес монет, упавших гербом вверх, равен 1 тонне.
К закону больших чисел прежде всего относится так называемое неравенство Чебышева, которое оценивает в отдельном испытании вероятность принятия случайной величиной значения, уклоняющееся от среднего значения не более, чем на заданное значение.
Неравенство Чебышева . Пусть Х – произвольная случайная величина, а=М(Х ) , а D (X ) – ее дисперсия. Тогда
Пример . Номинальное (т.е. требуемое) значение диаметра вытачиваемой на станке втулки равно 5мм , а дисперсия не более 0.01 (таков допуск точности станка). Оценить вероятность того, что при изготовлении одной втулки отклонение ее диаметра от номинального окажется менее 0.5мм .
Решение. Пусть с.в. Х – диаметр изготовленной втулки. По условию ее математическое ожидание равно номинальному диаметру (если нет систематического сбоя в настройке станка) : а=М(Х )=5 , а дисперсия D (Х)≤0.01 . Применяя неравенство Чебышева при ε = 0.5 , получим:
Таким образом, вероятность такого отклонения достаточно велика, а потому можно сделать вывод о том, что при единичном изготовлении детали практически наверняка отклонение диаметра от номинального не превзойдет 0.5мм .
По своему смыслу среднее квадратическое отклонение σ характеризует среднее отклонение случайной величины от своего центра (т.е. от своего математического ожидания). Поскольку это среднее отклонение, то при испытании возможны и большие (ударение на о) отклонения. Насколько же большие отклонения практически возможны? При изучении нормально распределенных случайных величин мы вывели правило «трех сигм»: нормально распределенная случайная величина Х при единичном испытании практически не отклоняется от своего среднего далее, чем на 3σ , где σ= σ(Х) – среднее квадратическое отклонение с.в. Х . Такое правило мы вывели из того, что получили неравенство
.
Оценим теперь вероятность для произвольной случайной величины Х принять значение, отличающееся от среднего не более чем на утроенное среднее квадратическое отклонение. Применяя неравенство Чебышева при ε = 3σ и учитывая, что D (Х)= σ 2 , получаем:
.
Таким образом, в общем случае вероятность отклонения случайной величины от своего среднего не более чем на три средних квадратичных отклонения мы можем оценить числом 0.89 , в то время как для именно нормального распределения можно гарантировать это с вероятностью 0.997 .
Неравенство Чебышева может быть обобщено на систему независимых одинаково распределенных случайных величин.
Обобщенное неравенство Чебышева . Если независимые случайные величины Х 1 , Х 2 , … , Х n M (X i )= a и дисперсиями D (X i )= D , то
При n =1 это неравенство переходит в неравенство Чебышева, сформулированное выше.
Неравенство Чебышева, имея самостоятельное значение для решения соответствующих задач, применяется для доказательства так называемой теоремы Чебышева. Мы с начала расскажем о сути этой теоремы, а затем дадим ее формальную формулировку.
Пусть
Х
1
,
Х
2
,
… , Х
n
– большое число независимых случайных
величин с математическими ожиданиями
М(Х
1
)=а
1
,
… , М(Х
n
)=а
n
. Хотя каждая из них в результате
эксперимента может принять значение,
далекое от своего среднего (т.е.
математического ожидания), однако,
случайная величина
,
равная их среднему арифметическому, с
большой вероятностью примет значение,
близкое к фиксированному числу
(это среднее всех математических
ожиданий). Это означает следующее. Пусть
в результате испытания независимые
случайные величиныХ
1
,
Х
2
,
… , Х
n
(их много!) приняли значения соответственно
х
1
,
х
2
,
… , х
n
соответственно. Тогда если сами эти
значения могут оказаться далекими от
средних значений соответствующих
случайных величин, их среднее значение
с большой вероятностью окажется близким
к числу
.
Таким образом, среднее арифметическое
большого числа случайных величин уже
теряет случайный характер и может быть
предсказано с большой точностью. Это
можно объяснить тем, что случайные
отклонения значенийХ
i
от a
i
могут быть разных знаков, а потому в в
сумме эти отклонения с большой вероятностью
компенсируются.
Терема Чебышева (закон больших чисел в форме Чебышева). Пусть Х 1 , Х 2 , … , Х n … – последовательность попарно независимых случайных величин, дисперсии которых ограничены одним и тем же числом. Тогда, какое бы малое число ε мы ни взяли, вероятность неравенства
будет как угодно близка к единице, если число n случайных величин взять достаточно большим. Формально это означает, что в условиях теоремы
Такой вид сходимости называется сходимостью по вероятности и обозначается:
Таким образом, теорема Чебышева говорит о том, что если есть достаточно большое число независимых случайных величин, то их среднее арифметическое при единичным испытании практически достоверно примет значение, близкое к среднему их математических ожиданий.
Чаще всего теорема Чебышева применяется в ситуации, когда случайные величины Х 1 , Х 2 , … , Х n … имеют одинаковое распределение (т.е. один и тот же закон распределения или одну и ту же плотность вероятности). Фактически это просто большое число экземпляров одной и той же случайной величины.
Следствие (обобщенного неравенства Чебышева). Если независимые случайные величины Х 1 , Х 2 , … , Х n … имеют одинаковое распределение с математическими ожиданиями M (X i )= a и дисперсиями D (X i )= D , то
,
т.е.
.
Доказательство следует из обобщенного неравенства Чебышева переходом к пределу при n →∞ .
Отметим
еще раз, что выписанные выше равенства
не гарантируют, что значение величины
стремится
ка
при n
→∞.
Эта величина по-прежнему остается
случайной величиной, а ее отдельные
значения могут быть достаточно далекими
от а
.
Но вероятность таких (далеких от а
)
значений с ростом n
стремится к 0.
Замечание . Заключение следствия, очевидно, справедливо и в более общем случае, когда независимые случайные величины Х 1 , Х 2 , … , Х n … имеют различное распределение, но одинаковые математические ожидания (равные а ) и ограниченные в совокупности дисперсии. Это позволяет предсказывать точность измерения некоторой величины, даже если эти измерения выполнены разными приборами.
Рассмотрим
подробнее применение этого следствия
при измерении величин. Проведем некоторым
прибором n
измерений одной и той же величины,
истинное значение которой равно а
и нам неизвестно. Результаты таких
измерений х
1
,
х
2
,
… , х
n
могут значительно отличаться друг от
друга (и от истинного значения а
)
в силу различных случайных факторов
(перепады давления, температуры, случайная
вибрация и т.д.). Рассмотрим с.в. Х
– показание прибора при единичном
измерении величины, а также набор с.в.
Х
1
,
Х
2
,
… , Х
n
– показание прибора при первом, втором,
…, последнем измерении. Таким образом,
каждая из величин Х
1
,
Х
2
,
… , Х
n
есть
просто один из экземпляров с.в. Х
,
а потому все они имеют то же самое
распределение, что и с.в. Х
.
Поскольку результаты измерений не
зависят друг от друга, то с.в.
Х
1
,
Х
2
,
… , Х
n
можно считать независимыми. Если прибор
не дает систематической ошибки (например,
не «сбит» ноль на шкале, не растянута
пружина и т.п.), то можно считать, что
математическое ожидание М(Х)
= а
,
а потому и М(Х
1
)
= ... = М(Х
n
)
= а
.
Таким образом, выполняются условия
приведенного выше следствия, а потому
в качестве приближенного значения
величины а
можно взять «реализацию» случайной
величины
в нашем эксперименте (заключающемся в
проведении серии изn
измерений), т.е.
.
При большом числе измерений практически достоверна хорошая точность вычисления по этой формуле. Это является обоснованием того практического принципа, что при большом числе измерений их среднее арифметическое практически почти не отличается от истинного значения измеряемой величины.
На законе больших чисел основан широко применяемый в математической статистике «выборочный» метод, который позволяет по сравнительно небольшой выборке значений случайной величины получать ее объективные характеристики с приемлемой точностью. Но об этом будет рассказано в следующем разделе.
Пример
.
На измерительном приборе, не делающем
систематических искажений, измерена
некоторая величина а
один раз (получено значение х
1
),
а потом еще 99 раз (получены значения х
2
,
… , х
100
).
За истинное значение измерения а
сначала взят результат первого измерения
,
а затем среднее арифметическое всех
измерений
.
Точность измерения прибора такова, что
среднее квадратическое отклонение
измерения σ не более 1 (потому дисперсияD
=σ
2
тоже не превосходит 1). Для каждого из
способов измерения оценить вероятность,
что ошибка измерения не превзойдет 2.
Решение. Пусть с.в. Х – показание прибора при единичном измерении. Тогда по условию М(Х)=а . Для ответа на поставленные вопросы применим обобщенное неравенство Чебышева
при
ε=2
сначала для n
=1
,
а затем для n
=100
.
В первом случае получим
,
а во втором.
Таким образом, второй случай практически
гарантирует задаваемую точность
измерения, тогда как первый оставляет
в этом смысле большие сомнения.
Применим приведенные выше утверждения к случайным величинам, возникающим в схеме Бернулли. Напомним суть этой схемы. Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие А может появиться с одной и той же вероятностью р , а q =1–р (по смыслу это вероятность противоположного события – не появления события А ) . Проведем некоторое число n таких испытаний. Рассмотрим случайные величины: Х 1 – число появлений события А в 1 -ом испытании, …, Х n – число появлений события А в n -ом испытании. Все введенные с.в. могут принимать значения 0 или 1 (событие А в испытании может появиться или нет), причем значение 1 по условию принимается в каждом испытании с вероятностью p (вероятность появления события А в каждом испытании), а значение 0 с вероятностью q = 1 – p . Поэтому эти величины имеют одинаковые законы распределения:
|
Х 1 | ||
|
Х n | ||
Поэтому средние значения этих величин и их дисперсии тоже одинаковы: М(Х 1 )=0 ∙ q +1 ∙ р= р, …, М(Х n )= р ; D (X 1 )=(0 2 ∙ q +1 2 ∙ p )− p 2 = p ∙(1− p )= p ∙ q, … , D (X n )= p ∙ q . Подставляя эти значения в обобщенное неравенство Чебышева, получим
.
Ясно, что с.в. Х =Х 1 +…+Х n – это число появлений события А во всех n испытаниях (как говорят – «число успехов» в n испытаниях). Пусть в проведенных n испытаниях событие А появилось в k из них. Тогда предыдущее неравенство может быть записано в виде
.
Но
величина
,
равная отношению числа появлений событияА
в n
независимых испытаниях, к общему числу
испытаний, ранее была названа относительной
частотой события А
в n
испытаниях. Поэтому имеет место
неравенство
.
Переходя
теперь к пределу при n
→∞,
получим
,
т.е.
(по вероятности). Это составляет содержание
закона больших чисел в форме Бернулли.
Из него следует, что при достаточно
большом числе испытанийn
сколь угодно малые отклонения относительной
частоты
события от его вероятностир
− почти достоверные события, а большие
отклонения − почти невозможные.
Полученный вывод о такой устойчивости
относительных частот (о которой мы ранее
говорили как об экспериментальном
факте) оправдывает введенное ранее
статистическое определение вероятности
события как числа, около которого
колеблется относительная частота
события.
Учитывая,
что выражение p
∙
q
=
p
∙(1−
p
)=
p
−
p
2
не превосходит
на интервале изменения
(в этом легко убедиться, найдя минимум
этой функции на этом отрезке), из
приведенного выше неравенства
легко получить, что
,
которое применяется при решении соответствующих задач (одна из них будет приведена ниже).
Пример . Монету подбросили 1000 раз. Оценить вероятность того, что отклонение относительной частоты появления герба от его вероятности будет меньше 0.1.
Решение.
Применяя неравенство
приp
=
q
=1/2
,
n
=1000
,
ε=0.1
,
получим
.
Пример . Оценить вероятность того, что в условиях предыдущего примера число k выпавших гербов окажется в пределах от 400 до 600 .
Решение.
Условие 400<
k
<600
означает, что 400/1000<
k
/
n
<600/1000
,
т.е.
0.4<
W
n
(A
)<0.6
или
.
Как мы только что убедились из предыдущего
примера, вероятность такого события не
менее0.975
.
Пример . Для вычисления вероятности некоторого события А проведено 1000 экспериментов, в которых событие А появилось 300 раз. Оценить вероятность того, что относительная частота (равная 300/1000=0.3) отстоит от истиной вероятности р не далее, чем на 0.1 .
Решение.
Применяя выписанное выше неравенство
дляn=1000,
ε=0.1 , получим
.
Лекция 8. Раздел 1. Теория вероятностей
Рассматриваемые вопросы
1) Закон больших чисел.
2) Центральная предельная теорема.
Закон больших чисел.
Под законом больших чисел в широком смысле понимается общий принцип, согласно которому при большом числе случайных величин их средний результат перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.
Под законом больших чисел в узком смысле понимается ряд математических теорем, в каждой из которых при тех или иных условиях устанавливается возможность приближения средних характеристик большого числа испытаний
к некоторым определенным постоянным. При доказательстве теорем такого рода используются неравенства Маркова и Чебышева, представляющие также самостоятельный интерес.
Теорема 1(неравенство Маркова) . Если случайная величина принимает неотрицательные значения и имеет математическое ожидание, то для любого положительного числа справедливо неравенство
Доказательство проведем для дискретной случайной величины. Будем считать, что она принимает значений из которых первые меньше или равны а все остальные- больше Тогда
откуда
Пример 1. Среднее количество вызовов, поступающих на коммутатор завода в течение часа, равно 300. Оценить вероятность того, что в течении следующего часа число вызовов на коммутатор:
1) превысит 400;
2) будет не более 500.
Решение. 1) Пусть случайная величина есть число звонков, поступающих на коммутатор в течение часа. Среднее значение-это . Значит Нам надо оценить . Согласно неравенству Маркова
2) Таким образом, вероятность того, что число вызовов будет не более 500, не менее 0,4.
Пример 2. Сумма всех вкладов в отделение банка составляет 2 млн. рублей, а вероятность того, что случайно взятый вклад не превышает 10 тыс. рублей, равна 0,6. Что можно сказать о числе вкладчиков?
Решение. Пусть случайно взятая величина есть размер случайно взятого вклада, а число всех вкладов. Тогда (тыс.). Согласно неравенству Маркова откуда
Пример 3. Пусть -время опоздания студента на лекцию, причем известно, что в среднем он опаздывает на 1 минуту. Оцените вероятность того, что студент опоздает не менее чем на 5 минут.
Решение.
По условию Применяя неравенство Маркова, получаем, что 
Таким образом, из каждых 5 студентов опоздает по крайней мере на 5 минут не более, чем 1 студент.
Теорема 2 (Неравенство Чебышева).
.
Доказательство. Пусть случайная величина Х задается рядом распределения
Согласно определению дисперсии Исключим из этой суммы те слагаемые, для которых 
. При этом, т.к. все слагаемые, неотрицательны, сумма может только уменьшится. Для определенности будем считать, что отброшены первые k
слагаемых. Тогда
Следовательно, 
.
Неравенство Чебышева позволяет оценивать сверху вероятность отклонения случайной величины от ее математического ожидания на основе информации лишь о ее дисперсии. Оно широко используется, например, в теории оценивания.
Пример 4. Монета подбрасывается 10 000 раз. Оценить вероятность того, что частота выпадения герба отличается от на 0,01 или более.
Решение. Введем независимые случайные величины , где – случайная величина с рядом распределения
Тогда 
так как распределена по биномиальному закону с 
Частота появления герба есть случайная величина где 
. Поэтому дисперсия частоты появления герба есть Согласно неравенству Чебышева, 
.
Таким образом, в среднем не более чем в четверти случаев при 10 000 подбрасываниях монеты частота выпадения герба будет отличаться от на одну сотую или больше.
Теорема 3 (Чебышева). Если – независимые случайные величины, дисперсии которых равномерно ограничены (), то
Доказательство. Так как
то применяя неравенство Чебышева, получаем
Поскольку вероятность события не может быть больше 1, получаем требуемое.
Следствие 1. Если – независимые случайные величины с равномерно ограниченными дисперсиями и одним и тем же математическим ожиданием, равным а , то
Равенство (1) говорит о том, что случайные отклонения отдельных независимых случайных величин от их общего среднего значения при большом в своей массе взаимно погашаются. Поэтому, хотя сами величины случайны, их среднее 
при большом практически уже не случайно и близко к . Это означает, что если заранее неизвестно, то его можно вычислить с помощью среднего арифметического . Это свойство последовательностей независимых случайных величин называется законом статистической устойчивости.
Закон статистической устойчивости обосновывает возможность применения анализа статистик при принятии конкретных управленческих решений.
Теорема 4 (Бернулли). Если в каждом из п независимых опытов вероятность р появления события А постоянна, то
,
где – число появлений события А при этих п испытаниях.
Доказательство. Введем независимые случайные величины , где Х i – случайная величина с рядом распределения
Тогда М(Х i )=р, D(Х i )=рq. Так как , то D(Х i ) ограничены в совокупности. Из теоремы Чебышева следует, что
.
Но Х 1 +Х 2 +…+Х п есть число появлений события А в серии из п испытаний.
Смысл теоремы Бернулли заключается в том, что при неограниченном увеличении числа одинаковых независимых опытов с практической достоверностью можно утверждать, что частота появления события будет сколь угодно мало отличаться от вероятности его появления в отдельном опыте (статистическая устойчивость вероятности события). Поэтому теорема Бернулли служит переходным мостиком от теории приложений к ее применениям.
В чем секрет успешных продавцов? Если понаблюдать за лучшими продавцами любой компании, вы заметите, что их объединяет одно общее качество. Каждый из них встречается с большим количеством людей и делает больше презентаций, чем менее успешные продавцы. Эти люди понимают, что продажи - игра чисел, и чем большему количеству людей они расскажут о своих продуктах или услугах, тем больше сделок заключат - вот и все. Они понимают, что если будут общаться не только с теми немногими, кто определенно скажет им "да", но и с теми, чей интерес к их предложению не столь велик, то закон средних чисел сработает в их пользу.
Ваши доходы будут зависеть от количества продаж, но в то же время, они будут прямо пропорциональны количеству презентаций, которые вы делаете. Как только вы поймете и начнете применять на практике закон средних чисел, тревога, связанная с началом нового бизнеса или работы в новой сфере, начнет снижаться. А в результате начнет расти чувство контроля и уверенность в своей способности зарабатывать. Если вы просто будете делать презентации и оттачивать в этом процессе свои навыки, появятся и сделки.
Чем думать о количестве сделок, думайте лучше о количестве презентаций. Нет смысла просыпаться утром или приходить домой вечером и приниматься гадать, кто купит у вас продукт. Вместо этого, лучше всего каждый день планировать, сколько звонков вам необходимо сделать. А потом, несмотря ни на что - сделать все эти звонки! Такой подход упростит вам работу - потому что это простая и конкретная цель. Если вы будете знать, что перед вами стоит вполне определенная и достижимая задача, вам будет легче сделать запланированное количество звонков. Если в этом процессе вы пару раз услышите "да" - тем лучше!
А если "нет", то вечером вы будете чувствовать, что честно сделали все, что могли, и вас не станут мучить мысли о том, сколько денег вы заработали, или как много компаньонов приобрели за день.
Предположим, в вашей компании или в вашем бизнесе средний продавец заключает одну сделку на четыре презентации. Теперь представьте себе, что вы вытаскиваете карты из колоды. Каждая карта трех мастей - пики, бубны и трефы - это презентация, на которой вы профессионально представляете продукт, услугу или возможность. Вы делаете это так хорошо, как только можете, но все равно не заключаете сделку. А каждая червовая карта - это сделка, позволяющая вам получить деньги или приобрести нового компаньона.
В такой ситуации, разве вам не захочется вытащить из колоды как можно больше карт? Предположим, вам предлагают вытащить столько карт, сколько вы хотите, и при этом платить вам или предлагать нового компаньона каждый раз, когда вы вытаскиваете червовую карту. Вы начнете увлеченно тянуть карты, едва замечая, какой масти карту только что вытащили.
Вы знаете, что в колоде из пятидесяти двух карт - тринадцать червовых. А в двух колодах - двадцать шесть червовых карт, и так далее. Будете ли вы разочарованы, вытащив пики, бубны или трефы? Нет конечно! Вы будете думать только о том, что каждый такой "промах" приближает вас - к чему? К червовой карте!
Но знаете что? Вам уже сделали такое предложение. Вы находитесь в уникальной ситуации, позволяющей заработать столько, сколько вам захочется, и вытащить столько червовых карт, сколько вы хотите вытащить в своей жизни. И если вы просто добросовестно " тянете карты ", совершенствуете свои навыки и стойко переносите немного пик, бубен и треф, то станете прекрасным продавцом и добьетесь успеха.
Одна из вещей, делающих процесс продаж настолько увлекательным - то, что каждый раз, когда тасуешь колоду, карты перемешиваются по-разному. Иногда все червы оказываются в начале колоды, и после удачной полосы (когда нам уже кажется, что мы никогда не проиграем!) нас ждет длинный ряд карт другой масти. А в другой раз, чтобы добраться до первой червы, придется пройти через бесконечное количество пик, треф и бубен. А иногда карты разной масти выпадают строго по очереди. Но в любом случае, в каждой колоде из пятидесяти двух карт, в каком-то порядке, всегда есть тринадцать червовых карт. Просто вытаскивайте карты до тех пор, пока их не найдете.
От: Leylya,
Закон больших чисел
Зако́н больши́х чи́сел в теории вероятностей утверждает, что эмпирическое среднее (среднее арифметическое) достаточно большой конечной выборки из фиксированного распределения близко к теоретическому среднему (математическому ожиданию) этого распределения. В зависимости от вида сходимости различают слабый закон больших чисел, когда имеет место сходимость по вероятности , и усиленный закон больших чисел, когда имеет место сходимость почти всюду .
Всегда найдётся такое количество испытаний, при котором с любой заданной наперёд вероятностью относительная частота появления некоторого события будет сколь угодно мало отличаться от его вероятности.
Общий смысл закона больших чисел - совместное действие большого числа случайных факторов приводит к результату, почти не зависящему от случая.
На этом свойстве основаны методы оценки вероятности на основе анализа конечной выборки. Наглядным примером является прогноз результатов выборов на основе опроса выборки избирателей.
Слабый закон больших чисел
Пусть есть бесконечная последовательность (последовательное перечисление) одинаково распределённых и некоррелированных случайных величин , определённых на одном вероятностном пространстве . То есть их ковариация . Пусть . Обозначим выборочное среднее первых членов:
Усиленный закон больших чисел
Пусть есть бесконечная последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин , определённых на одном вероятностном пространстве . Пусть . Обозначим выборочное среднее первых членов:
.Тогда почти наверное.
См. также
Литература
- Ширяев А. Н. Вероятность, - М .: Наука. 1989.
- Чистяков В. П. Курс теории вероятностей, - М ., 1982.
Wikimedia Foundation . 2010 .
- Кинематограф России
- Громека, Михаил Степанович
Смотреть что такое "Закон больших чисел" в других словарях:
ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ - (law of large numbers) В том случае, когда поведение отдельных представителей населения отличается большим своеобразием, поведение группы в среднем более предсказуемо, чем поведение любого ее члена. Тенденция, в соответствии с которой группы… … Экономический словарь
ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ - см. БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ЗАКОН. Antinazi. Энциклопедия социологии, 2009 … Энциклопедия социологии
Закон Больших Чисел - принцип, согласно которому количественные закономерности, присущие массовым общественным явлениям, наиболее явным образом проявляются при достаточно большом числе наблюдений. Единичные явления в большей степени подвержены воздействию случайных и… … Словарь бизнес-терминов
ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ - утверждает, что с вероятностью, близкой к единице, среднее арифметическое большого числа случайных величин примерно одного порядка будет мало отличаться от константы, равной среднему арифметическому из математических ожиданий этих величин. Разл.… … Геологическая энциклопедия
закон больших чисел - — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN law of averageslaw of large numbers … Справочник технического переводчика
закон больших чисел - didžiųjų skaičių dėsnis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. law of large numbers vok. Gesetz der großen Zahlen, n rus. закон больших чисел, m pranc. loi des grands nombres, f … Fizikos terminų žodynas
ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ - общий принцип, в силу к рого совместное действие случайных факторов приводит при нек рых весьма общих условиях к рез ту, почти не зависящему от случая. Сближение частоты наступления случайного события с его вероятностью при возрастании числа… … Российская социологическая энциклопедия
Закон больших чисел - закон, гласящий, что совокупное действие большого числа случайных факторов приводит, при некоторых весьма общих условиях, к результату, почти не зависящему от случая … Социология: словарь
ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ - статистический закон, выражающий связь статистических показателей (параметров) выборочной и генеральной совокупности. Фактические значения статистических показателей, полученные по некоторой выборке, всегда отличаются от т.н. теоретических… … Социология: Энциклопедия
ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ - принцип, по которому частота финансовых потерь определенного вида может быть предсказана с высокой точностью тогда, когда есть большое количество потерь аналогичных видов … Энциклопедический словарь экономики и права
Книги
- Комплект таблиц. Математика. Теория вероятностей и математическая статистика. 6 таблиц + методика , . Таблицы отпечатаны на плотном полиграфическом картоне размером 680 х 980 мм. В комплект входит брошюра с методическими рекомендациями для учителя. Учебный альбом из 6 листов. Случайные…
